zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Cơ khí - Chế tạo máy

Định vị cho robot di động trong không gian 2 chiều

Chia sẻ: Tung-Lee Tung-Lee | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Báo xấu

305
lượt xem 118
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dead reckoning là một phương pháp phổ biến dùng để xác định vị trí tương đối của robot di động trong mặt phẳng, sau một quá trình di chuyển nào đó, so với vị trí ban đầu. Việc giải bài toán dead reckoning thực ra là giải bài toán động học cho robot di động, nhằm mục đích xác định vị trí và hướng tức thời của robot sau một quá trình chuyển động

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Định vị cho robot di động trong không gian 2 chiều

Người báo cáo: Đoàn Hiệp Tài liệu: ROB01.01 Ngày: 12/8/2005 Trang: 1/13 Robotics no 01.01 Gửi đến: Đoàn Hiệp, Doãn Minh Đăng, www.picvietnam.com Nội dung: Định vị cho robot di động trong không gian 2 chiều MICROSOFT WORD Tóm tắt: Định vị là một bài toán quan trọng trong robot, định vị tương đối dead‐reckoning 1. Giới thiệu Dead reckoning là một phương pháp phổ biến dùng để xác định vị trí tương đối của robot di động trong mặt phẳng, sau một quá trình di chuyển nào đó, so với vị trí ban đầu. Việc giải bài toán dead reckoning thực ra là giải bài toán động học cho robot di động, nhằm mục đích xác định vị trí và hướng tức thời của robot sau một quá trình chuyển động, trong đó toạ độ gốc là toạ độ gắn với sàn của robot ở thời điểm ban đầu. Cũng rất gần với bài toán động học cho tay máy, nhưng độ chính xác trong các ứng dụng thực tế của robot di động, khiến cho bài toán dead reckoning trở nên khó khăn hơn. Lý do chủ yếu là do các tay máy được liên kết với nhau một cách vững chắc, và nếu như ta biết chắc được góc xoay tại các khớp, thì có thể biết được toạ độ cuối của tay máy. Trong khi đó, robot liên kết với sàn xe bằng các bánh xe, thường làm bằng cao su, và chuyển động nhờ vào lực ma sát tương đối yếu, do đó, các sai số trong phương pháp dead reckoning sẽ lớn hơn vì phụ thuộc nhiều vào tương tác của bánh xe với sàn nhà. Chúng ta cần phân biệt hai loại sai số trong phương pháp dead reckoning là sai số ngẫu nhiên và sai số hệ thống. Trong đó, sai số ngẫu nhiên là các sai số do tương tác của robot với môi trường, ví dụ như ngoại lực, nội lực, những vật cản bất thường, sự trượt của bánh xe… Sai số hệ thống là các sai số do khi ta sử dụng các công thức tinh toán động học lý tưởng, trong khi luôn có những sai lệch không thể quản lý được trong thiết kế như là hai bánh xe không bằng nhau, khoảng cách hai bánh xe không xác định… Phần này giới thiệu phương pháp UMBmark, được thực hiện bởi Johann Borenstein [Borenstein94], dùng để xác định, so sánh và sửa lỗi các sai số cho phương pháp dead reckoning trên robot di động. Sau cùng, chúng tôi sẽ giới thiệu một chương trình UMBmark Calculator, dùng để tính toán các thông số cần thiết, cho phép người dùng đơn giản hoá việc tính toán và có thể lấy nhanh kết quả sửa lỗi trong quá trình thí nghiệm.
