Động lực học robot_Chương 7

Chia sẻ: Trần Huyền My | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

190
lượt xem 75
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'động lực học robot_chương 7', kỹ thuật - công nghệ, tự động hoá phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Động lực học robot_Chương 7

Robot c«ng nghiÖp 84 ch−¬ng VII §éng lùc häc Robot (Dynamic of Robot) 7.1. NhiÖm vô vµ ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®éng lùc häc robot Nghiªn cøu ®éng lùc häc robot lµ c«ng viÖc cÇn thiÕt khi ph©n tÝch còng nh− tæng hîp qu¸ tr×nh ®iÒu khiÓn chuyÓn ®éng. ViÖc nghiªn cøu ®éng lùc häc robot th−êng gi¶i quyÕt hai nhiÖm vô sau ®©y : 1/ X¸c ®Þnh momen vµ lùc ®éng xuÊt hiÖn trong qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng. Khi ®ã qui luËt biÕn ®æi cña biÕn khíp qi(t) coi nh− ®· biÕt. ViÖc tÝnh to¸n lùc trong c¬ cÊu tay m¸y lµ rÊt cÇn thiÕt ®Ó chän c«ng suÊt ®éng c¬, kiÓm tra ®é bÒn, ®é cøng v÷ng, ®¶m b¶o ®é tin cËy cña robot. 2/ X¸c ®Þnh c¸c sai sè ®éng tøc lµ sai lÖch so víi qui luËt chuyÓn ®éng theo ch−¬ng tr×nh. Lóc nÇy cÇn kh¶o s¸t Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña robot cã tÝnh ®Õn ®Æc tÝnh ®éng lùc cña ®éng c¬ vµ c¸c kh©u. Cã nhiÒu ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu ®éng lùc häc robot, nh−ng th−êng gÆp h¬n c¶ lµ ph−¬ng ph¸p c¬ häc Lagrange, cô thÓ lµ dïng ph−¬ng tr×nh Lagrange - Euler. §èi víi c¸c kh©u khíp cña robot, víi c¸c nguån ®éng lùc vµ kªnh ®iÒu khiÓn riªng biÖt, kh«ng thÓ bá qua c¸c hiÖu øng träng tr−êng (gravity effect), qu¸n tÝnh (initial), t−¬ng hæ (Coriolis), ly t©m (centripetal)... mµ nh÷ng khÝa c¹nh nÇy ch−a ®−îc xÐt ®Çy ®ñ trong c¬ häc cæ ®iÓn; C¬ häc Lagrange nghiªn cøu c¸c vÊn ®Ò nªu trªn nh− mét hÖ thèng khÐp kÝn nªn ®©y lµ nguyªn lý c¬ häc thÝch hîp ®èi víi c¸c bµi to¸n ®éng lùc häc robot. 