Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> NĂM HỌC 2012-2013<br /> MÔN: TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 180 phút<br /> <br /> Câu 1.<br /> a) Giải bất phương trình<br /> x2  6 x  2  2(2  x) 2 x  1.<br />  x5  xy 4  y10  y 6<br /> <br /> b) Giải hệ phương trình: <br /> 2<br />  4x  5  y  8  6<br /> <br /> <br /> Câu 2.<br /> Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm<br />  x 2  m  y ( x  my)<br /> <br />  2<br />  x  y  xy<br /> <br /> <br /> Câu 3.<br /> Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I (2; 4) và các đường thẳng d1 : 2 x  y  2  0,<br /> d2 : 2 x  y  2  0 . Viết phương trình đường tròn (C ) có tâm I sao cho (C ) cắt d1 tại A, B<br /> <br /> và cắt d2 tại C , D thỏa mãn AB 2  CD 2  16  5 AB.CD.<br /> Câu4.<br /> 1. Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b .Trung tuyến CM vuông góc với phân giác<br /> trong AL và<br /> Tính<br /> <br /> CM 3<br /> <br /> 52 5 .<br /> AL 2<br /> <br /> b<br /> và cos A .<br /> c<br /> <br /> 2. Cho a,b <br /> <br /> thỏa mãn: (2  a )(1  b) <br /> <br /> 9<br /> 2<br /> <br /> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  16  a 4  4 1  b 4<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> Câu 5.<br /> Cho f  x   x 2  ax  b với a,b<br /> <br /> thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên m, n, p đôi<br /> <br /> một phân biệt và 1  m, n, p  9 sao cho: f  m   f  n   f  p   7 .<br /> Tìm tất cả các bộ số (a;b).<br /> <br /> _____________ Hết _____________<br /> <br /> -<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN<br /> Câu1<br /> <br /> Đáp án<br /> <br /> Điể<br /> m<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Điều kiện: x  . Đặt t  2 x  1 ( t  0 ) thì 2 x  t 2  1. Khi đó ta có<br /> 1.0<br /> <br /> x 2  6 x  2  2(2  x)t  0  x 2  2tx  4t  3(t 2  1)  2  0<br />  ( x  t )2  (2t  1) 2  0  ( x  3t  1)( x  t  1)  0<br /> <br /> 0.5<br /> 1<br /> 2<br /> <br />  x  1  t (do x  3t  1  0; x  ; t  0 ).<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 3 điểm<br /> x  1<br /> <br /> Với x  1  t ta có x  1  2 x  1  <br /> <br /> 2<br /> x  2x  1  2 x 1<br /> <br />  x  2  2.<br /> <br /> Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S  [2  2; ).<br /> <br />  x 5  xy 4  y10  y 6 (1)<br /> <br /> <br /> 2<br />  4 x  5  y  8  6 (2)<br /> <br /> <br /> Điều kiện: x  <br /> <br /> 5<br /> 4<br /> <br /> Th1: y  0  x  0 không thỏa mãn<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Th2: y  0 ta có:<br /> 3<br /> điểm<br /> <br /> 5<br /> <br /> x x<br /> (1)      y 5  y  (t  y )(t 4  t 3 y  t 2 y 2  ty 3  y 4 )  0 với t=x/y<br />  y y<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  (t  y )  (t 2  y 2 ) 2  (t  y ) 2 (t 2  yt  y 2 )  2   0<br /> <br /> <br />  t=y hay y 2  x<br /> <br /> Thay vào (2):<br /> <br /> 4 x  5  x  8  6  2 4 x 2  37 x  40  23  5 x<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 1<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 23<br /> <br /> x <br /> <br />  x  1  y  1<br /> 5<br /> 2<br />  x  42 x  41  0<br /> <br /> <br /> Đối chiếu đk ta được nghiêm hệ là: ( x; y)  (1;1);(1;1)<br /> Câu2<br /> <br /> my 2  y  m  0 (1)<br /> <br /> 2<br />  x  yx  y  0 (2)<br /> <br /> <br /> Hệ đã cho tương đương với: <br /> <br /> 0,5<br /> y  0<br />  y  4<br /> <br /> Phương trình (2) (ẩn x ) có nghiệm là  x  y 2  4 y  0  <br /> Th1: m  0, ta có y  0, x  0. Suy ra m  0 thỏa mãn.<br /> Th2:<br /> <br /> m  0. Phương trình (1) (ẩn<br /> <br /> ( ; 4]  [0; ) (*)<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> y ) không có nghiệm thuộc khoảng<br /> <br /> là (1) vô nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều thuộc (4; 0),<br /> <br /> điều kiện là<br /> <br /> 3 điểm<br /> <br />    1  4m 2  0<br /> <br /> <br />   1  4m 2  0<br /> 2<br />     1  4m  0<br /> <br /> 2<br /> <br />    1  4m  0<br />  <br /> <br /> 1  1  4m 2<br /> <br />  4  y  0<br /> 0<br /> 4 <br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> 2m<br /> <br />  4  y2  0<br /> <br /> 1  1  4m 2<br /> <br /> 0<br /> 4 <br /> <br /> 2m<br /> <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> <br />  m  (;  2 )  ( 2 ; )<br /> <br />   1  m  0<br />  2<br /> (B)<br /> <br /> <br /> 1  4m 2  1  8m ( A)<br /> <br /> <br /> 2<br />   1  4m  1  8m<br /> <br /> <br /> <br /> 0.5<br /> <br /> (với y1 , y2 là 2 nghiệm của phương trình (1)).<br /> 1<br />  1<br /> 1<br /> 4<br /> 4<br /> 1<br />  2  m   8<br /> (A)  <br />    m    (B)  m  (;  )  ( ; )<br /> 17<br /> 2<br /> 2<br /> 17<br />  1  4m 2  1  8m<br /> <br /> <br /> Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) (ẩn y ) có ít nhất<br /> một nghiệm thuộc khoảng (; 4]  [0; ) hay (*) không xảy ra, điều kiện là<br /> 4<br /> 1<br /> 4<br /> 1<br />  m  ; m  0. Vậy tất cả các giá trị m cần tìm là<br /> m .<br /> 17<br /> 2<br /> 17<br /> 2<br /> <br /> Câu3<br /> 3 điểm<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Gọi hình chiếu của I trên d1 , d2 lần lượt là E , F . khi đó<br /> IE  d ( I ;d1 )<br /> <br /> 2<br /> 6<br /> <br /> ; IF  d ( I ;d 2 ) <br /> .<br /> 5<br /> 5<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Gọi R là bán kính của đường tròn (C ) cần tìm ( R <br /> <br /> 6<br /> )<br /> 5<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> 36<br /> AB  2 AE  2 R 2  ; CD  2CF  2 R 2 <br /> 5<br /> 5<br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 36 <br /> <br /> 4<br /> <br /> 36<br /> <br /> R2  .<br /> Theo giả thiết ta có: 4  R 2    4  R 2    16  20 R 2 <br /> 5 <br /> 5 <br /> 5<br /> 5<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br />  8 R 2  16  4 (5 R 2  4)(5 R 2  36)  2 R 2  4  (5 R 2  4)(5 R 2  36)<br /> <br />  (2R 2  4) 2  (5R 2  4)(5R2  36) (do R <br /> <br /> 6<br /> 6<br /> )  R  2 2 ( do R <br /> )<br /> 5<br /> 5<br /> <br /> Vậy phương trình đường tròn (C ) cần tìm là (C ) : ( x  2)2  ( y  4)2  8.<br /> <br /> <br /> <br /> Ta có: AL <br /> <br /> <br /> b <br /> c <br /> AB <br /> AC<br /> bc<br /> bc<br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br />   <br /> <br /> <br />  <br />  CA  CB AB  2 AC<br /> <br /> CM <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 0.25<br /> <br />  <br />  <br /> <br /> 0.25<br /> <br /> Theo giả thiết: AL  CM  AL.CM  0<br /> <br />   <br />  <br />  bAB  c AC AB  2 AC  0  bc2  bc 2 cos A  2cb2 cos A  2cb2  0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />   c  2b 1  cos A  0  c  2b (do cos A  1)<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> b2  a2 c 2 a2  b2<br /> Khi đó: CM <br />  <br /> 2<br /> 4<br /> 2<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 4.a<br /> 3 điểm<br /> <br /> 2<br /> <br /> AL2 <br /> <br /> <br /> 1  <br /> AB  AC<br /> 9<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> AB 2  AC 2  2 AB. AC   9b 2  a 2 <br /> 9<br /> 9<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> CM 3<br /> CM 2 9 a 2  b 2<br /> 9<br /> <br /> 52 5 <br />  . 2<br />  52 5<br /> 2<br /> 2<br /> AL 2<br /> AL<br /> 4 9b  a<br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> 0.5<br /> <br /> <br /> 0.5<br /> <br /> a 2  b2<br /> a2<br />  2<br />  52 5  2  6 5<br /> 9b  a 2<br /> b<br /> <br /> cos A <br /> <br /> b 2  c 2  a 2 5b 2  a 2<br /> 5 1<br /> <br /> <br /> 2<br /> 2bc<br /> 4b<br /> 4<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />