Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 7

Chia sẻ: 01629871 01629871 | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

104
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp cho các em chuẩn bị tinh thần tốt nhất để bước vào kỳ thi chọn HSG chính thức trong thời gian tới. Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 Phòng GD&ĐT Lương Tài Đề số 7 có kèm theo đáp án để học sinh dễ đối chiếu với kết quả làm bài của mình. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 7

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2015 2016 Môn thi: Toán Lớp 9 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) �x +2 x 1 � x −1 Bài 1 (2,0đ): Cho P = � + + �: �x x − 1 x + x + 1 1 − x � 2 a/ Rút gọn biểu thức P (0,75đ Khá) 2 b/ Tìm x để P = (0,75đ Khá) 7 c/ So sánh P2 với 2P (0,5 Khá) Bài 2 (2,0đ): 1 1 1/ Giải phương trình: x = x − + 1 − (1đ Giỏi) x x 2/ Trên một mặt phẳng tọa độ, cho các điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC. a/ Viết phương trình của đường thẳng AB; BC. (0,5đ Khá) b/ Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. (0,5 Khá) Bài 3 (2,0đ): 1/ Giải phương trình nghiệm nguyên: x 2 + xy − 2014 x − 2015 y − 2016 = 0 (1đ Khá) 2/ Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng: Tổng của số đó với các chữ số của nó bằng 2023 (1đ Giỏi) Bài 4 (3,0đ): Cho đường tròn (O;R) cố định, đường kính AB. Lấy điểm I nằm trên tia đối của BA, kẻ tiếp tuyến IC (C là tiếp điểm). Gọi M là 1 điểm cố định thuộc nửa đường tròn đường kính AB không chứa điểm C (M khác A;B). Gọi N là giao điểm thứ 2 của IM với (O); H là hình chiếu của C trên AB; K là hình chiếu của O trên IM, E là giao điểm của CH và OK. a/ Chứng minh: IC2 =IA.IB (1đ Khá) b/ Chứng minh: IH.IO=IM.IN (1đ Giỏi) c/ Khi I di động trên tia đối của BA, hãy tìm quỹ tích điểm E. (1đ SX)
Bài 5 (1,0đ): Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn a 2 + b2 + 1 = 2(ab + a + b) . Chứng minh a; b là 2 số chính phương liên tiếp. (1đ SX) Hết UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1 Năm học 2015 2016 Môn thi: Toán Lớp 9 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0đ): Ý Đáp án Điểm � � � x+2 x 1 � x −1 P= + − : � 2 (với x 0 ; x≠1) � ( ) 3 � x −1 x + x + 1 x − 1 � � � x + 2 + x − x − x − x −1 2 = a/ ( x −1 x + x +1 )( x −1 ) 0, 5đ x − 2 x +1 2 2 = � = ( )( x −1 x + x +1 ) x −1 x + x +1 2 Vậy P = 0,25đ x + x + 1 2 Ta có: P = (với x 0 ; x≠1) x + x +1 2 2 2 0,25đ P= � = � x + x +1= 7 � x + x − 6 = 0 7 x + x +1 7 b/ � ( x −2 )( ) x +3 =0� ( ) x − 2 = 0 (vì x �0 nên x + 3 > 0) � x=4 0,5đ 2 Vậy với x =4 thì P = 7 c/ 2 Ta có: P = ( Với x 0 ; x ≠ 1) x + x +1 Do x 2 0 ; x≠1 nên x + x + 1 > 0 � P = >0 x + x +1 Ta lại có x + x 0 (vì x 0 ; x≠1) 0,25đ 1 2 � x=� � x +1+ 1 1 P 2 x + x +1 x + x +1 0,25đ
Ta có P2 – 2P = P(P – 2) 0 (vì 0< P 2 ) => P2 2P Vậy P2 2P Bài 2 (2,0đ): Ý Đáp án Điểm 1 x− 0 x 1 x 1 0,25đ ĐK: 1− 0 x −1 x < 0 x 0 TH1: −1 x < 0 . VT0 nên PT vô nghiệm. 0,25đ 1 1 1 1 TH2: x 1 . PT: x = x − + 1 − x − 1 − = x− x x x x 2 1/ 1 1 x 1 x x 2 – 2 x 1 − 1 + 1 − x = 0 x x x � � 1 x 2 − x − 2 x 2 � 1 − �+ 1 = 0 x ( x − 1) − 2 x( x − 1) + 1 = 0 0,25đ � x� ( ) x ( x − 1) = 1 x 2 − x − 1 = 0 2 x ( x − 1) − 1 = 0 1 + 5 (vì x 1) x = 2 0,25đ � 1+ 5 � Vậy S = � � 2 2 1 + Viết được phương trình của đường thẳng MP là y = x – 0,25đ 3 3 + Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng 2 y = x + b . Vì N thuộc đường thẳng BC tìm ra b = – 6. Vậy phương 2a/ 3 2 trình của đường thẳng BC là y = x – 6 . 3 7 + Tương tự ta có ptđt AB là y = x – 6 0,25đ 2 2b/ 2 0,25đ y = x – 6 3 + Giải hệ ta suy ra tọa độ đỉnh B(0; – 6) 7 y= x−6 2