7.2. C¬ häc Lagrange víi c¸c vÊn ®Ò ®éng lùc cña robot. Hµm Lagrange cña mét hÖ thèng n¨ng l−îng ®−îc ®Þnh nghÜa : L=K-P (7.1) Trong ®ã : K lµ tæng ®éng n¨ng cña hÖ thèng P lµ tæng thÕ n¨ng K vµ P ®Òu lµ nh÷ng ®¹i l−îng v« h−íng nªn cã thÓ chän bÊt cø hÖ to¹ ®é thÝch hîp nµo ®Ó bµi to¸n ®−îc ®¬n gi¶n. §èi víi mét robot cã n kh©u, ta cã : n n K = ∑ Ki vµ P = ∑ Pi i =1 i =1 ë ®©y, Ki vµ Pi lµ ®éng n¨ng vµ thÕ n¨ng cña kh©u thø i xÐt trong hÖ to¹ ®é chän.Ta biÕt mçi ®¹i l−îng Ki vµ Pi lµ mét hµm sè phô thuéc nhiÒu biÕn sè: & & Ki = K(qi, q i ) vµ Pi = P(qi, q i ) Víi qi lµ to¹ ®é suy réng cña khíp thø i. NÕu khíp thø i lµ khíp quay th× qi lµ gãc quay θi, nÕu lµ khíp tÞnh tiÕn th× qi lµ ®é dµi tÞnh tiÕn di. Ta ®Þnh nghÜa : Lùc t¸c dông lªn kh©u thø i (i=1, 2,..., n) víi quan niÖm lµ lùc tæng qu¸t (Generalized forces), nã cã thÓ lµ mét lùc hoÆc mét momen (phô thuéc vµo biÕn khíp qi lµ tÞnh tiÕn hoÆc quay), ®−îc x¸c ®Þnh bëi: d ∂L ∂L Fi = − (7.2) dt ∂q i ∂q i & TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 85 Ph−¬ng tr×nh nÇy ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh Lagrange-Euler, hay th−êng ®−îc gäi t¾t lµ ph−¬ng tr×nh Lagrange. 7.3. VÝ dô ¸p dông : XÐt mét robot cã hai kh©u nh− h×nh vÏ, C¸c kh©u cã chiÒu dµi lµ d1 vµ d2 víi c¸c khèi l−îng t−¬ng øng m1 vµ m2 qui ®æi vÒ ®Çu mót cña kh©u. Robot ®−îc ®Æt th¼ng ®øng chÞu gia tèc träng tr−êng g. C¸c khíp chuyÓn ®éng quay víi c¸c biÕn khíp θ1 vµ θ2. TÝnh lùc tæng qu¸t. Qua vÝ dô nÇy, chØ víi mét mèi liªn kÕt hai y kh©u, c¸c vÊn ®Ò ®Æt ra ®Òu ®· cã mÆt g = 9,81m/s2 trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu ®éng lùc häc, vµ do ®ã, vÝ dô nªu trªn cã thÓ më réng ®Ó ¸p dông trong nh÷ng tr−êng hîp phøc t¹p O0 x1 x2 x h¬n. §èi víi kh©u 1 : 1 1 2&2 z K 1 = m1 v 1 = m1 d 1 θ 1 2 (7.3) 2 2 θ1 P1 = -m1gd1cosθ1 (7.4) y1 m1 §èi víi kh©u 2 : VÒ to¹ ®é : θ2 x2 = d1sinθ1 + d2sin(θ1 + θ2) y2 m2 y2 = -d1cosθ1 - d2cos(θ1 + θ2) ChiÒu cao thÕ n¨ng : h = d1cosθ1 + d2cos(θ1 + θ2) VÒ mÆt vËn tèc : v2 = x2 + y2 2 & 2 & 2 d & & & Víi x 2 = x 2 = d 1 cos(θ1 )θ 1 + d 2 cos(θ1 + θ 2 )(θ 1 + θ 2 ) & dt d & & & y 2 = y 2 = d 1 sin(θ1 )θ1 + d 2 sin(θ1 + θ 2 )(θ1 + θ 2 ) & dt [ 2&2 &2 & & &2 &2 & & v 2 = d 1 θ1 + d 2 (θ 1 + 2θ1θ 2 + θ 2 ) + 2d 1d 2 cos(θ 2 )(θ 1 + θ 1θ 2 ) 2 2 ] §éng n¨ng vµ thÕ n¨ng sÏ lµ : 1 2 1 2 [ 2&2 2 &2 & & &2 &2 & & K 2 = m 2 v 2 = m 2 d 1 θ1 + d 2 (θ 1 + 2θ1θ 2 + θ 2 ) + 2d 1d 2 cos(θ 2 )(θ 1 + θ 1θ 2 ) 2 ] (7.5) P2 = − m 2 g[d 1 cos(θ1 ) + d 2 cos(θ 1 + θ 2 )] (7.6) 7.4. Hµm Lagrange vµ lùc tæng qu¸t : ¸p dông hµm Lagrange cho vÝ dô trªn, ta cã : L = (K1 + K2) - (P1 + P2) 1 2&2 1 &2 & & & &2 & & L = ( m1 + m 2 )d 1 θ1 + m 2 d 2 (θ1 + 2θ1θ 2 + θ 2 ) + m 2 d 1d 2 cos θ 2 (θ 1 + θ 1θ 2 ) + 2 2 2 2 + ( m1 + m 2 )gd 1 cos θ1 + m 2 gd 2 cos(θ1 + θ 2 ) (7.7) Khi tÝnh lùc tæng qu¸t, c¸c biÕn cña hÖ : q1 = θ1 vµ q2 = θ2. §èi víi kh©u 1 : ∂L ∂L 2& & & & & = = ( m1 + m 2 )d 1 θ1 + m 2 d 2 (θ 1 + θ 2 ) + 2 m 2 d 1d 2 cos θ 2 θ1 + m 2 d 1d 2 cos θ 2 θ 2 ∂q 1 ∂θ1 & & 2 TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 86 d ∂L = ( m1 + m 2 )d 1 θ1 + m 2 d 2 (&&1 + && 2 ) − 2 m 2 d 1d 2 sin θ 2 θ 2 θ 1 + 2 m 2 d 1d 2 cos θ 2 θ 1 − 2 && 2 θ θ & & && & dt ∂θ1 & − m d d sin θ θ 2 + m d d cos θ θ && 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 ∂L ∂L = = − ( m1 + m 2 )gd 1 sin θ1 − m 2 gd 2 sin(θ1 + θ 2 ) ∂q 1 ∂θ1 VËy : d ∂L ∂L && F1 = − = [( m1 + m 2 )d 1 + m 2 d 2 + 2 m 2 d 1d 2 cos θ 2 ]θ 1 + 2 & dt ∂θ 1 ∂θ 1 2 && & & &2 +[ m 2 d 2 + m 2 d 1d 2 cos θ 2 ]θ 2 − 2 m 2 d 1d 2 sin θ 2 θ 2 θ 1 − m 2 d 1d 2 sin θ 2 θ 2 + 2 (7.8) + ( m1 + m 2 )gd 1 sin θ 1 + m 2 gd 2 sin(θ 1 + θ 2 ) Muèn cho kh©u 1 quay ®−îc mét gãc θ1 th× ®éng c¬ ph¶i t¹o ra mét lùc tæng qu¸t ≥ F1. Lùc tæng qu¸t nÇy cã ®Æc tÝnh phi tuyÕn, lµ hîp t¸c dông cña nhiÒu yÕu tè (non linear and cuppling). T−¬ng tù, ®Ó tÝnh lùc tæng qu¸t cña kh©u thø hai , ta cã : ∂L & & & = m 2 d 2 θ1 + m 2 d 2 θ 2 + m 2 d 1d 2 cos θ 2 θ1 ∂θ & 2 2 2 d ∂L = m 2 d 2 && 1 + m 2 d 2 θ 2 + m 2 d 1d 2 cos θ 2 θ1 − m 2 d 1d 2 sin θ 2 θ 1θ 2 2θ && && & & & dt ∂θ 2 2 ∂L vµ = − m2 d1d 2 sin(θ 2 )θ&1θ&2 − − m2 d1d 2 sin(θ 2 )θ&12 − m2 gd 2 sin(θ1 + θ 2 ) ∂θ 2 VËy : d ∂L ∂L && 2& & F2 = & − ∂θ = [m2 d 2 + m2 d1d 2 cosθ 2 ]θ1 + m2 d 2 θ 2 2 dt ∂θ 2 2 (7.9) − m d d sin(θ )θ& 2 + m gd sin(θ + θ ) 2 1 2 2 1 2 2 1 2 §Ó ph©n tÝch ý nghÜa c¸c thµnh phÇn trong biÓu thøc tÝnh lùc tæng qu¸t, ta viÕt l¹i c¸c biÓu thøc F1, F2 nh− sau : F1 = D11&& 1 + D12 θ 2 + D111θ 1 + D122 θ 2 + D112 θ 1θ 2 + D121θ 1θ 2 + D1 θ && &2 & 2 & & & & F2 = D12 &&1 + D 22 θ 2 + D 211θ 1 + D 222 θ 2 + D 212 θ1θ 2 + D 221θ 1θ 2 + D 2 θ && &2 & 2 & & & & HiÖu øng HiÖu øng HiÖu øng HiÖu øng qu¸n tÝnh ly t©m t−¬ng hæ träng tr−êng Effective inertias Centripetal effect Coriolis effect Gravity (Trong ®ã : D111 = 0; D222 = 0; D112 = D121 = D212 = D221 =-m2d1d2sinθ2 ...) Trong c¸c biÓu thøc trªn, c¸c hÖ sè d¹ng Dii hoÆc D ij thÓ hiÖn hiÖu øng qu¸n tÝnh t¹i khíp i hoÆc j g©y ra bëi gia tèc t¹i khíp i hoÆc j. C¸c sè h¹ng cã d¹ng D θ& 2 lµ lùc ly t©m ijj j t¸c ®éng lªn khíp i g©y ra bëi vËn tèc t¹i khíp j. Sè h¹ng d¹ng D ijkθ& jθ&k + D ikjθ&kθ& j lµ lùc Cariolis t¸c ®éng lªn khíp thø i g©y ra do vËn tèc t¹i khíp j vµ k. Sè h¹ng cã d¹ng Di lµ lùc träng tr−êng t¸c ®éng lªn khíp i. TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 87 7.5. Ph−¬ng tr×nh ®éng lùc häc robot : XÐt kh©u thø i cña mét robot cã n kh©u. TÝnh lùc tæng qu¸t Fi cña kh©u thø i víi khèi l−îng vi ph©n cña nã lµ dm. Lùc tæng qu¸t Fi ®ãng vai trß rÊt quan träng khi x©y dùng s¬ ®å khèi ®Ó thiÕt lËp hµm ®iÒu khiÓn cho robot cã n bËc tù do. 7. 5. 1. VËn tèc cña mét ®iÓm trªn robot : Mét ®iÓm trªn kh©u thø i ®−îc m« t¶ trong hÖ to¹ ®é c¬ b¶n lµ : r = Ti. ir (7.10) Trong ®ã : r lµ to¹ ®é cña ®iÓm xÐt ®èi víi kh©u thø i, ir kh«ng thay ®æi theo thêi i gian. Ti lµ ma trËn chuyÓn ®æi tõ kh©u thø i vÒ hÖ to¹ ®é gèc : Ti = A1A2...Ai. Nh− vËy r lµ mét hµm cña thêi gian t. Tèc ®é cña vi khèi l−îng dm ®−îc tÝnh bëi c«ng thøc : dr d i ⎛ i ∂T ⎞ &= r = Ti r = ⎜ ∑ i q j ⎟ i r ⎜ j=1∂q & ⎟ (7.11) dt dt ⎝ j ⎠ Khi tÝnh b×nh ph−¬ng cña vËn tèc nÇy ta cã : &. & = ∑ r 2 ( x o , y o , z o ) = Tr ( & & T ) rr & & & rr (7.12) y Kh©u i i r dm Ti r O0 x z H×nh 7.1. Kh¶o s¸t tèc ®é cña vi khèi l−îng dm. Víi rT lµ chuyÓn vÞ vect¬ vµ Tr lµ viÕt t¾t cña Trace (vÕt cña ma trËn) : ⎡ a 11 a 12 ... a 1n ⎤ ⎢a a 22 ... a 2 n ⎥ n Trace ⎢ ⎥ = ∑a 21 ⎢ ... ... ... ... ⎥ i =1 ii ⎢ ⎥ ⎣a n1 a n 2 a 11 a nn ⎦ Hay : ⎡ x⎤ ⎡x 2 ⎤ ⎢ y ⎥ . [x y z ] = ⎢ ⎥ ⎢ y2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢z⎥ ⎣ ⎦ ⎢ z2 ⎥ ⎣ ⎦ Do vËy d d & 2 = Tr ( &. & T ) = Tr ( Ti .i r. Ti T .i r T ) r rr dt dt TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 88 ⎡ i ∂T i ∂T T ⎤ = Tr ⎢ ∑ i q j i r. ∑ i q k i r T ⎥ & & ⎣ j=1∂q j ⎢ k =1 ∂q k ⎥ ⎦ ⎡ i i ∂Ti i i T ∂Ti T ⎤ = Tr ⎢∑∑ rr . & & q j qk ⎥ (7.13) ⎢ j =1 k =1 ∂q j ⎣ ∂qk ⎥ ⎦ 7. 