Page 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học 2016 – 2017
Môn thi : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 10/4/2017
Câu 1. (5,0 điểm)
a) Cho biểu thức
4 2 5 1 1
2
4 1 2
2 3 2
x x x x
P x x
x
x x x





 

i
0x
1
4
x
.
Rút gọn biểu thức P và tìm
x
để
3
2
P
.
b) Cho ba số thực dương
,,abc
thỏa
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
3 3 3
2 2 2
a b c
Ac a a b b c
.
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
21 1 2 0x x x
.
b) Giải hệ phương trình
2
2 3 2
2 4 1
2 4 3 2
xy x y
x y xy x y
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương
( , )ab
thỏa mãn đẳng thức:
3 3 2 2
3( ) 3( ) ( 1)( 1) 25a b a b a b a b
.
b) Cho hai số nguyên
a
b
thỏa
22
24 1 .ab
Chứng minh rằng ch có một số
a
hoặc
b
chia hết cho
5.
Câu 4. (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AK; ấy
điểm I thuộc cung nhỏ của đường tròn (O) (I khác A, B). Gọi M giao điểm của IK
BC, đường trung trực của đoạn thẳng IM cắt AB và AC ần ượt tại D và E. Chứng minh tứ
giác ADME là hình bình hành.
Câu 5. (4,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp trong đường tròn (O) có trực tâm H.
Gọi D, E, F ần ượt các chân đường cao t A, B, C của tam giác ABC.
a) Gọi K giao điểm của hai đường thẳng EF BC, gọi L giao điểm của đường
thẳng AK đường tròn (O) (L khác A). Chứng minh HL u ng góc i AK.
b) ấy điểm M thuộc cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B, C). Gọi N và P ần
ượt hai điểm đối xứng của điểm M qua hai đường thẳng AB và AC. Chứng minh ba điểm
N, H, P thẳng h ng.
–––––––––––– Hết ––––––––––––
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Page 2
Họ và tên thí sinh: …..…………………………………….; Số báo danh: …………………..
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
N M HỌC 2016 – 2017
H ỚNG D N CHẤM
M TOÁN
(Hư ng d n ch m thi nà c 08 trang)
Câu
Đáp á
Điểm
Câu 1
(5,0 đ)
Cho biểu thức
4 2 5 1 1
2
4 1 2
2 3 2
x x x x
P x x
x
x x x





 

v i
0x
và
1
4
x
. Rút gọn biểu thức P và tìm
x
để
3
2
P
.
3,0
2
4 2 5 1 2 4 2
(2 1)( 2) (2 1)(2 1) 2
x x x x x x x
Px x x x x
 


(m i t ong khai t iển được )
0,75
2 2 5 1 (2 1)( 2)
2 1 (2 1)(2 1) 2
x x x x x x
x x x x

0,5
2 1 (2 1)( 2)
(2 1)(2 1) 2
x x x x
x x x

0,5
2
2
xx
x
0,25
i
0x
ta có:
3
2 1 1 3. .1.1 2 3x x x x x x x x x
0,5
Suy ra
23
22
x x x
Pxx

hay
3
2
P
dấu bằng xảy ra khi
1x
).
0,25
o đó để
3
2
P
thì
1x
.
0,25
H c t h cách hác
i
0x
ta có:
3 2 3 3 2 0
22
2
xx
P x x x
x
(*)
0,25
ặt
,0t x t
.
hi đó tr th nh:
33 2 0tt
0,25
2
( 1) ( 2) 0tt
0,25
ì
2
2 0,( 1) 0tt
nên
2
( 1) ( 2) 0 1 0 1t t t t
hay
1x
.
0,25
b) Cho ba số thực dương
,,abc
thỏa:
3ab bc ca abc
. Tìm giá t ị nhỏ nh t
của biểu thức
3 3 3
2 2 2
a b c
Ac a a b b c
.
2,0
Page 3
Cách 1: h o đ :
1 1 1
33ab bc ca abc abc
33
2 2 2
()a a ac ac ac
a
c a c a c a

0,25
2
2
11
224
ac c
c a a c c
ca
0,5
Suy ra
3
2
1
4
ac
a
ca

.
0,25
Tương tự :
3
2
1
4
ba
b
ab

,
3
2
1
4
cb
c
bc

.
0,25
Suy ra
33
()
44
A a b c
0,25
ng T C i chứng minh được:
1 1 1 9abc abc



0,25
3 9 3abc abc
Suy ra
3
2
A
dấu bằng xảy ra khi
1abc
.
y
3
min 2
A
khi
1abc
.
0,25
Cách 2 :Ta có:
1 1 1
33ab bc ca abc abc
ặt
1 1 1
,,x y z
a b c
khi đó:
, , 0
3
x y z
x y z
.
0,25
iểu thức
A
được iết ại:
2 2 2
( ) ( ) ( )
x y z
Ay x y z y z x z x
0,25
Ta có :
22
2 2 2
( ) 1
( ) ( )
x x y y y
y x y y x y y x y

;
m
2
2
1
22
y
x y y x xy x
nên
2
11
() 2
x
y x y y x

;
0,25
m
1 1 1 1 1
.2 1. 1
44
2xx
x



nên
2
1 1 1
1
( ) 4
x
y x y y x



(d u b ng ả ra khi
1xy
)
0,25
Tương tự :
2
1 1 1
1
( ) 4
y
z y z z y



,
2
1 1 1
1
( ) 4
z
x z x x z



Suy ra
3 1 1 1 3
44
Ax y z



.
0,25
ng T C i chứng minh được:
1 1 1 9x y z x y z



.
0,25
1 1 1 1 1 1
3 9 3
x y z x y z



ì
3z y z
).
0,25
Page 4
o đó
3
2
A
dấu bằng xảy ra khi
1x y z
hay
1abc
.
y
3
min 2
A
khi
1abc
.
0,25
Câu 2
(4,0 đ)
a) Giải phương t ình
21 1 2 0x x x
2,0
Cách 1:
i u kiện:
11x
.
0,25
hi đó ta có:
21 1 2 0x x x
222
1 1 (2 )x x x
2 2 2
2 1 2 (2 )xx
(1)
0,25
ặt
2
1 , 0t x t
. hương trình tr th nh:
22
2 2 ( 1)tt
0,25
42
2 2 1 0t t t
0,25
2
( 1) ( 1)( 1) 2 0t t t t


(2)
0,5
ì
0t
nên
2
( 1)( 1) 2 0t t t
.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất
1t
.
0,25
i
10tx
thỏa .
y phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
0x
.
0,25
Cách 2
i u kiện:
11x
.
0,25
22
1 1 2 0 1 1 2x x x x x x
(*)
ặt
1 1 , 0t x x t
. Suy ra
2
2
2 2 2
2
2 2 1 1 2
2
t
t x x



0,25
hi đó phương trình tr th nh:
4 2 3 2
4 4 8 0 ( 2)( 2 4) 0t t t t t t
(*)
0,5
ì
22
2 2 1 2tx
0t
nên
2t
.
0,25
o đó
32
2 4 2 2 4 4 0tt
.
uy ra phương trình có nghiệm duy nhất
2t
.
0,5
i
20tx
thỏa .
y phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
0x
.
0,25
Cách
i u kiện:
11x
.
0,25
ặt
1 , 1 ( , 0)x a x b a b
. Suy ra:
22
2ab
(1)
0,5
ơn n a:
2 2 2 2
1 2 1x a b x a b
.
hương trình đã cho tr th nh:
22 1a b a b
(2)
0,25
Page 5
T ta cố hệ:
22
22
21
2
1
a b ab
ab
a b a b


0,5
10
1
ax
b
0,5
b) Giải hệ phương t ình
2
2 3 2
2 4 1
2 4 3 2
xy x y
x y xy x y
2,0
Cách 1:
2
2 3 2
2 4 1
2 4 3 2
xy x y
x y xy x y
2
22
(2 1) 4
( 2 1) 2(2 1) 2
xy x y
x y xy y x y
(*)
(lưu : không nh t thi t bi n đối đưa v phải của pt thứ hai về
2y
, c thể
3y
)
0,25
- t
0y
thay o hệ ta được:
2 1 0 1
2(2 1) 0 2
xx
x

Suy ra
1
2
0
x
y

một nghiệm của hệ.
0,25
- t
0y
hệ phương trình tương đương i hệ:
2 2 2
2 1 2 1
4 ( 1) 5
2 1 2 1
2 1 2 2 ( 1) 2 2
xx
xy xy
yy
xx
x y xy xy
yy









(**)
0,25
ặt
21
1, 2
x
a xy b
khi đó hệ phương trình * tr th nh:
2
5
22
ab
ab

(***)
0,25
+ Giải hệ tìm được:
2
3
a
b
,
4
9
a
b

.
0,25
* V i
2
3
a
b
ta có
21
12 11
3
21
31
21
3
x
xy xx
xy
x
yy







hoặc
3
2
2
3
x
y


0,25
* i
4
9
a
b

ta có
21
14 5
9
21
921
9
x
xy x
xx
yy







nghiệm
0,25
y hệ phương trình đã cho có ba nghiệm:
1
2
0
x
y

,
1
1
x
y
,
3
2
2
3
x
y


.
0,25