Sử dụng công thức tọa độ trung điểm, với P là trung điểm AC nên P là trung điểm của BD, tìm ra tọa độ điểm D(10;12). Vậy D(10;12). 0,25đ Bài 3 (2,0đ): Ý Đáp án Điểm Giải phương trình nghiệm nguyên: x 2 + xy − 2014 x − 2015 y − 2016 = 0 � x 2 + xy + x − 2015 x − 2015 y − 2015 = 1 0,25đ � x ( x + y + 1) − 2015 ( x + y + 1) = 1 � ( x + y + 1) ( x − 2015 ) = 1 0,25đ 1/ x + y +1 = 1 x + y + 1 = −1 hoặc � ( x; y ) = ( 2016; −2016 ) hoặc x − 2015 = 1 x − 2015 = −1 0,25đ � ( x; y ) = ( 2014; −2016 ) Vậy ( x; y ) = ( 2016; −2016 ) hoặc ( x; y ) = ( 2014; −2016 ) . 0,25đ 2/ Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng: Tổng của số đó với các chữ số của nó bằng 2023 Gọi số cần tìm là abcd ĐK: a; b; c; d Σ�� N ;1 a 9;0 b; c; d 9 Theo bài ra ta có: abcd + a + b + c + d = 2023 (1) Vì abcd + a + b + c + d = 2023 nên abcd < 3000 và 1 a 9 nên a=1; 2. TH1: a=1. 0,25đ Thay vào (1) ta được: 1bcd + 1 + b + c + d = 2023 � bcd + b + c + d = 1022 (2) � bcd = 1022 − (b + c + d ) > 1022 − ( 9 + 9 + 9 ) = 995 nên b=9. Thay vào (2) ta được: 9cd + 9 + c + d = 1022 � cd + c + d = 113 (3) � cd = 113 − ( c + d ) > 113 − ( 9 + 9 ) = 95 nên c=9. Thay vào (3) ta được: 9d + 9 + d = 113 � d + d = 14 � d = 7 Suy ra số cần cần tìm là: 1997. TH2: a=2. Thay vào (1) ta được: 2bcd + 2 + b + c + d = 2023 � bcd + b + c + d = 21 (4) � bcd = 21 − (b + c + d ) < 21 − ( 0 + 0 + 0 ) = 21 < 100 nên b=0. 0,25đ Thay vào (4) ta được: 0cd + 0 + c + d = 21 � cd + c + d = 21 (5) � cd = 21 − ( c + d ) < 21 − ( 0 + 0 ) = 21 nên c=0;1;2. + Nếu c=0. Thay vào (5) ta được: 0d + 0 + d = 21 � d + d = 21 � d = 10,5 (loại). + Nếu c=1. Thay vào (5) ta được: 1d + 1 + d = 21 � d + d = 10 � d = 5
Suy ra số cần cần tìm là: 2015. 0,25đ + Nếu c=2. Thay vào (5) ta được: 2d + 2 + d = 21 � d + d = −1 (loại). Vậy có 2 số tmycbt là: 1997 và 2015. 0,25đ Bài 4 (3,0đ): Ý Đáp án Điểm C O A H B I 0,25đ N K M E Chứng minh: IC2 =IA.IB a/ 0,75 Chỉ ra: IC 2 = IO 2 − OC 2 = IO 2 − OA2 = ( IO + OA ) ( IO − OA) = IA.IB đpcm. Chứng minh: IH.IO=IM.IN Chỉ ra: ∆OCI vuông tại C, đường cao CH nên IC 2 = IH .IO (1) 0,25đ Chỉ ra: IM .IN = ( IK + KM ) ( IK − KN ) = IK 2 − KM 2 b/ = IK 2 − ( OA2 − OK 2 ) = ( IK 2 + OK 2 ) − OA2 = IO 2 − OA2 0,5đ = ( IO + OA) ( IO − OA) = IA.IB = IC 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: IH.IO=IM.IN đpcm. 0,25đ c/ Khi I di động trên tia đối của BA, hãy tìm quỹ tích điểm E. + Chỉ ra: ∆OHE đồng dạng với ∆OKI suy ra OK.OE=OH.OI (3) 0,25đ + ∆OCI vuông tại C, đường cao CH nên OH.OI=OC = OM . (4) 2 2 + Từ (3); (4) suy ra: OK.OE=OM2. Chỉ ra ∆OKM đồng dạng với ∆OME . 0,25đ Nên OME ﾷﾷ = OKM = 90 suy ra: ME ⊥ OM . 0 Vì (O); AB ; M cố định nên đường thẳng đi qua M và vuông góc với OM 0,25đ cũng cố định tức là đường thẳng ME cố định. Nên quỹ tích điểm E là nằm trên đường thẳng đi qua M và vuông góc với OM.
Giới hạn quỹ tích: Phần đường thẳng ME nằm giới hạn giữa 2 đường 0,25đ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B. Bài 5 (1,0đ): Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn a 2 + b 2 + 1 = 2(ab + a + b) . Chứng minh a; b là 2 số chính phương liên tiếp. (1đ SX) Ý Đáp án Điểm Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn a 2 + b 2 + 1 = 2(ab + a + b ) � a 2 + b 2 + 1 − 2ab + 2a − 2b = 4a � ( a − b + 1) = 4a . Suy ra a 0 . 2 0,25đ ( a − b + 1) = 4a là số chính phương suy ra a là số chính phương 2 Nên đặt a = x2 (x là số nguyên). Khi đó: 0,25đ (x − b + 1) = 4 x 2 � x 2 − b + 1 = �2 x 2 2 0,25đ � b = ( x m1) 2 Ta thấy x và (x+1) hoặc (x1) và x là các số nguyên liên tiếp. 0,25đ Suy ra: x2 và (x+1)2 hoặc (x1)2 và x2 là các số chính phương liên tiếp. Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp Ghi chú: Các cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.