Đề thi chọn HSG lớp 9 cấp THCS môn Toán năm 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Nghệ An

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí<br /> <br /> SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS<br /> NĂM HỌC 2015 – 2016<br /> <br /> Đề chính thức<br /> <br /> Môn thi: TOÁN - BẢNG A<br /> Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> Câu 1. (3,0 điểm)<br /> a. Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ...; 19992 gam thành ba nhóm có khối<br /> lượng bằng nhau. (không được chia nhỏ các vật đó).<br /> b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 171 = y2<br /> Câu 2. (6,0 điểm)<br /> a. Giải phương trình: x 2  6 x  1   2 x  1 x 2  2 x  3<br /> 2<br /> 2<br /> 4 x  1  y  4 x<br /> b. Giải hệ phương trình:  2<br /> 2<br />  x  xy  y  1<br /> <br /> Câu 3. (3,0 điểm)<br /> Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:<br /> <br /> a 1 b 1 c 1<br /> <br /> <br /> 3<br /> b2  1 c 2  1 a 2  1<br /> <br /> Câu 4. (6,0 điểm)<br /> Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn<br /> (A, B là các tiếp điểm), cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M, Q). Gọi H là giao<br /> điểm của OM và AB.<br /> a. Chứng minh: HPO  HQO<br /> b. Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> <br /> có giá trị nhỏ nhất.<br /> EA EB<br /> <br /> Câu 5. (2,0 điểm)<br /> Tìm hình vuông có kích thước nhỏ nhất để trong hình vuông đó có thể sắp xếp được 5<br /> hình tròn có bán kính bằng 1 sao cho không có hai hình tròn bất kì nào trong chúng có<br /> điểm trong chung.<br /> <br /> VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí<br /> <br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9<br /> Câu<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> - Nhận xét:<br /> n2 + (n + 5)2 = 2n2 + 10n + 25 = x + 25<br /> (n + 1)2 + (n + 4)2 = 2n2 + 10n + 17 = x + 17<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> (n + 2)2 + (n + 3)2 = 2n2 + 10n + 13 = x + 13<br /> Lần thứ nhất, chia 6 vật có khối lượng 19992, ... , 20042 thành ba<br /> phần: A + 25, A + 17, A + 13<br /> a<br /> <br /> Lần thứ hai, chia 6 vật có khối lượng 20052, ..., 20102 thành ba phần:<br /> B + 25, B + 17, B + 13<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Lần thứ ba, chia 6 vật có khối lượng 20112, ..., 20162 thành ba phần:<br /> C + 25, C + 17, C + 13<br /> Lúc này ta chia thành các nhóm như sau: Nhóm thứ nhất A + 25, B<br /> + 17, C + 13; nhóm thứ hai B + 25, C + 17, A + 13; nhóm thứ ba C<br /> 1<br /> <br /> + 25, A + 17, B + 13. Khối lượng của mỗi nhóm đều bằng A + B +<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> C + 55 gam.<br /> Viết phương trình đã cho về dạng: 9.(3x – 2 + 19) = y2 (x  2). Để y<br /> là số nguyên thì điều kiện cần và đủ là 3x – 2 + 19 = z2 là số chính<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> phương (z là số nguyên dương)<br /> Nếu x – 2 = 2k + 1 là số lẻ thì 32k + 1 + 19 = (32k + 1 + 1) + 18 = 4.B<br /> + 18 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không thể là số<br /> b<br /> <br /> chính phương.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Do đó x – 2 = 2k là số chẵn<br /> Ta có 3x – 2 + 19 = z2   z  3k  z  3k   19 . Vì 19 là số nguyên tố<br /> k<br />  z  10<br />  z  10<br />  z  3  1<br />  k<br /> <br /> k<br />  z  3  19<br /> k  2<br /> 3  9<br /> <br /> và z  3k  z  3k nên <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Vậy x = 6 và y = 30.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ĐKXĐ: R.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí<br /> <br /> Vì x <br /> <br /> 1<br /> không phải là nghiệm, nên phương trình đã cho tương<br /> 2<br /> <br /> đương với phương trình:<br /> 2<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> x2  6 x  1<br />  x2  2x  3<br /> 2x 1<br /> <br /> x2  6 x  1<br />  2  x2  2 x  3  2<br /> 2x 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x 2  6 x  1  2(2 x  1) ( x 2  2 x  3  2)( x 2  2 x  3  2)<br /> <br /> 2x 1<br /> x2  2 x  3  2<br /> <br /> <br /> x2  2 x  1<br /> <br /> 2x 1<br /> <br /> x2  2x  1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x2  2 x  3  2<br /> <br /> <br /> 1<br /> 1 <br />   x 2  2 x  1 <br /> <br /> 0<br /> 2<br /> 2<br /> x<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> 2<br /> x<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br />  x2  2 x 1  0<br /> (1)<br /> <br />  x 2  2 x  3  2  2 x  1 (2)<br /> <br /> PT (1) có hai nghiệm x1;2  1  2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> PT (2)  x2  2 x  3  2  2 x  1  x2  2 x  2  2 x  1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> <br /> 3  15<br /> x <br /> <br />  x3 <br /> 2<br /> 3<br />  x 2  2 x  3  (2 x  1) 2<br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vậy phương đã cho có ba nghiệm: x1;2  1  2; x3 <br /> <br /> 3  15<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br />  y  2 x  1<br />  2 x  1  y<br /> Hệ phương trình  <br />  2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br />  x  xy  y  1  x  xy  y  1<br /> <br />  y  2x 1<br /> <br /> <br />  2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br />  x  xy  y  1 <br />  x  x  2 x  1   2 x  1  1<br />  y  2x 1<br /> <br /> b<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Xét hệ: <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 5<br />  y  2x 1<br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> x<br /> <br /> 0<br /> <br /> <br />  y  2x 1<br /> 7<br />  x  0<br /> <br /> hoặc <br />  2<br />  <br /> y 1<br /> y   3<br /> 7 x  5 x  0<br />  x   5<br /> <br />  <br /> 7<br /> 7<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí<br /> <br /> Xét hệ: <br /> <br /> <br />  y  2 x  1<br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br />  x  xy  y  1 <br />  x  x  2 x  1   2 x  1  1<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  y  2 x  1<br /> x  0<br />  x  1<br />  y  2 x  1<br /> <br /> hoặc <br />  2<br />   x  0<br />  <br /> y 1<br />  y  1<br /> 3x  3x  0<br />   x  1<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br />  y  2 x  1<br /> <br />  5<br /> <br /> 3<br /> <br /> Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là: (0; 1),   ;   ,<br />  7 7<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> (0; -1), (-1; 1)<br /> Sử dụng bất đẳng thức Cô si<br /> Ta có:<br /> <br /> b2  a  1<br /> b2  a  1<br /> a 1<br /> b  ab<br /> (1)<br /> <br /> a<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> 1<br /> <br />  a 1<br /> 2<br /> 2<br /> b 1<br /> b 1<br /> 2b<br /> 2<br /> <br /> Tương tự:<br /> <br /> b 1<br /> c  bc<br /> (1)<br />  b 1<br /> 2<br /> c 1<br /> 2<br /> <br /> c 1<br /> a  ca<br /> và 2  c  1 <br /> (3)<br /> a 1<br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Từ (1); (2) và (3) suy ra:<br /> 3<br /> <br /> a 1 b 1 c 1 a  b  c<br /> ab  bc  ca<br />  2<br />  2<br /> <br />  3<br /> 2<br /> b 1 c 1 a 1<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Mặt khác a2  b2  c2  ab  bc  ca<br /> hay 3(ab  bc  ca)   a  b  c   9<br /> 2<br /> <br /> Do đó:<br /> <br /> a 1 b 1 c 1 a  b  c<br /> ab  bc  ca<br />  2<br />  2<br /> <br />  3<br /> 2<br /> b 1 c 1 a 1<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 3<br /> 9<br /> = 3  3<br /> 2<br /> 6<br /> <br /> Vậy<br /> <br /> a 1 b 1 c 1<br /> <br /> <br />  3 . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1<br /> b2  1 c 2  1 a 2  1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí<br /> A<br /> Q<br /> P<br /> <br /> O<br /> <br /> M<br /> <br /> H<br /> <br /> B<br /> <br /> a<br /> <br /> 2<br />  MPA đồng dạng  MAQ (g.g), suy ra MA = MP.MQ (1)<br /> <br /> 0,75<br /> <br />  MAO vuông tại A, có đường cao AH nên MA = MH.MO (2)<br /> 2<br /> <br /> Từ (1) và (2) suy ra MP.MQ = MH.MO hay<br /> <br /> MP MO<br /> (*)<br /> <br /> MH MQ<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br />  MPH và  MOQ có góc M chung kết hợp với (*) ta suy ra<br /> <br /> 0,75<br /> <br />  MPH đồng dạng  MOQ (c.g.c) suy ra MHP  MQO<br /> <br /> 1<br /> sdOH<br /> 2<br /> <br /> Do đó tứ giác PQOH là tứ giác nội tiếp  HPO  HQO =<br /> 4<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> (đpcm)<br /> <br /> O'<br /> <br /> F<br /> E<br /> <br /> A<br /> <br /> b<br /> <br /> B<br /> <br /> Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EB = EF hay  EBF cân<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> tại E, suy ra BFA  BEA . Đặt AEB   khi đó AFB <br /> di chuyển trên cung chứa góc<br /> Ta có:<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> nên F<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> <br /> dựng trên BC.<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 4<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> . Như vậy<br /> nhỏ nhất khi EA +<br /> EA EB EA  EB<br /> EA EB<br /> <br /> EB lớn nhất hay EA + EF lớn nhất  AF lớn nhất (**)<br /> <br /> 0,5<br /> <br />