Đề thi HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016<br /> <br /> THANH HÓA<br /> <br /> MÔN: TOÁN LỚP 9<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> <br /> Bài 1: (4,0 điểm)<br /> x x  2x  x  2<br /> <br /> Cho P =<br /> <br /> x x 3 x 2<br /> <br /> +<br /> <br /> x x  2x  x  2<br /> x x 3 x 2<br /> <br /> 1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1<br /> 2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất<br /> Bài 2: (4,0 điểm)<br /> 1. Giải phương trình<br /> <br /> 5  3x  x  1<br /> x  3  3  2x<br /> <br /> =4<br /> <br /> 2. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2<br /> Bài 3: (4,0 điểm)<br /> 1. Cho a = x +<br /> b=y+<br /> c = xy +<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> 1<br /> y<br /> 1<br /> xy<br /> <br /> Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc<br /> 2. Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có. 3(x2 -<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> ) < 2(x3 - 3 )<br /> 2<br /> x<br /> x<br /> <br /> Bài 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD. Gọi I, Q, H, P lần<br /> lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD<br /> 1. Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD, BC hai góc bằng nhau.<br /> 2. Về phía ngoài tứ giác ABCD, dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF.<br /> Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, EF cùng thuộc một đường<br /> thẳng.<br /> Bài 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường<br /> cao AH dài 36cm. Tính độ dài BD, DC.<br /> Bài 6: (2,0 điểm) Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) =<br /> Hãy tìm GTNN của P = 1  a 4 + 1  b 4<br /> <br /> 9<br /> .<br /> 4<br /> <br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9<br /> Bài<br /> <br /> Tóm tắt cách giải<br /> <br /> Câu<br /> <br /> Điều kiện x > 0; x  1; 4<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> P=<br /> <br /> ( x  2)( x  1) 2<br /> x 1<br /> <br /> =<br /> =<br /> <br /> ( x  2)( x  1)( x  1)<br /> <br /> +<br /> <br /> x 1<br /> <br /> 0,5<br /> +<br /> <br /> ( x  2)( x  1)( x  1)<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ( x  2)( x  1) 2<br /> <br /> x 1<br /> x 1<br /> <br /> 2( x  1)<br /> x 1<br /> <br /> P > 1<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2( x  1)<br /> 2( x  1)<br /> 2x  2  x  1<br /> > 1<br /> - 1 > 0<br /> >0<br /> x 1<br /> x 1<br /> x 1<br /> <br /> x3<br /> > 0 Theo đ/k x > 0  x + 3 > 0<br /> x 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  x–1>0  x>1<br /> <br /> Kết hợp điều kiện x > 0; x  1; 4<br /> Suy ra x > 1; x  4 thì P > 1<br /> 2<br /> <br /> P=<br /> <br /> 2( x  1)<br /> 4<br /> =2+<br /> Với x > 0; x  1; 4<br /> x 1<br /> x 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> P nguyên  x – 1 là ước của 4<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> P đạt giá trị nguyên lớn nhất  x – 1 = 1  x = 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 2<br /> Điều kiện x – 3 + 3  2 x  0<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Phương trình tương đương<br /> 3x  5 - x  1 - 4 2 x  3 - 4x + 12 = 0 (*)<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 3<br /> 2<br /> <br /> Xét x < - Thì (*)  - 3x + 5 + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0<br /> 2<br /> <br />  2x = -28<br />  x = - 14 (Thỏa mãn đk)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 3<br /> 2<br /> <br /> Xét - ≤ x < 1 Thì (*)<br /> 0,25<br /> <br />  - 3x + 5 + x – 1 – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0<br />  x=<br /> <br /> 2<br /> (Thỏa mãn đk)<br /> 7<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 5<br /> Xét 1 ≤ x < Thì (*)<br /> 3<br /> <br />  - 3x + 5 – (x -1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0<br />  x=<br /> <br /> 3<br /> (loại)<br /> 8<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Xét x ≥<br /> <br /> 5<br /> Thì (*)  3x – 5 – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0<br /> 3<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x = -<br /> <br /> 2<br /> (Loại)<br /> 5<br /> <br /> 2<br /> Vậy phương trình có nghiệm x   14; <br /> <br /> <br /> 7<br /> <br /> Ta có x2 + xy + y2 = x2y2<br /> 2<br />  (x + y) = xy(xy + 1)<br /> <br /> 0,5<br />  xy  0<br /> <br /> 2<br /> <br /> + Nếu x + y = 0  xy(xy + 1) = 0  <br />  xy  1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Với xy = 0. Kết hợp với x + y = 0  x = y = 0<br /> x  1<br />  x  1<br /> hoặc <br />  y  1<br /> y  1<br /> <br /> Với xy = -1. Kết hợp với x + y = 0  <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> + Nếu x + y  0  (x + y)2 là số chính phương<br /> xy(xy + 1) là hai số nguyên liên tiếp khác 0 nên chúng nguyên tố<br /> cùng nhau. Do đó không thể cùng là số chính phương<br /> Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (x; y) = (0; 0); (1; -1); (1; 1)<br /> a2 = x 2 +<br /> <br /> 1<br /> +2<br /> x2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> +2<br /> y2<br /> <br /> b2 = y2 +<br /> 1<br /> <br /> c2 = x2y2 +<br /> ab = (x +<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1<br /> +2<br /> x y2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> y<br /> y<br /> 1<br /> 1<br /> x<br /> x<br /> )(y + ) = xy +<br /> + + =c+ +<br /> x<br /> x<br /> x<br /> y<br /> xy<br /> y<br /> y<br /> <br /> 0,5<br /> y<br /> x<br /> + ).c<br />  abc = (c +<br /> x<br /> y<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> y<br /> x<br /> = c + c( + )<br /> x<br /> y<br /> 2<br /> <br /> = c2 + (xy +<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> y<br /> 1<br /> x<br /> )( + )<br /> x<br /> xy y<br /> <br /> = c2 + x2 + y2 +<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> + 2<br /> 2<br /> x<br /> y<br /> <br /> = a2 – 2 + b 2 – 2 + c2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br />  A = a + b + c – abc = 4<br /> <br /> 3(x2 2<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> ) < 2(x3 - 3 )<br /> 2<br /> x<br /> x<br /> <br />  3(x -<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> )(x + ) < 2(x - )(x2 + 2 + 1)<br /> x<br /> x<br /> x<br /> x<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> ) < 2(x2 + 2 + 1) (1)<br />  3(x +<br /> x<br /> x<br /> <br /> ( Vì x > 1 nên x Đặt x +<br /> <br /> 1<br /> > 0)<br /> x<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> = t thì x2 + 2 = t2 – 2<br /> x<br /> x<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Ta có (1)  2t2 – 3t – 2 > 0<br />  (t – 2)(2t + 1) > 0 (2)<br /> <br /> Vì x > 1 nên (x – 1)2 > 0  x2 + 1 > 2x  x +<br />  (2) đúng. Suy ra điều phải chứng minh<br /> <br /> 1<br /> > 2 hay t > 2<br /> x<br /> <br /> 1<br /> <br /> 4<br /> IP = HQ; IP//HQ (Tính chất đường trung bình) và AD = BC (GT)<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  IPHQ là h.b.h<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Có IP = IQ =<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> AD = BC nên IPHQ là hình thoi<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Gọi P 1 ; Q 1 là giao điểm của PQ với AD và BC<br /> Nhận thấy ∆ HPQ cân đỉnh H<br />  HPQ = HQP (Góc ở đáy tam giác cân) (1)<br /> <br /> Mà PH // BC  BQ 1 P = HPQ (So le trong) (2)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> QH // AD  AP 1 P = HQP (So le trong) (3)<br /> Từ (1); (2); (3) Suy ra AP 1 P = BQ 1 P ( đpcm)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của EF, DF, CE<br /> Từ giả thiết ∆ ADE = ∆ BCF và dựa vào tính chất của đường<br /> trung bình trong tam giác ta có ∆ HMP = ∆ HNQ (c.c.c)<br /> Suy ra MHP = NHQ  MHQ = NHP  MHN và PHQ có cùng<br /> <br /> 0,5<br /> <br />