Đề thi chọn HSG lớp 9 môn Toán năm 2016 - 2017 - Sở GD&ĐT Trực Ninh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HUYỆN TRỰC NINH<br /> <br /> ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI<br /> NĂM HỌC 2016 -2017<br /> MÔN TOÁN LỚP 9<br /> Thi ngày 08 tháng 11 năm 2016<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> (Đề thi gồm 01 trang)<br /> <br /> -------------------------------<br /> <br /> Bài 1 (4,0 điểm).<br /> 1) Rút gọn biểu thức: A =<br /> 2) Cho A <br /> <br /> 5 3<br /> 2  3 5<br /> <br /> <br /> <br /> 3 5<br /> 2  3 5<br /> <br /> x  x<br /> x  x<br /> <br /> x  x 1 x  x 1<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A<br /> b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B<br /> Bài 2 (4,0 điểm). Giải phương trình<br /> 1) Giải phương trình : x  2 x  1  x  2 x  1 <br /> <br /> x3<br /> 2<br /> <br /> 2) Giải phương trình: 2 x2  5x  12  2 x2  3x  2  x  5 .<br /> Bài 3 (3,0 điểm).<br /> 1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương<br /> của một số nguyên.<br /> 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2  25  y( y  6)<br /> Bài 4 (7,0 điểm)<br /> Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa<br /> đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên<br /> AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của<br /> DH.<br /> a) Chứng minh CIJ CBH<br /> b) Chứng minh CJH đồng dạng với HIB<br /> c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2<br /> d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn<br /> nhất.<br /> Bài 5 (2,0 điểm). Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng<br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> <br />  2.<br /> bc<br /> ca<br /> ab<br /> <br /> -------------------HẾT-------------------Họ và tên thí sinh:……………..……............…… Họ, tên chữ ký GT1:……………………..<br /> Số báo danh:……………….……..............……… Họ, tên chữ ký GT2:……………………..<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM THI<br /> KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN<br /> NĂM HỌC 2016 - 2017<br /> Môn thi : Toán 9<br /> <br /> PHÒNG GD-ĐT<br /> HUYỆN TRỰC NINH<br /> <br /> Bài<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Câu<br /> <br /> 5 3<br /> <br /> 1. Rút gọn biểu thức: A =<br /> Câu 1<br /> (1,75đ)<br /> <br /> 5 3<br /> <br /> A=<br /> A=<br /> <br /> 2  3 5<br /> 2( 5  3)<br /> 2  ( 5  1) 2<br /> <br /> 2  3 5<br /> <br /> 3 5<br /> <br /> <br /> <br /> 2  3 5<br /> <br /> <br /> <br /> 2(3  5)<br /> 2  ( 5  1) 2<br /> <br /> =<br /> <br /> Điểm<br /> 3 5<br /> <br /> <br /> <br /> 2  3 5<br /> <br /> 2( 5  3)<br /> 2 62 5<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2(3  5)<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> 2 62 5<br /> <br /> 2( 5  3)<br /> 2(3  5)<br /> <br /> 5 3<br /> 3 5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> A= 2 2<br /> x2  x<br /> x2  x<br /> <br /> x  x 1 x  x 1<br /> a) ĐKXĐ: x  0<br /> <br /> 2. A <br /> Bài 1<br /> (4 đ)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br /> <br /> <br /> x x3 1<br /> x x3 1<br /> x2  x<br /> x2  x<br /> A<br /> <br /> <br /> <br /> x  x 1 x  x 1<br /> x  x 1<br /> x  x 1<br /> <br /> Câu 2<br /> (2,25)<br /> <br /> <br /> <br /> x<br /> <br />  x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x 1 x  x 1<br /> <br /> x 1 x  x 1<br /> <br /> x  x 1<br /> <br /> x  x 1<br /> <br /> <br /> <br /> x 1  x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x  1  x  x  x  x  2 x<br /> <br /> b) B = A + x – 1= 2 x  x  1  x  2 x  1   x  1  2  2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Dấu “=” xảy ra  x 1  0  x  1 ( TM ĐKXĐ)<br /> Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1) Giải phương trình : x  2 x  1  x  2 x  1 <br /> <br /> x3<br /> 2<br /> <br /> ĐKXĐ : x  1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x  2 x 1  x  2 x 1 <br /> <br /> Bài 2<br /> (4 đ)<br /> <br /> Câu 1<br /> (2đ)<br /> <br /> x3<br /> 2<br /> <br /> x3<br />  x 1  2 x 1  1  x 1  2 x 1  1 <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> x3<br /> <br /> x 1  1 <br /> x 1 1 <br /> 2<br /> x3<br />  x 1  1  x 1 1 <br /> (*)<br /> 2<br /> Nếu x  2 phương trình (*)<br /> x3<br /> x3<br />  x 1  1  x 1 1 <br />  2 x 1 <br />  4 x 1  x  3<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />  16( x  1)  x2  6 x  9  x2  10 x  25  0  ( x  5)2  0  x  5 (TM)<br /> <br /> Nếu 1  x  2 phương trình (*)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vậy phương trình có nghiệm x=1 và x=5<br /> 2) Giải phương trình: 2 x2  5x  12  2 x2  3x  2  x  5 .<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Đặt u  2 x2  5x  12, v  2 x2  3x  2 ( u  0, v  0)<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  u 2  2 x2  5x  12, v 2  2 x 2  3x  2  u 2  v 2  2 x  10  2( x  5)<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> x3<br /> x3<br />  x 1  1  1  x 1 <br /> 2<br />  4  x  3  x  1 ( TM)<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Từ (1)  2(u  v)  (u 2  v2 )  (u  v)(u  v  2)  0 (2)<br /> Vì u  0, v  0 , từ (2) suy ra: u  v  2  0 .