Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Chia sẻ: Hương Nắng Mai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

230
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kì thi HSG cấp tỉnh sắp diễn ra, nhưng bạn chưa hài lòng với kiến thức mình đã ôn tập. Hãy tham khảo thêm "Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc" để nắm vững kiến thức và nâng cao tư duy Toán học nhé! nội dung đề thi bám sát chương trình học, cấu trúc trình bày rõ ràng và khoa học. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT Chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (3,0 điểm).    1. Giải hệ phương trình     1 1    x  3 y  3 x  y  x 2 y 1 1   2  y 2  x2  x 2 y  x, y   2. Tìm tất cả các giá trị của a, b sao cho phương trình x 3  ax 2  bx  3a  0 có các nghiệm đều là các số nguyên dương. Câu 2 (2,0 điểm). Giả sử a, b, c, d là các số nguyên sao cho a  b  c  d là số nguyên lẻ và chia hết a 2  b 2  c 2  d 2 . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n đều có a  b  c  d chia hết a n  b n  c n  d n . Câu 3 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng cho tam giác ABC không cân ngoại tiếp đường tròn tâm I. Lấy E và F lần lượt trên các đường thẳng AC và AB sao cho CB  CE  BF , đồng thời chúng nằm về cùng một phía với A đối với đường thẳng BC. Các đường thẳng BE và CF cắt nhau tại G. 1. Chứng minh rằng bốn điểm C, E, I và G cùng nằm trên một đường tròn. 2. Trên đường thẳng qua G và song song với AC lấy điểm H sao cho HG  AF đồng thời H khác phía với C đối với đường thẳng BG. 1 2 Chứng minh rằng EHG  ·CAB. Câu 4 (1,0 điểm). Ký hiệu å để chỉ tập hợp các số thực khác 0. Tìm tất cả các hàm số f xác định trên å , nhận giá trị thực và thỏa mãn  1 y 1 x  xf  x    yf ( y )   yf  y    xf ( x)  x, y  0 y x x y   Câu 5 (1,0 điểm). Một số nguyên dương được gọi là dễ thương nếu trong biểu diễn thập phân của nó không có chứa chữ số 0 và tổng bình phương các chữ số của nó là một số chính phương. 1. Tìm số dễ thương lớn nhất có hai chữ số. 2. Hỏi có hay không số dễ thương có 2013 chữ số? www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 1 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 ĐÁP ÁN I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu 1(3đ ) Điể m Nội dung trình bày 1.1 (1,5 điểm) Điều kiện x, y  0 Đặt 0,25 x  a  0, y  b  0; viết hệ đã cho về dạng 1 1 2 2 2 2  a  2b   a  3b  3a  b     1  1  2  b4  a4   a 2b  (1) 0,25 (2) 2  a 4  10a 2b 2  5b 4  a5  10a 3b 2  5ab 4  2 a 1 (2)-(1) thu được  5a 4  10a 2b 2  b 4  5a 4b  10a 2b3  b5  1 b (1)+(2) thu được (3) (4) Từ (3) và (4) thu được ( a  b )5  3 và ( a  b )5  1 . 5 Từ đó, tìm được a  0,25 0,25 0,25 5 3 1 3 1 và b  . 2 2 0,25 ( 5 3  1)2 ( 5 3  1)2 ,y Và do đó, tìm được x  4 4 1.2 (1,5 điểm) Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm nguyên dương      . Khi đó, theo định lý Vietta,       a,       b và   3a và do đó      (1) 0,25 3  3  3  3      3   3  3 2  9 (2). Nếu   3 thì   3 và  3  3         3 , mâu thuẫn với (1). Vậy 0,25 1   3 www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 2 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 2 Với   3 : khi đó   3,  3  3  3  3   3.3  9    1   1  4. Từ đó 0,25     3  a  9, b  27. Với   2 :   2,  2  3 2   3  3.2 2  9   2  3 2   3   21. Giải phương trình này với chú ý     2 ta được  ;    12; 2  ,  5;3 . Với   12,   2  a  16, b  52 . Với   5,   3  a  10, b  31. 0,5 Với   1:   1,  2  3 2   3   3.12  9   2  3  2   3  12, vô lí Vậy tất cả các cặp số  a; b    9;27  ,  16;52  ,  10;31 . 2(2đ ) 0,25 + Chứng minh được nhận xét: “Với a,b,x,y,z,t là các số nguyên sao cho a  b là ước của x  y và là ước của z  t thì a  b | xz  yt ” 0,25 + Mặt khác, do ( a  c ) 2  (b  d ) 2  ( a  b  c  d )(a  b  c  d )  ( a  b  c  d ) nên suy ra a  b  c  d | a 2  b 2  c 2  d 2  2( ac  bd ) . Từ đó, do giả thiết nên thu được a  b  c  d | ac  bd (1) + Ta sẽ chứng minh kết luận của bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học. Với n  1, 2 : thì kết luận hiển nhiên đúng. 0,25 0,25 Giả sử khẳng định đúng tới n, tức là a  b  c  d | a n  b n  c n  d n với n  , n  2 Ta cần chứng minh a  b  c  d | a n 1  b n 1  c n 1  d n 1 (2) Thật vậy, do a  b  c  d | (a  c )  (b  d ) và nhận xét ở trên suy ra a  b  c  d là ước của ( a  c )( a n  c n )  (b  d )(b n  d n )  a n 1  b n 1  c n 1  d n 1  ac( a n 1  c n 1 )  bd (b n 1  d n 1 ) Nhưng, do (1), giả thiết quy nạp và nhận xét ở trên suy ra a  b  c  d | ac( a n 1  c n 1 )  (bd (b n 1  d n 1 ) 0,25 0,25 0,25 Vậy suy ra a  b  c  d là ước của ( a  c)( a n  c n )  bd (b n  d n )  ac( a n 1  c n 1 )  bd (b n 1  d n 1 )  a n 1  b n 1  c n 1  d n 1 3(3đ ) 0,25 (2) được chứng minh. Từ đó, theo nguyên lý quy nạp, suy ra a  b  c  d | a n  b n  c n  d n với mọi số nguyên dương n. 3.1 (2,0 điểm) 0,25 www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 3 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 H F G A E N M I C B Không mất tính tổng quát, xét trường hợp AB  BC  CA, các trường hợp khác xét tương tự. Khi đó, E nằm trên đoạn CA, F nằm trên tia đối của tia AB, … (hình vẽ) Từ giả thiết, suy ra F đối xứng với C qua phân giác trong của góc ABC . Do đó CFA  CFB  900  ABC CAB  BCA ABC  900  và AIC  1800  . Suy 2 2 2 0,5 ra tứ giác AFCI nội tiếp. BCA CAB  IAC  IFC  ICF và 2 2 BCA CAB CAB )  CAB   IBE  Do EBA  BEC  CAB  (900  2 2 2 Từ đó AFI  ACI  Hơn nữa, do tính đối xứng nên IEB  IBE  900  MGC  MCG  ICG suy ra tứ giác CIEG nội tiếp. 3.2 (1,0 điểm) 0,5 0,5 0,5 BCA  AFI 0,25 2 Hơn nữa, do IAB  IEB nên GEI  FAI suy ra GEI đồng dạng FAI EG EG AF HG AF AI 0,25      Suy ra BI EI AI GE GE BI BCA  AIB suy ra HGE đồng dạng AIB Nhưng HGE  AEB  900  0,25 2 CAB Từ đó EHG  BAI  0,25 2 Chú ý. Nếu không có sự giả sử AB  BC  CA để có được thứ tự các điểm như trên hình Do tứ giác CIEG nội tiếp, nên EGI  ECI  4(1đ vẽ, thì yêu cầu phải sử dụng góc định hướng trong chứng minh ở cả hai phần (với cách giải như trên); trong trường hợp thí sinh không sử dụng góc định hướng, cũng không có sự giả sử về thứ tự của các cạnh, đề nghị giám khảo trừ đi 0,5 điểm cho cả hai phần. Đặt f ( x)  x  g ( x) , phương trình hàm đã cho được viết lại về dạng 0,25 www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 4 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 1 1 xg ( x  )  yg ( y )  yg ( y  )  xg ( x ) x, y  0 y x ) (1) 1 x Cho y  1 thu được xg ( x  1)  g (1)  g (1  )  xg ( x) x  0 (2) 1 , ta được x 1 1 1 1 1 1 g (  1)  g (1)  g (1  x)  g ( )  g (1  )  xg ( x  1)  g ( )  xg (1) x  0 (3) x x x x x x 1 Từ (2) và (3) suy ra xg ( x )  g ( )  ( x  1) g (1) x  0 (4) x Trong (1), cho y  1 , bằng lập luận tương tự, cũng được Trong (2), thay x bởi 0,25 0,25 1 xg ( x)  g ( )   g (1)( x  1) n  0 (5) x Từ (4) và (5) suy ra 2 xg ( x)  ( g (1)  g (1)) x  ( g (1)  g (1) x  0 hay b b x  0 , ở đây a, b là hai hằng số. Suy ra f ( x)  a   x x  0 x x b Thử lại ta thấy f ( x)  a   x x  0 thỏa mãn phương trình đã cho. x g ( x)  a  5(1đ ) 0,25 5.1 (0,5 điểm) Giả sử số dễ thương có hai chữ số lớn nhất là ab,1  a, b  9 . Theo giả thiết ta có a 2  b 2  c 2 là số chính phương. Nếu a, b đều không chia hết cho 3 thì a 2  b 2  2  mod 3 , vô lý vì a 2  b 2 là số chính phương suy ra ab  0  mod 3 . 0,25 +) Nếu a  9  81  b 2  c 2  c 2  b2  81 không có nghiệm nguyên dương với 1b  9 +) Nếu a  8  b 3  b  3;6;9 , thử trực tiếp ta thấy b  6 thỏa mãn. Vậy số dễ thương lớn nhất có 2 chữ số là 86. 5.2 (0,5 điểm) 2 Xét số A  222211...1 . Khi đó 22  22  22  22  1 ...12  2025  452 suy ra     2009 so1 2009 so12 A  222211...1 là số dễ thương.  0,25 0,5 2009 so1 ------------------Hết------------------ www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 5