Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hà Nam

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD&ĐT HÀ NAM<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> NĂM HỌC 2013-2014<br /> MÔN: TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 180 phút<br /> <br /> Câu 1(5,0 điểm).<br /> Cho Parabol (P) có phương trình y  4 x 2  1 , đường thẳng d có phương trình y  x  3 .<br /> a. Lập phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d sao cho  cắt (P) tại hai<br /> điểm phân biệt A, B và AB=1.<br /> b. Gọi I là đỉnh của (P); A, B là hai điểm phân biệt thuộc (P) và không trùng với I sao cho<br /> IA vuông góc với IB. Tìm quỹ tích trung điểm N của đoạn AB khi A, B thay đổi.<br /> Câu 2 (5, 0 điểm).<br /> 1. Giải phương trình<br /> <br /> x  1  x2  1  x x .<br /> <br />  x 2  21  y  1  y 2<br /> <br /> 2. Giải hệ phương trình <br />  y 2  21  x  1  x 2 .<br /> <br /> <br /> Câu 3 (5, 0 điểm).<br /> 1. Cho tam giác ABC có AC  b, BC  a, AB  c (b  a ) . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của<br /> AB, AC . Đường phân giác trong của góc C cắt DE tại P . Đường tròn nội tiếp của tam giác<br /> ABC tiếp xúc với AB, BC lần lượt tại N , M .<br />   <br /> <br /> <br />  <br />  <br /> a.Tính BM , BN , BP theo hai vectơ BA, BC và theo a , b, c .<br /> <br /> b. Chứng minh rằng P, M , N thẳng hàng.<br /> 2. Cho tam giác ABC có AC  b, BC  a , AB  c là độ dài ba cạnh của tam giác; ma , mb , mc<br /> là độ dài ba đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ A, B, C . Gọi R, S lần lượt là bán kính<br /> đường tròn ngoại tiếp, diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 3<br /> thì tam giác ABC đều.<br /> <br /> <br /> <br /> abmc bcma acmb 2 RS<br /> <br /> Câu 4 (3,0 điểm).<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC có<br /> phương trình x+2y-17=0, đường cao CK có phương trình 4x+3y-28=0, đường cao BH qua<br /> điểm M(1; 6). Tìm tọa độ đỉnh A và tính diện tích tam giác ABC.<br /> Câu 5 (2,0 điểm).<br /> Cho ba số dương a , b, c thỏa mãn a 2  b 2  c 2  12 . Chứng minh rằng:<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 8<br /> 8<br /> 8<br /> <br /> <br />  2<br />  2<br />  2<br /> .<br /> a  b b  c c  a a  28 b  28 c  28<br /> <br /> Hết<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM<br /> Nội dung<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Câu 1(5,0 điểm).<br /> a. (3,0 điểm) Lập phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d sao<br /> cho  cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B và AB=1.<br /> Đường thẳng  song song với d có dạng y  x  m (m  3) .<br /> Phương trình hoành độ giao điểm 4 x 2  x  1  m  0(1).<br /> Để  cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì (1) có hai nghiệm phân biệt, điều kiện<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 15<br /> là   0  m  .<br /> 16<br /> Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của (1). Theo định lý Viet, ta có<br /> 1<br /> 1 m<br /> x1  x2  ; x1 x2 <br /> .<br /> 4<br /> 4<br /> A( x1; x1  m), B( x2 ; x2  m)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> AB  1  2( x2  x1 )2  1  2  ( x2  x1 ) 2  4 x1 x2   1<br /> <br /> <br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 1 m <br /> 23<br /> 1<br />  2   4.<br />  1 m <br /> 4 <br /> 16<br />  16<br /> 23<br /> Kết hợp điều kiện ta được m  .<br /> 16<br /> <br /> b. (2, 0 điểm)<br /> Gọi I là đỉnh của (P); A, B là hai điểm phân biệt, không trùng với đỉnh và nằm trên<br /> (P) sao cho IA vuông góc với IB. Tìm quỹ tích trung điểm N của AB khi A, B thay<br /> đổi.<br /> Gọi A(a;4a 2  1) nằm trên (P), đỉnh I(0;1).<br /> <br /> <br /> Đường thẳng IB qua I(0;1), nhận IA( a;4a 2 ) là vectơ pháp tuyến. Phương trình của<br /> đường thẳng IB là x  4ay  4a  0 .<br />  y  4 x2  1<br /> <br />  1 1<br /> <br />  B<br /> ;<br />  1<br /> 2<br />  16a 64a<br /> <br />  x  4ay  4a  0<br /> <br /> Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình <br /> a<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> ;2a 2 <br />  1<br /> N là trung điểm của AB, suy ra N  <br /> 128a 2<br />  2 32a<br /> <br /> 5<br /> 4<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 5<br /> 4<br /> <br /> 2<br /> Nhận xét y N  8 x N  . Vậy quĩ tích của điểm N là Parabol y  8 x 2  .<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Câu 2 (5, 0 điểm).<br /> 1. (2,0 điểm). Giải phương trình<br /> Điều kiện: x  1.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> x  1  x2  1  x x .<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> x x  x 1  0<br /> <br /> pt  x 2  1  x x  x  1  <br /> 2<br /> 3<br /> 2<br />  x 1  x  x 1  2x x  x<br /> <br /> <br /> 1,0<br /> <br /> x  1<br /> <br /> <br />  x ( x  1)  2 x ( x  1)  1  0<br /> <br /> <br />  x ( x  1)  1<br /> 1 5<br /> <br /> <br /> x<br /> 2<br /> x  1<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1 5<br /> .<br /> Vậy phương trình có nghiệm x <br /> 2<br />  x 2  21  y  1  y 2 (1)<br /> <br /> 2.(3,0 điểm) Giải hệ phương trình <br />  y 2  21  x  1  x 2 (2)<br /> <br /> Điều kiện: x  1; y  1.<br /> <br /> Trừ<br /> <br /> vế<br /> <br /> 2<br /> <br /> với<br /> 2<br /> <br /> x  21  y  21 <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> x y<br /> 2<br /> <br /> vế<br /> <br /> 2<br /> <br /> y 1  x 1  y  x<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> của<br /> <br /> <br /> <br /> x  21  y  21<br /> <br /> (1)<br /> <br /> cho<br /> <br /> (2)<br /> <br /> ta<br /> <br /> có<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> yx<br />  ( y  x )( y  x )<br /> y 1  x 1<br /> <br /> <br /> <br /> x y<br /> 1<br />  (x  y) <br /> <br />  x  y  0<br />  x 2  21  y 2  21<br /> <br /> y 1  x 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x y<br /> 1<br />  x  y vì <br /> <br />  x  y   0x  1; y  1.<br />  x 2  21  y 2  21<br /> <br /> y 1  x 1<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> Thay x = y vào (1) ta có<br /> x 2  21  x  1  x 2  x 2  21  5  x  1  1  x 2  4<br /> <br /> <br /> x2  4<br /> <br /> x2<br />  ( x  2)( x  2)<br /> x 1 1<br /> <br /> <br /> x 2  21  5<br /> <br /> x2<br />  ( x  2)  2<br />  x2<br />  x  21  5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> <br /> 1<br /> 0<br /> x 1 1<br /> <br /> <br /> <br />   x 2  21  4 <br /> 1<br /> 0<br />  ( x  2)  ( x  2) <br /> <br />  x 2  21  5 <br /> <br /> x 1 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br />   x 2  21  4 <br />  x  2 vì ( x  2) <br /> <br />  x 2  21  5 <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br />