CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br />
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br />
SỞ GD&ĐT HÀ NAM<br />
<br />
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT<br />
<br />
ĐỀ CHÍNH THỨC<br />
<br />
NĂM HỌC 2013-2014<br />
MÔN: TOÁN<br />
Thời gian làm bài: 180 phút<br />
<br />
Câu 1(5,0 điểm).<br />
Cho Parabol (P) có phương trình y 4 x 2 1 , đường thẳng d có phương trình y x 3 .<br />
a. Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d sao cho cắt (P) tại hai<br />
điểm phân biệt A, B và AB=1.<br />
b. Gọi I là đỉnh của (P); A, B là hai điểm phân biệt thuộc (P) và không trùng với I sao cho<br />
IA vuông góc với IB. Tìm quỹ tích trung điểm N của đoạn AB khi A, B thay đổi.<br />
Câu 2 (5, 0 điểm).<br />
1. Giải phương trình<br />
<br />
x 1 x2 1 x x .<br />
<br />
x 2 21 y 1 y 2<br />
<br />
2. Giải hệ phương trình <br />
y 2 21 x 1 x 2 .<br />
<br />
<br />
Câu 3 (5, 0 điểm).<br />
1. Cho tam giác ABC có AC b, BC a, AB c (b a ) . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của<br />
AB, AC . Đường phân giác trong của góc C cắt DE tại P . Đường tròn nội tiếp của tam giác<br />
ABC tiếp xúc với AB, BC lần lượt tại N , M .<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a.Tính BM , BN , BP theo hai vectơ BA, BC và theo a , b, c .<br />
<br />
b. Chứng minh rằng P, M , N thẳng hàng.<br />
2. Cho tam giác ABC có AC b, BC a , AB c là độ dài ba cạnh của tam giác; ma , mb , mc<br />
là độ dài ba đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ A, B, C . Gọi R, S lần lượt là bán kính<br />
đường tròn ngoại tiếp, diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3<br />
thì tam giác ABC đều.<br />
<br />
<br />
<br />
abmc bcma acmb 2 RS<br />
<br />
Câu 4 (3,0 điểm).<br />
<br />
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br />
<br />
Trang | 1<br />
<br />
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br />
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br />
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC có<br />
phương trình x+2y-17=0, đường cao CK có phương trình 4x+3y-28=0, đường cao BH qua<br />
điểm M(1; 6). Tìm tọa độ đỉnh A và tính diện tích tam giác ABC.<br />
Câu 5 (2,0 điểm).<br />
Cho ba số dương a , b, c thỏa mãn a 2 b 2 c 2 12 . Chứng minh rằng:<br />
1<br />
1<br />
1<br />
8<br />
8<br />
8<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
.<br />
a b b c c a a 28 b 28 c 28<br />
<br />
Hết<br />
<br />
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br />
<br />
Trang | 2<br />
<br />
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br />
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br />
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM<br />
Nội dung<br />
<br />
Điểm<br />
<br />
Câu 1(5,0 điểm).<br />
a. (3,0 điểm) Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d sao<br />
cho cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B và AB=1.<br />
Đường thẳng song song với d có dạng y x m (m 3) .<br />
Phương trình hoành độ giao điểm 4 x 2 x 1 m 0(1).<br />
Để cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì (1) có hai nghiệm phân biệt, điều kiện<br />
<br />
0,5<br />
<br />
15<br />
là 0 m .<br />
16<br />
Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của (1). Theo định lý Viet, ta có<br />
1<br />
1 m<br />
x1 x2 ; x1 x2 <br />
.<br />
4<br />
4<br />
A( x1; x1 m), B( x2 ; x2 m)<br />
<br />
0,5<br />
<br />
0,5<br />
<br />
AB 1 2( x2 x1 )2 1 2 ( x2 x1 ) 2 4 x1 x2 1<br />
<br />
<br />
<br />
1,0<br />
<br />
1 m <br />
23<br />
1<br />
2 4.<br />
1 m <br />
4 <br />
16<br />
16<br />
23<br />
Kết hợp điều kiện ta được m .<br />
16<br />
<br />
b. (2, 0 điểm)<br />
Gọi I là đỉnh của (P); A, B là hai điểm phân biệt, không trùng với đỉnh và nằm trên<br />
(P) sao cho IA vuông góc với IB. Tìm quỹ tích trung điểm N của AB khi A, B thay<br />
đổi.<br />
Gọi A(a;4a 2 1) nằm trên (P), đỉnh I(0;1).<br />
<br />
<br />
Đường thẳng IB qua I(0;1), nhận IA( a;4a 2 ) là vectơ pháp tuyến. Phương trình của<br />
đường thẳng IB là x 4ay 4a 0 .<br />
y 4 x2 1<br />
<br />
1 1<br />
<br />
B<br />
;<br />
1<br />
2<br />
16a 64a<br />
<br />
x 4ay 4a 0<br />
<br />
Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình <br />
a<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
;2a 2 <br />
1<br />
N là trung điểm của AB, suy ra N <br />
128a 2<br />
2 32a<br />
<br />
5<br />
4<br />
<br />
0,5<br />
<br />
0,5<br />
0,5<br />
<br />
5<br />
4<br />
<br />
2<br />
Nhận xét y N 8 x N . Vậy quĩ tích của điểm N là Parabol y 8 x 2 .<br />
<br />
0,5<br />
<br />
Câu 2 (5, 0 điểm).<br />
1. (2,0 điểm). Giải phương trình<br />
Điều kiện: x 1.<br />
<br />
0,5<br />
<br />
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br />
<br />
x 1 x2 1 x x .<br />
<br />
Trang | 3<br />
<br />
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br />
MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br />
x x x 1 0<br />
<br />
pt x 2 1 x x x 1 <br />
2<br />
3<br />
2<br />
x 1 x x 1 2x x x<br />
<br />
<br />
1,0<br />
<br />
x 1<br />
<br />
<br />
x ( x 1) 2 x ( x 1) 1 0<br />
<br />
<br />
x ( x 1) 1<br />
1 5<br />
<br />
<br />
x<br />
2<br />
x 1<br />
<br />
<br />
0,5<br />
<br />
1 5<br />
.<br />
Vậy phương trình có nghiệm x <br />
2<br />
x 2 21 y 1 y 2 (1)<br />
<br />
2.(3,0 điểm) Giải hệ phương trình <br />
y 2 21 x 1 x 2 (2)<br />
<br />
Điều kiện: x 1; y 1.<br />
<br />
Trừ<br />
<br />
vế<br />
<br />
2<br />
<br />
với<br />
2<br />
<br />
x 21 y 21 <br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
x y<br />
2<br />
<br />
vế<br />
<br />
2<br />
<br />
y 1 x 1 y x<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
của<br />
<br />
<br />
<br />
x 21 y 21<br />
<br />
(1)<br />
<br />
cho<br />
<br />
(2)<br />
<br />
ta<br />
<br />
có<br />
<br />
2<br />
<br />
0,5<br />
<br />
yx<br />
( y x )( y x )<br />
y 1 x 1<br />
<br />
<br />
<br />
x y<br />
1<br />
(x y) <br />
<br />
x y 0<br />
x 2 21 y 2 21<br />
<br />
y 1 x 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x y<br />
1<br />
x y vì <br />
<br />
x y 0x 1; y 1.<br />
x 2 21 y 2 21<br />
<br />
y 1 x 1<br />
<br />
<br />
<br />
0,5<br />
0,5<br />
<br />
Thay x = y vào (1) ta có<br />
x 2 21 x 1 x 2 x 2 21 5 x 1 1 x 2 4<br />
<br />
<br />
x2 4<br />
<br />
x2<br />
( x 2)( x 2)<br />
x 1 1<br />
<br />
<br />
x 2 21 5<br />
<br />
x2<br />
( x 2) 2<br />
x2<br />
x 21 5<br />
<br />
0,5<br />
<br />
<br />
1<br />
0<br />
x 1 1<br />
<br />
<br />
<br />
x 2 21 4 <br />
1<br />
0<br />
( x 2) ( x 2) <br />
<br />
x 2 21 5 <br />
<br />
x 1 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x 2 21 4 <br />
x 2 vì ( x 2) <br />
<br />
x 2 21 5 <br />
<br />
<br />
<br />
1<br />