Đề thi Toán cao cấp - Đề 5

Chia sẻ: Nguyen Thuong | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

226
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn và quý thầy cô hãy tham khảo đề thi "Toán cao cấp - Đề 5" sau đây nhằm giúp các em củng cố kiến thức của mình và thầy cô có thêm kinh nghiệm trong việc ra đề thi. Chúc các em thành công và đạt điểm cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi Toán cao cấp - Đề 5

ĐỀ TÀI 5 15 Câu 1: Cho hàm z = x2 – 2xy + 1. Tìm cực trị Giải: Ta có: z = x2 – 2xy + 1 = f(x,y) fx = 2x − 2 y = 0 x− y =0 x=0 f y = −2 x = 0 x=0 y=0 Vậy điểm dừng là (0,0). Ta có: A = f x = 2 mà ∆ = AC − B 2 2 B = f xy = −2 = 0 − (−2) 2 C = f y 2 = 0 = −4 < 0 Tại (0,0) không có cực trị 24 Câu 2: Cho hàm z = x6 – y5 – cos2x – 32y. Tìm cực trị. Giải: Ta có: z = x6 – y5 – cos2x – 32y = f(x,y) f x = 6 x 5 + 2sin x cos x = 0 3 x 5 = − sin x cos x f y = −5 y 4 − 32 = 0 −5 y 4 = 32 x = 0 (vì sinx và cosx đối nhau) 32 y4 = − (vô nghiệm) 5 Vậy hàm z không có điểm dừng 33 Câu 3: Cho hàm z = x2 + 4xy + 10y2 +2x + 16y. Tìm cực trị Giải: Ta có: z = x2 + 4xy + 10y2 +2x + 16y = f(x,y) fx = 2x + 4 y + 2 = 0 x + 2y +1 = 0 x =1 f y = 4 x + 20 y + 16 = 0 x + 5y + 4 = 0 y = −1 Vậy điểm dừng là (1,1). Ta có: A = f x = 2 mà ∆ = AC − B 2 2 B = f xy = 4 = 40 − 16 C = f y 2 = 20 = 24 > 0 mà A = 2 > 0 (1,1) là điểm cực tiểu.
59 Câu 4: Xác định cận của tích phân: I = f ( x, y dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi y D các đường: D: x + y 1, x – y 1, x 0. Giải: y = x1 Ta có I = � �f ( x, y ) dxdy (*) D 1 Ta có: x + y 1 � y = 1 − x x – y 1 � y = x − 1 O 1 2 x mà x 0 1 1 1− x y = 1x Từ (*) � I = � dx �f ( x, y ) dy 0 x −1 1 x3 68 Câu 5: Đổi thứ tự tính tích phân I = dx f ( x, y )dy . 0 0 Giải: y x = 1 Ta có: 0 x 1 0 y 1 � �3 D 0 y x3 y x 1 1 ( )dy 1 1 1 1 �I =� dy � dx = �1− y 3 1 0 3 y 0 O x 1 � 3 � 3 1 4 = �y − y 3 �= 1 − = � 4 � 0 4 4 1 2 2x D2 78 Câu 6: Thay đổi thứ tự tính tích phân: I = �� dx f ( x, y )dy . y = x 1 x Giải: y D1 = [ 1, y ] x [ 1, 2] 2 �y � D 2 = � , 2 �x [ 2, 4] �2 � D1 1 2 y 4 2 I = ��dy f ( x, y )dx + � dy � f ( x, y )dx 1 4 4 2 4 43 1 4 4 1 1 2 y 2 2 4 43 O x J x = 2 K x = 1 y = 2x
2 2 2 �y 2 � 4 � �1 � 1 J =� ( x | dy = � ( y − 1) dy = � − y � = � y 1 ) � − 2 �− � − 1�= 1 1 �2 � 1 �2 � �2 � 2 4 4 4 � 2 � � y� � y 2 � � 16 � � 4 � K = � �x | y �dy = � �2− �dy = �2 y − �= � 8 − �− �4 − �= 1 2� 2 � 2� 2� � 4 � 2 � 4 �� 4� 1 3 I = J + K = +1 = 2 2 1 y2 87 Câu 7: Tính tích phân I = �� dy 3 y 3e xy dx 0 0 Giải: 1 1 1 y2 1 y3 � 3 y e dy − � 2 2 3 y 2 dy dy 3 y 3e xy dx = 3 y � 2 xy y I = �� e � �0 �| dy = 0 0 0 1 0 4 2 43 1 4 2 43 0 J K 1 dt J = 3 y e dy đặt t = y 3 � 3 2 y = y 2 dy 0 3 1 J = et dt = et |10 = e − 1 (1) 0 1 K = 3 y 2 dy = y 3 |10 = 1 (2) 0 (1)(2) I = e −1−1 = e − 2 cos y π 105 Câu 8: Tính I = � � dxdy D là miền giới hạn bởi x = 1, x = 2, y = 0, y = D x 2 Giải: y x = 2 D π 2 �2 � cos y � cos y dy � π I =�� dxdy = �� dx y= x �0 x � 2 D 1 � � 2 π 2 �sin x �2 dx = �� dx = � O x 1� x � 0 1 x x = 1 = ln x |12 = ln 2 115 Câu 9: Tính tích phân: I = � �2 ( x + y ) dxdy D là tam giác OAB với O(0,0); A(1,0); D B(0,1). y Giải: D 2( x + y) 1 1 I=� � 2 ( x + y ) dxdy = � � dxdy D 0 0 2 B(0,1) O A(1,0) x
1 1 1 �x 2 � �1 � = �� + xy �dy == � � + y� dy 0� 2 �0 0� 2 � 1 1 y2 1 1 1 = y |0 + |0 == + = 1 2 2 2 2 dxdy 125 Câu 10: Tính tích phân: I = � � trong đó D là hình tròn x 2 + y 2 9 D x +y 2 2 y Giải: Ta có 0 φ 2π 3 O x vì x 2 + y 2 9 � 0 r 3 x = r cos φ 2π 3 rdr 2π Ta đặt �I = � � d φ = � r |30 dφ = 3φ |02π = 6π y = r sin φ 0 0 r 2 0 Câu 11: Gọi S là diện tích miền giới hạn bởi các đường y = x và y = x . Tính S. Giải: Ta có y y= x 0 x 1 1 x y x �x � 1 Vậy I = � � dxdy = � �� dy �dx D 0 �x � 1 1 1 1 =� x ( y |x dx = � x − x dx = �xdx − � xdx ) O 1 x y=x 0 0 0 0 2 3 2 1 x2 1 2 1 1 = x |0 − |0 = − = 3 2 3 2 6 149 Câu 12: Xét tích phân bội ba � � �f ( x, y, z )dxdydz trong đó Ω là miền trong không Ω gian được giới hạn bởi các mặt x = 0, y = 0, x + y = 2, z = 0 và z = 2, tìm cận Ω . Giải: y = 2x y D Từ hình vẽ ta có cận Ω = [0;2]x[0;2x]x[0;2] ( ) dx 2 2− x 2 2 2− x 2 2− x 2 I=� dx �dy � f ( x, y, z )dz = ��2dydx = �2 y 0 0 0 0 0 0 0 O 2 x
2 = ( 4 − 2 x ) dx = 4 0 159 Câu 13: Tính tích phân bội ba � � �xye z dxdydz , trong đó Ω là miền: Ω 0 x 1;0 y 2;0 z ln 3 . Giải: 1 2 ln 3 1 2 1 2 I=� ��xye dzdydx = � �xye | z z ln 3 0 dydx = � ( �xye − xy dydx ln 3 ) 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 �xy 2 eln 3 xy 2 � �4 xeln 3 4 x � 1 =� � 2 − �dx = � 2 � � 2 − � dx = � 2 � 0 2 xeln 3 − 2 x dx ( ) 0� 0 0� = ( x e − x ) |0 = e − 1 = 2 2 ln 3 2 1 ln 3 170 Câu 14: Tính I = � � �xy cos zdxdydz , Ω là hình hộp 0 x 1;0 y 2;0 z π Ω 2 Giải: π 1 2 2 1 2 π 1 2 I=� ��xy cos zdzdydx = � �xy sin z | dydx = � �xydydx 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 �xy � = � � �dx = � 2 xdx = x 2 |10 = 1 0� 2 �0 0 180 Câu 15: Cho Ω là phần hình trụ: x 2 + y 2 1;1 z 4 .Đặt I = � � �f ( x, y , z )dxdydz Ω Chuyển sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân. Giải: Ta có x 2 + y 2 ��1 0 < r �1 �x = r cos ϕ � 0
dl = 1 + ( y x ) 2 dx = 1 + 1dx = 2dx 1 1 1 ( x − 1 + x ) 2dx = 2 � I =� (2 x − 1)dx = 2 � x − x� � �= 0 2 0 0 0 211 Câu 17: Tính tích phân đường I = ydl , trong đó C có phương trình x + y = 1;0 x 1 C . Giải: �x + y = 1 �y = 1 − x y ' = −1 Ta có: � �� x �0 x 1 � 0 x 1 0 x 1 dl = 1 + ( y x ) 2 dx = 1 + 1dx = 2dx 1 1 1 � x2 � 2 I =� ( 1 − x ) 2dx = 2 � ( 1 − x ) dx = 2 �x − �= 0 0 � 2� 0 2 Câu 18: Tính tích phân đường I = ( x + y )dl , trong đó C là đường biên của tam giác với C các đỉnh O(0,0); A(1,0) và B(0,1). Giải: Ta có: �� = + + y C OA AB BO 1 1 = ( x + 0 ) dx = (1) �� 2 B(0,1) OA 0 Trên AB ta có phương trình đường thẳng y = 1x � yx = −1 � ds = 1 + 1dx = 2dx O A(1,0) x 1 = ( x + 1 − x ) 2dx = 2 (2) �� AB 0 1 1 y2 1 ��= ( 0 + y ) dy = = (3) BO 0 2 0 2 1 1 (1)(2)(3) � = + 2 + = 2 + 1 C 2 2 π π 231 Câu 19: Tìm độ dài cung tròn x = a cos t , y = a sin t với t 6 3 Giải: x = a cos t xt = −a sin t π π Ta có: và t y = a sin t yt = a cos t 6 3 Ta có: ds = ( xt ) 2 + ( yt ) 2 dt = a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 tdt = adt
π π 3 π L=� ds = � adt = at π3 = a π 6 6 6 Câu 20: Tính I = ( y 2 − 2 xy )dx + (2 xy − x 2 )dy lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0) đến OA A(1,2). Giải: Ta có phương trình đường thẳng OA: y = 2x => dy = 2dx 1 1 ( ) ( ) 1 I =�4 x 2 − 4 x 2 dx + 4 x 2 − x 2 2dx = � 6 x 2 dx = 2 x 3 = 2 0 0 0 257 Câu 21: Cho C là biên của hình chữ nhật D = [1;1] x [0;2]. Tính I = ￑ y sin xdx − cos xdy C Giải: Áp dụng công thức Green: P = y sin x Py = sin x Ta có � � Q = − cos x Qx = sin x I = ￑� Pdx + Qdy = � �( − sin x + sin x ) dxdy = 0 C D 267 Câu 22: Cho C là biên của hình chữ nhật 1 x 3;0 y 3 . Tính tích phân đường loại 2. I= ( x + 2 y ) dx + ( x − 2 y ) dy Giải: Áp dụng công thức Green: P = x + 2y Py = 2 Ta có � � Q = x − 2y Qx = 1 3 3 3 I = ￑� Pdx + Qdy = � �( −2 + 1) dxdy = − �� dx = − ( 3.2 ) = −6 dx dy = −3� C D 1 0 1 (Từ câu 23 đến câu 28 là nội dung của Tích phân Mặt, bỏ) 385 Câu 29: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 2 xydx + dy = 0 Giải: Ta có 2 xydx + dy = 0 (*) dy Khi y 0 chia 2 vế cho y. Từ ( *) � 2 xdx + =0 y
dy � 2� xdx + � = 0 � x 2 + ln | y |= 0 (nghiệm tổng quát) y y y2 397 Câu 30: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: y = − x x Giải: y y2 Ta có y = − (*) x x y Đặt u = � y = u. x � y = u x + u x Từ (*) � u x + u = u − u 2 du du dx � x = −u 2 � 2 = − dx u x dx �� u −2 du = − � � −u −1 = − ln | x | x 1 x � = ln | x |� = ln | x | +C (nghiệm tổng quát) u y 413 Câu 31: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: y ( 1 + tgx ) − ( 1 + tg 2 x ) y = 0 Giải: Ta có: y ( 1 + tgx ) − ( 1 + tg x ) y = 0 (*) 2 π Khi tgx �−1۹− x , chia 2 vế cho 1 + tgx 4 �1 + tg x � (*) � y − � 2 dy � =� 1 + tg 2 x � dy = ( 1 + tg 2 x dx ) �y � �� y �1 + tgx � dx �1 + tgx � y 1 + tgx dy �� =� ( 1 + tg 2 x dx ) y 1 + tgx (**) { 1 44 2 4 43 ( 1) ( 2) (1) = ln|y| du (2) Đặt u = 1 + tgx � du = ( 1 + tg x ) dx � 2 = ln | u |= ln |1 + tgx | u Từ (**), ta có được nghiệm tổng quát: � ln | y |= ln | 1 + tgx | +C � y = ( 1 + tgx ) .C 425 Câu 32: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: xy + 2 y = 3x Giải: Ta có: xy + 2 y = 3x (*) y Đặt u = � y = u. x � y = u x + u x
