Điều kiện tối ưu dạng xấp xỉ cho bài toán tối ưu đa trị

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Từ các kết quả về điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị dựa trên khái niệm dưới vi phân yếu của hàm véc tơ, bài viết này trình bày nghiên cứu dưới vi phân xấp xỉ yếu cho hàm đa trị. Khái niệm - dưới vi phân yếu cho hàm đa trị được đề nghị. Điều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John và KuhnTucker cho bài toán được thiết lập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Điều kiện tối ưu dạng xấp xỉ cho bài toán tối ưu đa trị

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 71 (05/2020) No. 71 (05/2020) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: http://sj.sgu.edu.vn/ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU DẠNG XẤP XỈ CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA TRỊ Approximate optimality conditions for set-valued optimization problems ThS. Trần Hòa Hiệp Trường Đại học Sài Gòn TÓM TẮT Từ các kết quả về điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị dựa trên khái niệm dưới vi phân yếu của hàm véc tơ, bài báo này trình bày nghiên cứu dưới vi phân xấp xỉ yếu cho hàm đa trị. Khái niệm - dưới vi phân yếu cho hàm đa trị được đề nghị. Điều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John và Kuhn- Tucker cho bài toán được thiết lập. Từ khoá: tối ưu đa trị, điều kiện tối ưu dạng xấp xỉ, dưới vi phân yếu dạng xấp xỉ ABSTRACT Motivated by optimality conditions for set-valued optimization problems based on the notion of weak- subdifferential for vector functions, this paper deals with approximate weak-subdifferentials for set- valued functions. The notion of - weak subdifferential for set-valued functions is proposed. The approximate optimality conditions in Fritz-John and Kuhn-Tucker types for the problem are investigated. Keywords: approximate weak-subdifferential, approximate optimality conditions, set-valued optimization 1. Phần giới thiệu bài báo về tối ưu đa trị của tác giả Lin [2]. Trong tối ưu véc tơ, các khái niệm về Cho X ,Y và Z là các không gian véctơ nghiệm tối tiểu, tối tiểu yếu, tối tiểu mạnh, tôpô, C và D là những nón lồi, nhọn, có tối tiểu chính thường, đã được định nghĩa phần trong khác rỗng tương ứng trong trên một tập con của không gian tuyến tính Y và Z . Với các không gian X và Y nói có thứ tự. Trong những năm qua, dựa trên trên, một ánh xạ đa trị F từ không gian các tính chất về quan hệ trên tập hợp, tối tuyến tính X vào không gian tuyến tính ưu véc tơ, tối ưu đa trị được phát triển một Y , được gọi là C - lồi nếu cách độc lập. Có nhiều bài báo gần đây F(x ) (1 )F(y) F[ x (1 )y ] C , x, y X, [0,1]. giới thiệu các kết quả về điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu đa trị [1], [5]. Về Cho F : X 2Y và G : X 2Z tương các kết quả mới liên quan tối ưu đa trị, tài ứng là các ánh xạ đa trị C - lồi và D - lồi liệu của A. A. Khan, C. Tammer và C. (xem Định nghĩa 2.1). Với E là tập lồi Zălinescu [6] đang được nhiều nhà nghiên khác rỗng của X , bài toán được Lai-Jiu cứu quan tâm. Lin [2] viết lại như sau Các kết quả của chúng tôi xuất phát từ (P) Minimize {F (x ) | x E G 1( D)} Email: thhiep@sgu.edu.vn 109
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) Mô hình của bài toán nêu trên được phần sinh bởi nón lồi nhọn và có phần hiểu như sau: với E là tập con khác rỗng trong khác rỗng. của X , cần tìm điểm x 0 E G 1( D ) Mục đích của chúng tôi trong bài báo này là thiết lập các điều kiện tối ưu dạng sao cho với y0 F (x 0 ) là điểm tối tiểu yếu Fritz-John và Kuhn Tucker cho nghiệm của tập F[E G 1( D)] . Điểm x 0 nếu xấp xỉ yếu của bài toán tối ưu đa trị trên tìm được như thế, được gọi là nghiệm yếu các không gian Banach. Cụ thể: với số của bài toán (P). Trong bài báo Lin [2], tác dương cho trước, chúng tôi tìm giả đã đạt được một số kết quả quan trọng x0 E G 1( D) sao cho u F (x 0 ) và như thiết lập điều kiện tối ưu dạng Fritz- u b là điểm cực tiểu yếu của tập John và dạng Kuhn-Tucker cho bài toán tối F[E G 1( D)], với b intC nào đó ưu đa trị. Không những thế một phiên bản mở rộng về dưới vi phân của tổng hai hàm trong Y . Trong trường hợp này x 0 được lồi đơn trị đã được tác giả bổ sung cho gọi là -nghiệm yếu của bài toán (P). trường hợp các hàm đa trị. Lấy cảm hứng Trong phần sau đây, chúng tôi dành để từ các kết quả đó, trong bài báo này, bước nhắc lại các kiến thức hoặc kết quả cơ bản; đầu chúng tôi quan tâm thiết lập về điều tính chất về dưới vi phân yếu của tổng hai kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John và hàm đa trị và điều kiện tối ưu cho nghiệm Kuhn-Tucker cho dạng bài toán tối ưu đa yếu của bài toán tối ưu đa trị được nhắc lại trị (P). Cần biết rằng, dạng nghiệm xấp xỉ trong phần này. Tiếp đến chúng tôi cũng đề cho bài toán tối ưu véc tơ được giới thiệu nghị khái niệm về -dưới vi phân yếu cho đầu tiên bởi Loridan [7] xét trên các không hàm đa trị. Phần cuối được dành để trình gian có thứ tự bộ phận. Đến nay, đã có bày các kết quả đóng góp của chúng tôi về nhiều định nghĩa khác nhau về nghiệm xấp điều kiện tối ưu xấp xỉ cho bài toán tối ưu xỉ cho tối ưu véc tơ và tối ưu đa trị [8], và đa trị. Các ví dụ cũng được giới thiệu trong nhiều kết quả liên quan đến nghiệm xấp xỉ chương này. được đề cập trong các công trình [9], [13]. 2. Kiến thức cơ bản Qua khảo sát kết quả của Lai-Jiu Lin Trong bài báo này, X ,Y và Z dùng để về việc thiết lập các điều kiện tối ưu dạng chỉ các không gian Banach tương ứng có Fritz-John và dạng Kuhn-Tucker cho bài các véc tơ không: X , Y và Z , và ở một toán tối ưu đa trị, chúng tôi nhận thấy rằng các kết quả đó còn có thể mở rộng cho vài nội dung khi không gây sự nhầm lẫn, trường hợp nghiệm xấp xỉ. Trong những chúng tôi ghi thay cho các trường hợp năm qua đã có nhiều tác giả giới thiệu các vừa nêu. định nghĩa khác nhau về nghiệm xấp xỉ cho Cho trước các ánh xạ đa trị được ký tối ưu véc tơ và tối ưu đa trị [7], [8], [11], hiệu bởi: [12], [13], [18], [19], [20]. Với nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng định nghĩa nghiệm F :X 2Y và G : X 2Z xấp xỉ cho tối ưu đa trị được giới thiệu Các miền hữu hiệu của F và G trong tài liệu của Rong và Wu [19], xét tương ứng được ký hiệu và định nghĩa là: trên không gian Banach có thứ tự riêng 110
TRẦN HÒA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN D(F ) : {x X | F(x ) }, D(G) {x X | G(x ) }. tục từ D vào C được ký hiệu bởi Với A X, ta ký hiệu F (A) F (x ), (Z,Y ) : {w (Z,Y ) | w(D) C }. x A Trong bài báo này C và D tương ứng và với V Z , ta ký hiệu là các nón lồi nhọn, có phần trong khác G 1(V ) {x X | G(x ) V }. rỗng tương ứng của Y và Z . Tập hợp C Y của Y được gọi là Định nghĩa 2.1. Cho ánh xạ đa trị một nón nếu y C với mọi y C và F :X 2Y , A là tập lồi của X và C là với mọi 0. Nón C được gọi là lồi nếu nón lồi, nhọn, có phần trong khác rỗng của có thêm tích chất tập lồi, tức là Y . Ánh xạ đa trị F được gọi là C - lồi x y C với mọi x, y C và với mọi trên A nếu với mỗi x1, x 2 A và mọi , 0 . Nón C đuợc gọi là nón nhọn [0,1], ta có nếu C ( C) { Y }. F(x1) (1 )F(x2 ) F[ x1 (1 )x2 ] C . Ký hiệu X *,Y * và Z * là các không Ánh xạ F được gọi là C - lồi chặt trên A gian đối ngẫu tương ứng của X ,Y và Z . nếu với mỗi x1, x 2 A, x1 x 2, và Với x X và x * X *, ký hiệu là x *, x mọi (0,1), ta có được dùng để chỉ giá trị thực của ánh xạ tuyến tính x * tại x . Tương tự ta cũng F (x1 ) (1 )F (x 2 ) F[ x1 (1 )x 2 ] intC . dùng y *, y và z *, z . Trên Y với nón C nêu trên, ta định Chúng tôi sử dụng thêm ký hiệu sau: nghĩa một quan hệ thứ tự theo nón như sau: y*, F(x ) : { y*, y | y F(x ), y* Y *}. Với y1, y2 Y , Nón đối cực của tập C Y , ký hiệu y1 C y2 nếu y2 y1 C \ { }, bởi C , được định nghĩa là: y1 y2 nếu y2 y1 C, C C : {y* Y * | y*, y 0, y C }. y1 C y2 nếu y2 y1 intC . Cho A, B X, , có các phép Khi đó, với y0 Y , chúng tôi sử dụng toán thêm cách viết: A B : {x y |x A, y B}, F (x ) C y0 nếu y C y0, y F (x ), A: { x |x A}, F (x ) C y0 nếu y C y0, y F (x ), A A, Chúng ta qui ước rằng F (x ) y0 nếu y y0, y F (x ). , C C Định nghĩa 2.2. (Xem [14, Definition với các không gian Z và Y nêu trên, 3.1.1], [15, Definition 1.7]) Cho tập ký hiệu (Z ,Y ) để chỉ tập tất các các toán Y. tử tuyến tính liên tục đi từ Z vào Y . Khi i) Điểm y0 được gọi là điểm tối đó với C Y và D Z , tập con của (Z ,Y ) chỉ gồm các toán tử tuyến tính liên tiểu của nếu không tồn tại điểm y 111
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) sao cho y C y0 . Điều này tương đương với được ký hiệu là WMin , tập hợp các điểm -tối tiểu yếu của được ký hiệu là [y0 (C \ { Y })] - WMin . ii) Điểm y0 được gọi là điểm tối (ii) WMin -WMin . tiểu yếu của nếu không tồn tại điểm (iii) y0 -WMin y0 b WMin . y sao cho y C y0 . Điều này tương Sau đây chúng ta sẽ định nghĩa đương với [y0 intC ] . nghiệm của bài toán tối ưu đa trị trên một Chú ý rằng, gần đây nhiều tác giả đã tập hợp. mở rộng định nghĩa nêu trên với nón C là Định nghĩa 2.4. Cho E X khác rỗng nón động, tức là nón phụ thuộc vào điểm và cho ánh xạ đa trị F : E X 2Y . y 0 đang xét. Trong bài báo này, khái niệm Bài toán tìm x 0 E sao cho y0 F (x 0 ) điểm tối tiểu và tối tiểu yếu định nghĩa với và y 0 là điểm tối tiểu yếu của tập F (E ) nón C là nón cố định cho trước. Trong nghiên cứu của Lin [2], các kết quả và điều được gọi là bài toán tối ưu đa trị được ký kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị hiệu bởi dạng Fritz-John và Kuhn-Tucker đã được WMinimize F (x ). giới thiệu. Sau đây, chúng tôi mở rộng các x E kết quả cho các trường hợp nghiệm xấp xỉ Khi đó, điểm x 0 được gọi là nghiệm tối tiểu yếu [11, 13, 18]. yếu của bài toán. Chú ý 2.1. Trong các phần dưới đây, Với 0 cho trước, bài toán tìm tìm ta ký hiệu b là véc tơ cho trước thuộc x0 E sao cho y0 F (x 0 ) và y0 b là int(C ) trong không gian Y . điểm tối tiểu yếu của tập F (E ) được ký Định nghĩa 2.3. (Xem [14, Definition hiệu là 3.1.1]) Cho tập Y và số dương cho trước 0 -WMinimize F (x ). x E i) Điểm y0 được gọi là điểm - Khi đó, điểm x 0 được gọi là - nghiệm tối tiểu của nếu không tồn tại điểm y sao cho y C y0 b, b là véc tơ nào yếu của bài toán. Trong bài báo này, xét các ánh xạ đa đó thuộc intC . Điều này tương đương với trị F và G đã nói ở trên cùng với C và D [y0 b (C \ { Y })] là các nón lồi, nhọn, có phần trong khác ii) Điểm y0 được gọi là điểm - rỗng tương ứng trong các không gian Y và Z. tối tiểu yếu của nếu không tồn tại điểm Giả sử E X là tập lồi khác rỗng. y sao cho y C y0 b. Điều này Cho trước 0. Xét bài toán tương đương với [y0 b intC ] . (P) -WMinimize F (x ) Chú ý 2.2. s.t. x E G 1( D). (i) Tập hợp các điểm tối tiểu yếu của 112