5. 2. TÝnh ®éng n¨ng cña vi khèi l−îng dm. Ký hiÖu Ki lµ ®éng n¨ng cña kh©u thø i. dKi lµ ®éng n¨ng cña vi khèi l−îng dm ®Æt t¹i vÞ trÝ ir trªn kh©u thø i. 1 ⎡ i i ∂Ti i i T ∂Ti ⎤ T dK i = Tr ⎢ ∑ ∑ rr . q j q k ⎥ dm & & 2 ⎣ j=1k =1 ∂q j ⎢ ∂q k ⎥ ⎦ 1 ⎡ i i ∂Ti i ∂T T ⎤ = Tr ⎢ ∑ ∑ ( r. dm.i r T ). i q jq k ⎥ & & (7.14) 2 ⎢ j=1k =1 ∂q j ⎣ ∂q k ⎥ ⎦ Vµ do ®ã ®éng n¨ng cña kh©u thø i sÏ lµ : 1 ⎡ i i ∂Ti ∂Ti T ⎤ K i = ∫ dK = Tr ⎢∑ ∑ ( ∫ r. r dm ). i i T & & q j qk ⎥ (7.15) Khau i 2 ⎢ j =1 k =1 ∂q j Khau i ⎣ ∂q k ⎥ ⎦ Ji = ∫ i §Æt r.i r T dm gäi lµ ma trËn gi¶ qu¸n tÝnh (Pseudo inertia matrix). Khau i ý nghÜa "gi¶ qu¸n tÝnh" ®−îc sö dông v× khi thiÕt lËp ®Çy ®ñ c¸c phÇn tö cña ma trËn Ji ta cã thÓ liªn hÖ víi c¸c kh¸i niÖm "m«men qu¸n tÝnh ®éc cùc" vµ tr×nh bµy c¸c phÇn tö cña Ji gièng nh− c¸c phÇn tö cña m«men qu¸n tÝnh ®éc cùc. Ta xÐt mèi quan hÖ nÇy nh− sau : Theo ®Þnh nghÜa ta cã : ⎡ i x 2 dm ∫ ∫ x ydm ∫ x zdm ∫ xdm ⎤ i i i i i ⎢ i i ⎥ ⎢ ∫ x ydm ∫ y dm ∫ y zdm ∫ ydm ⎥ i 2 i i i J i = ∫ i r.i r T dm = Ji = ⎢ i i ⎥ (7.16) Khau i ⎢∫ x zdm ∫ i y i zdm ∫ i z 2 dm ∫ i zdm ⎥ ⎢ i xdm ⎣ ∫ ∫ ydm ∫ zdm ∫ dm ⎥ i i ⎦ B©y giê ta nh¾c l¹i m«men qu¸n tÝnh ®éc cùc cña mét vËt thÓ bÊt kú nh− h×nh vÏ. y x ω Theo ®Þnh nghÜa ta cã : I xx = ∫ ( y 2 + z 2 )dm z I yy = ∫ x 2 + z 2 )dm H×nh 7.2 : M«men qu¸n tÝnh ®éc cùc I zz = ∫ ( x 2 + y 2 )dm 1 1 1 Vµ v× : x2 = − ( y2 + z2 ) + (x2 + z2 ) + (x2 + y2 ) 2 2 2 ∫ x dm =( −I xx + I yy + I zz ) / 2 ; .v.v… 2 VËy : Ngoµi ra ta cßn cã : I xy = ∫ xydm ; I yz = ∫ yzdm ; I xz = ∫ xzdm mx = ∫ xdm ; my = ∫ ydm ; mz = ∫ zdm TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 89 §èi chiÕu víi ma trËn gi¶ qu¸n tÝnh Ji, ta cã thÓ tr×nh bµy Ji nh− sau : ⎡ − I xx + I yy + I zz ⎤ ⎢ 2 I yx I zx mx ⎥ ⎢ I xx − I yy + I zz ⎥ ⎢ I xy I zy my⎥ ji = ⎢ 2 ⎥ (7.17) ⎢ I xx + I yy − I zz ⎥ ⎢ I yz I yz mz ⎥ ⎢ 2 ⎣ mx my mz m⎥ ⎦ Nh− vËy ý nghÜa biÓu tr−ng cña Ji ®· râ. 1 ⎡ i i ∂Ti ∂Ti ⎤ T VËy ta cã : K i = Tr ⎢∑∑ Ji & & q j qk ⎥ (7.18) 2 ⎢ j =1 k =1 ∂q j ⎣ ∂q k ⎥ ⎦ Cuèi cïng, §éng n¨ng cña mét robot cã n kh©u ®−îc tÝnh : n K = ∑ Ki (7.19) i =1 7. 