Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm 2016 - 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> BẾN TRE<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SIN GIỎI LỚP 9 THCS<br /> NĂM HỌC 2016-2017<br /> Môn: TOÁN<br /> Thời gian: 150 phút (không kể phát đề)<br /> <br /> Câu 1. (7 điểm)<br /> a) Chứng minh rằng A  n8  4n7  6n6  4n5  n4 chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên<br /> b) Cho biểu thức B <br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />  3  12x 2<br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> x  2<br /> <br /> 2<br /> <br />  8x . Rút gọn biểu thức B và tìm các giá trị<br /> <br /> nguyên của x để B có giá trị nguyên<br /> c) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2y2x  x  y  1  x2  2y2  xy<br /> Câu 2 (3 điểm)<br /> Cho hàm số y  2 x2  6x  9  x  2 có đồ thị (D)<br /> a) Vẽ đồ thị (D) của hàm số trên<br /> b) Với giá trị nào của m thì phương trình 2 x2  6x  9  x  2  m vô nghiệm<br /> c) Dựa vào đồ thị (D), tìm tập nghiệm của bất phương trình: 2 x2  6x  9  x<br /> Câu 3. (2 điểm)<br />  2<br /> y2<br /> x<br /> <br /> xy<br /> <br />  2017 (1)<br /> <br /> 3<br /> <br /> y2<br /> <br /> Cho x, y, z là các số thực thỏa: z 2   1009 (2) (x  0, z  0,x  z)<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> x  xz  z 2  1008 (3)<br /> <br /> <br /> 2z y  z<br /> Chứng minh rằng <br /> x xz<br /> <br /> Câu 4. (5 điểm)<br /> Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đường tròn<br />  O1  đường kính AE và đường tròn  O2  đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của<br /> hai đường tròn với M là tiếp điểm thuộc  O1  và N là tiếp điểm thuộc  O2 <br /> a) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường thẳng EF<br /> vuông góc với đường thẳng AB<br /> b) Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, Vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng MN<br /> cắt đường tròn (O) tại C và D sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn<br /> thẳng CD.<br /> Câu 5. (3 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhỏ hơn 900 . Từ B kẻ BM vuông<br /> AM<br />  AB <br /> góc với AC tại M (điểm M thuộc AC). Chứng minh<br /> 1  2<br /> <br /> MC<br />  BC <br /> <br /> 2<br /> <br /> ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 BẾN TRE 2016-2017<br /> Câu 1.<br /> 4<br /> a) A  n8  4n7  6n6  4n5  n 4  n 4 .  n 4  4n3  6n 2  4n  1  n(n  1)<br /> Vì n(n+1) là tích hai số nguyên liên tiếp nên n(n  1) 2  n  n  1 24  16<br /> Do đó A 16 với mọi n thuộc Z<br /> 4<br /> <br /> b) B <br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />  3  12x 2<br /> x2<br /> <br /> <br /> <br /> x  2<br /> <br /> 2<br /> <br />  8x <br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> x2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> x  2<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> x2  3<br />  x2<br /> x<br /> <br /> x2  3<br /> 2x 2  2x  3<br /> 3<br /> x2 <br />  2x  2 <br /> x<br /> x<br /> x<br /> x  1<br /> x<br /> B có giá trị nguyên khi   x  U(3) và x < 0  <br /> 3<br /> x  3<br /> <br /> +) Nếu x < 0: B <br /> <br /> x2  3<br /> 2x  3<br /> 3<br /> x2 <br />  2<br /> x<br /> x<br /> x<br /> 3<br /> B có giá trị nguyên khi   x  Ư (3) và x>2  x  3<br /> x<br /> <br /> +) Nếu 0