Đề thi Olympic cấp huyện môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Tứ Kỳ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với mong muốn giúp các bạn có thêm tài liệu ôn tập thật tốt trong kì thi sắp tới. TaiLieu.VN xin gửi đến các bạn ‘Đề thi Olympic cấp huyện môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Tứ Kỳ’. Vận dụng kiến thức và kỹ năng của bản thân để thử sức mình với đề thi nhé! Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kì thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi Olympic cấp huyện môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Tứ Kỳ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỨ KỲ ĐỀ THI OLYMPIC CẤP HUYỆN HỘI ĐỒNG THI OLYMPIC NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN: TOÁN - LỚP 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 05 cầu, 01 trang) Câu 1. (2,0 điểm) 1) Thực hiện phép tính  2 3  191 33   7 11  1011 9  a)  − . +  :  + . +   191 382  17 34   1011 2022  25 2  0 1 25  2023  b) 112 − 72 − 1 : −  2 4  2024  1 1 1 1 1 c)  2 − 1  2 − 1  2 − 1 ....  2 − 1  2 − 1        2  3  4   99   100  2) Tính giá trị biểu thức A = ( x − 2 y + z + 25 ) 2023 biết: 3 x = 4 y = 5 z − 3 x − 4 y và 2 x + y = z − 19 Câu 2. (2,0 điểm) 1) Tìm x , biết 3 2 2  1 1 2 3 14 15 1 a) + :  − x  = b) ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ = 2 x+1 5 5 3  2 4 6 8 30 32 2 1 2 3 100 c) x + + x+ + x+ + ... + x + 102 = x 101 101 101 101 x y z 2) Cho 3 số thực x, y,z thỏa mãn: = = . 2021 2022 2023 Chứng minh: ( x − z ) = 8 ( x − y ) ( y − z ) 3 2 Câu 3. (2,0 điểm) a) Cho a, b là các số nguyên dương, chứng minh rằng biểu thức ab ( a 2 + 2 )( b 2 + 2 ) luôn chia hết cho 9. b) Tìm cặp số tự nhiên ( x; y ) trong đó y là chữ số, biết rằng: 1 + 2 + ... + ( x − 1) yyy − x = Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A ( AB > BC ). Gọi F là trung điểm của AC , qua F kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt đường thẳng BC tại M . Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM . a) Chứng minh:  = BAC . AMC  b) Chứng minh: AM = CN lấy I sao cho BI = DE . Chứng minh: 𝐸𝐸𝐸𝐸 // 𝐷𝐷𝐷𝐷 và BD > c) Lấy điểm D trên cạnh AC , điểm E trên cạnh AB sao cho AD = AE . Trên tia BM BC + DE . 2 Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số nguyên dương a; b; c thỏa mãn a + b + c = . Chứng minh rằng giá trị biểu 2023 a b c thức sau không phải là một số nguyên: A = + + 2023 − c 2023 − a 2023 − b ---------- Hết --------- (Chú ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài.)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2022 -2023 Môn: Toán – Lớp 7 Câu ý Nội dung Điểm 1) Thực hiện phép tính  2 3  191 33   7 11  1011 9  a)  − . +  :  + . +   191 382  17 34   1011 2022  25 2  0 1 25  2023  b) 112 − 72 − 1 : −  2 4  2024  1 1 1 1 1 c)  2 − 1  2 − 1  2 − 1 ....  2 − 1  2 − 1        2  3  4   99   100   2 3  191 33   7 11  1011 9  a)  − . +  :  + . +   191 382  17 34   1011 2022  25 2   4 3  191 33   14 11  1011 9   382 − 382  . 