Đề thi KSCL đội tuyển HSG môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Chia sẻ: Hà Hạo Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng tham khảo Đề thi KSCL đội tuyển HSG môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 của Sở giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc để giúp các em biết thêm cấu trúc đề thi như thế nào, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và có thêm tư liệu tham khảo chuẩn bị cho kì thi sắp tới đạt điểm tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi KSCL đội tuyển HSG môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2 KÌ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 ĐỀ THI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2017 - 2018 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề. Đề thi gồm: 01Trang. Câu 1 (2,0 điểm). 1. Cho hàm số y  x 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những x 1 điểm thuộc (C) mà khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng  : x  y  3  0 bằng 2. 2. Cho hàm số y  x4  2mx2  2m  m4 (C). Tìm m để đồ thị (C) của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính nhỏ nhất. 3  2 y  y  2 x 1  x  3 1  x Câu 2 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình sau:  2   2 y 1  y  4  x  4 Câu 3 (1,0 điểm). Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh. G i là t p h p các tam giác có ba đ nh là ba đ nh của (H). Ch n ng u nhi n 2 tam giác trong . T nh ác suất để ch n đư c 1 tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác (H) và 1 tam giác kh ng có cạnh nào là cạnh của đa giác (H). Câu 4 (1,0 điểm). Hai ô tô ở hai vị trí A và B cách nhau 5 km, xuất phát cùng một B1 A B lúc, e đi từ A đi theo hướng AA1 vuông góc với AB với v n tốc d 6 km/h, e đi từ B đi đến A với v n tốc 7 km/h. ác định thời điểm tính từ khi xuất phát đến khi xe đi từ B đến A mà khoảng A1 cách d giữa hai xe là lớn nhất? Câu 5 (1,0 điểm). Tìm giá trị của m để bất phương trình sau đúng với m i x   4;6 :  x2  2 x  24  2 x  x 2  m Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng O y, cho đường tròn  I  có hai đường kính AB và MN với  A(1;3), B(3; 1) . Tiếp tuyến của I tại B cắt các đường thẳng AM và AN lần lư t tại E và F . Tìm t a độ trực tâm H của MEF sao cho H nằm tr n đường thẳng d : x  y  6  0 và có hoành độ dương. Câu 7 (2,0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vu ng tại A và B ; AB  BC  4a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vu ng góc với mặt phẳng  ABCD  . G i H là trung điểm của AB , biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SHD  bằng a 10 . T nh thể t ch khối chóp S.HBCD và cosin của góc giữa hai đường thẳng SC và HD . Câu 8 (1,0 điểm). ét các số thực a, b, c thỏa m n a  b  c  3 và a 2  b2  c2  27 Tìm giá trị lớn nhất của biểu th c: P  a 4  b4  c 4  ab  a 2  b 2   ac  a 2  c 2   bc b 2  c 2  . ..................HẾT................... Thí sinh không được sử dụng tài liệu, Giám thị không giải thích gì thêm H và t n th sinh:............................................................ Số báo danh:............................................ SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2 Câu 1.1 (1,0đ) Cho hàm số y  x 1 x 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 ĐỀ THI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2017 - 2018. Nội dung đ h (C). Vi ph (C) i nh ng điểm huộ (C) mà ho ng ng 2 . : x  y 3  0 Điểm ng h nh i p u n điểm đ đ n đ đ h ng h ng a 1 )  (C ); a  1 a 1 a 1 a 3 a 1 Từ giả thiết ta có d ( M , )  2   2 2  a 2  3a  4  2 a  1 T Đ: D  \ 1 . G i điểm M (a; 0,25  a 2  5a  6  0  2 a  a  2  0 0,25 a  2  a  3 Với a  2  M (2;3) . Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại Với a  3  M (3;2) . Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại 1 7 y  x 2 2 1.2 (1,0đ) là y  2 x  7 0,25 là 0,25 1 7 V y các phương trình tiếp tuyến của (C) cần tìm là: y  2 x  7; y   x  2 2 Cho hàm số y  x4  2mx2  2m  m4 (C). Tìm m để đ th (C) c a hàm số có ba điểm cực tr t o thành một tam giác nội ti p đ nhất. ng tròn có bán kính nhỏ T p ác định D  x  0 Ta có: y '  4 x3  4mx , y '  0   2 x  m Hàm số có 3 điểm cực trị khi và ch khi m  0 T a độ các điểm cực trị là:      A 0; m4  2m , B  m ; m4  m2  2m ,C m ; m 4  m 2  2m 0,25  Tam giác ABC cân tại A . G i H là trung điểm của BC ta có H 0; m4  m2  2m   Suy ra SABC  m2 m 0,25 G i R là bán k nh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có: A A BH AH BC.AH AB 2 BC  2 R sin A  4 R sin cos  4 R .  