<br /> <br /> Vì<br /> <br /> vậy<br /> <br /> 2 x2  5x  12  2 x2  3x  2  2 (3)<br /> <br /> Câu 2<br /> (2đ)<br /> <br /> Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình<br /> 2 2 x 2  3x  2  x  3<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  x  3<br />  x  3<br />  x  3  0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2 2 x  3x  2  x  3 7 x  6 x  1  0 (7 x  7)  (6 x  6)  0<br />  x  3<br /> <br /> ( x  1)(7 x  1)  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  x  3<br /> 1<br /> <br /> <br /> 1  x  1, x   tm <br /> 7<br />  x  1, x  7<br /> 1<br /> Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x=<br /> 7<br /> <br /> Câu 1<br /> (1,5đ)<br /> Bài 3<br /> (3 đ)<br /> <br /> 1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải<br /> là lập phương của một số nguyên.<br /> Giả sử 2016k + 3 = a3 với k và a là số nguyên.<br /> Suy ra: 2016k = a3 - 3<br /> Ta chứng minh a3 – 3 không chia hết cho 7.<br /> Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r 0;1; 1;2; 2;3; 3 .<br /> Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a3 – 3 không chia hết<br /> cho 7<br /> Mà 2016k luôn chia hết cho 7, nên a3 – 3  2016k. ĐPCM<br /> 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:<br /> <br /> Câu 2<br /> (1,5đ)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> <br /> x2  25  y( y  6)<br /> <br /> Từ x2  25  y( y  6)<br /> Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do<br /> đó ta có thể hạn chế giải với x là số tự nhiên.<br /> Khi đó: y+3+x  y+3-x .<br /> Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn<br /> Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích<br /> của chúng là số chẵn , vậy 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn.<br /> Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây:<br /> -16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong ®ã thõa sè ®Çu b»ng gi¸ trÞ<br /> (y+3+x).<br /> Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta cã x= 5 , y= 0.<br /> Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta cã x= 4 , y= -3.<br /> Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta cã x= 5 , y= -6.<br /> V× thÕ ph-¬ng tr×nh ®· cho cã c¸c nghiÖm :<br /> ( x,y)   5,0 ;  5, 6 ;  4, 3 .<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> D<br /> <br /> Bài 4<br /> (7 đ)<br /> <br /> C<br /> <br /> E<br /> <br /> I<br /> <br /> A<br /> <br /> Câu a<br /> (1,5 đ)<br /> <br /> J<br /> <br /> H<br /> <br /> B<br /> <br /> O<br /> <br /> + Vì ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB nên AC  BC<br /> Suy ra BC  CD (1)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> + Lập luận để chỉ ra IJ // CD (2)<br /> + Từ (1) và (2) suy ra IJ BC<br /> + Suy ra CIJ CBH (cùng phụ với HCB ) (3)<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> +) Trong  vuông CBH ta có: tan CBH<br /> <br /> Câu b<br /> (2 đ)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> CH<br /> (4)<br /> BH<br /> <br /> + Lập luận chứng minh được CJ // AB<br /> + Mà CH  AB (gt)<br /> + Suy ra CJ  CH<br /> +) Trong tam giác vuông CIJ ta có tan CIJ<br /> + Từ (3), (4), (5) <br /> <br /> CH CJ<br /> <br /> HB HI<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> CJ<br /> CI<br /> <br /> CJ<br /> CI<br /> HI<br /> <br /> HI (5)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> + Xét<br /> <br /> CJH và HIB có HCJ  BHI  900 và<br /> <br /> + Nên<br /> <br /> CJH đồng dạng với<br /> <br /> CH CJ<br /> (cmt)<br /> <br /> HB HI<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> HIB<br /> 0,5<br /> <br /> + Lập luận để chứng minh được HEI  90<br /> + Chứng minh được HEI đồng dạng với HCJ<br /> 0<br /> <br /> Câu c<br /> (1,5 đ)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> HE HI<br /> + Suy ra<br /> <br /> HC HJ<br /> <br /> + Suy ra HE.HJ = HI.HC<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> + Mà HJ  HD; HI  HC<br /> + Suy ra HE.HD = HC2<br /> C<br /> M<br /> <br /> 450<br /> A<br /> <br /> Câu d<br /> (2 đ)<br /> <br /> H<br /> <br /> O<br /> <br /> K<br /> <br /> B<br /> <br /> N<br /> <br /> + Lấy điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho BOM 450<br /> + Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt AB tại N. Ta có<br /> M và N cố định.<br /> + Kẻ MK  AB tại K<br /> + Chứng minh được MON vuông cân tại M và KM = KN<br /> Suy ra ANC  450<br /> Xét C M<br /> Ta có C M nên H K<br /> Do đó AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> + Xét C khác M.<br /> Tia NC nằm giữa hai tia NA và NM<br /> Do đó ANC ANM 450<br /> + HNC có NHC 900<br /> nên HNC HCN 900<br /> Mà HNC 450 nên HCN 450<br /> Suy ra HNC HCN<br /> Suy ra HC < HN<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> + Do đó AH + CH < AH + HN = AN<br /> + Vậy Khi C ở trên nửa đường tròn (O) sao cho BOC<br /> <br /> 450 thì<br /> <br />