Người báo cáo: Đoàn Hiệp Tài liệu: ROB01.01 Ngày: 12/8/2005 Trang: 2/13 2. Giới thiệu 2.1. Phương pháp định vị tuyệt đối (Absolute Positioning Method) Trong các ứng dụng robot, có hai phương pháp định vị thường được sử dụng là phương pháp định vị tuyệt đối (APM) và phương pháp định vị tương đối (Relative Positioning Methods – RPM). Phương pháp định vị tương đối chủ yếu dựa trên bài toán dead reckoning (tính số vòng quay của bánh xe để suy ra vị trí tương đối của robot sau một quá trình chuyển động). Phương pháp này đơn giản, rẻ tiền và hầu như được sử dụng trong tất cả các robot di động, cho dù robot đó sử dụng phương pháp định vị APM. Khuyết điểm của phương pháp dead reckoning là bán kính sai số lớn, và lại là sai số tích luỹ. Phương pháp định vị tuyệt đối thì lại dùng thêm các cảm biến khác ngoài encoder như dùng beacons, cột mốc, so sánh các bản đồ cục bộ và bản đồ toàn cục, định vị bằng vệ tinh (GPS)… Mỗi phương pháp APM dùng các thuật toán và cảm biến khác nhau, nhưng đều là những phương pháp chủ yếu cho các robot di động ngày nay. Người ta thường dùng phương pháp RPM để giới hạn phạm vi xử lý trước khi dùng phương pháp APM cho việc định vị robot. Chúng ta có thể phân tích một vài ưu khuyết điểm của phương pháp APM để có cái nhìn tổng quát về việc định vị cho robot như sau: phương pháp dùng beacons chỉ thích hợp dùng trong nhà và nó cũng giống như định vị bằng cột mốc; phương pháp so sánh bản đồ thường dùng cho các robot tự trị phức tạp; phương pháp định vị dùng GPS thì chỉ thích hợp dùng ngoài trời, và cũng cho sai số rất lớn (lên đến hàng mét), một số phương pháp định vị khác thì dùng cảm biến la bàn hoặc con quay để định hướng cho robot nhờ vào từ trường trái đất… 2.2. Tầm quan trọng của bài toán dead reckoning Như vậy, cho dù dùng bất kỳ phương pháp định vị nào đi nữa, phương pháp dead reckoning dường như là phương pháp luôn luôn cần thiết. Một lý luận “vui” là muốn điều khiển robot di động thì phải giải bài toán động học cho robot, mà nếu đã giải bài toán động học rồi thì tại sao lại không dùng phương pháp dead reckoning để giới hạn phạm vi xử lý cho các phương pháp định vị tuyệt đối khác? Tuy nhiên, một điều không ngờ đến là trong cuộc thi các robot sử dụng phương pháp dead reckoning để định vị và di chuyển được tổ chức ở San Jose, California năm 1992, hai robot thắng giải nhất và giải nhì là hai robot dùng phương pháp sửa lỗi UMBmark do nhóm của J. Borenstein thực hiện và nó có thể di chuyển 100 m mà không có sai số. Hay cụ thể hơn là robot có thể “dạo quanh” một phòng ngủ 5m x 5m 5‐6 vòng mà không hề có sai số. Với lợi điểm rẻ tiền, đơn giản phương pháp dead reckoning là một giải pháp đầu tiên và cần thiết cho các robot di động.
Người báo cáo: Đoàn Hiệp Tài liệu: ROB01.01 Ngày: 12/8/2005 Trang: 3/13 3. Sai số dead reckoning Phần này sẽ giới thiệu lại bài toán động học cho robot di động mô hình NEWT [Muir88] được dùng trong thiết kế này, cũng là mô hình cơ bản và thông dụng nhất cho các robot. Bánh n Bánh Z xe E L My robot R n c Động cơ Z o d e Hộp giảm tốc Vi xử lý Bộ điều khiển Lấy mẫu Góc tính toán Tính toán Góc lấy mẫu Góc dự đoán Hình 1: Sơ đồ nguyên lý mô hình NEWT Hình 1 trên mô tả sơ đồ của một robot mô hình NEWT, trong đó có hai bánh xe chủ động sẽ điều khiển robot. Một bộ điều khiển hai động cơ, nhận tín hiệu hồi tiếp từ encoder. Bánh xe được nối với động cơ qua hộp giảm tốc có tỉ số truyền n. Gọi Dn là đường kính bánh xe mà ta dùng để tính toán trong bộ điều khiển Ce là độ phân giải của encoder (tính bằng xung trên vòng) n là tỉ số truyền giảm tốc giữa trục động cơ (cũng là trục của encoder) so với trục bánh xe Từ đây chúng ta có thể tính hệ số chuyển đổi giữa số xung encoder và độ dịch chuyển của bánh xe theo công thức sau: cm = πDn / nCe (1) Với số xung NL và NR lần lượt được ghi nhận từ bánh xe bên trái và bánh xe bên phải, chúng ta có thể tính được độ dịch chuyển của mỗi bánh xe như sau:
Người báo cáo: Đoàn Hiệp Tài liệu: ROB01.01 Ngày: 12/8/2005 Trang: 4/13 ΔU L / R ,i = cm N L / R ,i (2) Và tính được độ dịch chuyển tương đối của điểm trung tâm (trung điểm đường nối hai bánh xe) và góc xoay của robot theo các công thức sau: ΔU i = (ΔU R ,i + ΔU L ,i ) / 2 Δθ i = (ΔU R ,i − ΔU L ,i ) / b (3) Trong đó, b là khoảng cách giữa hai bánh xe trong mô hình NEWT. Hướng tương đối của robot tại thời điểm i sẽ là θ i = θ i −1 + Δθ i (4) Và vị trí tương đối của robot tại thời điểm i sẽ là xi = xi −1 + ΔU i cosθ i yi = yi −1 + ΔU i sin θ i (5) Như vậy, xem như chúng ta đã giải bài toán động học thuận rất đơn giản cho robot di động mô hình NEWT, đồng thời, nếu tính ngược lại từ vị trí và góc mà robot cần đạt được chúng ta sẽ lại tính được số xung mà mỗi encoder trên động cơ phải nhận được, trên đây cũng là bài toán động học ngược. Đây là phần cơ bản nhất của phương pháp dead reckoning. Tuy nhiên, bài toán đặt ra là làm sao xác định được các sai số của robot trong các ứng dụng thực, bởi vì các công thức trên dựa vào việc biến đổi tuyến tính các thông số ghi nhận từ encoder thành độ dịch chuyển của bánh xe. Nhưng trong thực tế, không bao giờ có sự tuyến tính hoàn hảo trong các ứng dụng robot như vậy. Sự không tuyến tính sẽ gây ra các sai số. Chúng ta cần nhận diện hai loại sai số và một vài nguyên nhân chính dẫn đến các sai số đó. Có hai loại sai số là sai số ngẫu nhiên và sai số hệ thống. 3.1. Nguyên nhân sai số hệ thống ‐ Các bánh xe không tròn ‐ Các đường kính trung bình của các bánh xe không bằng với đường kính bánh xe mà chúng ta dùng để tính toán ‐ Các bánh xe bị lệch trục ‐ Khoảng cách hai bánh xe không xác định được vì bánh xe luôn tiếp xúc với mặt sàn theo một đường thẳng hoặc một mặt phẳng, chứ không phải là tiếp xúc điểm ‐ Độ phân giải giới hạn của encoder ‐ Tần số lấy mẫu từ encoder (chúng ta không thể đếm encoder liên tục, mà chỉ có thể lấy mẫu ở mỗi thời điểm để tính toán)
Người báo cáo: Đoàn Hiệp Tài liệu: ROB01.01 Ngày: 12/8/2005 Trang: 5/13 3.2. Nguyên nhân sai số ngẫu nhiên ‐ Mặt sàn không phẳng ‐ Có những chướng ngại vật bất thường, các cảm biến khác không ghi nhận được, và robot vẫn vượt qua chướng ngại vật đó ‐ Những sai lệch của bánh xe: o Sự trượt của bánh xe với mặt sàn o Gia tốc quá cao và bánh xe chưa đạt đến gia tốc đó trong một khoảng thời gian tính toán o Khi xoay quá nhanh, lực quán tính làm trượt bánh xe o Ngoại lực (tác dụng lên thân robot…) o Nội lực (những cơ cấu chấp hành động trên robot…) o Bánh xe không tiếp xúc với mặt sàn… Trong thực tế, khi robot hoạt động trên một mặt sàn tương đối tốt, phẳng, thì sai số chủ yếu là các sai số hệ thống. Nhưng nếu mặt sàn lồi lõm thì các sai số ngẫu nhiên lại là vấn đề cần được quan tâm. Trong đề tài này, chúng ta chủ yếu quan tâm đến các sai số hệ thống, bởi vì giải thiết là robot hoạt động trong không gian hai chiều, và điều kiện thí nghiệm là điều kiện của phòng thí nghiệm. 3.3. Sai số hệ thống Theo kinh nghiệm thực tế, J. Borenstein đã chỉ ra 2 nguyên nhân chủ yếu của sai số hệ thống. Nguyên nhân thứ nhất đó là sai số do các đường kính hai bánh xe không bằng nhau. Nguyên nhân thứ hai là do khoảng cách hai bánh xe không được xác định chính xác. Trong đó, sai số do các đường kính bánh xe không bằng nhau sẽ được ký hiệu là Ed và E s , DR Ed = DL (6) là tỉ số lệch giữa đường kính bánh xe bên phải và đường kính bánh xe bên trái Da Es = Dn (7)
Người báo cáo: Đoàn Hiệp Tài liệu: ROB01.01 Ngày: 12/8/2005 Trang: 6/13 là tỉ số lệch giữa đường kính bánh xe trung bình và đường kính bánh xe mà chúng ta dùng để tính toán trong các công thức. Sai số do nguyên nhân thứ hai ta ký hiệu là Eb , ba Eb = bn (8) là tỉ số lệch giữa khoảng cách thực của hai bánh xe, và khoảng cách ban đầu mà chúng ta dùng để tính toán trong các công thức. E ,E ,E Như vậy, mục tiêu của bài toán này là xác định cho được các tỉ số s d b để tính toán ra các thông số thực. Thay các thông số này vào chương trình tính toán, tiếp tục làm thí nghiệm để hiệu chỉnh các sai số với độ chính xác cao hơn. Ảnh hưởng của các thông số này như thế nào đối với sai số của robot sẽ được trình bày ở phần sau. Để kết thúc phần này, chúng tôi tạm dịch đoạn chép trong cuốn sổ tay của Brad Holt, phòng thí nghiệm robot di động đại học Michigan, khi ông nói chuyện với John Kennerly tại ORNL về đặc điểm của một căn phòng lý tưởng cho các thí nghiệm robot: “Sàn nhà làm bằng xi măng, trên bề mặt được phủ một lớp epoxy, nghĩa là nó trông giống hệt như bề mặt “một cái xe hơi cũ”. Nó có những cái rãnh ở mép ngoài 30 x 30 feet (khoảng 8m x 8m), và sâu ¼ inch (khoảng 6 mm). Trên bề mặt cũng có thể có một ít các đường nứt, nhưng phải mỏng như sợi tóc. Toà nhà đó phải không có người ở, nhưng phải được quét dọn và bảo trì thường xuyên. Cũng thể có vài mẩu giấy nhỏ, hay những thứ đồ linh tinh rơi trên sàn nhà, nhưng phải rất ít. Khi mưa to, mái nhà có thể bị lủng lỗ và sàn bị ướt nước nhưng sau đó phải được chùi rửa sạch sẽ. Sàn nhà sau đó không cần phải quét dọn nữa. Nói chung, sàn nhà phải “sạch”, và “coi được” và giống như tôi đã nói ở trên. Nhìn vào, tôi phải không biết là sàn nhà đã được sử dụng trước đó, hay là quét dọn thường xuyên…”
Người báo cáo: Đoàn Hiệp Tài liệu: ROB01.01 Ngày: 12/8/2005 Trang: 7/13 4. Đo sai số hệ thống Phương pháp kiểm tra bằng cách cho robot chạy theo một chiều trên một hình vuông đã trở nên thông dụng vào cuối những năm 1980. Tuy nhiên, Borenstein chỉ ra rằng phương pháp này không phù hợp với nhiều mô hình robot di động khác nhau. Ông đã đề nghị phương pháp kiểm tra bằng cách cho robot di chuyển hai chiều trên một hình vuông và phương pháp này gọi là phương pháp UMBmark (viết tắt của University of Michigan BenchMARK test). Phương pháp này được hình thành từ những năm đầu thập niên 90, và cho đến nay vẫn được sử dụng rất hiệu quả. Hình 2: Không gian thí nghiệm Chúng ta quan tâm đến hai loại sai số sau: ‐ Sai số loại A là sai số khi robot di chuyển trên hình vuông theo chiều thuận và chiều nghịch thì sai số góc đều tăng (hoặc giảm). ‐ Sai số loại B là sai số khi robot di chuyển theo chiều thuận, thì sai số về góc tăng (hoặc giảm) nhưng khi di chuyển theo chiều nghịch thì sai số đó lại giảm (hoặc tăng). Trong đó, chúng ta thấy rằng, sai số Ed và Eb là sai số hệ thống, sai số Eb tạo nên sai số khi robot quay, nhưng lại không gây ra sai số khi chuyển động thẳng. Còn sai số Ed gây ra sai số trong quá trình chuyển động thẳng, nhưng lại không gây ra sai số trong quá trình quay. Và như vậy, sai số Eb gây ra sai số loại A, nhưng không gây ra sai số loại B, và sai số Ed gây ra sai số loại B, nhưng không gây ra sai số loại A.
Người báo cáo: Đoàn Hiệp Tài liệu: ROB01.01 Ngày: 12/8/2005 Trang: 8/13 5. Sửa lỗi sai số hệ thống 5.1. Sai số loại A x1 = x0 + L (9) y1 = y0 x2 = x1 + L sin α ≈ L + Lα (10) y2 = y1 + L cos α ≈ L x3 = x2 − L cos 2α ≈ Lα (11) y3 = y2 + L sin 2α ≈ L + 2 Lα x4 = x3 − L sin 3α ≈ −2 Lα (12) y4 = y3 − L cos3α ≈ 2 Lα Hình 3a: Di chuyển ngược chiều kim đồng hồ x1 = x0 + L (13) y1 = y0 x2 = x1 + L sin α ≈ L + Lα (14) y2 = y1 − L cos α ≈ − L x3 = x2 − L cos 2α ≈ Lα (15) y3 = y2 − L sin 2α ≈ L − 2 Lα x4 = x3 − L sin 3α ≈ −2 Lα (16) y4 = y3 + L cos3α ≈ −2 Lα Hình 3b: Di chuyển thuận chiều kim đồng hồ
Người báo cáo: Đoàn Hiệp Tài liệu: ROB01.01 Ngày: 12/8/2005 Trang: 9/13 5.2. Sai số loại B β x1 = x0 + L cos( ) ≈ L 2 (17) β β y1 = y0 + L sin( ) ≈ L 2 2 3β β x2 = x1 − L sin( ) ≈ L − 3L 2 2 (18) 3β β y2 = y1 + L cos( ) ≈ L + L 2 2 5β β x3 = x2 − L cos( ) ≈ −3L 2 2 (19) 5β Hình 4a: Di chuyển y3 = y2 − L sin( ) ≈ −2 Lβ + L ngược chiều kim đồng hồ 2 7β x4 = x3 + L sin( ) ≈ 2 Lβ 2 (20) 7β y4 = y3 − L cos( ) ≈ 2 Lβ 2 β x1 = x0 + L cos( ) ≈ L 2 (21) β β y1 = y0 + L sin( ) ≈ L 2 2 3β β x2 = x1 + L sin( ) ≈ L + 3L 2 2 (22) 3β β y2 = y1 − L cos( ) ≈ L − L 2 2 5β β x3 = x2 − L cos( ) ≈ 3L 2 2 (23) 5β Hình 4b: Di chuyển y3 = y2 − L sin( ) ≈ −2 Lβ + L 2 thuận chiều kim đồng hồ 7β x4 = x3 − L sin( ) ≈ −2 Lβ 2 (24) 7β y4 = y3 + L cos( ) ≈ −2 Lβ 2
Người báo cáo: Đoàn Hiệp Tài liệu: ROB01.01 Ngày: 12/8/2005 Trang: 10/13 Theo các công thức từ (9) đến (21) ta có thể tính sai số chuyển động theo chiều thuận và chiều ngược trên trục x như sau: xcw = −2 Lα − 2 Lβ = −2 L(α + β ) = xc. g .cw (22) xccw = −2 Lα + 2 Lβ = −2 L(α − β ) = xc. g .ccw (23) Trừ hai công thức (22) và (23) cho nhau, ta lại có −4 Lβ = xc. g .cw − xc. g .ccw (24) Hay, chuyển qua đơn vị độ, ta có xc. g .ccw − xc. g .cw 180 β= • (25) 4L π Tương tự với trục y, ta lại có − yc. g .cw − yc. g .ccw 180 β= • (26) 4L π x x y y Trong đó, c. g .cw , c. g .ccw , c. g .cw , c. g .ccw là giá trị sai số trung bình của các lần thí nghiệm lần lượt theo trục x và trục y khi di chuyển theo chiều thuận và chiều ngược (chiều kim đồng hồ). Chúng ta có thể tính bán kính cong của đường chuyển động Hình 5: Bán kính cong đường chuyển động
Người báo cáo: Đoàn Hiệp Tài liệu: ROB01.01 Ngày: 12/8/2005 Trang: 11/13 L/2 R= (27) sin( β / 2) Sau đó, chúng ta có thể tính được sai số Ed theo công thức sau: DR R + b / 2 Ed = = (28) DL R − b / 2 Tương tự, cộng hai công thức (22) và (23) với nhau, chúng ta lại có: −4 Lα = xc. g .cw + xc. g .ccw (29) Suy ra, xc. g .cw + xc. g .ccw 180 α= • (30) −4 L π Và cũng có yc. g .cw − yc. g .ccw 180 α= • (31) −4 L π Khi đó, ba b = on (32) 90 90 − α o Hay, 90o Eb = o (33) 90 − α Kể từ đây, chúng ta hoàn toàn có thể tính lại các giá trị thực của thông số bánh xe trong mô hình NEWT. Chương trình UMBmark Calculator được giới thiệu dưới đây để phục vụ cho việc tính toán nhanh theo phương pháp UMBmark của Johann Borenstein. (hình 6)
