Ụ
Ụ
M C L C
Ở Ầ
M cụ
ề
ọ
3 A Lý do ch n đ tài: ......................................................................................................................
ụ
ứ
3 B M c đích nghiên c u: ................................................................................................................
ứ
ệ
ụ 3 C Nhi m v nghiên c u: ...............................................................................................................
ố ượ
ạ
ứ
D Ph m vi và đ i t
4 ng nghiên c u: ...........................................................................................
ươ
ứ
E Ph
4 ng pháp nghiên c u: .........................................................................................................
Ộ
Ầ
PH N II: N I DUNG
6 ..........................................................................................................................
ươ
ơ ở
ế
ề
ậ
Ch
ự ễ 6 ng I: C s lý lu n và th c ti n có liên quan đ n đ tài ....................................................
ự ễ
ư ạ
ự
ứ
ụ
ệ
ả
ầ
ậ ơ ở A C s lý lu n và th c ti n: 6 ................................................................................................... ạ ự B Th c tr ng : 6 ............................................................................................................................ ọ ươ 7 ................... Ch ng II: Gi
ệ ứ ể i pháp s ph m c n th c hi n đ giúp h c sinh ng d ng h th c
ể ả
ươ
ậ
Viét đ gi
i ph
7 ng trình b c hai: .........................................................................
ậ
ủ
ộ ẩ
ng trình b c hai m t n:
ị ủ
ươ
ủ
ệ
ươ
ủ
ệ
ệ
ụ
ứ
ứ
ỏ
ể ng trình th a mãn bi u th c ch a nghi m:
ệ
ị
ng trình b c hai:
ươ ấ ủ
ậ ứ
ể
ệ
ị ư ạ
ấ ệ
ự
ẩ ệ ươ 7 ................................................................... I.Nh m nghi m c a ph ậ ươ ậ 8 ng trình b c hai : ..................................................................................................... II. L p ph ể ứ IV. Tính giá tr c a bi u th c nghi m c a ph 11 ng trình: ...................................................... ệ ữ ệ ứ V. Tìm h th c liên h gi a hai nghi m c a ph ng trình sao cho hai nghi m này không ố ộ 13 ............................................................................................................ ph thu c vào tham s : ươ ố ủ ị ệ VI. Tìm giá tr tham s c a ph 14 ........................ ủ ấ VII. Xác đ nh d u các nghi m c a ph 16 ....................................................... ỏ ớ VIII. Tìm giá l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c nghi m : 17 ............................................ ươ 18 ............................................................................................. Ch ng III: Th c nghi m s ph m
Ầ
Ậ
Ế
Ế
PH N III: K T LU N – KI N NGH
Ị 19 ..............................................................................................
ế
ậ
19 K t lu n .........................................................................................................................................
ế
ị 20 Ki n ngh : ......................................................................................................................................
Ả
Ệ
TÀI LI U THAM KH O
20 ..................................................................................................................
1
Trang Ầ 3 PH N I: M Đ U ..............................................................................................................................
2
Ở Ầ Ầ PH N I: M Đ U
A Lý do ch n đ tài:
ọ ề ạ ọ ệ ệ Trong giai đo n hi n nay, khi mà khoa h c, kinh t
ấ ẽ ể ủ ế ư ả c T B n Ch Nghĩa, n
ọ ạ i đang phát tri n m nh m , nh t là các n ế
ậ ệ ế ứ ỏ ể ổ ướ ế ệ ẻ ọ , công ngh thông tin trên ướ c ta ả ổ ọ i đ b sung nhân tài
c.
ọ ộ ộ ở ấ ể ế ớ th gi ẫ v n đang chú tr ng tìm ki m nhân tài thì th h tr , các em h c sinh càng ph i n ề ế ự l c nhi u trong trong vi c tìm ki m ki n th c, h c th t gi ấ ướ cho đ t n Môn Toán
ỹ ọ ế ặ ộ
ọ ầ ặ ế
ứ ề ỹ ặ ế ể ế ụ
ọ ỏ ấ ả THCS có m t vai trò r t quan tr ng, m t m t nó phát tri n h ộ ứ ố th ng hóa ki n th c, k năng và thái đ mà h c sinh đã lĩnh h i và hình thành ẩ ể ậ b c ti u h c, m t khác nó góp ph n chu n b nh ng ki n th c, k năng và thái đ ầ c n thi ự v c lao đ ng s n xu t đòi h i nh ng hi u bi
ể ị ữ ẳ ữ ọ ệ ấ ị ạ ề t nh t đ nh v Toán h c. ọ ệ ở ộ ị t đ ti p t c lên THPT, TH chuyên nghi p, h c ngh ho c đi vào các lĩnh ộ ế ươ
ọ ế Ch ứ ứ ế ặ ỹ
ể ọ
ữ ả ể ủ ế ả ng trình Toán THCS kh ng đ nh quá trình d y h c là quá trình giáo viên ạ ộ ch c cho h c sinh ho t đ ng đ chi m lĩnh ki n th c và k năng. M t khác ọ ầ ố ng cho h c sinh, giáo viên c n ph i hình thành cho h c ự i bài toán đ phát huy tính tích c c
ạ ọ ng Đ i h c, các tr
ườ ề ứ ớ
ề ể ấ ấ ọ
ậ ờ ượ ụ ng v
ượ ậ ộ ư ng bài t p ch a đa dang.
ế ư ạ
ế ỉ i lúng túng không t cách c do trong ch
ổ t ấ ượ mu n nâng cao ch t l ứ ơ ả sinh nh ng ki n th c c b n, tìm tòi đ cách gi ầ ở ộ ủ ọ c a h c sinh, m r ng t m suy nghĩ. ủ ườ ở ạ i đây, các tr Trong vài năm tr l ng PTTH chuyên c a ọ ọ ọ ể TP đang ra s c thi tuy n, ch n l c h c sinh và trong các đ thi vào l p 10 THPT, ệ ỏ ớ i l p 9 các c p xu t hi n các bài toán b c hai có trong các đ thi tuy n h c sinh gi ổ ế ứ ề ệ ứ ng d ng h th c Viét khá ph bi n. Trong khi đó n i dung và th i l ạ ấ ầ i r t ít, l ph n này trong sách giáo khoa l ặ Th nh ng đa s h c sinh khi g p bài toán b c hai, các em l ọ ng trình h c ch có 2 ti ứ ậ ế ề t, v nhà các em không bi ệ ứ ố ọ ươ ả ể ả ụ
i. ọ ậ ế Vì th tôi đã suy nghĩ làm th nào đ nâng cao ch t l
ả ượ gi i đ ọ đ c thêm sách tham kh o nên không ng d ng h th c Viét đ gi ế ụ ấ ượ ể ả ậ
ể ệ ứ t v n d ng h th c Viét đ gi ỳ ề ọ
ầ ị ụ ả ng h c t p cho các em ế ậ i các bài toán b c hai. ể ơ tin h n trong các k thi tuy n. Đó là lý do tôi ch n đ tài ớ i toán l p 9”.
ọ h c sinh, giúp các em bi ự Góp ph n giúp các em t ứ này: “Đ nh lý Viét và ng d ng trong gi ứ B M c đích nghiên c u:
ứ ế ổ
ả Đ nh m m c đích b sung nâng cao ki n th c gi ừ ậ ể ụ ể ụ ng d ng h th c Viét cho các em h c sinh THCS. T đó các em có th làm t i các bài toán b c hai có ố t
ọ ể ằ ụ ệ ứ ậ ứ các bài toán b c hai trong các k thi tuy n.
ữ ứ ế ơ ỉ ỳ ế ề t cách tìm ki n th c nhi u h n n a, không ch bài
Kích thích, giúp các em bi ả ậ
ạ ứ ệ toán b c hai mà c các d ng toán khác. ụ C Nhi m v nghiên c u:
ậ ệ ả ộ ạ Bài t p toán h c r t đa d ng và phong phú. Vi c gi
ọ ấ ố ớ ọ ệ ọ ọ
ụ ủ ứ ể ượ ả ả ậ ầ i bài toán là m t yêu c u ấ r t quan tr ng đ i v i h c sinh. Nhi m v c a giáo viên ph i làm cho h c sinh nh n d ng, hi u đ đó nghiên c u tìm ra cách gi c bài toán, t i.
