Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Chia sẻ: Thu Maile | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

79
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh là tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập cho các em học sinh lớp 9. Bên cạnh việc ôn tập kiến thức lý thuyết thì việc thực hành làm đề kiểm tra học kì 1 môn Toán lớp 9 sẽ giúp các em học sinh nắm vững cấu trúc đề thi và nâng cao kỹ năng trình bày bài tập Toán

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2017-2018 I – PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1: Tìm số cạnh của đa giác lồi có 27 đường chéo. Câu 2: Cho a1  2017 và an1  an  2017 với mọi n  1, n  . Tìm a2018 . Câu 3: Cho 4a2  b2  5ab với b  2a  0 . Tính giá trị của p  5ab . 3a  2b 2 2 Câu 4: Hai vật chuyển động trên một đường tròn có chu vi bằng 200 m , vận tốc vật thứ nhất là 4 m / s , vận tốc vật thứ hai là 6 m / s . Hai vật xuất phát cùng một thời điểm tại một vị trí và chuyển động cùng chiều. Hỏi sau 16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ nhất mấy lần? (không kể lúc xuất phát) Câu 5: Có bao nhiêu tam giác khác nhau mà độ dài các cạnh là các số tự nhiên (cùng đơn vị đo) thuộc tập hợp 1; 2;3; 4;5;6;7 . Câu 6: Giải phương trình 3 1  x  x  3  2 . Câu 7: Cho các số a, b thỏa mãn a3  8b3  1  6ab . Tính a  2b . 2 2 2  b  c  a Câu 8: Tìm các số nguyên dương a , b , c ,  b  c  thỏa mãn  .  2  a  b  c   bc Câu 9: Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến các cạnh tỉ lệ với các số 2 ; 3 ; 4 và chu vi của tam giác ABC là 26 . Tìm độ dài các cạnh tam giác ABC . Câu 10: Cho tam giác ABC có A  30 ; B  50 , cạnh AB  2 3 . Tính AC  AC  BC  . II – PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) 2 y 2  x 2  1 Câu 11: Giải hệ phương trình  3 . 3 2  x  y   y  x Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  AC ngoại tiếp đường tròn tâm O . Gọi D , E , F lần lượt là tiếp điểm của  O  với các cạnh AB , AC , BC . Gọi I là giao điểm của BO và EF . M là điểm di động trên đoạn CE . Gọi H là giao điểm của BM và EF . a) Chứng minh nếu AM  AB thì các tứ giác BDHF , ABHI nội tiếp. b) Gọi N là giao điểm của BM và cung nhỏ EF của  O  , P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE , DF . Chứng minh PQ  EF . Câu 13: Cho x , y là các số nguyên không đồng thời bằng 0 . Tìm GTNN của F  5x 2  11xy  5 y 2 . LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH HÀ TỈNH NĂM HỌC 2017-2018 I – PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1: Tìm số cạnh của đa giác lồi có 27 đường chéo. ờ ả Gọi số cạnh của đa giác lồi là n ,  n  , n  3 . Ta có n  n  3  27  n  9 . 2 Câu 2: Cho a1  2017 và an1  an  2017 với mọi n  1, n  . Tìm a2018 . ờ ả Ta có a2  a1  2017  2.2017 , a3  a2  2017  3.2017 , … Do đó a2018  2018.2017  4070306 . Câu 3: Cho 4a2  b2  5ab với b  2a  0 . Tính giá trị của p  ờ 5ab . 3a  2b 2 2 ả Ta có 4a2  b2  5ab   a  b  4a  b   0 . Do b  2a  0 nên b  4a . Suy ra P 20a 2 4  . 2 2 3a  32a 7 Câu 4: Hai vật chuyển động trên một đường tròn có chu vi bằng 200 m , vận tốc vật thứ nhất là 4 m / s , vận tốc vật thứ hai là 6 m / s . Hai vật xuất phát cùng một thời điểm tại một vị trí và chuyển động cùng chiều. Hỏi sau 16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ nhất mấy lần? (không kể lúc xuất phát) ờ ả Gọi t là thời gian để hai vật gặp nhau tính từ lúc xuất phát. Quảng đường mỗi vật đi được đến lúc gặp nhau là S1  v1t  4t , S2  v2t  6t . Vì hai vật đi cùng chiều nên S2  S1  S  6t  4t  200  t  100 (giây). Do đó cứ sau 100 giây chúng gặp nhau một lần. Vậy sau 16 phút  960 960 giây thì chúng gặp nhau số lần là    9 . Vậy vật thứ hai vượt lên  100  trước 9 lần. Câu 5: Có bao nhiêu tam giác khác nhau mà độ dài các cạnh là các số tự nhiên (cùng đơn vị đo) thuộc tập hợp 1; 2;3; 4;5;6;7 . ờ ả   n  1 n  3 2n  1   8.10.15     50 tam giác. 24    24  Số tam giác khác nhau là  Câu 6: Giải phương trình 3 1  x  x  3  2 . ờ ả ĐKXĐ x  3 . Đặt 3 1  x  a ; x  3  b  0 . a  0 a  b  2 2 Ta có  3 2  a  a  a  4  0    a  1  17 a  b  4  2  15  5 17    2     Từ đó tìm được tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1; . Câu 7: Cho các số a, b thỏa mãn a3  8b3  1  6ab . Tính a  2b . ờ ả x  y  z  0 x  y  z Ta có x3  y 3  z 3  3xyz   Do đó a3  8b3  1  6ab  a3   2b    1  3a  2b  1 3 3  a  2b  1  0  a  2b  1   .  a  2b  1  a  2b  2 b 2  c 2  a 2  Câu 8: Tìm các số nguyên dương a , b , c ,  b  c  thỏa mãn  .  2  a  b  c   bc ờ ả Ta có b2  c2  a2   b  c   2bc  a 2   b  c   4  a  b  c   a 2 2 2   b  c  2   a  2 . 2 2 Vì b  c  1 nên b  c  2  1 dó đó b  c  2  a  2  a  b  c  4  b2  c 2   b  c  4   b  4  c  4   8 . 2 Vì b  4  c  4  3 nên có các trường hợp sau b  4  8 b  12   a  13 . c  4  1  c  5 TH1:  b  4  4 b  8   a  10 . c  4  2  c  6 TH2:  Câu 9: Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến các cạnh tỉ lệ với các số 2 ; 3 ; 4 và chu vi của tam giác ABC là 26 . Tìm độ dài các cạnh tam giác ABC . ờ ả Gọi độ dài các cạnh BC  a , AC  b , AB  c . Độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh A , B , C lần lượt là x , y , z . Khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến các cạnh tỉ lệ với các số 2 ; 3 ; 4 nên ta có x y z   k. 2 3 4 Mặt khác ax  by  cz  2S ABC nên a 1 c a 1 c a bc        24k . Suy ra a  12 ; b  8 ; c  6 . 1 1 1 1 1 1 13 x y z 2k 3k 4k 12k Câu 10: Cho tam giác ABC có A  30 ; B  50 , cạnh AB  2 3 . Tính AC  AC  BC  . ờ ả Kẻ đường phân giác CD . Ta có ACB  100  BCD  ACD  50 . Suy ra tam giác BCD cân tại D . Suy ra BD  DC . Lại có ADC # ACB  Và AC AD  AC 2  AB. AD .  AB AC AC CD   AC.BC  AB.CD . AB BC Suy ra AC.BC  AC 2  AB  AD  CD   AB  AD  BD   AB2  12 hay AC  AC  BC   12 . II – PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) 2 y 2  x 2  1 Câu 11: Giải hệ phương trình  3 . 3 2  x  y   y  x ờ ả Thay 1  2y 2  x2 va phương trình thứ hai ta có 2 x3  2 y  2 y 2  x 2   y3  x  2 y 2  x 2   x3  5 y 3  2 x 2 y  2 xy 2  0 . Đặt y  xt được x3  5t 3  2t 2  2t  1  0 . Xét x  0 , thay vào phương trình thứ hai ta được y  y 2  2   0  y  0 không thỏa mãn phương trình thứ nhất. Xét 5t 3  2t 2  2t  1  0   t  1 5t 2  3t  1  0  t  1 . Do đó y  x , khi đó  x 2  1  x  1 . ta có hệ phương trình  2 x x  1  0    Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   1; 1, 1;1  . Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  AC ngoại tiếp đường tròn tâm O . Gọi D , E , F lần lượt là tiếp điểm của  O  với các cạnh AB , AC , BC . Gọi I là giao điểm của BO và EF . M là điểm di động trên đoạn CE . Gọi H là giao điểm của BM và EF . a) Chứng minh nếu AM  AB thì các tứ giác BDHF , ABHI nội tiếp. b) Gọi N là giao điểm của BM và cung nhỏ EF của  O  , P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE , DF . Chứng minh PQ  EF . ờ ả Gọi K là giao điểm của BO và DF . Ta có tam giác IKF vuông tại K . Hình chữ nhật