2R R 2 2 AB AB 2 AH AB2 0,25 m4  m 1  2 1  1  2 1 1  33 1  m    m    2 2 m 2 2m 2m  2 4 2m 1 1 m Dấu bằng ảy ra khi m2  3 2m 2 Suy ra R  V y m 1 2 3 Câu 2 (1,0đ) Gi i hệ ph 3  2 y  y  2 x 1  x  3 1  x 1 nh s u:  2   2 y  1  y  4  x  4  2 ng Điều kiện Đ: 4  x  1, y  Phương trình 1  2y 0,25 3 y2   3 1  x  x 1  x  1  x  2y  y  2 ét hàm số f  t   2t 3  t là hàm đồng biến tr n Thay vào (2) ta có  1 x  3 1  x  3 do đó từ (3) ta có y  1  x 3  2x  1  x  x  4  4 ét hàm số g  x   3  2 x  1  x  x  4 là hàm li n tục và nghịch biến tr n  4;1 và có g  3  4 Do v y hệ phương trình có nghiệm duy nhất là  x; y    3;2  0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3 Cho đ gi i (H) 22 nh. G i à ph p m gi đ nh à (1,0đ) đ nh (H). Ch n ng u nhi n 2 m gi ong , nh suấ để h n đ 1 m gi 1 nh à nh đ gi (H) à 1 m gi h ng nh nào à nh đ gi (H). Đa giác lồi (H) có 22 cạnh n n có 22 đ nh. Số tam giác có 3 đ nh là ba đ nh của đa giác (H) là C322  1540. 0,25 Số phần t của kh ng gian m u  là n()  C  1185030 Số tam giác có một cạnh là cạnh của đa (H) là 22.18 396 Số tam giác có hai cạnh là cạnh của đa (H) là 22 Số tam giác kh ng có cạnh nào là cạnh của đa (H) là: 1540 - 396 - 22 = 1122 2 1540 0,25 G i A là biến cố hai tam giác đư c ch n có một tam giác có 1 cạnh là cạnh của (H) và 1 tam giác kh ng có cạnh nào là cạnh của (H) 1 Số phần t của A là n(A)  C1396 .C1122 1 n(A) C1396 .C1122 748   ác suất của biến cố A là p(A)  n() 1185030 1995 Câu 4 (1,0đ) Hai ô tô ở hai vị trí A và B cách nhau 5km, xuất phát cùng một lúc, e đi từ A đi theo hướng AA1 vuông góc với AB với v n tốc 6 km/h, e đi từ B đi đến A với v n tốc 7 km/h. ác định thời điểm 0,25 B1 A d A1 0,25 B mà khoảng cách d giữa hai xe là lớn nhất? Tại thời điểm t ( 0  t  5 ) sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai xe là d . 7 Ta có: d 2  AB12  AA12  5   BB1   AA12   5  7t   6t  2 2 Xét hàm f  t    5  7t   6t 2 với 0  t  2 0,25 2 5 7 0,25 Ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất khi t  0 V y khoảng cách giữa hai e lớn nhất tại thời điểm uất phát t  0  h  0,25 Câu 5 Tìm giá trị của m để bất phương trình sau đúng với m i x   4;6 : (1,0 đ)  x2  2 x  24  2 x  x 2  m Điều kiện ác định D   4;6 Bất phương trình   x 2  2 x   x 2  2 x  24  m 0,25 Đặt t   x 2  2 x  24 do x   4;6 nên t   0;5 Bất phương trình có dạng: t 2  t  24  m ét hàm số f  t   t 2  t  24 trên  0;5 ta có Max f  t   f  5  6 0,25 V y để bất phương trình sau đúng với m i x   4;6 khi và ch khi m  6 0,25 0;5 Câu 6.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vu ng tại A và B; (2,0 đ) AB  BC  4a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vu ng góc với mặt phẳng (ABCD). G i H là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) bằng a 10 . T nh thể t ch khối chóp S.HBCD và cosin của góc giữa hai đường thẳng SC và HD. S A D K M H E B C N Tam giác SAB cân n n  SH  AB SAB)  ( ABCD)   ( SAB)  ( ABCD)  AB   SH  ( ABCD)  SH  AB  0,25 CK  HD, K  HD mà SH  ( ABCD)  SH  CK Do đó CK  (SHD)  d (C,(SHD))  CK  a 10 T nh đư c CH  a 20  HK  a 10  CK . Do đó tam giác CH vu ng cân tại K Nên KHC  45  DHC  45  tan DHC  1 Tam giác ABH vu ng tại B nên tan BHC  2 tan BHC  tan CHD tan BHD  tan( BHC  CHD)   3 1  tan BHC.tan CHD AD à BHD  AHD  180 . Do đó tan AHD  3   3  AD  6a AH ( AD  BC ). AB Ta có S ABCD   20a 2 2 SHBCD  S ABCD  S AHD  20a 2  6a 2  14a 2 0,25 0,25 0,25 3 1 28a 3 V y VS .HBCD  SH .S HBCD  3 3 Tam giác SHC vu ng tại H n n SC  a 32 G i M  AC  HD; E  BC  HD hi đó AEBD là hình bình hành n n EB  AD  4a  EC  10a 0,25 AD AM 6a 3 3 3 3 3a 2     AM  MC  AC  .a 32  EC MC 10a 5 5 8 8 2 Trong mặt phẳng (ABCD), k CN//HD với N thuộc đường AB Do đó góc giữa SC và HD là góc giữa CN và SC AD//EC nên 3 5 10 4 a  BN  a. 3 3 208 4 10 a; CN  BN 2  BC 2  a. Ta có: SN  SH 2  HN 2  3 3 Ta có: AH  HN  HN  p dụng định l C sin trong tam giác SCN , ta có SC 2  CN 2  SN 2 5 cos SCN   . 2SC.CN 4 cos(SC , HD)  cos(CN , SC )  cos SCN V y cos( SC , HD)  cos SCN  5 . 4 Câu 7 Trong mặt phẳng O y, cho đường tròn I có hai đường kính AB và MN với  (1,0 đ) A(1;3), B(3; 1) . Tiếp tuyến của  I  tại B cắt các đường thẳng AM và AN lần lư t tại E và F . Tìm t a độ trực tâm H của MEF sao cho H nằm tr n đường thẳng d : x  y  6  0 và có hoành độ dương. 0,25