Tính liên tục Hölder của ánh xạ nghiệm xấp xỉ bài toán điều khiển tối ưu phụ thuộc tham số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này nghiên cứu sự ổn định nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu phụ thuộc tham số với phương trình trạng thái tuyến tính. Sử dụng công cụ của giải tích đa trị, các điều kiện đủ cho tính liên tục Hölder của ánh xạ nghiệm xấp xỉ của bài toán đang xét được thiết lập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính liên tục Hölder của ánh xạ nghiệm xấp xỉ bài toán điều khiển tối ưu phụ thuộc tham số

AGU International Journal of Sciences – 2021, Vol. 29 (3), 11 – 19 TÍNH LIÊN TỤC HÖLDER CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM XẤP XỈ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU PHỤ THUỘC THAM SỐ Võ Thành Tài1, Trần Ngọc Tâm2 1 Trường Đại học An Giang, ĐHQG-HCM 2 Trường Đại học Cần Thơ Thông tin chung: ABSTRACT Ngày nhận bài: 25/11/2019 Ngày nhận kết quả bình duyệt: In this paper, stability conditions of solutions to a parametric optimal control 25/06/2020 problem with linear state equation are investigated. By using tools of set- Ngày chấp nhận đăng: valued analysis, sufficient conditions for Hölder continuity of approximate 12/2021 solution mappings to this problem are established. Title: On Hölder continuity of TÓM TẮT approximate solution mappings to parametric Bài báo này nghiên cứu sự ổn định nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu optimal control problem phụ thuộc tham số với phương trình trạng thái tuyến tính. Sử dụng công cụ của giải tích đa trị, các điều kiện đủ cho tính liên tục Hölder của ánh xạ Keywords: Optimal control problem, nghiệm xấp xỉ của bài toán đang xét được thiết lập. Hölder continuity, approximate solution mappings, linear state equation Từ khóa: Bài toán điều khiển tối ưu, tính liên tục Hölder, ánh xạ nghiệm xấp xỉ, phương trình trạng thái tuyến tính 1. GIỚI THIỆU Lý thuyết điều khiển tối ưu là một mở rộng của các quá trình tối ưu cho các hệ điều khiển mô tả phép tính biến phân, tức là bổ sung biến điều bởi các phương trình toán học. khiển cho phương trình trạng thái. Rufus Isaacs Thời điểm bắt đầu của lý thuyết điều khiển hiện (1965) đã thực hiện một sự mở rộng như vậy đại là ấn phẩm bằng tiếng Nga năm 1958 (1962 trong trò chơi đuổi theo hai người trong giai đoạn bằng tiếng Anh) với tiêu đề "Lý thuyết toán học 1948-1955. Với ý tưởng đó, Richard Bellman của các quá trình tối ưu" của Pontryagin, (1957) đã áp dụng cho bài toán qui hoạch động. Boltyanskii, Gamkrelidze và Mischenko (1962). Phát triển từ những bài toán tối ưu hoá cổ điển Các nhà toán học người Mỹ nổi tiếng gắn liền với như bài toán biến phân, bài toán qui hoạch nguyên lý cực đại bao gồm Valentine, McShane, động,… bài toán điều khiển tối ưu là bài toán tìm Hestenes, Berkovitz và Neustadt. Tầm quan trọng 11
