intTypePromotion=1

Đề thi HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Chia sẻ: Thu Maile | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

0
33
lượt xem
0
download

Đề thi HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi HSG lớp 9 môn Toán năm học 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa cung cấp cho các bạn những kiến thức và những câu hỏi bài tập giúp các bạn củng cố lại kiến thức đã học và làm quen với dạng bài tập. Hy vọng nội dung tài liệu giúp các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016<br /> <br /> THANH HÓA<br /> <br /> MÔN: TOÁN LỚP 9<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> <br /> Bài 1: (4,0 điểm)<br /> x x  2x  x  2<br /> <br /> Cho P =<br /> <br /> x x 3 x 2<br /> <br /> +<br /> <br /> x x  2x  x  2<br /> x x 3 x 2<br /> <br /> 1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1<br /> 2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất<br /> Bài 2: (4,0 điểm)<br /> 1. Giải phương trình<br /> <br /> 5  3x  x  1<br /> x  3  3  2x<br /> <br /> =4<br /> <br /> 2. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2<br /> Bài 3: (4,0 điểm)<br /> 1. Cho a = x +<br /> b=y+<br /> c = xy +<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> 1<br /> y<br /> 1<br /> xy<br /> <br /> Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc<br /> 2. Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có. 3(x2 -<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> ) < 2(x3 - 3 )<br /> 2<br /> x<br /> x<br /> <br /> Bài 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD. Gọi I, Q, H, P lần<br /> lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD<br /> 1. Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD, BC hai góc bằng nhau.<br /> 2. Về phía ngoài tứ giác ABCD, dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF.<br /> Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, EF cùng thuộc một đường<br /> thẳng.<br /> Bài 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường<br /> cao AH dài 36cm. Tính độ dài BD, DC.<br /> Bài 6: (2,0 điểm) Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) =<br /> Hãy tìm GTNN của P = 1  a 4 + 1  b 4<br /> <br /> 9<br /> .<br /> 4<br /> <br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9<br /> Bài<br /> <br /> Tóm tắt cách giải<br /> <br /> Câu<br /> <br /> Điều kiện x > 0; x  1; 4<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> P=<br /> <br /> ( x  2)( x  1) 2<br /> x 1<br /> <br /> =<br /> =<br /> <br /> ( x  2)( x  1)( x  1)<br /> <br /> +<br /> <br /> x 1<br /> <br /> 0,5<br /> +<br /> <br /> ( x  2)( x  1)( x  1)<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ( x  2)( x  1) 2<br /> <br /> x 1<br /> x 1<br /> <br /> 2( x  1)<br /> x 1<br /> <br /> P > 1<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2( x  1)<br /> 2( x  1)<br /> 2x  2  x  1<br /> > 1<br /> - 1 > 0<br /> >0<br /> x 1<br /> x 1<br /> x 1<br /> <br /> x3<br /> > 0 Theo đ/k x > 0  x + 3 > 0<br /> x 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  x–1>0  x>1<br /> <br /> Kết hợp điều kiện x > 0; x  1; 4<br /> Suy ra x > 1; x  4 thì P > 1<br /> 2<br /> <br /> P=<br /> <br /> 2( x  1)<br /> 4<br /> =2+<br /> Với x > 0; x  1; 4<br /> x 1<br /> x 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> P nguyên  x – 1 là ước của 4<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> P đạt giá trị nguyên lớn nhất  x – 1 = 1  x = 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 2<br /> Điều kiện x – 3 + 3  2 x  0<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Phương trình tương đương<br /> 3x  5 - x  1 - 4 2 x  3 - 4x + 12 = 0 (*)<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 3<br /> 2<br /> <br /> Xét x < - Thì (*)  - 3x + 5 + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0<br /> 2<br /> <br />  2x = -28<br />  x = - 14 (Thỏa mãn đk)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 3<br /> 2<br /> <br /> Xét - ≤ x < 1 Thì (*)<br /> 0,25<br /> <br />  - 3x + 5 + x – 1 – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0<br />  x=<br /> <br /> 2<br /> (Thỏa mãn đk)<br /> 7<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 5<br /> Xét 1 ≤ x < Thì (*)<br /> 3<br /> <br />  - 3x + 5 – (x -1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0<br />  x=<br /> <br /> 3<br /> (loại)<br /> 8<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Xét x ≥<br /> <br /> 5<br /> Thì (*)  3x – 5 – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0<br /> 3<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x = -<br /> <br /> 2<br /> (Loại)<br /> 5<br /> <br /> 2<br /> Vậy phương trình có nghiệm x   14; <br /> <br /> <br /> 7<br /> <br /> Ta có x2 + xy + y2 = x2y2<br /> 2<br />  (x + y) = xy(xy + 1)<br /> <br /> 0,5<br />  xy  0<br /> <br /> 2<br /> <br /> + Nếu x + y = 0  xy(xy + 1) = 0  <br />  xy  1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Với xy = 0. Kết hợp với x + y = 0  x = y = 0<br /> x  1<br />  x  1<br /> hoặc <br />  y  1<br /> y  1<br /> <br /> Với xy = -1. Kết hợp với x + y = 0  <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> + Nếu x + y  0  (x + y)2 là số chính phương<br /> xy(xy + 1) là hai số nguyên liên tiếp khác 0 nên chúng nguyên tố<br /> cùng nhau. Do đó không thể cùng là số chính phương<br /> Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (x; y) = (0; 0); (1; -1); (1; 1)<br /> a2 = x 2 +<br /> <br /> 1<br /> +2<br /> x2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> +2<br /> y2<br /> <br /> b2 = y2 +<br /> 1<br /> <br /> c2 = x2y2 +<br /> ab = (x +<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1<br /> +2<br /> x y2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> y<br /> y<br /> 1<br /> 1<br /> x<br /> x<br /> )(y + ) = xy +<br /> + + =c+ +<br /> x<br /> x<br /> x<br /> y<br /> xy<br /> y<br /> y<br /> <br /> 0,5<br /> y<br /> x<br /> + ).c<br />  abc = (c +<br /> x<br /> y<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> y<br /> x<br /> = c + c( + )<br /> x<br /> y<br /> 2<br /> <br /> = c2 + (xy +<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> y<br /> 1<br /> x<br /> )( + )<br /> x<br /> xy y<br /> <br /> = c2 + x2 + y2 +<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> + 2<br /> 2<br /> x<br /> y<br /> <br /> = a2 – 2 + b 2 – 2 + c2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br />  A = a + b + c – abc = 4<br /> <br /> 3(x2 2<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> ) < 2(x3 - 3 )<br /> 2<br /> x<br /> x<br /> <br />  3(x -<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> )(x + ) < 2(x - )(x2 + 2 + 1)<br /> x<br /> x<br /> x<br /> x<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> ) < 2(x2 + 2 + 1) (1)<br />  3(x +<br /> x<br /> x<br /> <br /> ( Vì x > 1 nên x Đặt x +<br /> <br /> 1<br /> > 0)<br /> x<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> = t thì x2 + 2 = t2 – 2<br /> x<br /> x<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Ta có (1)  2t2 – 3t – 2 > 0<br />  (t – 2)(2t + 1) > 0 (2)<br /> <br /> Vì x > 1 nên (x – 1)2 > 0  x2 + 1 > 2x  x +<br />  (2) đúng. Suy ra điều phải chứng minh<br /> <br /> 1<br /> > 2 hay t > 2<br /> x<br /> <br /> 1<br /> <br /> 4<br /> IP = HQ; IP//HQ (Tính chất đường trung bình) và AD = BC (GT)<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  IPHQ là h.b.h<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Có IP = IQ =<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> AD = BC nên IPHQ là hình thoi<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Gọi P 1 ; Q 1 là giao điểm của PQ với AD và BC<br /> Nhận thấy ∆ HPQ cân đỉnh H<br />  HPQ = HQP (Góc ở đáy tam giác cân) (1)<br /> <br /> Mà PH // BC  BQ 1 P = HPQ (So le trong) (2)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> QH // AD  AP 1 P = HQP (So le trong) (3)<br /> Từ (1); (2); (3) Suy ra AP 1 P = BQ 1 P ( đpcm)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của EF, DF, CE<br /> Từ giả thiết ∆ ADE = ∆ BCF và dựa vào tính chất của đường<br /> trung bình trong tam giác ta có ∆ HMP = ∆ HNQ (c.c.c)<br /> Suy ra MHP = NHQ  MHQ = NHP  MHN và PHQ có cùng<br /> <br /> 0,5<br /> <br />
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2