Người báo cáo: Đoàn Hiệp Tài liệu: ROB01.01 Ngày: 12/8/2005 Trang: 12/13 Hình 6: Giới thiệu về UMBmark Calculator 6. UMBmark Calculator Chương trình UMBmark Calculator, thực chất chỉ là một công cụ tính toán nhanh và cho phép lấy được các thông số tính toán của giải thuật UMBmark. Như vậy, điểm lại quá trình thao tác với UMBmark và các giải thuật điều khiển robot như sau: ‐ Trước tiên phải có sườn giải thuật chính điều khiển robot ‐ Đưa các thông số thiết kế vào mô hình robot và điều khiển robot chạy theo hình vuông kích thước LxL (nhập vào UMBmark Calculator). ‐ Cho robot chạy theo hai chiều, và đo các sai số, nhập vào hai cột chạy thuận và ngược chiều kim đồng hồ. Nhấn nút Calculate để lấy kết quả cập nhật chính xác của các thông số robot. ‐ Thay các thông số này vào thuật toán chính và lại lặp lại các bước đầu tiên. Cứ làm như vậy vài lần, cho đến khi sai số trong các lần thí nghiệm là không còn đáng kể nữa. Hình dưới đây là giao diện chương trình UMBmark Calculator
Người báo cáo: Đoàn Hiệp Tài liệu: ROB01.01 Ngày: 12/8/2005 Trang: 13/13 Hình 7: Giao diện chương trình UMBmark Calculator 7. Kết luận Trong phần này, chương trình UMBmark Calculator được viết chỉ dành riêng cho mô hình bánh xe NEWT. Trong khi, J. Borenstein giới thiệu là toàn bộ phương pháp đầy đủ, có thể dùng để sửa lỗi cho tất cả các mô hình bánh xe khác nhau. Điểm mấu chốt của phương pháp này, là cho robot di chuyển (bằng thực nghiệm) trên những đường xác định, để từ đó nhận diện được sai số loại A và sai số loại B. Bằng phép gần đúng, chúng ta tìm lại được các sai số đó sau quá trình thực nghiệm và sửa lỗi cho các thông số của bánh xe robot. Vì sao J. Borenstein lại chọn đường di chuyển là hình vuông, trong khi có nhiều phương pháp khác cho robot di chuyển trên các hình tam giác? Thực chất, việc di chuyển trên các đường nào không quan trọng, dạng đường và thông số của đường có ý nghĩa chủ yếu trong phép tính gần đúng. Chúng ta cũng dễ nhận thấy rằng, với đường di chuyển theo hình vuông như trên, bài toán gần đúng được giả một cách đơn giản nhất và hiệu quả gần đúng của nó là cao nhất. Nó dẫn đến kết quả chính xác cao khi thí nghiệm bằng phương pháp này.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2431 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.