Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Hải Dương

Chia sẻ: Thu Maile | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Hải Dương giúp các em học sinh tự kiểm tra lại kiến thức môn Toán lớp 9 của mình, luyện đề chuẩn bị tốt cho kì thi học kì 1 môn Toán sắp tới. Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo đề thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Hải Dương

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1. a) Cho A= x2  x x2  x 1  . Rút gọn B  1  2 A  4 x  1 với 0  x  4 x  x 1 x  x  b) Cho x, y, z  0 và đôi một khác nhau thỏa mãn  1 1 1    0 . Chứng x y z  2016 2017 2018  2  2 minh  2   x  y  z   xy  yz  zx .  x  2 yz y  2zx z  2xy  1 1 Câu 2. a)Giải phương trình  1   x  5  x  2 1  x 2  3x  10  7 .  x 2  y 2  xy  2 b)Giải hệ phương trình  3 .  x  x  y Câu 3. a)Tìm các số thực x sao cho x  2018 và 7  2018 đều là số nguyên. x 2 2 b) Tìm các số tự nhiên có dạng ab . Biết rằng ab  ba là số chia hết cho 3267 . Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có góc BDC  900 , đường phân giác góc BAD cắt cạnh BC và đường thẳng CD lần lượt tại E và F . Gọi O, O ' lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD và CEF . 1)Chứng minh rằng O ' thuộc đường tròn (O) . 2) Khi DE vuông góc BC a) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại G . Chứng minh rằng BG.CE  BE.CG b)Đường tròn (O) và (O ') cắt nhau tại điểm H ( H khác C ). Kẻ tiếp tuyến chung IK ( I thuộc (O) , K thuộc (O ') và H , I , K nằm cùng phía bờ OO' ). Dựng hình bình hành CIMK . Chứng minh OB  O ' C  HM . Câu 5. Cho x, y, z  0 thỏa mãn x2  y 2  z 2  3xyz . Tìm GTLN của P x2 y2 z2   x 4  yz y 4  zx z 4  xy LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1. x2  x x2  x 1  a) Cho A= . Rút gọn B  1  2 A  4 x  1 với 0  x  4 x  x 1 x  x  b)Cho x, y, z  0 và đôi một khác nhau thỏa mãn 1 1 1    0. x y z   2016 1 1 1 2017 2018  2  2  xy  yz  zx Chứng minh  2  x y z x  2 yz y  2zx z  2x y     ời giải a) Ta có x2  x x2  x x ( x x  1) x ( x x  1) A=  =  x  x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1  x ( x  1)  x ( x  1)  2x 1 B  1  2 A  4 x  1  1  4 x  4 x  1  1  2 x  1  2 x (0  x  ) 4 b)Ta có 1 1 1    0  yz  xz  xy  0 x y z  x2  2 yz  x2  yz  yz  x2  yz  xz  xy  x( x  z )  y( x  z )  ( x  z )( z  y) Tương tự  y 2  2zx  ( y  z)( y  x); z 2  2xy=(z-x)(z-y)  1 1 1  2  2 x  2 yz y  2 xz z  2 yx 2  1 1 1   ( x  y)( x  z ) ( y  z )( y  x) ( z  y )( z  x)  y  z  z  x  x  y 0 ( x  y )( y  z )( z  x)   2016 1 1 1 2017 2018  2  2  2  (x  y  z )  0 .  x  2 yz y  2 xz z  2 yx  Câu 2. a)Giải phương trình   2 2   x  y  xy  2 b)Giải hệ phương trình  3  x  x  y ời giải a)Điều kiện x  2  x  5  x  2 1  x 2  3x  10  7 .    x  5  x  2 1  x 2  3x  10  7  1  x2  3x  10  x  5  x  2  ( x  5( x  2  1)  x  2  1  x  2 1 x  3    x  4  x  5  1 So với điều kiện ta được phương trình có 1 nghiệm x  3 .  x 2  y 2  xy  2  b)  3  x  x  y Từ phương trình x3  x  y  2x3  2( x  y)  ( x2  y 2  xy)( x  y)  x3  y 3  x3  y 3  x  y Với x  y thế vào phương trình x2  y 2  xy  2 ta được y  2 y2  2    y   2 Vậy hệ có nghiệm ( x; y)  {( 2; 2);( 2;  2)} . Câu 3. a)Tìm các số thực x sao cho x  2018 và 7  2018 đều là số nguyên. x 2 2 b) Tìm các số tự nhiên có dạng ab . Biết rằng ab  ba là số chia hết cho 3267 . ời giải a) Điều kiện x  0 . Đặt a  x  2018  x  a  2018 Xét b  7 7 7  a 2018  2018  2018   2018  x a  2018 a  2018  b(a  2018)  2025  a 2018  ab  2015  (b  a) 2018 Với a, b  Z  ab  2025  Z  (a  b) 2018  0 ab  a  b   2025  45 + a  45  x  45  2018 + a  45  x  45  2018 2 2 b) ab  ba  (10a  b)2  (10b  a)2  99(a 2  b2 ) 2 2 ab  ba chia hết cho 3267 nên a 2  b2  (a  b)(a  b) chia hết cho 33 1  a, b  9  a  b ,hay a  7, b  4 ; a  4, b  7 Vậy ta có các số 11;22;33;44;47;55;66;74;77;88;99 . Cho hình bình hành ABCD có góc BDC  900 , đường phân giác góc BAD cắt cạnh BC và đường thẳng CD lần lượt tại E và F . Gọi O, O ' lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD và CEF . Câu 4. 1)Chứng minh rằng O ' thuộc đường tròn (O) . 2) Khi DE vuông góc BC a) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại G . Chứng minh rằng BG.CE  BE.CG b)Đường tròn (O) và (O ') cắt nhau tại điểm H ( H khác C ). Kẻ tiếp tuyến chung IK ( I thuộc (O) , K thuộc (O ') và H , I , K nằm cùng phía bờ OO' ). Dựng hình bình hành CIMK . Chứng minh OB  O ' C  HM ời giải a)  BAE  EFC  EFC  FEC BAE  DAE (giả thuyết);   DAE  FEC suy ra EFC cân tại C  CE  CF mà BEA  FEC  BEA  BAE nên ABE cân tại B  BA  BE mà BA  CD nên BE  CD CE  CF  BE  CE  DC  CF  BC  DF (1) .   BE  CD Mặt khác O ' CF cân  O ' CF  O ' FC Với CE  CF  O ' CE  O ' CF  O ' CE  O ' FC (2) Mà O ' C  O ' F (3) . Từ (1) , (2) và (3) ta được BO ' C  DO ' F  O ' BC  O ' DF Nên tứ giác BDCO ' nội tiếp hay điêm O ' thuộc đường tròn (O ') b)Tam giác BCD tại D ,nội tiếp đường tròn (O) . Ta có 2   DG  CG.BG  DG 2  DE 2  CG.BG  BE.CE  GE 2  CG.BG  BE.CE  2   DE  BE.CE  (CE  CG)2  CG.BG  BE.CE  CE 2  2CE.CG  CG 2  CG.BG  BE.CE  CE 2  CE.CG  BE.CE  CG.BG  CG2  CE.CG  CE(CE  CG  BE )  CG( BG  CG  CE)  CE.BG  CG.BE c)Tia CH cắt IK tại N . Áp dụng phương tích đường tròn ta có NK 2  NH .NC  NI 2  NK  NI mà CIMK là hình bình hành, do đó M , N , H , C thẳng hàng. Suy ra OB2  O ' C  OI  O ' K  2 NJ . Gọi T là điểm đối xứng với H qua N , P là giao điểm của CH với OO ' .  PH  PC  NJ  NP Ta có  OO '  CH  2NJ  2NP  NP  NP  NP  PH  NP  NT  PC  NP  TC = HM Vậy OB  O 'C  HM Câu 5. . Cho x, y, z  0 thỏa mãn x2  y 2  z 2  3xyz . Tìm GTLN của P x2 y2 z2   x 4  yz y 4  zx z 4  xy ời giải Ta có x, y, z  0 , x 2  y 2  z 2  3xyz  x2  y 2  z 2  3. xyz Với x, y, z  0 , theo BĐT Cauchy ta được x2  y 2  z 2  xy  yz  zx x 4  yz  2 x 4 yz  2 x 2 yz  Tương tự ta được: x2 1  4 x  yz 2 yz y2 1 z2 1  ;  4 4 y  zx 2 zx z  xy 2 xy