17 + 34  :  2022 + 2022  . 25 + 2  = 0,25        1 191 33   25 1011 9  = + :  382 . 17 34   2022 . 25 + 2     1 33   1 9  = + : +   34 34   2 2   0,25 1 = 1: 5 = 5 0 1 25  2023  b) 11 − 72 − 1 : 2 −  2 4  2024  3 5 3 2 0,25 Câu 1 = 121 − 72 − : − 1 = 49 − . − 1 1) 2 2 2 5 2,0 3 3 27 điểm = 7 − − 1= 6 − = 0,25 5 5 5 1 1 1 1  1 c)  2 − 1  2 − 1  2 − 1 ....       2 − 1  2  − 1 2  3  4   100   101  Do tích có 100 thừa số âm nên tích mang dấu dương.  1  1  1   1  1  0,25  2 − 1  2 − 1  2 − 1 ....  2 − 1  2 − 1 2  3  4   100   101  1.3 2.4 3.5 100.102 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 3 4 1012 1.3.2.4....100.102 = 2 2 2 2 .3 .4 ....1012 1.2.3.4....100 3.4.5...102 1 102 51 0,25 = . = . = . 2.3.4....101 2.3.4...101 101 2 101 2) Tìm x, y, z biết: 3 x = 4 y = 5 z − 3 x − 4 y và 2 x + y = z − 19
Ta có: 3x = 4 y = 5 z − 3x − 4 y 3x 4 y 5 z − 3x − 4 y 3x + 4 y + 5 z − 3x − 4 y 5 z ⇒ = = = = 1 1 1 1+1+1 3 3x 4 y 5 z 0,25 ⇒ = = 1 1 3 x y z ⇒ = = 20 15 36 Lại có: 2 x + y = z − 19 ⇒ 2 x + y − z = 19 − Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z 2x + y − z −19 = = = = = −1 0,25 20 15 36 2.20 + 15 − 36 19 Suy ra: x = y = z = −20; −15; −36 Vậy A = 20 + 30 − 36 + 25 ) (− 2023 =1 − 1) Tìm x , biết 3 2 2  1 a) + :  − x  = 5 5 3  2 1 2 3 14 15 1 b) ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ = 2 x+1 4 6 8 30 32 2 1 2 3 100 c) x + + x+ + x+ + ... + x + 102 = x 101 101 101 101 3 2 2 1 Câu 2 a) + :  − x  =   5 5 3  2 2,0 2 2  1 3 điểm : − x = − 0,25 5 3  2 5 2 2  −1 : − x = 5 3  10 2 2 −1 − x =: 3 5 10 1) 2 − x =4 − 3 2 x= +4 0,25 3 14 x= 3 14 Vậy x = 3 1 2 3 14 15 1 b) ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ = 2 x+1 4 6 8 30 32 2 1 2 3 14 15 1 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ = 2 x+1 2.2 2.3 2.4 2.15 2.16 2 0,25 1 1.2.3...14.15 1 15 ⋅ = 2 x+1 2 2.3.4...15.16 2 1 1 1 15 . = 2 x+1 2 16 2
1 1 19 = 2 x+1 2 2 2x +1 = 19 0,25 2 x = 18 x=9 Vậy x = 9 1 2 3 100 c) x + + x+ + x+ + ... + x + 102 = x 101 101 101 101 Điều kiện: 102 x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0 0,25 1 2 3 100 Với x ≥ 0 ta có: x + +x+ +x+ + ... + x + 102 = x 101 101 101 101 1 100.101 ⇔ (100 x − 102 x ) + . = 0 101 2 ⇔ −2 x + 50 =0 0,25 ⇔ −2 x = −50 ⇔ x = (TMĐK) 25 Vậy x = 25 x y z Cho 3 số thực x, y,z thỏa mãn: = = . 2021 2022 2023 Chứng minh rằng: ( x − z ) = 8 ( x − y ) ( y − z ) 3 2 x y z Ta có: = = 2021 2022 2023 x−z x− y y−z ⇒ = = 0,25 2021 − 2023 2021 − 2022 2022 − 2023 x−z x− y y−z 2) ⇒ = = −2 −1 −1 3 2  x−z  x− y y−z ⇒  =.    −2   −1  −1 ( x − z) ( x − y) y − z 3 2 ⇒ =. ( −2 ) 3 ( −1) −1 2 0,25 ⇒ ( x − z) = 8( x − y) ( y − z) 3 2 Vậy ( x − z ) = 8 ( x − y ) ( y − z ) . 3 2 a) Cho a, b là các số nguyên dương chứng minh biểu thức ab ( a 2 + 2 )( b 2 + 2 ) luôn chia hết cho 9. Nếu a 3 thì a ( a 2 + 2 ) 3 Câu 3 0,5 2,0 Nếu a  3 thì a 2 : 3 dư 1 nên a 2 + 2 hay a ( a 2 + 2 ) 3 / điểm Suy ra a ( a 2 + 2 ) 3 với mọi số nguyên dương a 1) 0,25 Tương tự b ( b 2 + 2 ) 3 với mọi số nguyên dương b Suy ra ab ( a 2 + 2 )( b 2 + 2 ) luôn chia hết cho 9. 0,25
