Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 9

Chia sẻ: 01629871 01629871 | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

69
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài Đề số 9 nhằm giúp các bạn học sinh lớp 9 có thêm nhiều đề luyện tập, củng cố kiến thức, chuẩn bị sẵn sàng cho kỳ thi chọn HSG sắp diễn ra. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 9

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO Năm học 2015 2016 TẠO Môn thi: Toán Lớp 9 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giaođề) Bài 1 . (2 điểm) �x+2 x 1 � x −1 Cho biểu thức: P = � � + + �: . Với x > 0, x 1. �x x − 1 x + x +1 1− x � � 2 1. Rút gọn biểu thức P. 2 2. Tìm x để P = . 7 3. So sánh: P2 và 2P. Bài 2.(2 điểm). 1. Giải phương trình: x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2x − 3 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 4 + x 2 + 1 = y 2 Bài 3. (2 điểm). 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các đường thẳng: (d1): x − 3y + 5 = 0 ; (d2): x + 2y − 5 = 0 ; (d3): ( m 2 − 1) x + 3y − 5 − 2m = 0 a. Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2) b. Xác định m để ba đường thẳng trên là 3 đường thẳng phân biệt đồng quy. 2. Có hay không số tự nhiên n để: 1990 + n2 là số chính phương. Bài 4. (3 điểm). Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K. 1. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành 2. Kẻ OM BC tại M. Gọi G là trọng tâm của D ABC. Chứng minh SAHG = 2SAGO AD BE CF 3. Chứng minh: 9 HD HE HF Bài 5.(1điểm). Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = + x y HẾT (Đề thi gồm có 1 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 1
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh................................ UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi: TOÁN Lớp 9 Bài 1: (2 điểm) Ý/Phầ Đáp án Điểm n 1 ĐKXĐ: x > 0, x 1. �x + 2 + x − x − x − x − 1 � x − 1 P=� � ( x − 1)( x + x + 1) � �: 2 0.25 � � x − 2 x +1 2 2 = . = . ( x − 1)( x + x + 1) x − 1 x + x + 1 0.25 2 P= 2 � 2 2 = � x+ x −6 = 0 7 x + x +1 7 0.25 � ( ) x − 2 ( x + 3) = 0 � x = 2 ( vì x + 3 > 0 ) 0.25 x = 4 ( Thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 4. 0.25 ĐKXĐ: x > 0, x 1. 2 1� 3 * Do x + x + 1 = � � x + � + > 0 nên P > 0. � 2� 4 0.25 3 * Với x > 0 thì x + x > 0 nên x + x + 1 > 1 1 2 0.25
1 x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2x − 3 � ( x − 1) ( x − 2) + x + 3 = x−2 + ( x − 1) ( x + 3) ( 1) ( x − 1) ( x − 2) 0 x+3 0 Điều kiện: ۳ x 2 x−2 0 ( x − 1) ( x + 3) 0 0.25 ( 1) � x − 2 ( ) x −1 −1 − x + 3 ( ) x −1 −1 = 0 x −1 −1= 0 � ( x −1 −1 )( x−2− x+3 =0� ) x−2− x+3=0 0.5 x −1 = 1 � �x=2 x −2 = x −3 x = 2 (t/m đkxđ) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 0.25 2 x 4 + x 2 + 1 = y 2 (1) Ta có x 2 0 ∀x ( x 2 ) 2 < x 4 + x 2 + 1 ( x 2 + 1) 2 Do đó từ (1) ( x 2 )2 < y 2 ( x 2 + 1) 2 (*) 0.25 Vì x2 và x2 + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên từ (*) y 2 = ( x 2 + 1) 2 0.25 � ( x 2 + 1) 2 = x 4 + x 2 + 1 � x 2 = 0 � x = 0 y 2 = 1 � y = �1 0.25 Vậy pt đã cho có 2 nghiệm nguyên là : (0 ; 1), ( ; 1) 0.25 Bài 3: (2 điểm) Ý/Phầ Đáp án Điểm n 1 a) Tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ x − 3y + 5 = 0 phương trình: 0.25 x + 2y − 5 = 0 Giải hệ phương trình ta được x = 1; y = 2. Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại A (1; 2). 0.25 3