2y Từ (*) khi x 0 chia 2 vế cho x ta được y = 3 − � u x + u = 3 − 2u x du du dx � x = 3( 1 − u ) � =3 dx 1− u x du dx � � = 3� � − ln | 1 − u |= 3.ln | x | 1− u x y � ln | 1 − |= −3.ln | x | +C (nghiệm tổng quát) x 443 Câu 33: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 4 y − 16 y = 0 Giải: Ta có: 4 y − 16 y = 0 (*) k1 = 2 Phương trình đặc trưng: 4k 2 − 16 = 0 k 2 = −2 Phương trình vi phân (*) có 2 nghiệm phân biệt y1 = e2 x ; y2 = e −2 x Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: y = C1.e 2 x + C2 .e −2 x Câu 34: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: y − 8 y + 12 y = e 2 x ( x 2 − 1) Giải: Ta có: y − 8 y + 12 y = e ( x − 1) (*) 2x 2 Xét phương trình thuần nhất: y − 8 y + 12 y = 0 (**) k1 = 6 Ta có phương trình đặc trưng: k 2 − 8k + 12 = 0 k2 = 2 Phương trình (**) có 2 nghiệm riêng: y1 = e6 x ; y1 = e 2 x Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (*) là y = C1 ( x ) . y1 + C2 ( x ) . y2 (***) C1 . y1 + C2 . y2 = 0 Trong đó C1 ( x ) và C2 ( x ) là nghiệm của hệ phương trình ( ) C1 . y1 + C2 . y2 = e 2 x x 2 − 1 C1 .e6 x + C2 .e 2 x = 0 C1 .e 4 x + C2 = 0 Đơn giản e , ta được :2x ( 6C1 .e6 x + 2C2 .e 2 x = e 2 x x 2 − 1 ) 6C1 .e 4 x + 2C2 = x 2 − 1 Áp dụng định thức Wronsky, ta được 0 1 C1 = ( x −1 2 2 ) ( ) = − x 2 − 1 � C1 = − (x 2 ) − 1 dx e4 x 0 C2 = 6e x − 1 4x 2 ( ) = e 4 x x 2 − 1 � C2 = e 4 x x 2 − 1 dx ( )
Thế C1 , C2 vào phương trình (***), ta được: y = −e .� 6x ( x2 − 1) dx + e2 x .� e 4 x ( x 2 − 1) dx =0 Câu 35: Giải phương trình ( 3 x 2 + y 2 ) y + ( y 2 − x 2 ) xy = 0 Giải: Ta có: ( 3 x + y ) y + ( y − x ) xy = 0 (*) 2 2 2 2 y Khi x 0 , ta chia 2 vế cho x, từ (*) � ( y 2 − x 2 ) y = − ( 3x 2 + y 2 ) (**) x y Đặt u = � y = u. x � y = u x + u x ( ) ( Từ (**) � u x − x ( u x + u ) = − 3x + u x u ; đơn giản x2, và nhân phân phối : 2 2 2 2 2 2 ) � ( u − 1) u x + ( u − 1) u = − ( 3 + u ) u 2 2 2 ( ) ( ) ( � u 2 − 1 u x = − 3 + u 2 − u 2 − 1 u � u 2 − 1 u x = −2u u 2 + 1 ) ( ) ( ) u −12 2dx u du 2dx � du = − � 2 du − =− ( u u2 + 1 ) x u +1 ( u u +1 2 x ) ( ) u du dx � � (u +1 du − � 2 2 u u +1 ) = −2 � ( x (***) ) 1 44 2 4 43 1 4 2 43 M N Tính M: 1 dt 1 1 Đặt t = u 2 � dt = 2udu � M = = ln | t + 1|= ln | u 2 + 1| (1) 2 t +1 2 2 Tính N: du udu N = � u ( u 2 + 1) � = 2 2 u ( u + 1) Đặt t = u 2 � dt = 2udu 1 dt 1 ( t + 1) − 1 2�t ( t + 1) 2 � � = dt t ( t + 1) 1 � dt dt � 1 1 1 1 �� − � �= ln | t | − ln | t + 1 |= ln | u | − ln | u + 1 | (2) 2 2 � 2� t t +1� 2 2 2 2 Thay (1) và (2) vào (***), có: 1 1 1 1 ln | u 2 + 1 | − ln | u 2 | + ln | u 2 + 1 |= ln | u 2 + 1 | − ln | u 2 | 2 2 2 2 y2 1 y2 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là : ln | 2 + 1|= ln | 2 | +C x 2 x Câu 36: Giải phương trình 1 + x y + y + 1 = 0 2 2 ( ) Giải: Ta có: ( 1 + x ) y + y + 1 = 0 (*), đây là dạng phương trình khuyết y: y = f ( x, y ) 2 2 Nên ta đặt y = p � y = p
Từ (*) => ( 1 + x 2 )p +p 2 +1 = 0 � p = − ( 1 + p ) � dp = − ( 1 + p ) 2 2 1 + x2 dx 1 + x2 dp dx � =− � arctgp = − arctgx + C � p = tg ( − arctgx + C ) 1+ p 2 1 + x2 p ( x ) dx � y = � Mà y = p � y = � tg ( −acrtgx + C )dx Vậy nghiệm tổng quát của phương tình (*) là: y = tg ( −arctgx + C ) dx HẾT