AGU International Journal of Sciences – 2021, Vol. 29 (3), 11 – 19 của cuốn sách của Pontryagin cùng các cộng sự Tuy nhiên, đối với các bài toán thực tế thì nghiệm không chỉ trong một công thức nghiêm ngặt của chính xác hầu như rất khó tìm do dữ liệu thu được bài toán phép tính biến phân với các biến điều bằng các thiết bị đo hoặc thống kê nên đã tạo ra khiển, mà còn trong chứng minh của nguyên lý những xấp xỉ so với bài toán gốc. Do đó, các cực đại cho các bài toán điều khiển tối ưu. Vì vậy, nghiệm chính xác của chúng trên thực tế cũng là trong vòng mấy thập niên gần đây, đã có rất nhiều nghiệm gần đúng. Hơn nữa, trong các phương công trình tiêu biểu liên quan đến nguyên lý cực pháp số, chúng ta luôn phải tìm các nghiệm gần đại cho bài toán điều khiển tối ưu được công bố đúng mà chúng hội tụ đến nghiệm chính xác. Một và ứng dụng. cách tự nhiên, việc nghiên cứu nghiệm xấp xỉ trở Cũng như nhiều mô hình toán học khác, các chủ thành một vấn đề được nhiều nhà toán học quan đề chính nghiên cứu về bài toán điều khiển tối ưu tâm và rất có ý nghĩa thực tế. Đã có nhiều công bao gồm sự tồn tại nghiệm (Kien, Toan, Wong & trình nghiên cứu liên quan đến sự ổn định của Yao, 2012; Zhan, Wei, Li & Xu, 2012; Santos & nghiệm xấp xỉ đối với các bài toán tối ưu Silva, 2014), tính ổn định nghiệm (Dontchev, (Alexander J.Z., 2013, David G.H. 2003). Tuy Hager, Malanowski & Veliov, 2000; Malanowski, nhiên, cho đến nay chưa có công trình nào nghiên 2001, 2007, 2008; Kien và cs., 2008, 2012), tính cứu về tính liên tục Hölder của nghiệm xấp xỉ bài đặt chỉnh (Walczak, 2001). toán điều khiển tối ưu phụ thuộc tham số với phương trình trạng thái tuyến tính này. Trong thời gian gần đây, một trong những bài toán điều khiển tối ưu được quan tâm là bài toán Từ những quan sát trên, bài báo này nghiên cứu điều khiển tối ưu phụ thuộc tham số với phương tính ổn định nghiệm xấp xỉ của bài toán điều trình trạng thái tuyến tính. Bài toán này được khiển tối ưu phụ thuộc tham số theo nghĩa liên tục nhóm tác giả Kien, B.T., Toan, N.T., Wong, M.M. Hölder của ánh xạ nghiệm. và Yao, J.C. nghiên cứu vào năm 2012, trong đó Trong bài báo này, ký hiệu 𝐿𝑝 ([0,1], ℝ𝑛 ) là không sự tồn tại nghiệm và tính nửa liên tục dưới cho gian các hàm khả tích Lebesgue với 1 ≤ 𝑝 < ∞; ánh xạ nghiệm của bài toán được thiết lập. Năm 𝑊 1,1 ([0,1], ℝ𝑛 ) là không gian Sobolev bao gồm 2018, nhóm tác giả Lâm Quốc Anh, Nguyễn Phúc các hàm số liên tục 𝑥: [0,1] → ℝ𝑛 sao cho 𝑥̇ ∈ Đức, Võ Thành Tài và Trần Ngọc Tâm đã nghiên 𝐿1 ([0,1], ℝ𝑛 ) với chuẩn cứu tính liên tục Hölder của ánh xạ nghiệm bài toán điều khiển tối ưu phụ thuộc tham số này. ∥ 𝑥 ∥1,1 = |𝑥(0)|+∥ 𝑥̇ ∥1 , trong đó | ⋅ | là chuẩn của không gian Euclide và ∥⋅∥1 là chuẩn của không gian 𝐿1 ([0,1], ℝ𝑛 ). Gọi 𝑋 = 𝑊 1,1 ([0,1], ℝ𝑛 ), 𝑈 = 𝐿𝑝 ([0,1], ℝ𝑚 ), 𝑍 = 𝑋 × 𝑈, 𝑀 = 𝐿∞ ([0,1], ℝ𝑘 ), Λ = 𝐿𝑟 ([0,1], ℝ𝑙 ) và 𝐸 ⊂ 𝑍 là một tập con khác rỗng. Phương trình trạng thái 𝑥̇ (𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐵(𝑡)𝑢(𝑡) + 𝑇(𝑡)𝜆(𝑡), 𝑡 ∈ [0,1] hầu khắp nơi (h.k.n), (1) với giá trị ban đầu 𝑥(0) = 𝑥0 , (2) và điều khiển 𝑢(𝑡) ∈ Ω1 , 𝑡 ∈ [0,1] h.k.n. (3) Ở đây 𝜆 ∈ Λ là tham số, 𝐴(𝑡) = (𝑎𝑖𝑗 (𝑡)) , 𝐵(𝑡) = (𝑏𝑖𝑗 (𝑡)) và 𝑇(𝑡) = (𝑐𝑖𝑗 (𝑡)) là các ma trận 𝑛×𝑛 𝑛×𝑚 𝑛×𝑙 𝑚 hàm và Ω1 là tập lồi, đóng, bị chặn của ℝ . 12
AGU International Journal of Sciences – 2021, Vol. 29 (3), 11 – 19 Xét ánh xạ đa trị 𝐾: Λ ⇉ 𝐸 được xác định bởi 𝐾(𝜆) = {𝑧 = (𝑥, 𝑢) ∈ 𝑋 × 𝑈: (1), (2), (3) được thoả mãn} và 𝑔: 𝐸 × 𝑀 → ℝ là hàm giá trị thực. Với (𝜆, 𝜇) ∈ Λ × 𝑀, xét bài toán điều khiển tối ưu phụ thuộc tham số sau đây (OCP): min 𝑔(𝑧, 𝜇). 𝑧∈𝐾(𝜆) Với 𝜀 ≥ 0, ta ký hiệu tập nghiệm xấp xỉ của (OCP) tại (𝜆, 𝜇) là 𝑆̃(𝜀, 𝜆, 𝜇), nghĩa là 𝑆̃(𝜀, 𝜆, 𝜇) = {𝑧̅ ∈ 𝐾(𝜆): 𝑔(𝑧̅, 𝜇) ≤ 𝑔(𝑦, 𝜇) + 𝜀, ∀𝑦 ∈ 𝐾(𝜆) }. Một số ký hiệu và khái niệm cần thiết được sử dụng trong bài báo này bao gồm: Với 𝐴, 𝐵 là các tập con của 𝑋 và 𝑎 ∈ 𝑋, ta ký hiệu 𝑑(𝑎, 𝐵) = inf 𝑑(𝑎, 𝑏), 𝐻 ∗ (𝐴, 𝐵) = sup 𝑑(𝑎, 𝐵), 𝐻 ∗ (𝐵, 𝐴) = sup 𝑑(𝑏, 𝐴) 𝑏∈𝐵 𝑎∈𝐴 𝑏∈𝐵 𝐻(𝐴, 𝐵) = max{𝐻 ∗ (𝐴, 𝐵), 𝐻 ∗ (𝐵, 𝐴)}, 𝜌(𝐴, 𝐵) = sup 𝑑(𝑎, 𝑏). 𝑎∈𝐴,𝑏∈𝐵 Định nghĩa 2.1 (Lâm Quốc Anh, Phan Quốc Khánh & Trần Ngọc Tâm, 2015) Hàm số 𝑔: 𝑍 → ℝ được gọi là 𝑙. 𝛼-Hölder liên tục tại 𝑧̅ ∈ 𝑍 nếu tồn tại một lân cận 𝑉 của 𝑧̅ sao cho với mọi 𝑧1 , 𝑧2 ∈ 𝑉 thì |𝑔(𝑧1) − 𝑔(𝑧2 )| ≤ 𝑙𝑑 𝛼 (𝑧1 , 𝑧2 ). Định nghĩa 2.2 (Lâm Quốc Anh, Phan Quốc Khánh & Trần Ngọc Tâm, 2012) Ánh xạ đa trị G: Λ ⇉ 𝐸 được gọi là 𝛾. 𝛿-Hölder liên tục tại 𝜆̅ ∈ Λ nếu tồn tại lân cận 𝑁 của 𝜆̅ sao cho với mọi 𝜆1 , 𝜆2 ∈ 𝑁 thì 𝜌(𝐺(𝜆1), 𝐺(𝜆2 )) ≤ 𝛾𝑑 𝛿 (𝜆1 , 𝜆2 ), với 𝜌(𝐴, 𝐵) ≔ sup 𝑑(𝑎, 𝑏). 𝑎∈𝐴,𝑏∈𝐵 Định nghĩa 2.3 (Lâm Quốc Anh, Phan Quốc Khánh & Trần Ngọc Tâm, 2015) Hàm số 𝑔: 𝑍 → ℝ được gọi là lồi trong tập lồi 𝐴 ⊂ 𝑍 nếu với mọi 𝑧1 , 𝑧2 ∈ 𝐴 và 𝜃 ∈ [0,1], 𝑔(𝜃𝑧1 + (1 − 𝜃)𝑧2 ) ≤ 𝜃𝑔(𝑧1 ) + (1 − 𝜃)𝑔(𝑧2 ). Bổ đề 2.1 (Bất đẳng thức Gronwall-Bellman) (Cesari, 1983) Nếu 𝑥(𝑡) ≥ 0, 𝑦(𝑡) ≥ 0, 𝑡 ∈ [0, +∞) là các hàm cho trước, trong đó 𝑥(𝑡) liên tục, 𝑦(𝑡) khả tích Lebesgue trên mọi đoạn hữu hạn và với hằng số 𝐶 không âm ta có 𝑡 𝑥(𝑡) ≤ 𝐶 + ∫0 𝑥(𝑠)𝑦(𝑠)𝑑𝑠, 𝑡 ≥ 0, 𝑡 thì ta cũng có 𝑥(𝑡) ≤ 𝐶. exp(∫0 𝑦(𝑠)𝑑𝑠). Phần còn lại của bài báo được cấu trúc như sau: Mục 2 nghiên cứu các điều kiện đủ cho tính liên tục Hölder của ánh xạ nghiệm xấp xỉ bài toán điều khiển tối ưu phụ thuộc tham số. Mục 3 trình bày các kết luận của bài báo. 2. 2. TÍNH LIÊN TỤC HÖLDER CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM XẤP XỈ Định lý 2.1. Xét bài toán (OCP), với mọi (𝜆0 , 𝜇0 ) ∈ 𝛬 × 𝑀, giả sử rằng i) 𝐴(𝑡), 𝐵(𝑡) và 𝑇(𝑡) bị chặn trên đoạn [0,1]; ii) tồn tại một lân cận 𝑁 của 𝜆0 và một lân cận 𝛺 của 𝜇0 sao cho với mọi 𝜇 ∈ 𝛺, 𝜆 ∈ 𝑁, 𝑧 ↦ 𝑔(𝑧, 𝜇) lồi và 𝑞. 𝛿-Hölder liên tục trên 𝐾(𝜆); iii) 𝜇 ↦ 𝑔(𝑧, 𝜇) là ℎ. 𝛽-Hölder liên tục trên 𝛺 với mọi 𝑧 ∈ 𝐾(𝑁). 13
AGU International Journal of Sciences – 2021, Vol. 29 (3), 11 – 19 Khi đó, với bất kỳ 𝜀̅0 > 0, ánh xạ nghiệm 𝑆̃ liên tục Hölder trên [𝜀̅0 , +∞) × 𝑁 × 𝛺. Chứng minh. Chứng minh được chia thành 5 bước. Bước 1. Với mọi 𝜆 ∈ Λ, ta chứng minh 𝐾(𝜆) là tập khác rỗng, lồi và chỉ ra rằng ánh xạ 𝐾 liên tục Lipschitz trên Λ. Thật vậy, theo định lý tồn tại nghiệm (Alekseev, 1987) thì 𝐾(𝜆) ≠ ∅ với mọi 𝜆 ∈ Λ. Mặt khác, dễ thấy 𝐾(𝜆) là tập lồi. Bây giờ ta chỉ ra rằng với mọi 𝜆1 , 𝜆2 ∈ Λ cho trước và 𝑧1 = (𝑥1 , 𝑢1 ) ∈ 𝐾(𝜆1), luôn tồn tại 𝑧2 = (𝑥2 , 𝑢2 ) ∈ 𝐾(𝜆2 ) và 𝑚 > 0 sao cho ∥ 𝑧1 − 𝑧2 ∥≤ 𝑚 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝑟 . Thật vậy, với mọi (𝑥1 , 𝑢1 ) ∈ 𝐾(𝜆1) ta có 𝑥̇ 1 (𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑥1 (𝑡) + 𝐵(𝑡)𝑢1 (𝑡) + 𝑇(𝑡)𝜆1 (𝑡), 𝑡 ∈ [0,1] h.k.n. (4) Chọn 𝑢2 = 𝑢1 , tồn tại 𝑥2 ∈ 𝑋 sao cho 𝑥̇ 2 (𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑥2 (𝑡) + 𝐵(𝑡)𝑢1 (𝑡) + 𝑇(𝑡)𝜆2 (𝑡), 𝑡 ∈ [0,1] h.k.n. (5) Từ (4) và (5) ta được 𝑥̇ 1 (𝑡) − 𝑥̇ 2 (𝑡) = 𝐴(𝑡)(𝑥1 (𝑡) − 𝑥2 (𝑡)) + 𝑇(𝑡)(𝜆1 (𝑡) − 𝜆2 (𝑡)), 𝑡 ∈ [0,1] h.k.n. Theo giả thiết i), tồn tại các hằng số 𝑇1 , 𝑇2 sao cho |𝑥̇ 1 (𝑡) − 𝑥̇ 2 (𝑡)| ≤ 𝑇1 |𝑥1 (𝑡) − 𝑥2 (𝑡)| + 𝑇2 |𝜆1 (𝑡) − 𝜆2 (𝑡)|, 𝑡 ∈ [0,1] h.k.n. (6) 𝑡 Từ 𝑥(𝑡) = ∫0 𝑥̇ (𝑠)𝑑𝑠, ta được 𝑡 |𝑥1 (𝑡) − 𝑥2 (𝑡)| ≤ ∫0 (𝑇1 |𝑥1 (𝑠) − 𝑥2 (𝑠)| + 𝑇2 |𝜆1 (𝑠) − 𝜆2 (𝑠)|)𝑑𝑠 𝑡 1 ≤ ∫0 𝑇1 |𝑥1 (𝑠) − 𝑥2 (𝑠)|𝑑𝑠 + ∫0 𝑇2 |𝜆1 (𝑡) − 𝜆2 (𝑡)|𝑑𝑡 𝑡 ≤ ∫0 𝑇1 |𝑥1 (𝑠) − 𝑥2 (𝑠)|𝑑𝑠 + 𝑇2 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥1 𝑡 ≤ ∫0 𝑇1 |𝑥1 (𝑠) − 𝑥2 (𝑠)|𝑑𝑠 + 𝑇2 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝑟 . Theo bất đẳng thức Gronwall-Bellman, ta được 𝑡 |𝑥1 (𝑡) − 𝑥2 (𝑡)| ≤ 𝑇2 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝑟 exp (∫0 𝑇1 𝑑𝑠) ≤ 𝑇2 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝑟 exp(T1) . Kết hợp với (6), ta có ∥ 𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 ∥1 ≤ 𝑇1 ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥1 + 𝑇2 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝑟 ≤ 𝑇1 (𝑇2 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝑟 exp(𝑇1 )) + 𝑇2 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝑟 = 𝑚. ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝑟 , trong đó 𝑚 ≔ 𝑇1 𝑇2 exp(𝑇1 ) + 𝑇2 . Do đó, ta có ∥ 𝑧1 − 𝑧2 ∥=∥ (𝑥1 , 𝑢1 ) − (𝑥2 , 𝑢2 ) ∥=∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥1,1 = |𝑥1 (0) − 𝑥2 (0)|+∥ 𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 ∥1 =∥ 𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 ∥1 ≤ 𝑚 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝑟 . Bước 2. Với 0 < 𝜀1 < 𝜀2 thỏa mãn 0 < 𝜀̅0 < 𝜀2 và (𝜆1 , 𝜇1 ) ∈ 𝑁 × Ω, ta ước lượng 14
AGU International Journal of Sciences – 2021, Vol. 29 (3), 11 – 19 𝐻(𝑆̃(𝜀1 , 𝜆1 , 𝜇1 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 )). Trước tiên ta chứng minh rằng với mọi (𝜆, 𝜇) ∈ 𝑁 × Ω thì 𝜌 𝐻(𝑆̃(𝜀1 , 𝜆, 𝜇), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆, 𝜇)) ≤ |𝜀1 − 𝜀2 |, 𝜀2 trong đó 𝜌 ∶= 𝑑𝑖𝑎𝑚𝐾(𝜆0 ) + 2𝑚. 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑁. Dễ thấy 𝑆̃(𝜀1 , 𝜆, 𝜇) ⊆ 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆, 𝜇) nên 𝐻 ∗ (𝑆̃(𝜀1 , 𝜆, 𝜇), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆, 𝜇)) = 0. (7) Với mọi 𝑧2 ∈ 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆, 𝜇), 𝑧0 ∈ 𝑆̃(0, 𝜆, 𝜇) và 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆) ta có 𝑔(𝑧2 , 𝜇) ≤ 𝑔(𝑦, 𝜇) + 𝜀2 và 𝑔(𝑧0 , 𝜇) ≤ 𝑔(𝑦, 𝜇). Do đó 𝜀1 𝜀2 −𝜀1 𝜀2 𝑔(𝑧2 , 𝜇) + 𝜀2 𝑔(𝑧0, 𝜇) ≤ 𝑔(𝑦, 𝜇) + 𝜀1 . Theo ii), do hàm 𝑧 ↦ 𝑔(𝑧, 𝜇) lồi trên 𝐾(𝜆) nên 𝜀 𝜀2 −𝜀1 𝑔 ( 1 𝑧2 + 𝑧0 , 𝜇) ≤ 𝑔(𝑦, 𝜇) + 𝜀1 , ∀𝑦 ∈ 𝐾(𝜆). 𝜀2 𝜀2 𝜀 𝜀2 −𝜀1 Suy ra 𝑧1 ∶= 𝜀1 𝑧2 + 𝜀2 𝑧0 ∈ 𝑆̃(𝜀1 , 𝜆, 𝜇). 2 Khi đó 𝜀1 𝜀2 −𝜀1 𝜀1 −𝜀2 ‖𝑧2 − 𝑧1 ‖ = ‖𝑧2 − 𝑧 + 𝑧0 ‖ = ‖𝑧2 − 𝑧0 ‖. 𝜀2 2 𝜀2 𝜀2 Theo bước 1, với mọi 𝜆 ∈ 𝑁, ta có 𝐾(𝜆) ⊆ 𝐾(𝜆0 ) + 𝑚. 𝐵(0, ‖𝜆 − 𝜆0 ‖). Do đó 𝑑𝑖𝑎𝑚𝐾(𝜆) ≤ 𝑑𝑖𝑎𝑚𝐾(𝜆0 ) + 2𝑚. 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑁 = 𝜌. 𝜌 Suy ra ‖𝑧2 − 𝑧1 ‖ ≤ 𝜀 |𝜀1 − 𝜀2 |. 2 𝜌 Như vậy 𝐻 (𝑆̃(𝜀2 , 𝜆, 𝜇), 𝑆̃(𝜀1 , 𝜆, 𝜇)) ≤ ∗ |𝜀1 − 𝜀2 |. (8) 𝜀2 Từ (7) và (8) suy ra 𝜌 𝐻(𝑆̃(𝜀1 , 𝜆, 𝜇), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆, 𝜇)) ≤ 𝜀 |𝜀1 − 𝜀2 |. (9) 2 Do 𝜀2 ∈ [𝜀̅0 , +∞) nên từ (9) ta có 𝜌 𝐻(𝑆̃(𝜀1 , 𝜆1 , 𝜇1 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 )) ≤ |𝜀 − 𝜀2 | 𝜀̅0 1 𝜌 ≤ 𝑘1 |𝜀1 − 𝜀2 |, với 𝑘1 ∶= 𝜀̅ . 0 Bước 3. Với 𝜀2 ∈ [𝜀̅0 , +∞), 𝜆1 ∈ 𝑁 và 𝜇1 , 𝜇2 ∈ Ω sao cho 𝜇1 ≠ 𝜇2 , ta ước lượng 𝐻(𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 ). Ta xét 2 trường hợp sau: 𝛽 𝜀2 Trường hợp 1. ‖𝜇1 − 𝜇2 ‖∞ ≤ . 2ℎ 𝛽 Đặt 𝑟 ∶= 2ℎ‖𝜇1 − 𝜇2 ‖∞ , khi đó 0 < 𝑟 ≤ 𝜀2 . Ta chứng minh 15
AGU International Journal of Sciences – 2021, Vol. 29 (3), 11 – 19 𝑆̃(𝜀2 − 𝑟, 𝜆1 , 𝜇1 ) ⊆ 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 ). Thật vậy, lấy tùy ý 𝑧̅ ∈ 𝑆̃(𝜀2 − 𝑟, 𝜆1 , 𝜇1 ), với mọi 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆1) ta có 𝑔(𝑧̅, 𝜇1 ) ≤ 𝑔(𝑦, 𝜇1 ) + 𝜀2 − 𝑟. Suy ra 𝑔(𝑧̅, 𝜇2 ) + 𝑔(𝑧̅, 𝜇1 ) − 𝑔(𝑧̅, 𝜇2 ) ≤ 𝑔(𝑦, 𝜇2 ) + 𝑔(𝑦, 𝜇1 ) − 𝑔(𝑦, 𝜇2 ) + 𝜀2 − 𝑟. Từ tính ℎ. 𝛽-Hölder liên tục của 𝜇 ↦ 𝑔(𝑧, 𝜇) trên Ω, ta được |𝑔( 𝑧̅, 𝜇1 ) − 𝑔( 𝑧̅, 𝜇2 )| ≤ ℎ. ‖𝜇1 − 𝜇2 ‖𝛽∞ và |𝑔( 𝑦, 𝜇1 ) − 𝑔(𝑦, 𝜇2 )| ≤ ℎ. ‖𝜇1 − 𝜇2 ‖𝛽∞. 𝑟 𝑟 Suy ra 𝑔(𝑧̅, 𝜇2 ) − ≤ 𝑔(𝑦, 𝜇2 ) + + 𝜀2 − 𝑟. 2 2 Hay 𝑔(𝑧̅, 𝜇2 ) ≤ 𝑔(𝑦, 𝜇2 ) + 𝜀2 với mọi 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆1 ). Như vậy 𝑧̅ ∈ 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 ). Áp dụng bước 2, ta có 𝐻 ∗ (𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 )) ≤ 𝐻 ∗ (𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 ), 𝑆̃(𝜀2 − 𝑟, 𝜆1 , 𝜇1 )) ≤ 𝐻 (𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 ), 𝑆̃(𝜀2 − 𝑟, 𝜆1 , 𝜇1 )) 𝜌.𝑟 2𝜌ℎ ≤ ≤ ‖𝜇1 − 𝜇2 ‖𝛽∞. 𝜀2 𝜀̅0 Tương tự, ta cũng có 2𝜌ℎ 𝛽 𝐻 ∗ (𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 )) ≤ ̅ ‖𝜇1 − 𝜇2 ‖∞. 𝜀0 2𝜌ℎ 𝛽 Vậy 𝐻 (𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 )) ≤ ̅ ‖𝜇1 − 𝜇2 ‖∞ . (10) 𝜀0 1⁄ 𝛽 ε2 𝑑𝑖𝑎𝑚Ω 𝜀̅ 𝛽 Trường hợp 2. Nếu ‖𝜇1 − 𝜇2 ‖∞ > thì tồn tại số tự nhiên 𝑛0 sao cho ≤ ( 0) . 2ℎ 𝑛0 2ℎ Phân hoạch đều đoạn [𝜇1 , 𝜇2 ] với 𝑛0 + 1 điểm 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑛0 +1 sao cho ‖𝜇1 −𝜇2 ‖∞ 𝑣1 = 𝜇1 , . . . , 𝑣𝑛0 +1 = 𝜇2 , ‖𝑣𝑖 − 𝑣𝑖+1 ‖ = 𝑛0 . Khi đó, ta có 1⁄ ‖𝜇1 −𝜇2 ‖∞ 𝑃 𝜀̅ 𝛽 ‖𝑣𝑖 − 𝑣𝑖+1 ‖∞ = ≤ ≤ ( 0) với 𝑃 = 𝑑𝑖𝑎𝑚Ω. 𝑛0 𝑛0 2ℎ 𝛽 𝜀̅0 𝜀 Hay ‖𝑣𝑖 − 𝑣𝑖+1 ‖∞ ≤ 2ℎ ≤ 2ℎ2 . Áp dụng kết quả của trường hợp 1 ta có 𝑛0 2𝜌ℎ 𝛽 𝐻 (𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 )) ≤ ∑‖𝑣𝑖 − 𝑣𝑖+1 ‖∞ 𝜀̅0 𝑖=1 2𝜌ℎ𝑛0 𝜀2 ≤ 𝜀̅0 2ℎ 2𝜌ℎ𝑛0 ≤ ‖𝜇1 − 𝜇2 ‖𝛽∞. (11) 𝜀̅0 Kết hợp (10) và (11) ta có 16
AGU International Journal of Sciences – 2021, Vol. 29 (3), 11 – 19 𝛽 2𝜌ℎ𝑛0 𝐻 (𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 )) ≤ 𝑘2 ‖𝜇1 − 𝜇2 ‖∞, với 𝑘2 ∶= 𝜀̅0 . Bước 4. Với 𝜀2 ∈ [𝜀̅0 , +∞), 𝜇2 ∈ Ω và 𝜆1 , 𝜆2 ∈ 𝑁′, trong đó 𝑁 ′ ⊂ 𝑁 là lân cận của 𝜆0 sao cho diam𝑁′ ≤ 1 2 , ta ước lượng 𝐻(𝑆̃( 𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 )) với 𝜆1 ≠ 𝜆2. 𝛼 Đặt 𝜂 ∶= 𝜀2 − 𝜀̅0 và 𝛿 ∶= 2𝑙𝑚𝛼 ‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 1 , trong đó 𝛼1 ∶= 𝑚𝑖𝑛{1, 𝛼}. Ta cũng xét 2 trường hợp sau: 𝛼 Trường hợp 1. Nếu 𝛿 = 2𝑙𝑚𝛼 ‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 1 ≤ 𝜂 thì 𝜀2 − 𝛿 ≥ 𝜀2 − 𝜂 ∶= 𝜀̅0 . Khi đó, với mọi 𝑧1 ∈ 𝑆̃(𝜀2 − 𝛿, 𝜆1 , 𝜇2 ) ta có 𝑧1 ∈ 𝐾(𝜆1 ) và 𝑔(𝑦, 𝜇2 ) − 𝑔(𝑧1 , 𝜇2 ) + 𝜀2 − 𝛿 ≥ 0 với mọi 𝑦 ∈ 𝐾(𝜆1). Theo bước 1, tồn tại 𝑧2 ∈ 𝐾(𝜆2 ) sao cho ‖𝑧1 − 𝑧2 ‖ ≤ 𝑚‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 . Mặt khác, với mọi 𝑦2 ∈ 𝐾(𝜆2), tồn tại 𝑦1 ∈ 𝐾(𝜆1 ) sao cho ‖𝑦1 − 𝑦2 ‖ ≤ 𝑚‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 . Từ 𝑦1 ∈ 𝐾(𝜆1 ) ta có 𝑔(𝑦2 , 𝜇2 ) − 𝑔(𝑧2 , 𝜇2 ) + 𝑔(𝑦1 , 𝜇2 ) − 𝑔(𝑧1, 𝜇2 ) − (𝑔(𝑦2 , 𝜇2 ) − 𝑔(𝑧2, 𝜇2 )) + 𝜀2 − 𝛿 ≥ 0. Suy ra 𝑔(𝑦2 , 𝜇2 ) − 𝑔(𝑧2 , 𝜇2 ) + 𝑔(𝑦1 , 𝜇2 ) − 𝑔(𝑦2 , 𝜇2 ) + 𝑔(𝑧2 , 𝜇2 ) − 𝑔(𝑧1 , 𝜇2 ) + 𝜀2 − 𝛿 ≥ 0. Theo (ii), do 𝑧 ↦ 𝑔(𝑧, 𝜇2 ) là 𝑙. 𝛼-Hölder liên tục nên |𝑔(𝑦1 , 𝜇2 ) − 𝑔(𝑦2 , 𝜇2 )| + |𝑔(𝑧2 , 𝜇2 ) − 𝑔(𝑧1 , 𝜇2 )| ≤ 𝑙‖𝑦1 − 𝑦2 ‖𝛼 + 𝑙‖𝑧1 − 𝑧2 ‖𝛼 ≤ 𝑙𝑚𝛼 ‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝛼𝑟 + 𝑙𝑚𝛼 ‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝛼𝑟 ≤ 2𝑙𝑚𝛼 ‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝛼𝑟 = 𝛿. Do đó ta có 𝑔(𝑦2 , 𝜇2 ) − 𝑔(𝑧2, 𝜇2 ) + 𝜀2 ≥ 0 với mọi 𝑦2 ∈ 𝐾(𝜆2). Suy ra 𝑧2 ∈ 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ). Bây giờ, với mọi 𝑧0 ∈ 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 ) và với mọi 𝑧1 ∈ 𝑆̃(𝜀2 − 𝛿, 𝜆1 , 𝜇2 ) ta có 𝑑 (𝑧0 , 𝑆̃ (𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 )) ≤ ‖𝑧2 − 𝑧0 ‖ ≤ ‖𝑧2 − 𝑧1 ‖ + ‖𝑧1 − 𝑧0 ‖ ≤ 𝑚‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 + ‖𝑧1 − 𝑧0 ‖. Vì 𝑧1 bất kỳ nên ta có 𝑑 (𝑧0 , 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 )) ≤ 𝑚‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 + 𝑑 (𝑧0 , 𝑆̃(𝜀2 − 𝛿, 𝜆1 , 𝜇2 )). Suy ra 𝐻 ∗ (𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 )) ≤ 𝑚‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 + 𝐻 ∗ (𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 ), 𝑆̃(𝜀2 − 𝛿, 𝜆1 , 𝜇2 )) ≤ 𝑚‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 + 𝐻(𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 ), 𝑆̃(𝜀2 − 𝛿, 𝜆1 , 𝜇2 )). Áp dụng bước 2 ta được ρ 𝐻 ∗ (𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 )) ≤ 𝑚‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 +𝛿 ε̅0 ρ 𝛼 ≤ 𝑚‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 + 2𝑙𝑚𝛼 ‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 1 ε̅0 ρ 𝛼 ≤ (𝑚 + ε̅ 2𝑙𝑚𝛼 ) ‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 1 . 0 17
AGU International Journal of Sciences – 2021, Vol. 29 (3), 11 – 19 Tương tự, ta cũng có ρ 𝛼 𝐻 ∗ (𝑆̃(𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 )) ≤ (𝑚 + ε̅ 2𝑙𝑚𝛼 ) ‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 1 . 0 ρ 𝛼 Vậy 𝐻(𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 )) ≤ (𝑚 + ε̅ 2𝑙𝑚𝛼 ) ‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 1 . (12) 0 𝛼 𝛿 Trường hợp 2. Nếu 𝛿 = 2𝑙𝑚𝛼 ‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 1 > 𝜂 thì tồn tại số tự nhiên 𝑛 sao cho 𝑛 ≤ 𝜂. Phân hoạch đều đoạn [𝜆1 , 𝜆2 ] với 𝑛 + 1 điểm 𝜏1 , . . . , 𝜏𝑛+1 sao cho ‖𝜆1 −𝜆2 ‖𝑟 𝜏1 = 𝜆1 , . . . , 𝜏𝑛+1 = 𝜆2 và ‖𝜏𝑗 − 𝜏𝑗+1 ‖ = . 𝑟 𝑛 Khi đó ta có 𝛼 𝛼 𝛼1 ‖𝜆1 −𝜆2 ‖𝑟 1 ‖𝜆1 −𝜆2 ‖𝑟 1 𝜂 ‖𝜏𝑗 − 𝜏𝑗+1 ‖ = ≤ ≤ . 𝑟 𝑛 𝛼1 𝑛 2𝑙𝑚𝛼 𝛼1 Suy ra 2𝑙𝑚𝛼 ‖𝜏𝑗 − 𝜏𝑗+1 ‖ ≤ 𝜂. 𝑟 Áp dụng kết quả của trường hợp 1 của bước 4 ta có 𝑛 𝐻(𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 )) ≤ ∑ 𝐻(𝑆̃(𝜀2 , 𝜏𝑗 , 𝜇2 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜏𝑗+1 , 𝜇2 )) 𝑗=1 𝑛 ρ 𝛼1 ≤ (𝑚 + 2𝑙𝑚𝛼 ) ∑‖𝜏𝑗 − 𝜏𝑗+1 ‖ ε̅0 𝑟 𝑗=1 𝛼 ρ ‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 1 ≤ 𝑛 (𝑚 + 2𝑙𝑚𝛼 ) ε̅0 𝑛 𝛼1 ρ 𝛼 = 𝑛1−𝛼1 (𝑚 + ̅ 2𝑙𝑚𝛼 ) ‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 1 . (13) ε0 Kết hợp (12) và (13) ta có ρ 𝛼 𝛼 𝐻(𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 )) ≤ 𝑛1−𝛼1 (𝑚 + ̅ 2𝑙𝑚𝛼 ) ‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 1 ∶= 𝑘3 ‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 1 , ε0 ρ trong đó 𝑘3 = 𝑛1−𝛼1 (𝑚 + ε̅ 2𝑙𝑚𝛼 ). 0 Bước 5. Kết hợp kết quả của bước 2, bước 3, bước 4 ta được 𝐻 (𝑆̃(𝜀1 , 𝜆1 , 𝜇1 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 )) ≤ 𝐻 (𝑆̃(𝜀1 , 𝜆1 , 𝜇1 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 )) +𝐻 (𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇1 ), 𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 )) + 𝐻(𝑆̃(𝜀2 , 𝜆1 , 𝜇2 ), 𝑆̃ (𝜀2 , 𝜆2 , 𝜇2 )) 𝛽 𝛼 ≤ 𝑘1 |𝜀1 − 𝜀2 | + 𝑘2 ‖𝜇1 − 𝜇2 ‖∞ + 𝑘3 ‖𝜆1 − 𝜆2 ‖𝑟 1 . Vậy ánh xạ nghiệm 𝑆̃ liên tục Hölder trên [𝜀̅0 , +∞) × 𝑁 × Ω. 3. KẾT LUẬN khiển, tính lồi cũng như tính liên tục Hölder của Bài báo đã nghiên cứu thành công tính ổn định hàm mục tiêu, các điều kiện đủ cho tính liên tục của ánh xạ nghiệm xấp xỉ của bài toán điều khiển Hölder của ánh xạ nghiệm xấp xỉ đã được thiết tối ưu phụ thuộc tham số với phương trình trạng lập. Kết quả trong Mục 2 là hoàn toàn mới cho thái tuyến tính. Bằng cách sử dụng các giả thiết lớp bài toán được xét. Tuy nhiên, bài báo nghiên liên quan đến tính bị chặn trên phương trình điều cứu cho lớp bài toán điều khiển tối ưu vô hướng 18
AGU International Journal of Sciences – 2021, Vol. 29 (3), 11 – 19 với phương trình điều khiển tuyến tính, đây là lớp set to a parametric optimal control problem. bài toán khá đặc biệt. Chủ đề nghiên cứu trong bài SIAM Journal Control Optimization, 50, 2889- báo này có thể mở rộng cho lớp các bài toán tổng 2906. quát hơn, chẳng hạn cho lớp bài toán với phương Malanowski, K. (2001). Sensitivity analysis for trình điều khiển phi tuyến và hàm mục tiêu vector, optimal control problems subject to higher đây cũng là một trong những công trình của chúng order state constraints. Annals of Operations tôi trong thời gian sắp tới. Research, 101, 43-73. TÀI LIỆU THAM KHẢO Malanowski, K. (2007). Sufficient optimality Alexander, J.Z. (2013). Structure of approximate conditions in stability analysis for state- solutions of optimal control problems. New constrained optimal control. Applied York: Springer. Mathematics Optimization, 55, 255-271. Alekseev, V.M., Tikhomirov, V.M., & Fomin, Malanowski, K. (2007). Stability and sensitivity S.V. (1987). Optimal control. New York: analysis for linear-quadratic optimal control Springer Science+Business Media. subject to state constraints. Optimization, 56, Lâm Quốc Anh., Phan Quốc Khánh., & Trần 463-478. Ngọc Tâm. (2012). On Hölder continuity of Malanowski, K. (2007). Stability analysis for approximate solutions to parametric nonlinear optimal control problems subject to equilibrium problems. Nonlinear Analysis, 75, state constraints. SIAM Journal Optimization, 2293-2303. 18, 926-945. Lâm Quốc Anh., Phan Quốc Khánh., & Trần Malanowski, K. (2008). Second-order conditions Ngọc Tâm (2015). On Hölder continuity of in stability analysis for state constrained solution maps of parametric primal and dual optimal control. Journal of Global Ky Fan inequalities. TOP, 23, 151-167. Optimization, 40, 161-168. Lâm Quốc Anh, Nguyễn Phúc Đức, Võ Thành Tài Santos, I.L.D. & Silva, G.N. (2014). Filippov’s & Trần Ngọc Tâm (2018). Tính liên tục selection theorem and the existence of Hölder của ánh xạ nghiệm bài toán điều khiển solutions for optimal control problems in time tối ưu phụ thuộc tham số. Tạp chí khoa học scales. Computational and Applied trường Đại học Cần Thơ, 54, 53-58. Mathematics, 33, 223-241. Dontchev, A., Hager, W.W., Malanowski, K. & Walczak, S., (2001). Well-Posed and Ill-Posed Veliov, V.M. (2000). On quantitative stability Optimal Control Problems. Journal of in optimization and optimal control. Set- Optimization Theory and Applications, 109, Valued Analysis, 8, 31-50. 169-185. David G.H. (2003). Optimal control theory for Zhan, Z., Wei, W., Li, Y. & Xu, H. (2012). applications. New York: Springer Existence for calculus of variations and Science+Business Media. optimal control problems on time scales. Kien, B.T. (2008). Lower semicontinuity of the International Journal of Innovative solution set to a parametric generalized Computing, Information and Control, 8, 3793- variational inequality in reflexive Banach 3808. spaces. Set-Valued Analysis, 16, 1089-1105. Kien, B.T., Toan, N.T., Wong, M.M. & Yao, J.C. (2012). Lower semicontinuity of the solution 19