3
ứ ề ạ ể ụ ề ệ ừ Đ nghiên c u đ tài này, tôi đã đ ra các nhi m v sau:
ứ
ọ ẫ ạ ề ậ ướ ệ ứ ế ứ ể
ế Nghiên c u các bài toán b c hai có liên quan đ n h th c Viét , tìm ng d n h c sinh ti p thu ki n th c đ các em ế
ấ ế ứ t ng ứ ch c h
ng pháp truy n đ t, h ứ ế ể ổ ờ Đ xu t thêm th i gian h p lý đ t ậ ẫ ợ ứ
Đi u tra 20 h c sinh xem có bao nhiêu h c sinh thích đ
ọ ọ ọ
ế ọ c h c nâng cao, ể
ế ươ ph ế t cách tìm ki m nâng cao ki n th c cho mình. bi ề ọ ướ ợ ng d n h c sinh bi ụ d ng hê th c Viét vào các bài toán b c hai sao cho h p lý. ề ượ ở ộ ế ứ ề ế
ứ D Ph m vi và đ i t
Nghiên c u 26 h c sinh đang h c l p 9B
ậ m r ng ki n th c v các bài toán b c hai và có bao nhiêu h c sinh có th ứ ti p thu, nâng cao ki n th c. ố ượ ạ ng nghiên c u: ọ ọ ớ ươ ng THCS Xuân D ng – ở ườ tr
ứ Thanh Oai – Hà N iộ ứ ứ ụ ạ ố ớ
ệ ứ Nghiên c u các ng d ng c a h th c Viét, trong môn đ i s l p 9, tìm ụ ủ ứ ứ ậ
ứ E Ph
ể hi u các bài toán b c hai có ng d ng hê th c Viét. ươ ng pháp nghiên c u: ụ ứ ử ụ ươ ứ ệ ụ Căn c vào m c đích và nhi m v nghiên c u, tôi s d ng các ph ng pháp
nghiên c u sau: ươ ứ ng pháp nghiên c u tài li u ệ :
ứ Ph ọ ắ ậ ế ứ ụ ứ
ậ ủ ươ ộ ẩ . ng trình b c hai m t n
ươ
ủ t t ng và tích c a chúng.
ệ ể
ọ Tôi đ c và ch n ra các bài toán b c 2 có ng d ng hê th c Viét, s p x p thành ụ 8 ng d ng sau: ng d ng 1: Nh m nghi m c a ph ệ ẩ ụ ng d ng 2: L p ph ụ ậ ậ ng trình b c hai . ng d ng 3: Tìm hai s bi ố ế ổ ụ ng d ng 4: Tính giá tr c a bi u th c nghi m c a ph ươ ị ủ ụ ng d ng 5: Tìm h th c liên h gi a hai nghi m c a ph ủ ụ
ủ ệ ứ ệ ữ ng trình. ươ ng trình sao cho
ệ ộ
ố ủ ươ ứ ể ỏ ố ứ ng trình th a mãn bi u th c ch a ng d ng 6: Tìm giá tr tham s c a ph
ấ ị ng trình b c hai.
ươ ấ ủ ủ ỏ ậ ứ ệ ị ể ệ
ấ ấ ng pháp ph ng v n, đi u tra:
ế ạ ự ọ ỏ ớ ệ t d y th c nghi m v i các câu i sau 1 ti
ứ Ứ Ứ Ứ Ứ ệ ứ Ứ ụ hai nghi m này không ph thu c vào tham s . Ứ ị ụ nghi m.ệ ng d ng 7: Xác đ nh d u các nghi m c a ph ụ Ứ ng d ng 8: Tìm giá l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c nghi m. ụ Ứ ớ ươ ề ỏ Ph ề ỏ Tôi h i đi u tra 20 h c sinh khá, gi h i sau:
ứ ế ố
ệ ứ ứ ậ
ề ả ộ
ọ ọ ạ ị ươ ủ ệ ỏ Câu 1: Em có mu n nâng cao ki n th c không ? ụ Câu 2: Em thích các bài toán b c hai có ng d ng h th c Viét không? Câu 3: Em có thích đ c nhi u sách tham kh o n i dung toán không ? ẩ i đ nh lý Viét. Hãy nh m nghi m c a các ph Câu 4: Em hãy đ c l ng trình
sau:
2 – 3x + m = 0, v i m là tham s , có hai nghi m x
1 ,
3
ệ ớ ố a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0 b/ x2 + 7x + 12 = 0 ươ ng trình: x
= P x x 2
3 1
x x 1 2
- ứ theo m.
4
ị ể ệ ươ ự Câu 5: Cho ph x2 (x1 > x2). Tính giá tr bi u th c Ph ư ạ ng pháp th c nghi m s ph m:
ắ ế ứ ệ
ụ ẫ ớ ự ổ ng 5 bu i (15 ti
ế ơ ở ể ọ ọ ề ụ ế ậ
5
ư ể ổ ệ ứ ụ Sau khi s p x p thành 8 nhóm ng d ng h th c Viét, tôi đã th c hi n lên ờ ượ ứ ướ ng d n h c sinh các ng d ng trên v i th i l t). Trong ự ả i quy t. Trên c s đó hàng gi ự . ng t ớ l p h ỗ ứ m i ng d ng đ u đ a ra bài t p đ h c sinh t ậ ươ năm giáo viên có th b sung thêm các bài t p t
Ầ
ươ ơ ở ế ề
ậ A C s lý lu n và th c ti n:
ủ ậ ằ
ụ ủ
Ộ PH N II: N I DUNG ự ễ ậ ng I: C s lý lu n và th c ti n có liên quan đ n đ tài ự ễ ụ ể ể ấ ậ ầ Ch ơ ở ề ụ M c tiêu c a giáo d c THCS theo đi u 23 Lu t giáo d c_là “Nh m giúp ộ ả ủ ọ ọ ệ ng nghi p, h c ụ ể ướ ề ỹ t ban đ u v k thu t và h
ặ ữ ế ố ọ h c sinh c ng c và phát tri n nh ng k t qu c a giáo d c ti u h c, có trình đ ế ọ h c v n THCS và nh ng hi u bi ộ ngh ho c đi vào cu c s ng lao đ ng”.
ụ ắ ộ ươ ề Đ kh c ph c m c tiêu trên, n i dung ch
ự
ớ ượ ng trình THCS m i đ ễ ự ọ ả ớ ờ ữ ộ ố ụ ươ ả ế ế c thi t k ự ế ng tính lý thuy t hàm luân, tăng tính th c ti n, th c hành ạ ố ế ọ h c và ho t t h c trên l p, tăng th i gian t
ạ
ươ ọ ư ọ ị
ể ả ướ ng gi m ch theo h ừ ứ ả ả b o đ m v a s c, kh thi, gi m s ti ộ đ ng ngo i khóa. Theo ch ế ọ ứ ượ ng trình trên, h c sinh đ ụ ủ ệ ứ
ư ầ ạ c h c Đ nh lý Viét nh ng không có ắ t h c đi sâu khai thác các ng d ng c a h th c Viét nên các em n m và ả ồ ưỡ ng và
ự ọ ứ ế ầ
ệ ứ ọ ng d n h c sinh t ạ ự ề nhi u ti ụ ậ v n d ng h th c Viét ch a linh ho t. Là giáo viên ta c n ph i b i d ẫ ướ h h c thêm ki n th c ph n này. B Th c tr ng :
i:
ượ ả ạ ớ
ự ế ứ ỏ ớ a. Thu n l ượ ọ
ố ứ ả ọ ệ ự ế ề ấ ồ c 3 năm, b i ế i l p 9 và ôn t p, nâng cao ki n th c cho h c sinh thi t ph i th c hi n đ tài:
ự ầ c s c n thi ớ i toán l p 9”.
ậ ợ c tr c ti p đ ng l p gi ng d y môn Toán kh i 9 đ Tôi đã đ ậ ưỡ ng h c sinh gi d ượ ớ ể tuy n vào l p 10 nên tôi th y đ ả ứ ị “Đ nh lý Viét và ng d ng trong gi ế ạ ồ c các đ ng nghi p góp ý ki n trong gi ng d y.
ố ượ ứ ế ụ ệ ỏ ề i đ u mong mu n đ ả c nâng cao ki n th c.
ế ụ ể ở ươ
ạ ệ ậ ch ư
ng phân b ti ế t (1 ti ụ
ượ Tôi đ ố ọ Đa s h c sinh khá, gi b. Khó khăn: ờ ượ Th i l ỉ ớ l p 9 ch có 2 ti ệ ể tri ầ ế ố ọ ế t đ các ng d ng c a h th c Viét. ọ ố ẹ ng là h c sinh vùng quê, b m làm nông
ứ ế ọ
ố ế ầ t cho ph n này còn h n ch , c th ng trình ậ ế ế t luy n t p). Do v y ch a khai thác t lý thuy t, 1 ti ủ ệ ứ ứ ườ ủ H u h t s h c sinh c a tr ượ c chú tr ng nâng cao ki n th c. nghi p. Do đó các em ít đ ừ ệ ữ ẽ T nh ng thu n l
i và khó khăn trên, v i đ tài này tôi mong giáo viên s giúp ứ ể ự ể ơ ỳ ớ ề tin h n trong các k thi tuy n. các em có thêm ki n th c đ t
ươ ủ ọ ậ ợ ế ạ
ự c. Th c tr ng c a giáo viên và h c sinh xã Xuân D ng T.Oai – Hà N i:ộ
ễ ở ự ọ ạ ệ Hi n nay, vi c d y và h c c a giáo viên và h c sinh trong th c ti n Xuân
ươ ư ạ c và ch a đ t sau:
ữ
ề ứ ọ t tình đ ki n th c trong ch ng trình. H c sinh
ọ ủ ệ ạ ượ ộ ố ặ D ng còn có m t s m t đã đ t đ (cid:0) Nh ng m t đã đ t đ ạ ượ ặ c: ệ ạ Giáo viên truy n đ t nhi ứ ơ ả ế ươ ạ ắ n m đ ủ ế c ki n th c c b n và đã hoàn thành THCS ( đ t 94%).
ồ ưỡ ọ ỏ ớ ư ề ọ ượ Giáo viên d y b i d ng h c sinh gi i l p 9 nhi u năm ch a có h c sinh
ứ ụ ạ ư ế ạ ọ ọ ch c d y ph đ o cho h c sinh y u, kém, nh ng h c
6
ữ ạ ỏ ạ ệ đ t gi i huy n môn Toán. (cid:0) Nhà tr ổ ườ ng có t ư ề ọ sinh đi h c ch a đ u. (cid:0) Nh ng m t ch a đ t: ư ạ ặ
Tr
ườ ứ ế ọ ố ng, nâng cao ki n th c cho h c sinh các kh i 6;
ng đã t 7; 8 song ch t l ổ ứ ồ ưỡ ch c b i d ư ấ ượ ng ch a cao.
ể ệ h c t p thêm ki n th c, tham kh o tài li u,… đ nâng cao
ố ọ ế ự ọ ậ S h c sinh t ư ứ ọ ỏ
ề ư ạ ươ ả ả ế i Toán còn r t h n ch . ụ ấ ạ ứ ọ ế ố ượ ứ ng h c sinh gi ki n th c ch a nhi u nên s l ể ệ ầ ng II: Gi i pháp s ph m c n th c hi n đ giúp h c sinh ng d ng h ệ Ch
Viét đ gi i ph
Tr
2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghi m :ệ
ươ ọ ươ ạ ế trong ch ng trình cho h c sinh ự th cứ ậ ng trình b c hai: ế ở t lý thuy t
b
=
=
;
x 2
a
a
2
- - D ể ả ướ ế c h t, Giáo viên d y ti ể ượ ị c đ nh lý Viét hi u đ ậ ươ ng trình b c hai: ax Cho ph - + D b 1 x
b
- + D b
=
+
=
+
x
x 1
2
a
a
b a
2 b 2 a 2
2
- - D - -
2
2
2
)
= (
(
)
b
2 - + D b
b
b
ac
4
b
=
=
=
=
=
x x 1 2
2
2
2
a
) ( a 4
4
a 4 ủ
Suy ra : - - D - - - D
c ac 4 2 a a 4 ươ ng trình.
=
=
+
=
S
x 2
x 1
1
b a ạ
ầ ượ ặ ổ Đ t S và P l n l - V y: ậ và t là t ng và tích hai nghi m c a ph = P x x 2. ệ c a
Giáo viên so n ra các d ng bài toán b c hai c n ng d ng h th c Viét đ
ậ ệ ứ ể
ả ạ ề ầ ứ ụ
ậ ủ ươ ộ ẩ . ứ ng trình b c hai m t n
ươ
t t ng và tích c a chúng.
ủ ệ ủ
ụ ụ ụ ụ ụ ng trình. ươ ệ ứ ng trình sao
ệ ố ụ ệ
ươ ể ỏ ị ng d ng 6: Tìm giá tr tham s c a ph ứ ng trình th a mãn bi u th c
ứ ệ
ấ ị ng trình b c hai.
ươ ấ ủ ủ ỏ ậ ứ ệ ị ể ệ ấ ớ
ụ i. Trong đ tài này tôi trình bày 8 nhóm ng d ng sau: gi ng d ng 1: Nh m nghi m c a ph Ứ ệ ẩ ng d ng 2: L p ph Ứ ậ ậ ng trình b c hai . ng d ng 3: Tìm hai s bi ố ế ổ Ứ ng d ng 4: Tính giá tr c a bi u th c nghi m c a ph ể Ứ ươ ứ ị ủ ng d ng 5: Tìm h th c liên h gi a hai nghi m c a ph ủ ệ ữ Ứ ộ cho hai nghi m này không ph thu c vào tham s . Ứ ố ủ ụ ch a nghi m. ng d ng 7: Xác đ nh d u các nghi m c a ph ụ Ứ ng d ng 8: Tìm giá l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c nghi m. ụ Ứ ụ ể ư
I.
ươ ậ ộ ẩ ng trình b c hai m t n:
Xét ph
2 + b.1 + c = 0 hay a + b + c = 0
C th nh sau: ẩ ệ ủ Nh m nghi m c a ph ệ ặ ạ 1. D ng đ c bi t: 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*) ươ ng trình: ax ế a/ N u cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.1
1 = 1 và nghi m kia là x
2 =
c a
ươ ệ ệ ư ậ Nh v y: ph ộ ng trình có m t nghi m x
2 +b.(1)+c = 0 hay a b + c = 0
1 = 1 và nghi m kia là x
2 =
c a
ế b/ N u cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.(1) - ươ ệ ệ ư ậ Nh v y: ph ộ ng trình có m t nghi m x
Ví d :ụ
ệ ứ ủ ể ệ ẩ ươ Dùng h th c Vi_ét đ nh m nghi m c a các ph ng trình sau:
7
a/ 2x2 + 5x + 3 = 0 (1)
b/ 3x2 + 8x 11 = 0 (2) iả :
b + c = 0, nên có 2 nghi m: ệ (1) có d ng a 3 2
ươ ạ Gi ấ Ta th y: Ph ng trình - x1 = 1 và và x2 =
+ b + c = 0, nên có 2 nghi m:ệ
11 3
ươ ạ Ph ng trình (2) có d ng a - x1 = 1 và x2 =
ụ ậ ủ ệ ươ Bài t p áp d ng: Hãy tìm nhanh nghi m c a các ph ng trình sau:
ế ướ ộ t, cho tr ệ c m t nghi m
ỉ ộ ệ ố ư ươ ệ ố ủ a/ 35x2 37x + 2 = 0 b/ 7x2 + 500x 507 = 0 c/ x2 49x 50 = 0 d/ 4321x2 + 21x 4300 = 0 2. Cho ph ạ còn l ươ i và ch ra h s c a ph ng trình, có m t h s ch a bi ng trình:
Ví d :ụ
1 = 2, tìm p và nghi m kia. 1 = 5, tìm q và nghi m kia.
ộ ộ
2 – 2px + 5 = 0 có m t nghi m x ệ ệ 2 + 5x + q = 0 có m t nghi m x ệ ệ 2 – 7x + q = 0 có hi u hai nghi m b ng 11. Tìm
ệ ệ ằ q và hai
a/ Ph b/ Ph c/ Ph ủ ệ ng trình x ng trình x ng trình x ươ ươ ươ ươ nghi m c a ph
2 – qx +50 = 0, bi
ế ươ ng trình. d/ Tìm q và hai nghi m c a ph t ph ng trình
ươ ng trình : x ầ ủ ằ ệ ộ ệ ệ có hai nghi m và m t nghi m b ng 2 l n nghi m kia.
p =�
ệ iả : Gi
2 – 2px + 5 = 0 , ta đ
1 4
=
ươ ượ ng trình x c 4 – 4 p + 5 = 0 a/ Ta thay x1 = 2 vào ph
1. x2 = 5 suy ra: x2 =
5 x 1
ệ ứ Theo h th c Viét : x
5 2 2 + 5x + q = 0 , ta đ
50
=
= -
10
1. x2 = 50 suy ra: x2 =
50 5
50 x 1
ươ ượ ng trình x c: 25+ 25 + q = 0 b/ Ta thay x1 = 5 vào ph q = -� - - ệ ứ Theo h th c Viét: x
ẳ s : x ệ ứ ả ử 1 x2 =11 và theo h th c
11
+
=
7
= x 2 x 2
x � 1 � x � 1
= x �(cid:0) 1 � x � 2
ề ng trình sau: c/ Vì vai trò c a xủ 1 , x2 bình đ ng nên theo đ bài gi Viét: x1+ x2 = 7 ta có h ph - Suy ra: q = x1. x2 = 9.(2)= 18 ệ ươ 9 = -
ề s : x ệ ứ ả ử 1 = 2x2 và theo h th c
2 d/ Vì vai trò c a xủ 1 , x2 bình đ ng nên theo đ bài gi Viét: x1. x2 = 50 ta có h ph
=
=
2
2
2
=
=
ẳ ệ ươ
�
�
�
2
50
5
x 2
x 2
x � 2 x � 2
5
5 Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15 10
x � 1 x x . � 1 2 V i ớ 2 V i ớ 2
x 2 2 = 50 x = thì 1 10 x = 5 x = - x = - thì 1
(cid:0) (cid:0) ng trình sau: 5 = -
Suy ra: S = q = x1 + x2 = ( 5) + (10) = 15
ậ ậ II. L p ph
1, x2
8
ươ ế ệ ươ ng trình b c hai : ậ 1. L p ph ậ ng trình b c hai khi bi t hai nghi m x
Ví d :ụ
ươ ệ ậ ậ ứ ng trình b c hai ch a hai nghi m trên
=
+
=
S
5
x 1
x 2 =
1
Cho x1= 3; x2= 2 . Hãy l p ph iả : Gi (cid:0) (cid:0) ệ ứ Theo h th c Viét, ta có: (cid:0)
= P x x 6 . 2 ủ ươ ệ 1; x2 là nghi m c a ph x2 – 5x + 6 = 0 ứ
ạ ng trình có d ng:
ươ ậ ậ ệ Bài t p áp d ng: ng trình b c hai ch a hai nghi m:
ứ ể ậ ứ ệ ng trình b c hai có hai nghi m th a mãn bi u th c ch a
ươ ệ ủ ộ ươ ướ V y xậ x2 – Sx + P = 0 (cid:0) ậ ụ Hãy l p ph a/ x1= 8 và x2= 3 b/ x1= 3a và x2= a c/ x1= 36 và x2= 104 d/ x1= 1+ 2 và x2= 1 2 ậ 2/ L p ph hai nghi m c a m t ph ng trình cho tr ỏ c
Ví d :ụ
2 – 3x + 2 = 0 có hai nghi m phân bi
ươ ệ ng trình x iả ệ 1; x2 . Không gi
+
+
=
=
y
x 2
x 1
2
y 1
ậ ươ ậ t x ỏ Cho ph ươ ph ng trình trên, hãy l p ph
1 x 1
và ẩ ng trình b c hai có n là y th a mãn: 1 x 2
Gi
+
x 2
=
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
= + =
(
)
(
)
S
y
3
y 1
2
x 2
x 1
x 1
x 2
x 1
x 2
2 3
9 2
1 x 1
1 x 2
1 x 2
x 1 x x 1 2
� 1 � x � 1
� = � �
=
+
+
= + + + =
= P y y .
+ + + 1 1
2 1 1
1
2
x x . 1 2
1 2
9 2
1 x 2
� = � �
�� � 1 x x . �� � 1 2 x �� � 1 ươ ậ V y ph
2
2
2
iả : ệ ứ Theo h th c Viét, ta có:
�
y
y
0
2
+ = y 9
9 0
+ = Sy P
y
0
1 x x 1 2 ạ 9 2
- - - hay ầ ậ ng trình c n l p có d ng: 9 + = y 2
2 + 5x 6 = 0 có hai nghi m phân bi
ệ ệ 1; x2 . Không
=
+
=
+
y
y 1
x 1
2
x 2
ả ậ ươ ẩ t x ỏ ụ ậ Bài t p áp d ng: ươ 1/ Cho ph ng trình 3x ươ ng trình trên, hãy l p ph i ph gi ng trình b c hai có n là y th a mãn:
1 x 2
+
+ 2
�
y
y
- = y
0
5
6
3 0
và ậ 1 x 1
5 6
) (Đáp s : ố 2 y
1 - = 2 2 5x 1 = 0 có hai nghi m phân bi ậ
ệ ươ iả ệ 1; x2 . Không gi
4
ẩ t x ỏ
y
2
2
1 0
ươ x= 2/ Cho ph ươ ph ng trình b c hai có n là y th a mãn: 4 1 - + = y
(
1; x2 mà x1 < x2 . )
ng trình x
( 1x 2
1
t ph ươ ) ệ x 1
ươ ng trình: x ậ ng trình trên, hãy l p ph x= và y 1 (Đáp s : ố 2 727 y 2 px + q = 0 có hai nghi m d ươ ) x - ậ ệ 2 1 2 2x – m2 = 0 có hai nghi m phân bi ng trình: x t x ng x x- và ệ 1; x2 . Hãy l pậ
9
ệ ậ ế 3/ Cho bi ậ Hãy l p ph 4/ Cho ph ươ ph ng trình b c hai có hai nghi m y ươ ng trình b c hai mà các nghi m là : ệ 1; y2 sao cho:
- -
1
2
y 1 y 1
x= 1 3 x= 12
2
2
=
x= 2 3 x= 22 2 y
= 2 m
m
y
y
3) 0
(4
0
2
- - a/ b/ - - - - ; b/ )
III. Tìm hai s bi
ệ ế ằ ố
ươ
y và 2 y 1 và + - ố (Đáp s : a/ y 3 4 ố ế ổ ủ t t ng và tích c a chúng: ủ ằ ổ ố N u hai s có t ng b ng S và tích b ng P thì hai s đó là hai nghi m c a 2 – Sx + P = 0 (đk: S2 4P ≥ 0) ng trình : x ố
ế ổ t t ng S = a + b = 3 và tích P = a.b = 4. ph Ví d :ụ Tìm hai s a, b bi
Gi
2 + 3x – 4 = 0
ủ
ươ c x Gi iả : Vì: S = a + b = 3 và tích P = a.b = 4 ng trình: x Nên a, b là hai nghi m c a ph ượ 1= 1 và x2= 4
ả V yậ
ậ
ế ổ ố ệ ươ i ph ng trình trên ta đ ế n u a = 1 thì b = 4 ế n u a = 4 thì b = 1 ụ Bài t p áp d ng: Tìm hai s a, b bi t t ng S và tích P:
a/ S = 3 và P = 2 b/ S = 3 và P = 6 c/ S = 9 và P = 20 d/ S = 2x và P = x2 – y2
ậ
ố ế Bài t p nâng cao: Tìm hai s a, b bi t:
a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41 b/ a b = 5 và a.b = 36 c/ a2 + b2 =61 và a.b = 30
ướ
ế ổ ệ ứ ụ ủ ể ậ ố t t ng c a hai s a và b, v y đ áp d ng h th c Viét thì
2
+ 2
ẫ H ng d n: ề a/ Theo đ bài ta dã bi ố ủ ầ c n tìm tích c a hai s a và b. -
(
)
a
b
81
2
2
2
+ =
=
+
=
=
=
(
)
�
�
�
a b
+ a b
a
+ ab b
ab
9
81
2
81
20
2
=
T ừ
4
2
x
+ x
9
= (cid:0) 20 0
=
5
x 1 x 2
(cid:0) - (cid:0) ủ ệ ươ ạ Suy ra: a, b là nghi m c a ph ng trình có d ng: (cid:0)
ậ
ế ế
V y: N u a = 4 thì b = 5 N u a = 5 thì b = 4 ế ầ ổ
= -
4
2
x
x
5
= (cid:0) 36 0
=
9
x 1 x 2
2
2 =
t tích: ab = 36 do đó c n tìm t ng: a + b ặ b/ Đã bi Cách 1: Đ t c = b ta có: a + c = 5 và a.c = 36 (cid:0) - - (cid:0) ủ ệ ươ ạ Suy ra: a, c là nghi m c a ph ng trình có d ng: (cid:0)
(
)
)
�
) ( 2 = + a b
+ a b
ab
+ a b
4
169
= ab 4 + = -
- - - Do đó: N u a = 4 thì c = 9 nên b = 9 N u a = 9 thì c = 4 nên b = 4 ( ) 2 ế ế a b Cách 2: T ừ (
a b
13
=
(
) 2
�
+ a b
2 13
� (cid:0)
+ =
(cid:0)
a b
13
10
(cid:0)
= -
4
2
+
+
x
x
13
= (cid:0) 36 0
= -
9
ủ ệ ớ ươ V i a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghi m c a ph ng trình : (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x 1 x 2 V y a = 4 thì b = 9
ậ
=
4
2
x
+ x
13
= (cid:0) 36 0
=
9
x 1 x 2 V y a = 4 thì b = 9 ầ ế
ủ ệ ớ ươ V i a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghi m c a ph ng trình : (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
+ = -
a b
11
2
2
2
2
+
+
=
+
=
=
=
+
(
�
a
+ a b
ab
b
a
b
61
2
= 2 61 2.30 121 11
� (cid:0)
+ =
a b ủ
c/ Đã bi (cid:0) ậ t ab = 30, do đó c n tìm a + b: ) 2 T ừ (cid:0)
11 N u a + b = 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghi m c a ph
= -
5
2
+
+
x
x 11
= (cid:0) 30 0
= -
6
x 1 x 2
ệ ế ươ ng trình : (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ậ
=
5
2
x
+ x 11
= (cid:0) 30 0
=
6
x 1 x 2
ủ ệ ớ ươ V y a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5 V i a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghi m c a ph ng trình : (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
ậ V y a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5
ươ ứ ủ
ế ọ ấ đ i v i các bài toán d ng này là ph i bi
ể IV. Tính giá tr c a bi u th c nghi m c a ph Đi u quan tr ng nh t ệ ng trình: ạ ứ ổ ị ủ ề ứ ể
ả ệ ứ ị ủ ứ ồ ụ ể ệ ệ ế ố ớ t bi n ề ể ổ đ i bi u th c nghi m đã cho v bi u th c có ch a t ng hai nghi m S và tích hai nghi m P đ áp d ng h th c Viét r i tính giá tr c a bi u th c.