TRẦN HÒA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Điểm x 0 E G 1( D) được gọi là ở đây 0 là ánh xạ không của (X,Y ). - nghiệm yếu của bài toán (P) nếu với Sau đây chúng tôi mở rộng khái niệm u F (x 0 ) thì u b là điểm tối tiểu yếu dưới gradient yếu cho hàm đa trị F ứng với y 0 tại x 0 thành khái niệm - dưới của tập F[E G 1( D)]. gradient của F ứng với y 0 tại x 0 . Sự mở Chúng tôi cần đến khái niệm dưới rộng được lấy cảm hứng từ khái niệm gradient cho hàm đa trị. Khái niệm này đầu - dưới vi phân của hàm lồi đơn trị được tiên được Tanio giới thiệu cho hàm véc tơ giới thiệu trong nghiên cứu của Hiriart- trong [21] và được Lin giới thiệu lại cho Urruty và Lemarechal [16]. hàm đa trị trong [2] mà chúng tôi trích dịch dưới đây: Định nghĩa 2.6. Cho A X, F : A 2Y . Định nghĩa 2.5. (xem [2, Definition Với 0,x 0 A và y0 F (x 0 ). Một toán 3]) Cho A X là tập con khác rỗng và tử tuyến tính liên tục (X,Y ) được Y ánh xạ đa trị F : A 2 . Cho x 0 A và gọi là - dưới gradient yếu ứng với y 0 của y0 F (x 0 ). Một toán tử tuyến tính liên tục hàm đa trị F tại x 0 nếu (X,Y ) được gọi là dưới gradient yếu y0 (x 0 ) b WMin {F (x ) (x )}, b int(C ), của ánh F ứng với y 0 tại x 0 nếu x A hay ta viết y0 (x 0 ) WMin {F (x ) (x )}. x A y0 (x 0 ) -WMin {F (x ) (x )}. x A Tập hợp tất cả các dưới gradient yếu Tập tất cả các - dưới gradient yếu của ánh xạ F ứng với y 0 tại x 0 được gọi của hàm đa trị F ứng với y 0 tại x 0 được là dưới vi phân yếu của của ánh xạ F ứng gọi là - dưới vi phân yếu của hàm đa trị với y 0 tại x 0 và được ký hiệu là F ứng với y 0 tại x 0 và được ký hiệu là F (x 0 ; y0 ). Ta viết: w F (x 0 ; y0 ). F (x 0 ; y0 ) : (X ,Y ) | y0 (x 0 ) WMin {F (x ) (x )} , x A Nếu w F (x 0 ; y0 ). với mọi y0 F (x 0 ), hay ánh xạ đa trị F được gọi là - dưới khả vi (X ,Y ) yếu tại x 0 . F (x 0 ; y0 ) y0 (x 0 ) WMin {F (x ) (x )} . x A Nhận xét 2.2. Nếu F (x 0 ; y0 ) với mọi y0 F (x 0 ), (i) Nếu 0, tập hợp w F (x 0 ; y0 ) thì ánh xạ đa trị F được gọi là dưới khả vi suy biến thành F (x 0 ; y0 ). yếu tại x 0 . (ii) Nếu x 0 A và y0 F (x 0 ), thì Nhận xét 2.1. Từ định nghĩa nêu trên, ta thấy nếu x 0 A và y0 F (x 0 ) thì y0 b WMin x A F (x ) y0 -WMin x A F (x ) 0 w F (x 0; y0 ). y0 WMin F (x ) 0 F (x 0 ; y0 ), Định nghĩa 2.7. Cho ánh xạ đa trị x A G :X 2Z là D - lồi, được gọi là khả dưới 113
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) vi yếu chính qui tại x 0 nếu với mỗi Z là các không gian Banach. Cho C và z G(x 0 ) và với mỗi (Z ,Y ) chúng D là các nón lồi, nhọn, và có phần trong khác rỗng tương ứng trong Y và Z . Cho ta có các ánh xạ đa trị F : E 2Y và ( G )(x 0 ; (z )) G(x 0 ; z ). G :E 2Z tương ứng là C - lồi và D - lồi. Định nghĩa 2.8. Ta nói ánh xạ đa trị Giả sử thêm rằng E : domF domG F :A X 2Y là liên thông tại điểm là tập lồi trong X . Nếu hệ x0 A nếu tồn tại một ánh xạ đơn trị liên F (x ) C Y (1) tục H : A Y sao cho H (x ) F (x ) với G (x ) D Z mọi x thuộc lân cận của x 0 . vô nghiệm trên E, tồn tại Nhắc lại một số kết quả được giới (y*, z *) C D \ {(0, 0)} sao cho thiệu trong nghiên cứu của Lin [2]. y*, F (x ) z *,G(x ) 0, Định lý 2.1. [2, Theorem 3.1] Cho F1, F2 : X 2Y là những ánh xạ đa trị. với x E, nghĩa là, Giả sử rằng F1, F2 có cùng miền hữu hiệu y*, y z *, z 0, y F (x ), z G(x ). (2) là tập lồi E trong X, tức là, Hệ quả 2.3. Trong định lý 2.1, nếu E : domF1 domF2 . Giả sử thêm rằng như thêm giả thiết rằng tồn tại xˆ E sao cho G(xˆ) ( D) thì tồn tại (Z ,Y ) F1, F2 là các ánh xạ C - lồi đa trị trên E sao cho F (x ) (G(x )) , không thoả và có ít nhất một ánh xạ liên thông tại điểm C x 0 int E . Khi đó, với x E và mãn với bất kỳ x E. Định lý 2.3. [2] Cho X ,Y và Z là z1 F1(x ), z 2 F2 (x ), chúng ta có các không gian Banach. Cho C và D là (F1 F2 )(x; z1 z2 ) F1(x; z1) F2(x; z2 ). các nón lồi, nhọn có phần trong khác rỗng tương ứng trong Y và Z . Cho các ánh xạ Hệ quả 2.1. [2, Corollary 3.2] Trong Định lý 2.1, nếu Y thì ta có đa trị F : E 2Y và G : E 2Z tương ứng là C - lồi và D - lồi. Giả sử thêm rằng (F1 F2 )(x; z1 z2 ) F1(x; z1 ) F2(x; z 2 ). E : domF domG là tập lồi trong X . Nhận xét 2.3. Hệ quả 2.1 là dạng suy Xét bài toán rộng của Định lý Moreau-Rockafellar về (P1 ) WMinimize F (x ) dưới vi phân của tổng hai hàm lồi đơn trị giới thiệu trong nghiên cứu của s.t. x E G 1( D). Rockafellar [17]. Nếu x 0 là nghiệm yếu của bài toán Định lý sau đây là một dạng của định (P1 ) và u F (x 0 ) với u WMinF[E G 1( D)], lý thay phiên được dùng để thiết lập các điều kiện tối ưu trong tối ưu đa trị. thì tồn tại (y*, z *) C D \ {(0, 0)} Định lý 2.2. [2, Theorem 3.3] (Định lý sao cho Fakas-Minkowski suy rộng) Cho X ,Y và 114
TRẦN HÒA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN z *, z 0 0 với z 0 G(x 0 ) ( D), Giả sử ngược lại rằng hệ (8) có(3) nghiệm trên, tức là, tồn tại y*, F (x ) u z *,G(x ) 0, x E. (4) x E G 1( D) sao cho hệ (8) được 3. Điều kiện Fritz John và Kuhn- thoả mãn. Ta nhận được F (x ) u0 b C Tucker cho nghiệm yếu của bài toán (P) và G(x ) int D D. Khi đó, theo ii) dạng xấp xỉ Từ các định lý nói trên, chúng tôi mở của Định nghĩa 2.3, điểm u0 b không là rộng các kết quả cho trường hợp nghiệm điểm - tối tiểu yếu của tập xấp xỉ yếu cho bài toán (P) như sau: F[E G 1( D)] và nếu thế thì mâu thuẫn Định lý 3.1. Cho X ,Y và Z là các với giả thiết x 0 là -nghiệm yếu của bài không gian Banach. Cho C và D là các toán (P), hay điều này mâu thuẫn với (7). nón lồi, nhọn có phần trong khác rỗng tương ứng trong Y và Z . Cho các ánh xạ Từ kết quả hệ (8) vô nghiệm, theo đa trị F : E 2Y và G : E 2Z tương Định lý 2.2, tồn tại (y*, z *) C D \ {(0,0)} ứng là C - lồi và D - lồi. Giả sử thêm rằng sao cho E : domF domG là tập lồi trong X . y*, F (x ) u0 b z *,G(x ) 0, x E, Nếu x 0 là phân tử - nghiệm yếu của bài tức là (6) thoả mãn. toán (P), tức là u0 F (x 0 ) và Để kết thúc chứng minh, chúng ta sẽ u0 b WMinF[E G 1( D)], b int(C ), chứng minh (5) thoả mãn. Thật vậy, từ (6), thì tồn tại (y*, z *) C D \ {(0, 0)} cho ta sao cho y*, u z *,G(x ) y*, u 0 b , u F(x ), x E. (9) y*,b z *, z 0 0 Từ bất đẳng thức (9), thay u bởi u 0 với z 0 G(x 0 ) ( D), (5) và thay x bởi x 0 , ta được y*, F (x ) z *,G(x ) y*, u0 y*,b , x E. (6) y*, u0 z *,G(x 0 ) y*, u 0 b . (10) Chứng minh. Chứng minh Định lý này Nên tương tự như chứng minh của Lin [2]. z *,G(x 0 ) y*,b 0. (11) Trước hết, ta chứng minh rằng nếu x 0 là Chú ý rằng vì b int(C ) nên - nghiệm yếu của bài toán (P), tức là, y*,b 0. Từ giả thiết x 0 E G 1( D ) x0 E G 1( D) sao cho cho ta x 0 E và G(x 0 ) ( D) . Lấy u0 F (x 0 ) (7) bất kỳ z 0 G(x 0 ) ( D). Do z 0 G(x 0 ), u0 b WMinF [E G 1( D )], thế nên từ (11), ta nhận được thì hệ sau đây là vô nghiệm trên E . z *, z 0 y*,b . F (x ) u0 b C Do z 0 D và theo chứng minh trên (8) G(x ) D . 115
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) cho ta z * D nên Giả sử ngược lại rằng y* . Vì z *, z 0 0. (y*, z *) (0, 0), nên z * . Do đó, Tóm lại, z *, z 0, z int D. (16) y*,b z *, z 0 0 Chú ý rằng từ giả thiết có xˆ E sao cho G(xˆ) ( int D) . Lấy Định lý được chứng minh xong. z G(xˆ) ( int D), chúng ta có Nhận xét 3.1. Trong Định lý 3.1, khi 0 , kết quả thu về Định lý 2.3. z *, z 0. Tuy nhiên, từ (14), và với Chúng tôi cần đến một điều kiện sau y* , kéo theo z *, z 0, dẫn đến điều đây: vô lý. Vậy phải có y* . ( ) xˆ E : G(xˆ) ( intD) . Tiếp theo chúng ta sẽ chỉ ra rằng tồn Hệ quả 3.1. Giả sử rằng với các giả tại (Z ,Y ) sao cho thiết trong Định lý 3.1 và điều kiện ( ) (z 0 ) [ y*,b y0 , Y ]. được thoả mãn. Khi đó, tồn tại Thật vậy, vì intC , lấy y0 intC . (Z ,Y ) và tồn tại y0 C sao cho Do tính chất của nón và vì y* , ta có với z 0 G(x 0 ) ( D), sao cho thể chọn được y 0 sao cho y*, y0 1. Xét (z 0 ) [ y*,b y0 , Y ], ánh xạ :Z Y cho bởi (z ) : z *, z .y0 . và x 0 là - nghiệm yếu của bài toán: Dễ dàng kiểm chứng được rằng là (P2 ) -WMinimize F (x ) (G(x )). (12) toán tử tuyến tính, liên tục. Ở đây x E (D) C , do bởi, với mỗi h (D) thì Chứng minh. Do các giả thiết của Định h (s ) tồn tại s D sao cho lý 3.1, tồn tại (y*, z *) (0, 0) trong tập hợp z *, s y 0 , C D và z 0 G(x 0 ) ( D) sao cho ta đặt : z *, s , từ định nghĩa nón y*,b z *, z 0 0 (13) đối cực của D là D cho ta 0 . Do và đó, từ giả thiết C - nón lồi thì y0 C , dẫn y*, F (x ) u0 b z *,G(x ) 0, xđếnEh, C . Thế nên (D) C . Qua đó ta tức là, có được (Z ,Y ) . y*, u z *, v y*, u0 b , x E, u F (x ), v G(x ). (14) Hơn thế nữa, do (13) và, chúng có y0 C , ta nhận được kết quả Để đi đến các kết luận của Hệ quả, trước tiên, chúng ta chứng minh với (z 0 ) [ y*,b y0 , Y ]. y* C thì Cuối cùng, ta sẽ chỉ ra rằng x 0 là y* , - nghiệm yếu của bài toán (P2 ). Chú ý (15) y *, y 0, y intC . 116
TRẦN HÒA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN rằng x 0 - nghiệm yếu của bài toán (P). F (x ) (G(x )), x E Điều này có nghĩa là x 0 E G 1( D ) tức là, x 0 là nghiệm - yếu của bài và u 0 thoả mãn toán (P2 ). u0 F (x 0 ), Chú ý 3.1. u0 b WMinF [E G 1( D )]. Trong Hệ quả 3.1, khi 0 , kết quả Ta cần chứng minh thu về Corollary 3.6 trong nghiên cứu của Lin [2]. u0 b WMin F (x ) (G(x )). x E Chú ý 3.2. Giả sử ngược lại rằng Khi Y ,F :X 2 , x0 X, và v F (x ) (G(x )) : v C u0 b. y0 F (x 0 ), chúng ta dùng ký hiệu F (x 0 ; y0 ) x E thay cho F (x 0 ; y0 ). Khi đó, tồn tại x E sao cho v F (x ) (G(x )), u0 v b intC , Cũng như thế chúng ta dùng (y * F )(x 0 ) thay cho y *, F (x 0 ) . tức là, tồn tại y F (x ), w (G(x )), Phần còn lại của bài báo này được hay w (z ), z G(x ) sao cho dành để trình bày về diều kiện tối ưu xấp xỉ v y w dạng Fritz-John và dạng Karush-Kuhn- Tucker cho - nghiệm yếu của bài toán (P). u0 v b intC , Định lý 3.2. Cho X ,Y và Z là các nên, không gian Banach. Cho C và D là các u0 [y b (z )] intC . nón lồi, nhọn có phần trong khác rỗng tương ứng trong Y và Z . Cho các ánh xạ Từ (15), chúng ta có đa trị F : E 2Y và G : E 2Z tương y*, u0 [y b (z )] 0. ứng là C - lồi và D - lồi. Giả sử thêm rằng Vì (z ) z *, z .y0, nên ta nhận được E : domF domG là tập lồi trong X . Nếu x 0 là phân tử - nghiệm yếu của y*, u0 [y b z *, z .y0 ] 0, bài toán (P), tức là u0 F (x 0 ) và hay u0 b WMinF[E G 1( D)], b int(C ), y*, u0 b y*, y z *, z y*, y0 . thì tồn tại (y*, z *) C D \ {(0, 0)} Mà y *, y0 1, ta được sao cho y*, u0 b y*, y z *, z , y*,b z *, z 0 0 điều này trái với (14). Do đó, u0 b với z 0 G(x 0 ) ( D), (17) là nghiệm yếu của tập 0 w (y* F(.) z * G(.))(x 0; y*, u0 z *, z 0 ). (18) 117
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) Chứng minh. Giả thiết cho x 0 là - tối 0 w (y* F )(x 0; y*, u0 ) w (z * G)(x 0; z *, z 0 ). (22) tiểu yếu của bài toán (P), tức là Định lý 3.3. Cho X ,Y và Z là các u0 F (x 0 ) không gian Banach. Cho C và D là các u0 b WMinF [E G 1( D )]. nón lồi, nhọn có phần trong khác rỗng tương ứng trong Y và Z . Cho các ánh xạ Theo Định lý 3.1, tồi tại đa trị F : E 2Y và G : E 2Z tương (y*, z *) C D \ {(0, 0)} sao cho ứng là C - lồi và D - lồi. Giả sử thêm rằng E : domF domG là tập lồi trong y*,b z *, z 0 0 X và điều kiện được thoả mãn. với z 0 G(x 0 ) ( D), (19) Nếu x 0 là - nghiệm yếu của bài y*, F(x ) z *,G(x ) y*, u0 y*,b , x E. (20) toán (P), tức là u0 F (x 0 ) và Từ (20) và với z *, z 0 u0 b WMinF[E G 1( D)], b int(C ), 0 ở (19), cho ta thì tồn tại (Z ,Y ), y0 C sao cho Chú ý rằng y*, u0 z *, z 0 y*, F (x 0 ) z *,G(x 0 ) . với z 0 G(x 0 ) ( D), ta có Điều này kéo theo rằng x0 là (z 0 ) [ y*,b y0 , Y ], - nghiệm của bài toán và Min y*, F (x ) z *,G(x ) . 0 w (F G )(x 0 ; u0 (z 0 )). x E Chứng minh. Theo Hệ quả 3.1, thì tồn Đặt H (.) : y*, F (.) z *,G(.) , tại (Z ,Y ), y0 C , sao cho với theo Nhận xét 2.2, z0 G(x 0 ) ( D) ta có 0 w H ( x 0 ; y*, u0 z *, z 0 ), (z 0 ) [ y*,b y0 , Y ], hay 0 w ( y* F (.) z * G(.))(x 0; y*, u0 z *, z 0 ). và x 0 cũng là nghiệm - yếu của bài Trong Định lý 3.2, khi 0, kết hợp toán (P2 ), tức là x 0 là - nghiệm yếu của với Định lý 2.1, ta thu được kết quả của bài toán Theorem 3.7 trong nghiên cứu của Lin [2], WMinimize F (x ) (G(x )). được phát biểu dưới dạng Hệ quả như sau: x E Hệ quả 3.2. Khi 0, với các giả Vì vậy, thiết của Định lý 3.2, nếu giả thiết được x0 E G 1( D), v0 F (x 0 ) ( G )(x ) thêm bởi một trong hai hàm F hoặc G liên thông tại x 0 thì kết luận của định lý là tồn và v0 b WMin F (x ) ( G )(x ). x E tại (y*, z *) C D \ {(0, 0)} sao cho Ta có thể viết v0 u0 (z 0 ) với z *, z 0 0 với z 0 G(x 0 ) ( D), (21) u0 F (x 0 ), z 0 G(x 0 ). Vậy, ta được 118
TRẦN HÒA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN u0 (z 0 ) b WMin F (x ) ( G )(x ). yếu của bài toán (Pr ) và với x E u0 -WMinF[E G 1( )] thì tồn tại Nên, 0 - (F G)(x 0; u (z 0`)). 0, 0, và z 0 G(x 0 ) ( ) sao Trong Định lý 3.3, khi 0, kết hợp với Định lý 2.1, ta thu được kết quả của cho z 0 [ , 0] và Theorem 3.8 trong nghiên cứu của Lin [2], 0 (F G )(x 0 ; u0 z 0 ). w được phát biểu dưới dạng Hệ quả như sau: Trong Định lý 3.4, khi 0, kết hợp Hệ quả 3.3. Khi 0, với các giả với Định lý 2.1, ta thu được kết quả của thiết của Định lý 3.2, nếu giả thiết được Corollary 3.9 trong [2], được phát biểu thêm bởi một trong hai hàm F hoặc dưới dạng Hệ quả như sau: G liên thông tại nghiệm yếu x 0 thì kết luận Hệ quả 3.3. Khi 0, với các giả thiết của Định lý 3.4, nếu giả thiết được của định lý là tồn tại (Z ,Y ), y0 C 0 thêm bởi một trong hai hàm F hoặc sao cho với z0 G(x 0 ) ( D), ta có G liên thông tại nghiệm yếu x 0 thì kết luận 0 (z 0 ) Y và của định lý là tồn tại 0 và z 0 G(x 0 ) ( ) sao cho z 0 0 và 0 w F (x 0 ; u0 ) 0 w G(x 0 ; z 0 ). Để kết thúc bài báo này, chúng tôi giới 0 w F (x 0 ; u0 ) w G(x 0 ; z 0 ). thiệu một trường hợp đặc biệt hoá Định lý 4. Kết luận 3.3, khi Y Z , và ký hiệu bài toán Với khái niệm dưới vi phân yếu cho (Pr ) thay cho (P). Phần chứng minh Định hàm véc tơ, bài báo này đề xuất dạng lý này được bỏ qua. - dưới vi phân yếu cho hàm đa trị. Nghiệm yếu xấp xỉ cho bài toán tối ưu Định lý 3.4. Cho F,G : E 2 là ánh đa trị được quan tâm. Từ đó, các điều kiện xạ - lồi đa trị và domF domG E tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John và Kuhn- là tập lồi trong X . Giả sử rằng tồn tại Tucker cho bài toán tối ưu đa trị có ràng xˆ E sao cho G(xˆ) (int ) . buộc được thiết lập. Khi 0, các điều kiện xấp xỉ này thu về các kết quả của Khi đó, nếu x 0 là một - nghiệm Lin [2]. 119
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J. Borwein, “Multivalued convexity and optimization: A unified approach to inequality and equality constraints”, Math. Oper. Statist, 11, 235-248, 1980. [2] L.J. Lin, “Optimization of Set-valued Functions”, Journal of Mathematial Analysis and Applications, 186, 30-51, 1994. [3] W. Song, “Duality for Vector Optimization of Set-Valued Function”, Journal of Mathematial Analysis and Applications, 201, 212-225, 1996 [4] S.M. Guu, N.J. Huang, J. Li, “Scalarization approaches for set-valued vector optimization problems and vector variational inequalities”, Journal of Mathematial Analysis and Applications, 356, 564-576, 2009. [5] E. Hernádez, L. Rodríguez, and M. Sama, “On Solutions of Set-Valued Optimzation Problems”, Computer and Mathematics with Applications, 60, 1401-1408, 2010. [6] Khan A, Tammer C and Zălinescu C, Set-valued Optimization: An introduction with applications. Vector optimization, Springer, 2015. [7] P. Loridan, “ - solutions in vector minimization problems”. Journal of Optimization Theory and Applications, 43, 265-276. 1984. [8] Q. Qiu and X. Yang, “Some properties of approximate solutions for vector optimization problem with set-valued functions”, Journal of Global Optimization, 27, 1-12, 2010. [9] C. Gutiéreez, B. Jiménez and V. Novo, “Optimality conditions via scalarization for a new e-efficiency concept in vector optimization problems”, European Journal of Operational Research, 201, 11-22, 2010. [10] C. Guitérrez, B. Jiménez, V. Novo, and L. Thibault, “Strict approximate solutions in set-valued optimization with applications to the approximate Ekeland variational principle”, Nonlinear Analysis, 73, 3842-3855, 2010. [11] M. Alonso Durán and L. Rodríguez-Marín, “On approximate solutions in set-valued optimization problems”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 326, 4421-4427, 2012. [12] B. Soleimani and C. Tammer, “Optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems with variable ordering structures”, Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 42, 5-23. 2016. [13] M. Dhingra and C.S. Lalitha, “Approximate solutions and scalarization in set-valued optimization”, Optimization, 66, 1793-1805, 2017. [14] H.B. Soleimani, Vector Optimization Problems with Variable Ordering Structures, PhD. Dissertation, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, Germany, 2015. 120
TRẦN HÒA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN [15] G.A. Chen, X. Huang, X. Yang, Vector Optimization: Set-Valued and Variational Analysis, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Germany, 2005. [16] Hiriart-Urruty, and Lemarechal, Convex Analysis and Minimization Algorithms, Volumes 1 and 2, Springer Verlag, Berlin, Germany, 1993. [17] R.T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, Newyork, 1970. [18] W. Grecksch, F. Heyde, G. Isac, Chr. Tammer, “A characterization of approximate solutions of multiobjective stochastic optimal control problems”, Optimization, 52(2), 153-170, 2003. [19] W.D. Rong and Y.N. Wu, “ - Weak mimimal solutions of vector optimization problems with set-valued maps”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 106, 569-579, 2000. [20] D.S. Kim and T.Q. Son, “An approach to - duality theorems for nonconvex semi- infinite multiobjective optimization problems”, Taiwanese Journal of Mathematics, 22, 1261-1287, 2018. [21] T. Tanio and Y. Sawaragi, “Conjugate maps and duality in multiobjective optimization”, Journal of Optimaization Theory and Applications, 31, 473-499, 1980. Ngày nhận bài: 15/4/2020 Biên tập xong: 15/5/2020 Duyệt đăng: 20/5/2020 121