b) Tìm số cặp số tự nhiên ( x; y ) , y là chữ số biết: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + ( x − 1) yyy − x = Ta có : 1 + 2 + 3 + 4 + ... + ( x − 1) yyy − x = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + ( x − 1) + x =yyy 0,25 x( x + 1) Mà: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + x = và = y.111 y.3.37 yyy = 2 x( x + 1) ⇒ = y.3.37 ⇒ x( x + 1) 2.3.37. y = 2 ⇒ x( x + 1) chia hết cho 37 0,25 ⇒ x hoặc x + 1 chia hết cho 37 ( vì ( x, x + 1) = (1) 1) = ��   ≤  999 ⇒ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) ≤ 1998 ⇒ 𝑥𝑥 < 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥(𝑥𝑥+1) 2 45  (2) 2) Ta có: Từ (1) và (2) suy ra x = 37 hoặc 𝑥𝑥  + 1 = 37  0,25 +) Với x = 37 thì �� = 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 = 703  (không thỏa mãn) 37.38 2 36.37 +) Với x + 1 = thì= 37 yyy = 666 (thỏa mãn) 0,25 2 Vậy ( x; y ) = ( 36;6 ) N Câu 4 3,0 A điểm E D 0,25 F M C I B a) Chứng minh ∆MAC cân tại M 0,5 ⇒  = ° − 2  (1) AMC 180 ACB Lại có: ∆ABC cân tại A ⇒ BAC =180° − 2  (2)  ACB 0,5 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = � (kề bù với hai góc bằng nhau) � 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 Từ (1) và (2) suy ra  = BAC . AMC  0,5 Xét ∆BMA và ∆ANC có: 0,5
BM = AN ( GT ) ; b) AB = AC ( GT ) ;  = CAN (chứng minh trên) ABM  Suy ra ∆BMA = ( c.g.c ) . ∆ANC ⇒ MA = NC Vì AD = AE nên tam giác ADE cân tại A và DC = BE Ta có tam giác AED và ABC cân tại A nên 0    180 − BAC AED ABC = = 0,25 2 Suy ra DE //BC Xét tam giác BIE và EDB có: BI = DE   EBI = BED (do DE //BC ) 0,25 BE : cạnh chung. Suy ra ∆BIE = ( c.g.c ) ⇒ EI //DB ∆EDB c) Xét ∆BDE và ∆CED có: DC = BE ED là cạnh chung   BED = CDE 0,25 Suy ra ∆BED = ( c.g.c ) ⇒ BD =(1) . ∆CDE CE ∆EDB ⇒ IE = ( 2 ) Lại có: ∆BIE = DB Từ (1) và (2) suy ra CE IE BD . = = Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác EIC ta có: EI + EC > IC =IB + BC =DE + BC . 0,25 DE + BC BC + DE Hay 2 BD > DE + BC ⇒ BD > . Vậy BD > ⋅ 2 2 Cho các số nguyên dương a; b; c thỏa mãn a + b + c = . Chứng 2023 minh rằng giá trị biểu thức sau không phải là một số nguyên: a b c Câu 5 A= + + 2023 − c 2023 − a 2023 − b 1,0 2023 − c = a + b điểm  Theo bài ra ta có a + b + c = 2023 ⇒ 2023 − a = b + c 0,25 2023 − b = a + c 
a b c a b c A= + + = + + 2023 − c 2023 − a 2023 − b a + b b + c a + c Vì a,b,c là các số nguyên dương nên a b c a b c a+b+c 0,25 + + > + + = = 1 a+b b+c a+c a+b+c b+c+a a+c+b a+b+c a a a+m Chứng minh: < 1 ⇒ < 0,25 b b b+m a b c Ta có ; ; < 1 nên a+b b+c a+c a b c a+c b+a c+b 2. ( a + b + c ) 0,25 + + < + + = = 2 a+b b+c a+c a+b+c b+c+a a+c+b a+b+c Vì 1 < A < 2 nên A không phải là một số nguyên. *Lưu ý: Học sinh làm cách khác nếu đúng yêu cầu của bài vẫn cho điểm tối đa.