2
2
2
+
+
=
+
ể ế ổ ể ệ ứ ứ ể ấ ệ 1/ Bi n đ i bi u th c đ làm xu t hi n: x1 + x2 và x1. x2
(
) 2
- -
)
2
2
2
x 2
x 2
2 x 1
+ x 1
x 2
x x 1 2
2
3
=
+
Ví d 1:ụ a/ x 1
(
)
) 2
= x x 1 2 ) =
x
3
x 1
x 2
2 x 1
x 2
+ x 1
x 2
3 x 1
x 2
2
x x 1 2
� �
2
2
2
2
2
2
4
4
2
=
+
=
+
( + � x � 1 = 2
+
- - b/
)
- - -
( ( (
+ )
x x 1 2 ) ( (
)
+ x x 1 2 (
)
x
2
2
2
x 2
2 x 1
x 2
2 x x 1
2
x 1
x 2
2
x x 1 2
2 x x 1 2
( + � x � 1
� �
2 x 1 +
x 2
+
=
c/
1 x 2 x-
x 1 x x 1 2 ?
= 2
2
2
2
2 =
d/
)
( +
)
- - - -
(
)
2
4
4
2
1 x 1 Ví d 2:ụ 1 x ổ ( ế Ta bi n đ i
x 1
x 2
= 2 x 2
+ 2 x 1
+ x x 1 2
x 2
= x x 1 2
x 1
x 2
x x 1 2
x 1
(
+ x x 1 2 ) 2
�
�
4
x 1
+ x 1
x x 1 2
x 2
- -
ậ ụ
2
x-
?
= x 2 Bài t p áp d ng: ể ừ T các bi u th c đã bi n đ i trên hãy bi n đ i các bi u th c sau: = 2 a/ x 1
2
= 2
ứ ứ ế ế ể ổ ổ
) (
)
(
...
x 2
+ x 1
x 2
= x 2
x 1
= 3
x-
- - 2 x 1 )
2
= 3
b/ ( HD 3 x ? 1
(
)
) 2
(
) (
- - - -
)
x
3 x 1
x 2
x 2
+ 2 x 1
+ x x 1 2
= 2 2
x 1
x 2
x 2
= x x 1 2
x 1
( + � x � 1
� ... � )
11
(HD
4
= 4
x-
?
2
x 1
2
= 4
+ 2
- -
(
) (
)
x
...
x 2
x 1
x 2
2 x 1
= 2 2
6
)
6 x 1
2
3
3
6
2
2
4
+
=
+
=
+
+ 2
c/ 4 x ( HD 1 = x+ d/ ?
-
(
)
(
)
(
) (
x
x
x
...
6 x 1
x 2
2 x 1
2
2 x 1
2
4 x 1
2 x x 1
2
2
( HD )
) = 1
1
7
5
+
=
= 6
?
x-
x+
x+
?
?
?
= g/
= h/
6 x 1
2
7 x 1
2
5 x 1
2
1
x 1
x 2
e/ f/ - -
1 ứ
ả ươ ệ ể 2/ Không gi i ph ị ủ ng trình, tính giá tr c a bi u th c nghi m
Ví d :ụ
2 8x + 15 = 0, Không gi
2
2
x+
ươ ả Cho ph ng trình: x ng trình, hãy tính:
x 1
2
a/ b/ i ph 1 + x 1 ươ 1 x 2
=
=
+
S
8
x 1
x 2 =
15
1
2
2
2
2
+
+
+
=
Gi iả : (cid:0) (cid:0) ệ ứ Theo h th c Viét,Ta có: (cid:0)
(
) 2
= P x x . 2 )
2
2
8
= 2.15 34
2
= x x 1 2
+ x 1
x 2
= x x 1 2
x 2
2 x 1 +
x 2
=
+
=
- - - a/
x x 1 2 8 18
b/
( x 1 x x 1 2
ậ
2 8x + 15 = 0, Không gi (Đáp án: 46)
2
+
ả ươ ng trình: x i ph ng trình, hãy tính:
34 15
b/ (Đáp án: )
2 72x + 64 = 0, Không gi
x x 1 2 1 1 x x 1 2 ụ Bài t p áp d ng: ươ 1/ Cho ph ) 2 a/ ( x+ 2 2 x 1 x x 1 2 x x 2 1 2/ Cho ph 2 2 a/
ả ươ ươ ng trình: 8x i ph ng trình, hãy tính:
+
(Đáp án: 65)
9 8
b/ (Đáp án: )
2 14x + 29 = 0, Không gi (Đáp án: 138)
x+ x 1 2 1 1 x x 1 2 3/ Cho ph 2 2 a/
+
ươ ả ươ ng trình: x i ph ng trình, hãy tính:
14 29
b/ (Đáp án: )
2 3x + 1 = 0, Không gi
x+ x 1 2 1 1 x x 1 2 4/ Cho ph 2 2 a/
x 1
2
+
ươ ả ươ ng trình: 2x i ph ng trình, hãy tính:
x+ x 1 +
x 2 +
1
x 1
+
b/ (Đáp án: ) (Đáp án: 1) 5 6
1 1 x 2
c/ (Đáp án: 3)
x 2 1 x 1 1
1
x 1
x 2
+
- - d/ (Đáp án: 1)
2 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghi m xệ
1, x2 . Không gi
x 1 5/ Cho ph ươ
x 2 ươ ng trình, hãy tính:
ng trình: x iả
12
ph
2
2
+
+
6
x 2
=
Q
10 3
x 1 5
x x 1 2 + 5
x x 1 2
6 3 x x 1 2
2
2
2
2
-
)
+
2.8
(
)
+
+
6
2
6
x x 1 2
x 2
=
=
=
Q
10 3
2
2
-
x 2 +
x 1 5
x x 1 2 + 5
17 80
)
x x 1 2
6 3 x x 1 2
5
2
(HD: ) - -
)
x 2
x x 1 2
x x 1 2
2.8
x 1 ( � x � 1
( 6. 4 3 ( � � 5.8 4 3 � � � ố
= � � � ệ
1, x2
3
3 1
ươ 6/ Cho ph - (x1> x2 ). Tính giá tr bi u th c :
2 3x + m = 0, v i m là tham s , có 2 nghi m x ứ theo m. ươ
= A x x 2 ủ ệ
ệ ứ ệ ng trình sao cho hai nghi m
ụ ố ớ ng trình: x ị ể x x 1 2 ệ ữ V. Tìm h th c liên h gi a hai nghi m c a ph ộ này không ph thu c vào tham s :
ể ầ ượ t theo các b
Đ t đi u ki n cho tham s đ ph
ươ ướ c sau: ệ x1 và x2 ng trình đã cho có 2 nghi m
1 + x2 và P = x1. x2 theo tham s .ố ừ
1 và x2 . T đó đ a ra h
t S = x ế ể ố ư ệ
1 và x2 .
ạ Đ làm các bài toán d ng này, ta làm l n l ặ ề ố ể ệ ≥ 0). ườ ng là a ≠ 0 và (th ế ệ ứ ụ Áp d ng h th c Viét vi ắ ộ ặ Dùng quy t c c ng ho c th đ tính tham s theo x ệ ệ ữ th c liên h gi a các nghi m x
ứ Ví d 1 :ụ
Cho ph
1 và x2. L p hậ ng trình sao cho chúng không ph
2 – 2mx + m 4 = 0 có 2 nghi m xệ 1 và x2 c a ph
ươ ủ ươ ệ ữ ệ ệ ụ
ng trình: (m 1)x th c liên h gi a hai nghi m x thu c vào m.
1
1 0
1
�
�
�
2
ể ươ ệ ứ ộ Gi iả : Đ ph ng trình trên có hai nghi m x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
1 (
)
m
m
m
' 0
) ( 1
4
0
4 0
m � � �
m � � 5 �
m � � m �
1 và x2 thì: m � � m �(cid:0)
4 5
=
+
=
=
+
= + 2
(1)
x 1
x 2
x 1
x 2
D (cid:0) - (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2 m
1
m 1
=
= - 1
(2)
= P x x . 2
1
= P x x . 2
1
- - (cid:0) ệ ứ Theo h th c Viét,Ta có: -
� S � � � � � �
2 m 3 m
m m
1
4 1
=
+
- -
(3)
- =� m 1
2
x 1
x 2
� S � � � � � � 2 x
2 m
2
2
+ x 1
(4)
= - 1
- =� m 1
x x 1 2
- ừ Rút m t (1), ta có: - -
1 3 m
1
1
3 x x 1 2
ừ Rút m t (2), ta có: - -
=
ừ T (3) và (4), ta có:
) =
(
)
(
)
�
�
( 2 1
3
2
3
2
8 0
x x 1 2
+ x 1
x 2
+ x 1
+ x 2
- = x x 1 2
+
2
1
2 x 2
x 1
3 x x 1 2
- - - -
ệ ươ ng trình: (m 1)x
2 – 2mx + m 4 = 0. ủ ị ủ 1 + x2 ) + 2 x1 x2 8 không ph thu c giá tr c a
G i xọ 1 và x2 là 2 nghi m c a ph ứ ứ ể ằ ụ ộ
Ví d 2 :ụ ch ng minh r ng bi u th c A = 3(x m.
Gi
1 và x2 thì:
1
1 0
1
�
�
�
2
ệ iả : ể ươ Đ ph ng trình trên có hai nghi m x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
1 (
)
m
m
m
' 0
4 0
) ( 1
4
0
m � � �
m � � 5 �
m � � m �
m � � m �(cid:0)
4 5
13
D (cid:0) - (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
=
+
=
S
x 1
x 2
2 m
m 1
=
= P x x . 2
1
m m
4 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) ệ ứ Theo h th c Viét,Ta có: - (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
m
+ m m 2
6
+
1) =
3.
2.
- = 8
0
m m
m
0 m
m 1
4 1
8 8( 1
= 1
m (cid:0)
1m (cid:0)
ứ ể Thay vào bi u th c A, ta có: - - - - A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 = - - - -
2 m 4 5
ậ ớ ọ V y A = 0 v i m i và .
ị ủ ụ ộ Do đó bi u th c A không ph thu c giá tr c a m.
2 – (m + 2)x + (2m 1) =0 có 2 nghi m xệ ng trình sao cho x
1 và x2 c a ph
ươ ủ ộ ậ ứ ể ụ ươ ng trình: x ệ ữ ệ ệ 1 và x2. Hãy l p hậ ố 1 và x2 đ c l p đ i
ươ ậ Bài t p áp d ng: 1/ Cho ph ứ th c liên h gi a hai nghi m x ớ v i m. ướ ẫ H ng d n: Tính ta đ ượ = (m 2)2 + 4 > 0 do đó ph c: ệ ng trình đã cho có 2 nghi m
+
- =
(
)
2
5 0
x 1
x 2
x x 1 2
phân bi t xệ 1 và x2 - ậ ụ ệ ứ ổ ượ ế ộ ậ V n d ng h th c Viét, ta bi n đ i đ c : ố ớ đ c l p đ i v i
m.
ng trình: x
2 + (4m + 1) x + 2(m 4) =0 có 2 nghi m xệ ng trình sao cho x
1 và x2 c a ph
1 và x2. Hãy tìm hệ 1 và x2 không phụ
ươ ủ ệ
ươ ệ ữ ị ủ
2/ Cho ph th c liên h gi a hai nghi m x thu c giá tr c a m. ẫ H ng d n:
ươ ệ ượ = 16m2 + 33 > 0 do đó ph c: ng trình đã cho có 2 nghi m phân
+
+
+
(
)
2
17 0
bi
x x 1 2
x 1
x 2
= không phụ
ệ ứ ế ổ ượ c :
ộ
ị ủ ị ố ủ ứ ứ ỏ ứ ộ ướ Tính ta đ t xệ 1 và x2 ụ ậ V n d ng h th c Viét ta bi n đ i đ thu c giá tr c a m. VI. Tìm giá tr tham s c a ph
Đ t đi u ki n cho tham s đ ph
ươ ố ể ươ ể ng trình th a mãn bi u th c ch a nghi m: ng trình đã cho có 2 nghi m ệ ệ x1 và x2
T bi u th c nghi m đã cho, áp d ng h th c Viét đ gi
ệ ứ ể ả ụ ươ i ph ng trình (có
ẩ
ố ể ị ầ ị ị ủ Đ i chi u v i đi u ki n xác đ nh c a tham s đ xác đ nh giá tr c n tìm.
2 – 6(m 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá tr c a tham
+
=
ị ủ
x 1
x 2
x x 1 2
ệ ứ ỏ ệ ề ệ ng trình: mx 1 và x2 th a mãn h th c:
Gi
1 và x2 thì:
0
0
1 0
�
�
m �
m � �
2
2
m � �D =
ệ ề ệ ặ ≥ 0). ườ ng là a ≠ 0 và (th ệ ứ ừ ể ố n là tham s ). ớ ế ố ươ Ví d 1 :ụ Cho ph ể ố s m đ 2 nghi m x iả : ể ươ Đ ph ng trình trên có hai nghi m x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
- (cid:0) D (cid:0) - - - (cid:0)
(
(
)
m
' 9
+ - m 2
(cid:0)
) 1
+ m 9
27 0
' 0
m
m
m
D = '
) 21
9
3
0
( � 3 �
2 � �
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
0
0
�
�
m � D =
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(
m
' 9
) 1
0
m � m
1
14
- (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1)
6(
=
+
=
S
x 1
x 2
m m
3)
9(
=
= P x x . 2
1
m m
+
=
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ứ Theo h th c Viét,Ta có: - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x x 1 2
x Vì 1
6(
1)
=
- =
�
�
�
m
m
= m
6(
1) 9(
3)
= m 3
21
7
x 2 m m ậ
ế t) - - ả thi 3) - ỏ Nên ( th a mãn) (gi m 9( m
1 và x2 th a mãn h th c:
=
+
ớ ươ ệ ệ ứ ỏ
x x 1 2
ng trình đã cho có 2 nghi m x x 2 V y v i m = 7 thì ph x 1
2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá tr c a tham s ) + =
(
7 0
3
5
x x 1 2
+ x 1
x 2
ị ủ ố - ng trình: x ỏ ệ ứ ươ 1 và x2 th a mãn h th c:
1 và x2 thì:
2
2
ệ Ví d 2 :ụ Cho ph ệ ể m đ 2 nghi m x iả : Gi ể ươ Đ ph
)
(
m
m
m
4
2
'
0
D = '
7 4
+
=
=
+
ng trình trên có hai nghi m x ) ( D= + -+ �۳ 1 2
S
1
x 1
2 2
=
x 2 =
m +
2
P x x m . 1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ứ Theo h th c Viét,Ta có: (cid:0) (cid:0)
(
) + =
3
5
7 0
x x 1 2
+ x 1
x 2
TM
2(
)
2
+
- ả Vì (gi thi t) = (cid:0) ế m (cid:0) -
(
)
m
3
2
( 5 2
) + + = (cid:0) m 7 0 1
=
m
KTM
(
)
4 3
Nên (cid:0) (cid:0)
) + =
3
7 0
x x 1 2
x 2
ậ ệ ỏ ệ ứ 1 và x2 th a mãn h th c: - ươ ( 5 ng trình có 2 nghi m x + x 1
0
2 +2 (m 4)x + m + 7 =0 . ệ
x 1
= x 22
1 và x2 th a mãn h th c:
- ệ ứ ỏ
2 + (m 1)x + 5m 6 =0 .
=
4
x+ 3
1
ươ 2/ Cho ph
x 1
2
1 và x2 th a mãn h th c:
ệ ứ
3
5
6
x 1
= x 2
1 và x2 th a mãn h th c:
ươ 3/ Cho ph - ể ệ ỏ 2 (3m 2)x – (3m + 1) = 0 . ỏ ệ ệ ứ ớ V y v i m = 2 thì ph ụ ậ Bài t p áp d ng: ươ ng trình: mx 1/ Cho ph ể Tìm m đ 2 nghi m x ng trình: x ể Tìm m đ 2 nghi m x ng trình: 3x Tìm m đ 2 nghi m x
ướ
ẫ H ng d n: ố ớ ậ ở ề ậ ạ ớ ộ ấ Đ i v i các bài t p d ng này ta th y có m t đi u khác so v i bài t p VD1
và VD2 ở ỗ ch :
x 1
2
x+ và tích ố
ể ụ ứ ẵ ổ ệ + Trong ví d thì bi u th c nghi m đã ch a s n t ng nghi m
nghi m ệ
ệ ự ế 1 2x x nên ta có th v n d ng tr c ti p h th c Viét đ tìm tham s m. ẵ ể + Còn trong 3 bài t p trên thì các bi u th c nghi m l
ệ ứ ứ ệ ể ừ ể ế ế ở ể ạ i không cho s n nh ứ bi u th c đã cho bi n đ i v đây là làm th nào đ t
2
x 1
x+ và tích nghi m ệ
1 2x x r i t
ồ ừ ư ổ ề ụ ậ đó v n d ng
ứ ự ứ ể ậ ụ ậ ấ ậ v y, do đó v n đ đ t ra ể bi u th c có ch a t ng nghi m ươ t ề ặ ứ ổ cách làm đã trình bày ng t
m
m
0;
15
(cid:0) (cid:0) Bài 1: ĐKXĐ: ệ ở VD1 và VD2. 16 15
(
)
m
m
4
=
+
=
S
x
x 1
2
m
(
) 1
+
m
7
=
= P x x . 2
1
m
(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ứ Theo h th c Viét,Ta có: (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(
) =
�
�
x
0
2
3
6
+ x 1
= x 2
x 2
2
+ x 1
x 2
x 1
x 2
2 +
2
+
=
(
)
(
)
�
2
9
2
x 1
x 2
x x 1 2
x 2 =
x 2 +
(
3 )
x 1
x 3 1 ư ề
có: - � ( 2 ta 3 Theo = x x 2 2 1 bài ) = x 2 ề đ + � x 1 = (cid:0) (cid:0) (cid:0) Suy ra: (cid:0) = x 1 x 1 2 (cid:0)
x 2 Th (1) vào (2) ta đ a v ph
2 + 127m 128 = 0 (cid:0) m1 = 1 ; m2 =
ế ươ ng trình: m
128 .
m
96
+ 11
+
S
m
= - 1
96 = x 1
(
) 1
x 2 =
1
- (cid:0) (cid:0) Bài 2: ĐKXĐ: 11 (cid:0) (cid:0) ệ ứ Theo h th c Viét, Ta có: - (cid:0)
= P x x m . 5 2 = -
(
)
x 1
+
4
3
= (cid:0) 1
x 1
x 2
6 + x 1 +
1 3 (
x 2 )
4
x 2
x 1
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ề Theo đ bài ta có: - (cid:0) (cid:0)
)
= (
x 2 )
�
+ x 1
x 2
x x 1 2
+ x 1
x 2
2
=
+
- -
)
� 1 � )
� 1 3 � (
)
�
( 1 2
7
12
x 2
x x 1 2
x 1
x 2
1 ( �� . 4 �� ( + x 1
=
- -
m
0
=
m
1
2
2
2
D =
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ư ề ươ ế Th (1) vào (2) ta đ a v ph ng trình: 12m(m – 1) = 0 (TMĐK). (cid:0)
(
)
(
+ m
= 16
+ m 3
4
0
( + m 4.3 3
) + 2
) = 1
m 3
9
- (cid:0) ọ ố ự ớ v i m i s th c m nên
2
=
+
=
S
x 1
x 2
(
) 1
(
+ m 24 ệ t. m 3 3 + m 3
) 1
=
= P x x . 2
1
ệ ươ Bài 3: Vì ng trình luôn có 2 nghi m phân bi ph - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ứ Theo h th c Viét, Ta có: - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
3 +
=
6
5
8
x 1
x 2
x 1
3
5
x 1
= (cid:0) x 6 2
+
=
( (
) )
8
3
x 1
x 2
x 2 +
=
+
+
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) ề Theo đ bài ta có: - (cid:0) (cid:0)
)
6 )
�
64
6
x 1
x 2
x x 1 2
x 1
( � 5 �
� �
2
=
+
-
(
)
�
64
15
36
x 1
x 2 ) x 2 ) =
(
m
( �� 6 . 3 �� ( + x 12 1 m + 96
0
- -
x x x 1 2 2 ng trình:
45 =
ư ề ươ ế Th (1) vào (2) ta đ a v ph
m
0
= -
m
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (TMĐK). (cid:0) (cid:0)
ấ ệ ủ ươ
32 15 ậ
ng trình b c hai:
ề ệ ể ươ ị Cho ph ng trình
2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm đi u ki n đ ph ng, cùng âm,…
ấ ươ
VII. Xác đ nh d u các nghi m c a ph ươ ng trình: ax có 2 nghi m: ệ ấ trái d u, cùng d u, cùng d ả ấ ậ
16
ề Ta l p b ng xét d u sau: x1 x2 D uấ S = x1 + x2 P = x1 x2 ệ Đi u ki n chung
m
(cid:0)
(cid:0) (cid:0)
ngươ
P < 0 P > 0 P > 0 P > 0 + + S > 0 S < 0 (cid:0) 0 (cid:0) 0 ; P< 0 (cid:0) 0 (cid:0) 0 ; P > 0 (cid:0) 0 (cid:0) 0 ; P > 0 ; S > 0 (cid:0) 0 (cid:0) 0 ; P > 0 ; S < 0
nghi mệ trái d uấ cùng d uấ cùng d cùng âm Ví d :ụ
2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 = 0 có 2
ươ ị ng trình: x
ấ
2
(
ệ ấ ố Xác đ nh tham s m sao cho ph ệ nghi m trái d u. iả : Gi ể ươ Đ ph (cid:0) - - - (cid:0)
(
)
2
+ m 3
4.2.
) 1
0
6
m
7
0
0
�
�
�
< m
- < 2
3
<
6
) ) (
m ) <
� P
0
=
<
( ( = P m
+ m
3
2
0
D = � �
� � P
0
ng trình trên có hai nghi m trái d u thì: D = 2 m m (cid:0) - (cid:0) " D (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2 m m 2 < thì ph 3m
ậ ươ ệ ấ ng trình trên có hai nghi m trái d u.
- < ớ 2 V y v i ụ ậ Bài t p áp d ng: ị 1/ Xác đ nh tham s m sao cho ph
2 – 2(m + 2) x + 3(m 2) = 0 có
ố ươ ng trình: mx
ệ ấ 2 nghi m cùng d u.
2 + 2(2m + 1) x + m = 0 có 2
ị ố ươ ng trình: 3mx
2 +2x + m = 0 có ít nh tấ
ố ị ươ 2/ Xác đ nh tham s m sao cho ph ệ nghi m âm. 3/ Xác đ nh tham s m sao cho ph ng trình: (m 1)x
ộ ệ
ể ệ :
2
2
+
6
x x 1 2
x 2
ệ ớ Cho ph - ể ấ ị có giá tr nh nh t.
= -
=
+
(
m
S
2
) 1
x 1
x 2 = -
m
= P x x . 2
1
2
2
2
2
2
2
m t nghi m không âm. ứ ị ỏ ấ ủ ấ VIII. Tìm giá l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c nghi m 2 + (2m 1) x m = 0. G i xọ 1 và x2 là các nghi m c a Ví d 1 :ụ ủ ươ ng trình: x ươ ỏ ng trình. Tìm m đ : A = ph x 1 iả : Gi (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ệ ứ Theo h th c VI_ÉT,Ta có: (cid:0) (cid:0)
(
)
(
)
(
m
m
m
m
8
2
) + 1
= 8
4
+ = m 12
1
2
3
8
8
6
+ x 1
x 2
= x x 1 2
x 1
= -
�
�
A
- = m
= m
min
8
2
3 0
ề + - - - - - - (cid:0) - Theo đ bài ta có: = A = x x x 2 1 2
3 2
Suy ra:
2 mx + m 1 = 0. G i xọ 1 và x2 là các nghi m c a ủ ấ
ươ ệ Cho ph ng trình: x
=
B
+
+
x x 2 1 2 ( + 2 2
) 1
x 2
x x 1 2
2 x 1 iả :
ấ ủ ị ớ ứ ề ỏ ị Ví d 2 :ụ ươ ph ng trình. Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a bi u th c sau:
=
+
S
= x m 2 =
=
1
x 1 P x x m 2. 1
(
m
2
3
=
=
=
=
B
2
m 2
Gi (cid:0) (cid:0) ệ ứ Theo h th c Viét , Ta có: - (cid:0)
+
+
) - + 1 +
+ +
2 +
+
(
m
2 m
x x 2 1 2 ( + 2 2
) 1
2
1 2
x x 1 2
2 x 1
x 2
x 1
ề Theo đ bài ta có:
x x 1 2 ) 2 x 2 ư
2 Cách 1: Bi n đ i B b ng cách thêm, b t nh sau:
17
ế ằ ổ ớ
2
2
(
m
+ - 2
+ m 2
- -
) 1
=
B
= - 1
2
m 2
m +
) 2 1 +
( m
m
2
2
(
2
m
B
) -� 1
0
0
1
m 2
2
- (cid:0) (cid:0) Vì (
2
2
2
2
+
ậ ớ i có:
- - ạ (
)
m
m
m
+ 2 m
( + m
+ - 2
2
2
+ m 4
2
4
+
(
)
) 2 1 + m (cid:0) m = 1 ớ 1 2
1 2
1 2
=
=
=
B
2
2
2
+
V y maxB = 1 V i cách thêm, b t khác ta l 1 2 -
) +
2 +
m (
)
m
m
2
2
1 2
m
2
2
2
+
(
2
= -
B
m
0
) +� 2
0
B
= -� m
min
2
2
) 2 +
m (
1 2
m
2
2
1 2
- (cid:0) (cid:0) Vì ( . V y ậ
ớ ẩ ẽ ậ ố i ph ng trình b c hai v i n là m và B là tham s , ta s tìm
2
=
ư ề ả Cách 2: Đ a v gi ố ề ệ ọ ớ ng trìnhdã sho luôn có nghi m v i m i m.
�
-
) ươ ể ươ đi u ki n cho tham s B đ ph - = B
B
2
2
1 0
m 2
2
B
B
+ Bm m ) ( - = - B B 1 2
+ 1 2
+ 1 + 2 D = - 1
ớ ẩ ố (v i n là m và B là tham s ) (*)
2
B
B
B
�� 0
1 0
) ( 1
( + 2
2
≥ 0 - - - - ớ B ệ B ể ươ ng trình trên (*) luôn có nghi m v i m i m thì + 2 �� B 1 2 ọ ) � 0 1 ệ 2 m Ta có: Đ ph Hay
B
+ (cid:0)
B
1 0
1 2
1
�
�
B
1 0 + (cid:0)
1 � � � 1 2
B
1 0
B � �(cid:0) B
1 2
2 B � 2 � B
1 0
B
1
= -
= -
B
= -� m
min
2
B
=� m
1
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1 2
=
; V y: ậ max
(
) 2
x 1
x 2
1 và x2
- ứ ấ ị có giá tr nh nh t.
x+
2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0 . ỏ A 2 2(m 1)x – 3 – m = 0 . Tìm m sao nghi m xệ 10
2
(cid:0) ỏ ấ ỏ ị có giá tr nh nh t.
2 2(m 4)x + m2 – 8 = 0 . Xác đ nh m sao 2 nghi m x
1
ệ ị 2/ Cho ph ề th a mãn đi u ki n 3/ Cho ph
2
ỏ - ụ ậ Bài t p áp d ng: ươ ng trình: x 1/ Cho ph ể ể Tìm m đ bi u th c ươ ng trình: x 2 2 ệ x 1 ươ ng trình: x ề ệ + 3
x 2 + x 2
- ỏ
2
ủ ớ ị ạ ấ ị ớ đ t giá tr l n nh t. ấ ị ạ đ t giá tr nh nh t. 2 (m – 1)x m2 + m – 2 =0 . V i giá tr nào c a m đ ể
ứ ể ỏ ấ bi u th c ị đ t giá tr nh nh t.
+
ể ể ị
= D x 1
x 2
và x2 th a mãn đi u ki n : = A x x x a/ 1 2 1 = 2 b/ x x B x 1 1 2 ươ ng trình: x 4/ Cho ph + = 2 C x 1 ươ 5/ Cho ph 2 2 ạ ị đ t giá tr nh nh t.
ư ạ ự ệ
1. M c đích th c nghi m:
18
ạ x 2 2 +(m + 1)x + m = 0 . Xác đ nh m đ bi u th c ứ ng trình: x ấ ỏ ươ ng III: Th c nghi m s ph m Ch ệ ự ụ
Giúp h c sinh hi u và n m đ
ụ ắ ị
c đ nh lý Viét, bi ệ ẩ ượ i các d ng bài toán : nh m nghi m c a ph
ố ế ổ ủ ể ể ạ n ; tìm hai s bi ệ ứ ế ứ t ng d ng h th c Vi ộ ậ ươ ủ ng trình b c hai m t ứ ị ủ t t ng và tích c a chúng ; tính giá tr c a các bi u th c
ọ ể ả ét đ gi ẩ nghi m…ệ
ấ ượ ự ầ ể Tìm hi u ý th c t c s c n thi ế t
ọ h c sinh, giúp h c sinh th y đ ả ệ ả
ự ả ậ ỳ ứ ự ọ ở ọ h c ả ọ Giúp h c sinh t ph i tham kh o thêm tài li u, sách tham kh o,… ơ tin h n khi gi ấ i bài toán b c hai, nh t là trong các k thi
ệ ự
ườ ươ i l p 9B tr ng THCS Xuân D ng.
ề ế ổ
ệ
ả ạ ọ ế t d y th c nghi m, tôi ti n hành kh o sát 20 h c
tuy n.ể ộ 2. N i dung th c nghi m: ế ủ ề ạ ớ ạ ậ Ti n hành d y ôn t p theo ch đ t ờ ượ t) Th i l ng : 5 bu i chi u (15 ti ả ự ế 3. K t qu th c nghi m: ướ Tr c và sau khi d y hai ti ớ ỏ ự ế ạ ệ ả ư ượ ế c k t qu nh sau: sinh v i 5 câu h i và đã thu đ
ả ố K t qu th ng kê
ộ N i dung Tr Câu h iỏ
ố ế ứ ế ạ c khi d y TL(%) 38,4 ướ SL 10 Sau khi d yạ TL(%) SL 17 65,3 1
42,3
69,2
ứ 11 18 2
38,4
65,3
ả ọ ộ 10 17 3
ẩ i đ nh lý Viét và nh m
57,6
69,2
ươ ệ Em có mu n nâng cao ki n th c không ? ụ ậ Em thích các bài toán b c hai có ng d ng ệ ứ h th c Viét không? ề Em có thích đ c nhi u sách tham kh o n i dung toán không ? ọ ạ ị Em hãy đ c l ủ nghi m c a các ph ng trình sau: 15 18 4
a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0 b/ x2 + 7x + 12 = 0 ươ ng trình: Cho ph
42,3
69,2
3
ớ ố 11 18 5
x x 1 2
3 1
- theo m. x2 – 3x + m = 0, v i m là tham s , có hai nghi m xệ ị ể 1, x2 (x1 > x2). Tính giá tr bi u = th c ứ P x x 2
Ậ Ầ Ế Ế Ị PH N III: K T LU N – KI N NGH
ậ ấ ố
ớ ọ ệ ọ ở ệ ủ ư ẩ ổ (cid:0) K t lu n ậ ế ậ ể Qua tìm hi u, trò chuy n v i h c sinh, tôi nh n th y đa s các em đã nh n ph thông chính là đòn b y đ a các em c t m quan tr ng c a vi c h c
ứ ượ ầ th c đ ế ươ đ n t
ng lai t ố ỏ ề ấ ở ộ ượ i đ u r t mu n đ
ọ ươ ẹ i đ p. ọ Đa s các em h c sinh khá, gi ế ằ ư ố ố ọ t b ng cách nào, đ c sách nào là t ế c m r ng, nâng cao ki n t vì sách tham
ứ ả ấ ề ạ
ứ ầ ướ ẫ ọ ng d n h c sinh cách t ự ọ ở h c
19
th c nh ng các em không bi kh o r t nhi u lo i. ậ Vì v y giáo viên c n nghiên c u tìm cách h ả ự ọ ch n sách tham kh o,… nhà, t
ằ ụ ả ứ “Đ nh lý Viet và ng d ng trong gi i toán l p 9”
Mong r ng đ tài này : ế ầ ế ứ ụ ớ ả góp i các bài
ự ậ ỳ ệ ứ t ng d ng h th c Viét vào gi ể ề ph n giúp các em thêm ki n th c , bi ể toán b c hai đ các em thêm t
ị ứ tin trong các k thi tuy n. ụ ả ớ ề
ứ “Đ nh lý Viet và ng d ng trong gi ủ ấ i toán l p 9” , ầ c s góp ý c a quý th y, cô giáo và các em
ắ ẳ ề ọ ị Ch c h n trong đ tài này : ượ ự ế tôi còn nhi u thi u sót, r t mong đ ệ ế ọ h c sinh. M i ý ki n đóng góp xin liên h :
ầ
Tr n Trung Thành – SĐT: 0985 211 541. Email cá nhân: trungthanh2658@gmail.com (cid:0) Ki n ngh : ị ế
ổ ệ ườ ề ệ ọ ọ Hi n nay các tr
ề ế
ụ ạ ứ ở ộ ạ ư i các kh i l p 6; 7; 8. Nên có ch
ệ ươ ố ớ i các kh i l p 6; 7; 8. ọ ẫ ọ ỏ ả ng d n h c sinh ch n mua sách tham kh o ng trình h
ng ph thông chú tr ng nhi u vi c ph đ o h c sinh ọ ế ế y u, kém nh ng ch a quan tâm nhi u đ n vi c nâng cao ki n th c cho h c ỏ sinh khá, gi ng trình d y m r ng và nâng ứ ế cao ki n th c cho h c sinh khá, gi ướ Nên có ch ọ ấ ả ư ố ớ ọ ươ t c các môn h c. t
20
Ả Ệ TÀI LI U THAM KH O
ủ ạ ọ ể ậ
ấ ả ễ ứ ố ạ ố 1. Tuy n t p các bài toán hay và khó_Đ i s 9 c a nhà xu t b n đ i h c qu c ả : Phan Văn Đ cNguy n Hoàng Khanh
ườ gia Thành Ph H Chí Minh (tác gi Lê Văn Th
ậ ậ
ậ
ấ ả ậ ắ ụ ậ ố ồ ng). 2. Sách giáo khoa Toán 9 _ T p 2. 3. Sách giáo viên Toán 9 _ T p 2. 4. Sách bài t p Toán 9 _ T p 2. 5. Bài t p tr c nghi m và các đ ki m tra Toán 9 c a nhà xu t b n giáo d c in
ủ ị ạ ệ ả : Hoàng Ng c H ngPh m Th B ch Ng c).
năm 2007 (tác gi ể ọ ộ ỉ ạ ủ ề ồ ỉ ề ể ư ọ ỏ 6. Các đ thi tuy n h c sinh gi i các c p c a TP Hà N i ,t nh Đ ng Nai, t nh
ậ ọ ề ấ ớ ể Bình Thu n và các đ tuy n sinh vào l p 10 hàng năm.
ủ ậ ồ ộ ỉ
7. Tài li u ôn thi tuy n sinh vào 10 c a TP Hà N i, Đ ng Nai, t nh Bình Thu n. 8. Tài li u ôn thi tuy n sinh vào l p 10 môn toán các năm c a Nhà xu t b n giáo
ấ ả ủ ớ ể ể
ệ ệ ệ ụ d c Vi t Nam.
ộ
Hà N i, ngày 20 tháng 4 năm 2018 Tác giả
ầ Tr n Trung Thành
ế ủ ườ ng:
* Ý ki n đánh giá c a HĐKH tr ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………
ế ạ X p lo i:……………
ế ủ
21
ế ạ ơ ở * Ý ki n đánh giá c a HĐKH c s : ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… X p lo i:……………