b) Ba đường thắng cắt nhau tai một điểm suy ra (d3) đi qua A. m=0 � m 2 − 1 + 3.2 − 5 − 2m = 0 � m ( m − 2 ) = 0 � 0.25 m=2 +) Với m = 0 thì (d3) có dạng x − 3y + 5 = 0 trùng với (d1) (loại) 0.25 Vậy m = 2 là giá trị cần tìm 2 Giả sử 1990 + n2 là số chính phương thì 1990+ n2 = m2 (m N ) Từ đó suy ra m2 n2 = 1990 (m + n) (m – n) = 1990 Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1) 0.25 Mặt khác m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cùng 0.25 tính chẵn lẻ (2) Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn. (m + n) (m – n)  4 0.25 nhưng 1990 không chia hết cho 4 Điều giả sử sai. Vậy không tồn tại số tự nhiên n để: 1990 + n2 là số chính 0.25 phương Bài 4: (2 điểm) Ý/Phầ Đáp án Điểm n 1 A E F G O H B D M C K + Vì ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK nên 0.5 ACK vuông tại C KC AC + Ta có BE AC (gt) KC // BE hay KC // BH 4
+ Chứng minh tương tự ta có KB // CH 0.25 + Kết luận tứ giác BHCK là hình bình hành 0.25 Chứng minh SAHG = 2SAGO 2 0.25 + Vì M là trung điểm của BC (cmt). AM là đường trung tuyến của ∆ ABC + ∆ ABC có AM là đường trung tuyến, G là trọng tâm (gt) 2 0.25 G thuộc đoạn AM, AG = AM 3 + Vì M là trung điểm của HK (cmt) ∆ AHK có AM là đường trung tuyến. Mà G thuộc đoạn 0.25 2 AM, AG = 3 AM (cmt). G là trọng tâm của ∆ AHK + Chứng minh HO đi qua G, HG = 2GO + ∆ AHG và ∆ AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO, 0.25 HG = 2GO Do đó: SAHG = 2SAGO 3) Chứng minh: AD BE CF 9 HD HE HF 1 1 1 HD.BC HE. AC HF . AB HD HE HF 2 2 2 Ta có: 1 1 1 AD BE CF AD.BC BE. AC CF . AB 2 2 2 0.5 SHBC SHAC S = S + S + SHAB ABC ABC ABC SHBC + SHAC + SHAB SABC = SABC = SABC = 1 + Chứng minh bài toán phụ: Cho x > 0, y > 0, z > 0. Chứng minh rằng : 1 1 1 (x+y+z) ( ) 9 x y z 1 1 1 1 Sử dụng x + y + z 3 3 xyz ta có ( ) 3.3 x y z xyz 1 1 1 0.25 (x+y+z) ( ) 9 x y z + Áp dụng kết quả bài toán trên ta có: 0.25 HD HE HF AD BE CF ( ).( ) 9 AD BE CF HD HE HF HD HE HF Mà: + + = 1 (cmt) AD BE CF 5
AD BE CF Do đó: 9 HD HE HF Bài 5: (1điểm) Ý/Phầ Đáp án Điểm n Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + 1 + x + y + 2 = 0 (x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = 0 0.5 (x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = 0 (*) Vì ( x + 1) – ( x + 1) ( y + 1) + ( y + 1) + 1 2 2 � 1 2 3 ( x + 1) − ( y + 1) � ( ) 2 = � �+ y + 1 + 1 > 0 � 2 � 4 0.25 Nên (*) x + y + 2 = 0 x + y = 2 1 1 x + y −2 Ta có : M = + = = x y x. y x. y 1 −2 0.25 vì ( x − y )� +4 xy 4 4 xy 2 1 2 . xy xy Vậy Max M = 2 x = y = 1 . 6