5. 3. TÝnh thÕ n¨ng cña robot : ThÕ n¨ng cña kh©u i cã khèi l−îng mi, träng t©m ®−îc x¸c ®Þnh bëi vect¬ ri (vect¬ biÓu diÔn träng t©m cña kh©u i trong hÖ to¹ ®é c¬ b¶n) lµ : Pi = -mi. g. ri = -mi. g. Ti iri (7.20) Trong ®ã, vect¬ gia tèc träng tr−êng g ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng mét ma trËn cét : ⎡gx ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢g ⎥ ⎢ 0 ⎥ g = ⎢ y⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ g z ⎥ ⎢ − 9,8⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎣ 0 ⎦ ThÕ n¨ng cña toµn c¬ cÊu robot n kh©u ®éng sÏ lµ : n P = − ∑ mi gTi i ri (7.21) i =1 7. 5.4. Hµm Lagrange : Sau khi x¸c ®Þnh ®éng n¨ng vµ thÕ n¨ng cña toµn c¬ cÊu, ta cã hµm Lagrange cña robot cã n bËc tù do : 1 n i i ⎛ ∂T ∂T T ⎞ n L= ∑∑∑ Trace⎜ i J i i ⎟q j qk + 1 ∑ mi gTi i ri & & (7.22) 2 i =1 j =1 k =1 ⎜ ∂q ∂q k ⎟ 2 i =1 ⎝ j ⎠ Chóng ta chó ý r»ng, trong hµm Lagrange vÉn ch−a ®Ò cËp ®Õn ¶nh h−ëng cña nguån truyÒn ®éng (gåm c¸c phÇn tÜnh (stator) vµ phÇn ®éng (Rotor) cña ®éng c¬ ®iÖn). 7. 5. 5. Ph−¬ng tr×nh ®éng lùc häc robot : Ta ®· biÕt lùc tæng qu¸t ®Æt lªn kh©u thø i cña robot cã n kh©u (Ph−¬ng tr×nh Lagrange - Euler) : d ∂L ∂L Fi = − (7.23) dt ∂q i ∂q i & Sau khi thiÕt lËp hµm Lagrange, víi p = 1... n, ta tÝnh ®−îc : TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 90 (p lµ chØ sè lÇn l−ît lÊy theo j vµ k) ⎛ ∂Ti ∂Ti T ⎞ ⎛ T ⎞ ∂L 1 n i ⎟qk + 1 ∑∑ Tr⎜ ∂Ti J i ∂Ti ⎟q j n i = ∑∑ Tr ⎜ Ji & & (7.24) ∂q p 2 i =1 k =1 ⎜ ∂q p & ⎝ ∂qk ⎟ ⎠ 2 i =1 j =1 ⎜ ∂q j ⎝ ∂q p ⎟ ⎠ Thay ®æi chØ sè gi¶ j thµnh k trong sè h¹ng thø hai ,vµ ®Ó ý r»ng : T ⎛ ∂Ti ∂Ti T ⎞ ⎛ T ⎞ ⎛ T ⎞ Tr ⎜ J ⎟ = Tr ⎜ ∂Ti J i ∂Ti ⎟ = Tr ⎜ ∂Ti J i ∂Ti ⎟ (7.25) ⎜ ∂q i ∂q ⎟ ⎜ ∂q ∂q p ⎟ ⎜ ∂q ∂q j ⎟ ⎝ j p ⎠ ⎝ j ⎠ ⎝ p ⎠ ∂L n i ⎛ ∂Ti ∂Ti T ⎞ ta cã : = ∑∑ Tr ⎜ Ji ⎟qk & (7.26) ∂q p i =1 k =1 ⎜ ∂qk & ⎝ ∂q p ⎟⎠ Còng ®Ó ý r»ng : trong Ti(q1, q2, . . . , qi), víi qi lµ c¸c biÕn khíp cña i khíp ®Çu tiªn. Do ∂Ti vËy, nÕu i < p th× = 0. ∂q p ∂L n i ⎛ ∂T ∂T T ⎞ Cuèi cïng ta cã : = ∑∑ Tr ⎜ i J i i ⎟qk & (7.27) ∂q p i = p k =1 ⎜ ∂qk & ⎝ ∂q p ⎟ ⎠ LÊy vi ph©n theo thêi gian t cña ph−¬ng tr×nh trªn : d ∂L d n i ⎛ ∂T ∂T T ⎞ = ∑∑ Tr⎜ i J i i ⎟ qk & dt ∂q p dt i = p k =1 ⎜ ∂qk & ⎝ ∂q p ⎟ ⎠ ⎛ ∂T ∂T T ⎞ ⎡ 2 T ⎤ ⎟ qk + ∑∑∑ Tr ⎢ ∂ Ti J i ∂Ti ⎥ qk qm + n i n i i = ∑∑ Tr ⎜ i J i i && & & ⎜ ∂q ∂q p ⎟ ⎢ ∂qk ∂qm ∂q p ⎥ i = p k =1 ⎝ k ⎠ i = p k =1 m =1 ⎣ ⎦ n i i ⎡ ∂ 2Ti ∂T T ⎤ + ∑∑∑ Tr ⎢ & & J i i ⎥ qk qm (7.28) i = p k =1 m =1 ⎢ ∂q p ∂qm ⎣ ∂qk ⎥⎦ (BiÕn ®æi theo chó ý (7.25)) Sè h¹ng cuèi cña ph−¬ng tr×nh Lagrange Euler lµ : ∂L 1 n i i ⎛ ∂ 2Ti ∂T T ⎞ = ∑∑∑ Tr⎜ Ji i ⎟ q j qk + & & ∂q p 2 i = p j =1 k =1 ⎜ ∂q j ∂q p ⎝ ∂qk ⎟ ⎠ ⎛ ∂ 2Ti ∂T T ⎞ 1 n i i ⎟ q j qk + ∑ mi g ∂Ti i ri n + ∑∑∑ Tr ⎜ 2 i =1 j =1 k =1 ⎜ ∂qk ∂q p Ji i ∂q j ⎟ & & ∂q p (7.29) ⎝ ⎠ i= p d ∂L ∂L Cuèi cïng ta cã lùc tæng qu¸t cña kh©u p : Fp = − dt ∂q p ∂q p & Thay thÕ c¸c chØ sè p vµ i thµnh i vµ j, ta sÏ cã : n j ⎛ ∂T j ⎞ ∂T jT n j j ⎡ ∂ 2T j ∂T jT ⎤ n ∂T j j Fi = ∑∑ Tr ⎜ ⎜ ∂q Jj ⎟ qk + ∑∑∑ Tr ⎢ ⎟ && Jj ⎥ qk qm − ∑ m j g & & rj j =i k =1 ⎝ k ∂qi ⎠ j =i k =1 m =1 ⎣ ∂qk ∂qm ∂qi ⎦ j =i ∂qi (7.30) Víi mét robot cã n bËc tù do th× : TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 91 q = [q1, q2, . . . ,qn]T q = [q 1 , q 2 , ... , q n ] T & & & & vµ F = F[F1, F2, . . . , Fn]T §Ó cho gän, ta biÓu diÔn : F = J ( q ) q + C ( q, q ) q + G ( q ) && & & (7.31) Trong ®ã : J thÓ hiÖn t¸c dông cña qu¸n tÝnh, lµ mét ma trËn ®èi xøng (n x n); C thÓ hiÖn t¸c dông cña lùc ly t©m vµ Cariolis, lµ mét vect¬ (n x 1); G thÓ hiÖn t¸c dông cña lùc träng tr−êng, còng lµ mét vect¬ (n x 1). §©y lµ ph−¬ng tr×nh ®éng lùc häc cña robot. NÕu thªm vµo ph−¬ng tr×nh trªn c¸c t¸c dông kh¸c nh− : FEX ®Æc tr−ng cho c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn trôc, V ®Æc tr−ng cho hiÖu øng ma s¸t, ta cã : F = J ( q) q + C ( q, q) q + G ( q) + V ( q) + FEX && & & & (7.32) TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc