Đường thẳng mặt phẳng trong không gian Oxyz

Chia sẻ: Paradise10 Paradise10 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

216
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đường thẳng mặt phẳng trong không gian oxyz', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đường thẳng mặt phẳng trong không gian Oxyz

www.laisac.page.tl Đ Ờ G T Ẳ G V M T P Ẳ G ĐƯ N TH N VÀ MẶ PH N ƯỜN HẲN Ặ HẲN T O G K Ô G G A O Y TR N KH N GI N OX Z RON HÔN IA XY TS.Trần Phương PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ C TRƯNG C A M T PH NG: 1. Hai véctơ u = ( a1 , a 2 , a3 ) ; v = ( b1 ; b2 ; b3 ) là m t c p véc tơ c h phươ ng (VTCP) c a m t ph ng (α) ⇔ u , v ≠ 0 ; không cùng phươ ng và các giá c a c húng song song ho c n m trên m t ph ng (α) 2. Véctơ n = ( a; b; c ) là véc tơ pháp tuy n (VTPT) c a m t ph ng (α) ⇔ (α) ⊥ giá c a n 3. N h n x ét: M t ph ng (α) có vô s c p véctơ ch phương và vô s véctơ pháp ng th i n // [ u , v ] . tuy n u = ( a1 , a 2 , a 3 )  Nu là m t c p VTCP c a m p(α) thì VTPT là: v = ( b1 ; b2 ; b3 )  a a2  a3 a a1 a n = [u , v ] =  2 ;3 ;1   b2 b3 b3 b1 b1 b2  I I. CÁC D NG PHƯƠNG TRÌNH C A M T PH NG 2. Ph ươ ng trình t n g quát: 2.1. Ph ươ ng trình chính t c: Ax + By + Cz + D = 0 v i A 2 + B 2 + C 2 > 0 . N u D = 0 thì Ax + By + Cz = 0 ⇔ (α) i qua g c t a . N u A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì (α): By + Cz + D = 0 s song song ho c ch a v i tr c x’Ox. N u A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì (α): Ax + Cz + D = 0 s song song ho c ch a v i tr c y’Oy. N u A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì (α): Ax + By + D = 0 s song song ho c ch a v i tr c z’Oz.
2.2. P hươ ng trình t ng quát c a m p(α) i qua M0(x0, y0, z0) v i c p VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) a a2   a3 a a1 a hay VTPT n = [u , v ] =  2 ;3 ;1   là:  b2 b3 b3 b1 b1 b2  v = ( b1 ; b2 ; b3 )  a2 a3 a3 a1 a1 a2 ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) = 0 b2 b3 b3 b1 b1 b2 2.3. P hươ ng trình t ng quát c a m p(α) i qua 3 i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ; C ( x 3 , y 3 , z 3 ) không th ng hàng có VTPT là:  y − y1 y 2 − y1  z 2 − z1 z − z1 x 2 − x1 x − x1 n =  AB, AC  =  2 ,2 ,2     y 3 − y1 z 3 − z1 z 3 − z1 x 3 − x1 x 3 − x1 y 3 − y1  nên phương trình là: y 2 − y1 z 2 − z1 z 2 − z1 x2 − x1 x2 − x1 y 2 − y1 ( x − x1 ) + ( y − y1 ) + ( z − z1 ) = 0 y3 − y1 z3 − z1 z3 − z1 x3 − x1 x3 − x1 y3 − y1 c bi t: Phươ ng trình m t ph ng i qua A ( a; 0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0; 0; c ) là: x + y + z = 1 ( abc ≠ 0 ) abc 3. Ph ươ ng trình chùm m t p h n g: C ho 2 m t ph ng c t nhau ( α 1 ) : a1 x + b1 y + c1 z + d 1 = 0 ; ( α 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 z + d 2 = 0 vi ( ∆ ) = ( α1 ) ∩ ( α 2 ) . M t ph ng (α) ch a (∆) là p ( a1 x + b1 y + c1 z + d 1 ) + q ( a 2 x + b2 y + c 2 z + d 2 ) = 0 v i p2 + q2 > 0 I II. V TRÍ TƯƠNG I C A 2 M T PH NG C ho 2 m t ph ng (α1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 có VTPT n1 = ( A1 , B1 , C1 ) và (α2): A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 có VTPT n 2 = ( A2 , B 2 , C 2 ) . N u n1 , n 2 không cùng phươ ng thì (α1) c t (α2). N u n1 , n 2 cùng phươ ng và (α1 ), (α2) không có i m c hung thì (α1) // (α2) N u n1 , n 2 cùng phươ ng và (α1 ), (α2) có i m c hung thì (α1) ≡ (α2) I V. GÓC GI A HAI M T PH NG Góc gi a 2 m t ph ng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và (α2): A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) th a mãn: A1 A2 + B1 B2 + C1C2 n1 .n2 v i n1 , n 2 là 2 VTPT c a (α1), (α2). cos ϕ = = n1 n2 A12 + B12 + C12 A2 + B2 + C 2 2 2 2
V. KHO NG CÁCH 1. Kho ng cách t M0(x0, y0, z0) n m t ph ng (α ): Ax + By + Cz + D = 0 là: Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D d ( M , α) = A2 + B 2 + C 2 2. Kho ng cách gi a 2 m t ph ng song song: d ( α; β ) = d ( M ; β ) ∀M ∈ ( α ) d ( α; β ) = d ( M ; α ) ∀M ∈ ( β ) V I. CÁC BÀI T P M U MINH H A B ài 1. L p phươ ng trình t ng quát c a m p(α) i qua A(2; 1; −1) và vuông góc nh b i 2 i m B(− 1; 0; − 4), C(0; − 2; −1). v i ư ng th ng xác Mp(α) i qua A nh n BC = (1; −2;3) làm VTPT nên phươ ng trình mp(α) là: 1 ( x − 2 ) − 2 ( y − 1) + 3 ( z + 1) = 0 ⇔ x − 2 y + 3 z + 3 = 0 B ài 2. L p phươ ng trình tham s và phươ ng trình t ng quát c a m p(α) i qua A ( 2; −1; 4 ) , B ( 3; 2; −1) và vuông góc v i ( β ) : x + y + 2 z − 3 = 0 H D: AB = (1; 3; −5 ) , nβ = (1;1; 2 ) . Do mp(α) i qua A, B và ( α ) ⊥ ( β ) nên (α) nh n AB, n b làm c p VTCP. Suy ra VTPT c a (α) là:  3 −5 −5 1 1 3   = (11; −7; −2 ) . M t khác (α) i qua A ( 2; −1; 4 ) nên n = ; ; 1 2 2 1 1 1 phươ ng trình mp( α): 11 ( x − 2 ) − 7 ( y + 1) − 2 ( z − 4 ) = 0 ⇔ 11x − 7 y − 2 z − 21 = 0 . B ài 3. L p phươ ng trình mp(α) i qua A(1; 0; 5) và // mp(γ): 2x − y + z − 17 = 0 . L p phươ ng trình mp(β) i qua 3 i m B(1; −2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) và tính góc nh n ϕ t o b i 2 m p(α) và (β). H D: mp( α) // (γ): 2 x − y + z − 17 = 0 có n = ( 2; −1;1) ⇒ (α): 2 x − y + z + c = 0 (α) i qua A(1; 0; 5) ⇒ 2 ⋅ 1 − 0 + 5 + c = 0 ⇔ c = −7 ⇒ PT (α): 2 x − y + z − 7 = 0 mp(β) nh n 2 véc tơ BC = ( 0; 2; −1) , BD = ( −1;3; −1) làm c p VTCP nên có  2 −1 −1 0 0 2  = (1;1; 2 ) . VTPT là: nβ =  ; ;  3 −1 −1 −1 −1 3  V y phươ ng trình mp(β): x + ( y − 1) + 2 z = 0 ⇔ x + y + 2 z − 1 = 0 2 ⋅1 − 1⋅1 + 1 ⋅ 2 = 3 = 1 ⇒ ϕ = π = 60° cos ϕ = cos ( n , nβ ) = 62 3 2 2 2 +1+1 1+1+ 2 x − 2z = 0  B ài 4. Vi t P T m t ph ng ch a ư ng th ng (∆):  3 x − 2 y + z − 3 = 0  và vuông góc v i m t ph ng (P): x − 2 y + z + 5 = 0
H D: Phương trình chùm m t ph ng ch a (∆) là: m ( x − 2 z ) + n ( 3 x − 2 y + z − 3) = 0 ( m, n ∈ » ; m 2 + n 2 > 0 ) ⇔ ( m + 3n ) x − 2ny + ( n − 2m ) z − 3n = 0 ⇒ m p(α) ch a (∆) có VTPT u = ( m + 3n; −2n; n − 2m ) M t ph ng (P) có VPPT v = (1; −2;1) nên (α) ⊥ (P) thì u ⋅ v = 0 ⇔ 1 ⋅ ( m + 3n ) − 2 ⋅ ( −2n ) + 1 ⋅ ( n − 2m ) = 0 ⇔ 8n − m = 0 . Cho n = 1 suy ra m = 8 , khi ó phươ ng trình mp( α) là: 11x − 2 y − 15 z − 3 = 0 B ài 5. Vi t phươ ng trình m t ph ng (P) ch a Oz và l p v i m t ph ng (α): 2 x + y − 5 z = 0 m t góc 60°. H D: M t ph ng (P) ch a Oz ⇒ (P) có d ng: mx + ny = 0 ( m 2 + n 2 > 0 ) ⇒ VTPT u = ( m; n; 0 ) . M t ph ng (α ) có VTPT v = ( 2;1; − 5 ) suy ra 2.m + 1.n − 0. 5 2 = 1 ⇔ ( 2 2m + n ) = 10 ( m 2 + n 2 ) cos ( u , v ) = cos 60° ⇔ 2 2 + 12 + 5 2 m2 + n2 ⇔ 4 ( 4m 2 + 4mn + n 2 ) = 10 ( m 2 + n 2 ) ⇔ 2 ( 3m 2 + 8mn − 3n 2 ) = 0 C ho n = 1 ⇒ 3m 2 + 8m − 3 = 0 ⇔ m = −3 ∨ m = 1 . 3 V y ( P ) : 3 x − y = 0 ho c ( P ) : x + 3 y = 0 B ài 6. Vi t phươ ng trình t ng quát c a m p(α) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và t o v i (Oxy) m t góc 60°. H D: (α): Ax + By + Cz + D = 0 qua M, N suy ra: C + D = 0 ; 3 A + D = 0 ⇒ C = 3 A; D = −3 A . M t ph ng (Oxy) có VTPT là ( 0; 0;1) suy ra 3A C = 1 ⇔ 36 A 2 = 10 A 2 + B 2 = cos 60° ⇔ 2 2 2 2 2 2 A +B +C 10 A + B ⇔ 26 A 2 = B 2 ⇔ B = ± 26 A . Do A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ⇒ A ≠ 0 . Cho A = 1 suy ra mp(α): x − 26 y + 3 z − 3 = 0 ho c x + 26 y + 3 z − 3 = 0 B ài 7. Cho A( a; 0; a), B(0; b; 0), C(0; 0; c) v i a, b, c là 3 s dươ ng thay i luôn luôn th a mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Xác nh a, b, c sao cho kho ng cách t O n m t ph ng (ABC) t Max. y (ABC): x + + z − 1 = 0 . Suy ra 1 = 12 + 12 + 12 H D: d ( O; ABC ) abc a b c ⇒ 12 = 12 + 12 + 12 ⇒ = 1  12 + 12 + 12  ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 1 ⋅ 9 = 3  3 a  c 3 d a b c b ⇒ d 2 ≤ 1 ⇒ d ≤ 1 . V i a = b = c = 1 thì Max d = 1 3 3 3 B ài 8. C ho chùm m t ph ng ( Pm ) : 2 x + y + z + 1 + m ( x + y + z + 1) = 0 . nh ∀ m Ch ng minh r ng: (P m) luôn i qua (d) c (Pm) ⊥ ( P0 ) : 2 x + y + z + 1 = 0 Tính kho ng cách t O n (d). Tìm m
2 x + y + z + 1 = 0  nh (d):  H D: V i m i m, (Pm) luôn i qua ư ng th ng c x + y + z + 1 = 0  M t ph ng 2 x + y + z + 1 = 0 có VTPT: u = ( 2;1;1) và x + y + z + 1 = 0 có VTPT v = (1;1;1) suy ra (d) có VTCP là: a = [u ; v ] = ( 0; −1;1) . [OM ⋅ a ] 12 + 0 + 0 =1 M t khác (d) i qua M ( 0; 0; −1) ⇒ d ( O, ( d ) ) = = a 2 2 0 +1+1 ( Pm ) : ( m + 2) x + ( m + 1) y + ( m + 1) z + m + 1 = 0 có VTPT n1 = ( m + 2; m + 1; m + 1) ; Trư ng h p c bi t m t ph ng ( P0 ) có VTPT n 2 = ( 2;1;1) . (Pm) ⊥ (P0) thì n1 ⋅ n2 = 0 ⇔ 2 ( m + 2) + 1( m + 1) + 1( m + 1) = 0 ⇔ 4m + 6 = 0 ⇔ m = −3 2 B ài 9. C ho 3 i m A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; − 1). Vi t phươ ng trình m t ph ng (ABC). CMR: O ∈ (ABC) và OABC là m t hình ch nh t. Cho S(9; 0; 0). Tính th tích chóp S.OABC. Vi t phươ ng trình m t ph ng ch a AB và i qua trung i m OS. AB = ( 2; 2; −1) , AC = ( 2;1; −3) ⇒ VTPT n =  AB, AC  = ( −5; 4; −2 )   H D: Do (ABC) i qua A(0; 1; 2) nên phương trình m t ph ng (ABC) là: −5 ( x − 0 ) + 4 ( y − 1) − 2 ( z − 2 ) = 0 ⇔ 5 x − 4 y + 2 z = 0 O(0; 0; 0) và 5.0 − 4.0 + 2.0 = 0 nên O ∈ (ABC). Ta có: OA = ( 0;1; 2 ) , OC = ( 2; 2; −1) ⇒ OC = AB OA ⋅ OC = 0.2 + 1.2 − 2.1 = 0 suy ra OABC là hình ch nh t. G i H là hình chi u c a S lên (OABC) suy ra V = 1 S OABC ⋅ SH = 2 ⋅ 1 S ABC ⋅ SH = 2.V SABC = 2 ⋅ 1  AB, AC  ⋅ AS 6  3 3   Ta có: AS = ( 9; −1; −2 ) và  AB, AC  = ( −5; 4; −2 ) ⇒ V = 1 9 ( −5 ) − 1 ⋅ 4 − 2 ( −2 ) = 1 −45 = 15 3 3 ) ) ( ( Trung i m c a OS là M 9 ; 0; 0 ⇒ AM = 9 ; −1; −2 2 2 ) ( ⇒ M t ph ng ch a AB và i qua M có VTPT là: n = [ AB. AM ] = −5; − 1 ; −11 2 ⇒ Phươ ng trình m t ph ng: 10 x + y + 22 z − 45 = 0 . B ài 10. L p phươ ng trình c a m t ph ng ( α ) thu c c hùm t o b i hai m t ph ng ( P ) : x − 3 y + 7 z + 36 = 0; ( Q ) :2 x + y − z − 15 = 0 n u bi t kho ng cách t n α b ng 3. g ct a O
Gi i M t ph ng ( α ) thu c c hùm t o b i (P) và (Q) nên có phươ ng trình d ng: m ( x − 3 y + 7 z + 36 ) + n ( 2 x + y − z − 15 ) = 0 ( m 2 + n 2 > 0 ) ⇔ ( m + 2n ) x + ( n − 3m ) y + ( 7 m − n ) z + 36m − 15n = 0 . Ta có 36m − 15n d ( O, ( α ) ) = 3 ⇔ =3 ( m + 2n ) + ( n − 3m ) 2 + ( 7 m − n ) 2 2 ⇔ 12m − 5n = 59m 2 − 16mn + 6n 2 ⇔ 19n 2 − 104mn + 85m 2 = 0 ⇔ ( n − m ) (19n − 85m ) = 0 ⇔ n = m ∨ 19n = 85m + Cho n = m = 1 thì nh n ư c ( α 1 ) : 3x − 2 y + 6 z + 21 = 0 + Cho m = 19, n = 85 ta có ( α 2 ) : 189 x + 28 y + 48 z − 591 = 0 . B ài 11. L p phươ ng trình m t ph ng ( α ) i qua 2 i m A(2; –1; 0), B(5; 1; 1) ) ( i m M 0; 0; 1 n m t ph n g ( α ) b ng 6 3 . và kho ng cách t 2 Gi i G i phươ ng trình m t ph ng ( α ) là: Ax + By + Cz + D = 0 ( A 2 + B 2 + C 2 > 0 ) Ta có A ∈ ( α ) ⇒ 2 A − B + D = 0 (1) ; B ∈ ( α ) ⇒ 5 A + B + C + D = 0 ( 2 ) M t khác: d ( M , ( α ) ) = 7 ⇔ 1 C + D = 7 A2 + B 2 + C 2 2 63 63 ⇔ 27 ( C + 2 D ) = 49 ( A + B + C 2) 2 2 2 ( 3) . T ( 1) và (2), ta có C = −3 A − 2 B, D = B − 2 A ( 4 ) Th (4) vào (3), ta ư c: 27.49 A 2 = 49  A 2 + B 2 + ( 3 A + 2 B )  2   5B 2 + 12 AB − 17 A 2 = 0 ⇔ B = A ∨ B = − 17 A 5 + Ch n A = B = 1 ⇒ C = –5, D = –1 thì nh n ư c ( α 1 ) : x + y − 5 z − 1 = 0 + Ch n A = 5, B = 17 ⇒ C = 19, D = –27 thì ( α 2 ) : 5 x − 17 y + 19 z − 27 = 0 V II. CÁC BÀI T P DÀNH CHO B N CT GI I B ài 1. Vi t P T mp(α) ch a g c t a O và vuông góc v i ( P ) : x − y + z − 7 = 0 , ( Q ) : 3 x + 2 y − 12 z + 5 = 0 B ài 2. Vi t P T mp(α) i qua M(1; 2;1) và ch a giao tuy n c a ( P ) : x + y + z − 1 = 0, ( Q ) : 2 x − y + 3 z = 0 x − y + z − 3 = 0  B ài 3. Vi t phươ ng trình m t ph ng ch a ( ∆ ) :  3x + y + 2 z − 1 = 0  và vuông góc v i m t ph ng (P): x + y + 2 z − 3 = 0
B ài 4. C ho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Vi t PT mp(ABC). Tính kho ng cách t g c O n ( ABC). Vi t PT m t ph ng: a. Qua O, A và // BC; Qua C, A và ⊥ (α): x − 2 y + 3z + 1 = 0 . b . Qua O và ⊥ (α), (ABC); Qua I(−1; 2; 3) và ch a giao tuy n c a (α), (ABC) B ài 5. Xác m t ph ng 5 x + ny + 4 z + m = 0 thu c nh các tham s m, n chùm m t ph ng có phươ ng trình: α ( 3 x − 7 y + z − 3) + β ( x − 9 y − 2 z + 5 ) = 0 B ài 6. C ho 2 m t ph ng ( α ) : 2 x − y + 3 z + 1 = 0 , ( β ) : x + y − z + 5 = 0 và i m n m p(α). M(1; 0; 5). Tính kho ng cách t M Vi t phươ ng trình m t ph ng (P) i qua giao tuy n (d) c a (α) và (β) ng th i vuông góc v i m t ph ng (Q): 3x − y + 1 = 0 . B ài 7. Vi t phươ ng trình m t ph ng (P) i qua 3 i m A(1; 1; 3), B(− 1; 3; 2), C(− 1; 2; 3). Tính kho ng cách t g c O n (P). Tính di n tích tam giác ABC và th tích t di n OABC. B ài 8. C ho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các i m M, N l n lư t là trung i m c a OA và BC; P, Q là 2 i m trên OC và AB sao cho OP = 2 và OC 3 2 ư ng th ng MN, PQ c t nhau. AQ Vi t phươ ng trình mp(MNPQ) và tìm t s . AB B ài 9. C ho A( a; 0; 0), B(0; a; 0), C(a; a; 0), D(0; 0; d) v i a, d > 0. G i A’, B’ là hình chi u c a O lên DA, DB. Vi t phươ ng trình m t ph ng ch a 2 ư ng OA’, OB’. Ch ng minh m t ph ng ó vuông góc CD. o góc A′OB ′ = 45° . Tính d theo a s B ài 10. Tìm trên Oy các i m cách u 2 m t ph ng ( α ) : x + y − z + 1 = 0, ( β ) : x − y + z − 5 = 0 B ài 11. Tính góc gi a 2 m t ph ng (P) và (Q) cùng i qua i m I(2; 1; − 3) bi t (P) ch a Oy và (Q) ch a Oz. Tìm t p h p các i m c ách u 2 m t ph ng (P) và (Q). B ài 12. Cho ∆OAB u c nh a n m trong m t ph ng (Oxy), ư ng th ng AB // Oy. ) ( i m A n m trên ph n tư th nh t trong mp(Oxy). Cho i m S 0; 0; a . 3 nh A, B và trung i m E c a OA. Vi t phươ ng trình m t ph ng Xác (P) ch a SE và song song v i Ox. Tính d ( O, P ) t ó s uy ra d ( Ox; SE )
PH ƯƠ NG TRÌNH Ư N G TH N G TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ C TRƯNG C A Ư NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN: 1. Véctơ a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) là véc tơ ch phương (VTCP) c a (∆) ⇔ (∆) // giá c a a 2. Nh n xét: N u a là m t VTCP c a (∆) thì ka (k ≠ 0) cũng là VTCP c a ( ∆) t c là (∆) có vô s VTCP. I I. PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN 1. Ph ươ ng trình tham s : P hươ ng trình ư ng th ng (∆) i qua M0(x 0, y 0, z0)  x = x 0 + a1t   và có VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) :  y = y 0 + a 2 t ( t ∈ » )   z = z 0 + a3t  2. Phươ ng trình chính t c: Phương trình ư ng th ng (∆) i qua M0(x0, y0, z0) x − x0 y − y 0 z − z 0 và có VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) : = = a1 a2 a3 3. Ph ươ ng trình t n g quát: Phươ ng trình ư ng th ng (∆) t ng quát là giao  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0  tuy n c a hai m t ph ng  v i A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B 2 : C 2  A2 x + B 2 y + C 2 z + D2 = 0  4. P hương trình ư ng th ng (∆) i qua 2 i m M1 (x1, y1, z1), M2(x 2, y2, z2): x − x1 y − y1 z − z1 = = x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1 5. C huy n d ng phươ ng trình t ng quát sang d ng tham s , chính t c :  ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Cho (∆):  ( A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B 2 : C 2 ) ( β ) : A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0  n1 = ( A1 , B1 , C1 )  ⇒ VTPT c a hai m t ph ng là  ⇒ VTCP a =  n1 , n 2    n 2 = ( A2 , B 2 , C 2 )  x − x0 y − y 0 z − z 0 Tìm i m M0(x0, y0, z0) ∈ (α) ∩ (β) ⇒ = = . a1 a2 a3 t t s này b ng t s uy ra d ng tham s .
III. V TRÍ TƯƠNG I C A CÁC Ư NG TH NG VÀ M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN 1. V trí t ươ ng i c a 2 ư n g th n g : C ho (∆ 1) i qua M1(x 1; y 1 , z1) v i VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) , (∆2) i qua M2(x 2; y 2, z2) v i VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 ) N u [u , v ] ⋅ M 1 M 2 ≠ 0 thì ( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) chéo nhau. N u [u , v ] ⋅ M 1 M 2 = 0 và a1 : a 2 : a 3 ≠ b1 : b2 : b3 thì (∆1), (∆2) c t nhau. ( ∆ 1 ) [u , v ] ⋅ M M = 0   1 2 Nu và h phươ ng trình c a  vô nghi m ( ∆ 2 )  a1 : a 2 : a 3 = b1 : b2 : b3   thì (∆1), (∆2) song song nhau. ( ∆ 1 ) [u , v ] ⋅ M M = 0   1 2 Nu và h phươ ng trình c a  có nghi m ( ∆ 2 )  a1 : a 2 : a 3 = b1 : b2 : b3   thì (∆1), (∆2) trùng nhau. 2. V trí t ươ ng i c a ư n g th n g và m t p h n g: C ho (∆) i qua M0(x0 ; y0, z0) v i VTCP u = ( a, b, c ) và mp(α): Ax + By + Cz + D = 0 v i VTPT n = ( A, B, C ) N u n ⋅ u ≠ 0 ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0 thì (∆) c t (α). N u n // u ⇔ a : b : c = A : B : C thì (∆) ⊥ (α). n ⋅ u = 0  Aa + Bb + Cc = 0   Nu ⇔ thì (∆) // (α). M 0 ∉ (α )  Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0   n ⋅ u = 0  Aa + Bb + Cc = 0   Nu ⇔ thì (∆) ⊂ (α). M 0 ∈ (α )  Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0  
I V. GÓC GI A CÁC Ư NG TH NG VÀ M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN 1. Góc gi a 2 ư n g th n g: (∆1) i qua M1(x1; y1, z1) v i VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) , C ho (∆2) i qua M2(x 2; y2, z2) v i VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 ) (( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) ) = ϕ∈ [0, 90°] xác Góc gi a nh b i: a 1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 u ⋅v cos ϕ = = u ⋅v a 12 + a 2 + a 3 2 2 b12 + b 2 + b 32 2 2. Góc gi a ư n g th n g và m t p h n g: C ho (∆) i qua M0(x0 ; y0, z0) v i VTCP u = ( a, b, c ) và mp(α): Ax + By + Cz + D = 0 v i VTPT n = ( A, B, C ) Góc gi a ( ( ∆ ) , ( α ) ) = ϕ∈ [ 0, 90°] xác nh b i: u ⋅n aA + bB + cC sin ϕ = = u ⋅n a + b + c2 2 2 A2 + B 2 + C 2 3. Góc gi a h ai m t p h n g: Góc gi a 2 m t ph ng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và (α2): A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) th a mãn: A1 A2 + B1 B2 + C1C2 n1 .n2 v i n1 , n 2 là 2 VTPT c a (α1), (α2). cos ϕ = = n1 n2 A12 + B12 + C12 A2 + B2 + C2 2 2 2 V. KHO NG CÁCH 1. Kho n g cách t 1 i m n 1 ư n g th n g: C ho (∆) i qua M0(x0 ; y0, z0) v i VTCP u = ( a, b, c ) . Kho ng cách t im u ⋅ M 0 M 1    n ư ng th ng (∆) là: d ( M 1 , ( ∆ ) ) = M 1(x1; y 1, z1) u 2. Kho n g cách gi a 2 ư n g th n g chéo nhau: C ho (∆ 1) i qua M1(x 1; y 1 , z1) v i VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) , (∆2) i qua M2(x 2; y2, z2) v i VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 ) [ u , v ] ⋅ M 1M 2 ( ∆1 ) , ( ∆ 2 ) chéo nhau, khi ó d ( (∆ 1 ),(∆ 2 ) ) = Gi s [u , v ]
3. Kho n g cách t 1 i m n 1 m t p h n g: n m t ph ng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là: Kho ng cách t M0(x0, y0 , z0) Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D d ( M , α) = A2 + B 2 + C 2 V I. CÁC D NG BÀI T P 1. D n g 1: Xác n h v t rí t ươ ng i c a c ác ư n g th n g và m t p h n g ( ∆ 1 ) ( ∆ )   Phương pháp: Gi i h P T t o b i   ; ho c s d ng d u hi u n h n ( ∆ 2 ) ( α )   bi t qua h th c c a c ác véctơ B ài 1. Xét v trí tương i b ng 2 cách khác nhau:  x = 9t  2 x − 3 y − 3z − 9 = 0   ( ∆ 1 ) :  y = 5t (∆ 2 ) :  ;  x − 2 y + z + 3 = 0   z = −3 + t  x − 2 y + 3 = 0  y + 2z − 8 = 0 ( ∆1 ) :  (∆ 2 ) :    2 x + 3 y = 0 x + z − 8 = 0    x = 1 + 2t   B ài 2. Xác nh giao i m c a ư ng th ng ( ∆ ) :  y = 1 − t ( t ∈ » ) v i m t  z = 1 + t  ph ng ( α ) : 2 x + y − z − 2 = 0 x + y + z − 2 = 0  B ài 3. Xác nh giao i m c a ư ng th ng ( ∆ ) :  v im t x + 2 y − z − 1 = 0  ph ng ( α ) : x + y + 2 z − 1 = 0 B ài 4. C ho 3 ư ng th ng:  x = 3t  x − y + 3z − 3 = 0  (∆3 ) :  y+2 − ( ∆1 ) :  y = 1 − t , ( ∆ 2 ) : x 1 1 = 4 = z − 2 ,  3 z = 5 + t 2 x − y + z + 1 = 0   a. Xét v trí tươ ng i c a các c p 2 ư ng th ng v i nhau. b . Vi t phương trình ư ng th ng (∆) song song v i (∆1), c t (∆2) và (∆ 3)
2. D n g 2: Xác n h hình chi u v uông góc c a 1 i m M lên m t p h n g (α ) Phương pháp: Vi t phương trình tham s c a ư ng th ng (∆ ) qua M và (∆ ) ⊥(α) Giao i m H c a (∆ ) và (α) là hình chi u v uông góc c a M lên (α) B ài 1. T ìm hình chi u vuông góc c a M(1; 2;−3) lên ( α ) : x + y − 3 z + 5 = 0 3. D ng 3: Xác nh i m i x ng v i i m M cho trư c qua m t ph ng (α) Phương pháp: Tìm hình chi u v uông góc H c a M lên (α ). i x ng M qua (α) là Gi s M (x1, y 1 , z1), H(x0 , y0, z0), khi ó i m M ’ M ′ ( 2 x 0 − x1 , 2 y 0 − y1 , 2 z 0 − z1 ) B ài 1. Xác i x ng v i i m M(13; 2; 3) qua m t ph ng (α): nh i m x + y – 3z + 5 = 0 4. D ng 4: Xác nh hình chi u vuông góc c a 1 i m M lên ư ng th ng (∆) Phương pháp 1: Vi t PT m t ph ng (α) qua M và (α ) ⊥ (∆ ). Giao i m H c a (∆) và (α ) là hình chi u vuông góc c a M lên (∆) Phương pháp 2: Vi t PT tham s c a (∆ ) ⇒ T a H theo tham s t. MH ⊥ u là véctơ ch phương c a (∆). GPT MH ⋅ u = 0 ⇒ tham s t ⇒ T a H B ài 1. Xác nh hình chi u vuông góc c a M(− 1; −1; 1) lên ư ng th ng (∆): { x = 1 + t ; y = 2 + t ; z = −3 − 3t} 5. D ng 5: Xác nh i m i x ng v i i m M cho trư c qua ư ng th ng (∆) Phương pháp: Tìm hình chi u v uông góc H c a M lên (∆ ) i x ng M qua (∆) là Gi s M (x1, y 1 , z1), H(x0 , y0, z0), khi ó i m M ’ M ′ ( 2 x 0 − x1 , 2 y 0 − y1 , 2 z 0 − z1 ) B ài 1. Xác i x ng v i i m M(0; 2; − 1) lên ư ng th ng (∆): nh i m { x = 1 + t ; y = 2 + t ; z = 3 − 3t} 6. D n g 6: Xác n h hình chi u v uông góc c a ư n g th n g (∆ ) lên m t p h n g (α ) Phương pháp: TH1: (∆ ) ⊥ (α ) ⇒ Hình chi u v uông góc c a (∆ ) lên (α ) là i m H≡ (∆) ∩ (α )
TH2: (∆ ) ⊂ (α ) ⇒ Hình chi u v uông góc c a (∆ ) lên (α ) là ư ng th ng (∆) TH3: (∆ ) không vuông góc v i (α), (∆ ) ⊄ (α ): Vi t phương trình m t ph ng (β ) ch a (∆ ) và (β ) ⊥ (α ). C1: Hình chi u v uông góc c a (∆) lên (α) là ư ng th ng (∆ ’) = (β ) ∩ (α ). L y 2 i m A, B phân bi t thu c (∆ ). C2: nh hình chi u v uông góc c a A, B lên (α ) là H1, H2. Xác Hình chi u v uông góc c a (∆) lên (α) là ư ng th ng (∆ ’) ≡ H1 H2 N u (∆ ) c t (α ): Xác nh A ≡ (∆ ) ∩ (α ). L y M b t k ì ∉ (∆) và M ≠ A. C 3: nh hình chi u v uông góc H c a M lên (α). Xác Hình chi u v uông góc c a (∆) lên (α) là (∆ ’) ≡ A H 5 x − 4 y − 2 z − 5 = 0  B ài 1. Xác nh hình chi u vuông góc c a (∆):  x + 2z − 2 = 0  lên m t ph ng (α): 2x – y + z – 1 = 0 7. D n g 7: Xác n h hình chi u song song c a ư n g th ng (∆ 1) lên (α ) theo ph ươ ng (∆ 2) c t (α ) Phương pháp: TH1: (∆1 ) // (∆ 2) ⇒ Hình chi u s ong song c a (∆1 ) lên (α ) theo phương (∆2 ) là i m H≡ ( ∆1 ) ∩ (α ) TH2: (∆1 ) và (∆2 ) không song song: Vi t phương trình m t ph ng (β ) ch a (∆1 ) và // (∆2 ) Hình chi u song song c a (∆1) lên (α) theo phương (∆2) là (∆) = (β) ∩ (α) 7 x + y − z − 1 = 0  B ài 1. Xác nh hình chi u s ong song c a t (∆1):  lên (α):  x + 2y + z +1= 0  y +1 z + 2 x − 2 y + 2 z − 3 = 0 theo phươ ng (∆ 2): x − 1 = = 2 1 3 8. D n g 8: VPT ư n g th n g (∆ ) qua M và c t ( ∆ 1), (∆2) v i (∆ 1), (∆ 2) chéo nhau và không i q ua M Phương pháp 1: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M ch a (∆ 1) N u cho (∆1) dư i d ng t ng quát thì nên vi t phương trình (α) dư i d ng chùm N u (∆1 ) d ng tham s thì l y 2 i m A, B ∈ (∆1 )
⇒ P hương trình (α ) qua 3 i m A, B, M. N u (α ) // (∆2 ) thì bài toán vô nghi m. N u (α) c t (∆2 ) thì tìm N = (∆ 2) ∩ (α ) N u M N // (∆ 1) thì bài toán vô nghi m, n u M N c t (∆1 ) suy ra ư ng th ng c n tìm là (∆) ≡ M N. Phương pháp 2: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M ch a (∆ 1), m t ph ng (β ) qua M ch a (∆2 ) Xét (∆) = (α ) ∩ (β ). N u (∆) c t (∆1 ) và (∆2 ) thì ư ng th ng (∆ ) là ư ng th ng c n tìm. N u (∆ ) // (∆1 ) ho c (∆ 2) thì bài toán vô nghi m. y − 2 = 0  B ài 1. VPT T (∆) qua M(1; 3; 0) và (∆) c t (∆1):  , 2 x − z − 5 = 0  (∆2): { x = 1 + 2t , y = 3 − t , z = 4 + t} 9. D n g 9: VPT ư n g th n g (∆ ) c t (∆ 1), (∆ 2) và song song v i (∆ 3) Phương pháp 1: Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) và // (∆3 ), m t ph ng (β ) ch a (∆2 ) và // (∆3 ) N u (α ) // (β ) thì bài toán vô nghi m. N u (α ) c t (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β). N u (∆ ) c t (∆1 ) và (∆2 ) thì ư ng th ng (∆) là ư ng th ng c n tìm. N u (∆ ) // (∆ 1) ho c (∆2 ) thì bài toán vô nghi m. Phương pháp 2: Vi t phương trình tham s c a (∆1 ) theo t1, c a (∆ 2) theo t2. L y M ∉ (∆1 ), N ∉ (∆2 ) ⇒ T a M, N theo t1, t2. ⇒ MN theo t1, t2. nh t1, t2 sao cho MN // (∆ 3) ⇒ ư ng th ng (∆ ) c t (∆1 ), (∆ 2) và song Xác song v i (∆3 ) là (∆ ) ≡ M N Phương pháp 3: G i M (x0, y0, z0) là giao i m c a (∆) và (∆ 1). (∆) nh n VTCP c a (∆3) làm VTCP ⇒ Phương trình tham s c a (∆) theo x0, y0, z0. ( ∆ )  có nghi m ⇒ x 0, y0, z0. ⇒ Phương trình (∆ ) (∆ ) c t (∆ 2) suy ra h  ( ∆ 2 )  y − 2 = 0  B ài 1. VPT ư ng th ng (∆) c t (∆1):  , (∆2): 2 x − z − 5 = 0  { x = 1 + 2t , y = 3 − t , z = 4 + t} và // v i tr c Oz.
y + 2 z −1 y −3 z −9 T (∆) c t (∆1): x − 2 = , (∆2): x − 7 = B ài 2. VPT = = 3 4 1 1 2 1 y+3 z−2 và // (∆3): x + 1 = = −2 3 1 10. D n g 10: VPT ư n g th n g (∆ ) qua M và vuông góc (∆ 1), c t (∆ 2) trong ó M ∉ (∆ 1), (∆ 2) Phương pháp: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M và ⊥ (∆1 ), m t ph ng (β ) qua M ch a (∆ 2) N u (α ) // (β ) thì bài toán vô nghi m. N u (α ) c t (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β). N u (∆ ) c t (∆2 ) thì ư ng th ng (∆ ) là ư ng th ng c n tìm. N u (∆ ) // (∆ 2) thì bài toán vô nghi m. y +1 z + 2 B ài 1. VPT ư ng th ng (∆) qua M(1; 2; 0) và ⊥ (∆1): x − 1 = = , 2 2 1 7 x + y − z − 1 = 0  c t (∆ 2):  x + 2 y + z + 1 = 0  11. D n g 11: VPT ư n g vuông góc chung c a 2 ư n g th n g (∆ 1), (∆ 2) chéo nhau c bi t: (∆ 1) ⊥ (∆2): a. TH Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) và (α) ⊥ (∆2 ) Tìm M = ( ∆ 2 ) ∩ ( α ) , H là hình chi u v uông góc c a M lên (∆1 ) ⇒ M H là ư ng vuông góc chung c a (∆1 ), (∆2) b. Phươ ng pháp 1: V i t phương trình (∆1 ), (∆ 2) dư i d ng tham s L y M∈ (∆ 1), N∈ (∆ 2) ⇒ T a M, N theo t1 , t 2 ⇒ MN theo t1 , t 2 . MN là ư ng vuông góc chung c a (∆1 ), (∆ 2) ⇒ MN ⊥ ( ∆ 1 ) , MN ⊥ ( ∆ 2 ) ⇒ t1 , t 2 ⇒ M N. c. Phương pháp 2: G i a1 , a 2 là VTCP c a (∆1 ) và (∆ 2) ⇒ ư ng vuông góc chung (∆) có VTCP a = a1 , a2    Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) và // (∆), m t ph ng (β) ch a (∆2 ) và // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β).
B ài 1. Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8). Vi t phươ ng trình ư ng vuông góc chung c a S B, OA. B ài 2. Vi t phươ ng trình ư ng vuông góc chung c a x + y + z − 3 = 0 x − 2 y − 2z + 9 = 0 ( ∆1 ) :  y + z − 1 = 0 và ( ∆ 2 ) :  y − z +1= 0  B ài 3. Vi t phươ ng trình ư ng vuông góc chung c a  x = 1 + 2t1 x = 2 + t2 ( ∆ 1 ) :  y = 2 + t1 và ( ∆ 2 ) :  y = −3 + 2t 2    z = −3 + 3t  z = 1 + 3t   1 2 B ài 4. VPT ư ng vuông góc chung c a 3 x − 2 y − 8 = 0 ( ∆ 1 ) : 5 x + 2 z − 12 = 0 và ( ∆ 2 ) : {x = −1 + 3t; y = −3 − 2t; z = 2 − t}  x = 2 + t x + 2z − 2 = 0  B ài 5. Cho ( ∆ 1 ) :  y = 1 − t và ( ∆ 2 ) :  . y − 3 = 0  z = 2t  u (∆ 1) và (∆2). Vi t phươ ng trình m t ph ng cách 12. D n g 12: Các bài toán v k ho n g cách 12.1. Tính kho n g cách: y +1 z −1 n (∆) : x − 1 = B ài 1. Tính kho ng cách t M(1; 2; 3) = 2 1 3 B ài 2. C ho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;− 1; 1). Tính kho ng cách t A n BC. B ài 3. Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng x + y = 0 ( ∆ 1 ) :  x − y + z − 4 = 0 ( ∆ 2 ) : { x = 1 + 3t; y = −t; z = 2 + t}  B ài 4. Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng x + 2 y − z = 0 y −2 z −3 − ( ∆1 ) : x 1 1 = ( ∆ 2 ) : 2 x − y + 3z − 5 = 0 = , 2 3  B ài 5. Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng  x + 8 z + 23 = 0  x − 2z − 3 = 0 ( ∆ 1 ) :  y − 4 z + 10 = 0 , ( ∆ 2 ) :  y + 2 z + 2 = 0   B ài 6. Tính kho ng cách gi a 2 m t ph ng (α): 2x + y + z – 1 = 0 và (β):2x + y + z + 10 = 0.
B ài 7. C ho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4). Tính kho ng cách t D(− 1; 5; 0) n ( ABC) 12.2. Tìm i m bi t kho ng cách cho trư c: B ài 1. C ho (α): x + 2y – 2z – 2 = 0. Tìm M∈ Oy sao cho kho ng cách t M n (α) b ng 4. B ài 2. C ho A(1;− 2; 0). Tìm M∈ Oz s ao cho kho ng cách t M n (α): 3x – 2y + 6z + 9 = 0 b ng MA. B ài 3. C ho (α): x + y + z + 5 = 0. 2 x + y + z − 1 = 0 sao cho d ( M , ( α ) ) = 3 . Tìm M∈(∆):  x + y + 2z + 3 = 0 B ài 4. C ho (α): 12x – 16y + 15z + 1 = 0 và (β): 2x + 2y – z – 1 = 0. Tìm M∈ Ox c ách u (α) và (β) 12.3. Các bài toán v t n g, hi u kho n g cách l n nh t, nh nh t: a. D n g 1: C ho 2 i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = 0 ( MA + MB) min. Phương pháp: Xác nh v trí tương i c a A, B i v i m t ph ng (P) b ng i lư ng: t A = ax1 + by 1 + cz1 + d ; t B = ax 2 + by 2 + cz 2 + d cách tính các N u t A t B < 0 ⇔ A, B khác phía i v i (P). G i M 0 ≡ (AB)∩ (P), khi ó MA + M B ≥ AB = M 0A + M0 B. N u t A t B > 0 ⇔ A, B cùng phía i v i (P). L y A1 i x ng A qua (P). G i M0 ≡ (A1 B)∩ (P). Khi ó MA + M B = M A1 + M B ≥ A1 B = M 0A1 + M 0 B. b. D n g 2: C ho 2 i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = 0 | MA – MB| max. Phương pháp: Xác nh v trí tương i c a A, B i v i m t ph ng (P) b ng i lư ng: t A = ax1 + by 1 + cz1 + d ; t B = ax 2 + by 2 + cz 2 + d cách tính các N u t A t B > 0 ⇔ A, B cùng phía i v i (P). G i M 0 ≡ (AB)∩ (P), khi ó |MA – MB| ≤ AB = | M0 A – M 0B|. N u t A t B < 0 ⇔ A, B khác phía i v i (P) L y A1 i x ng A qua (P). G i M0 ≡ (A1B)∩ (P).Khi ó |MA – MB| = |MA1 – MB| ≤ A1B = | M0A1 – M0B|
b. D n g 3: C ho 2 i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Tìm M∈(∆) cho tr ư c sao cho (MA + MB) min. Phương pháp: Xác c ác i m A ’, B’ là hình chi u tương ng c a nh t a các i m A, B lên (∆ ). G i M0 là i m chia o n A’B’ theo t s M 0 A' AA ' . Ta ch ng minh MA + M B ≥ M 0A + M0 B k= =− M 0B' BB ' Th t v y, g i A1 ∈(P) = ((∆), B) sao cho A 1 khác phía B so v i (∆ ) và th a mãn  A1 A ' = AA ' A A′ M A′  ⇒ 1 = 0 ⇒ A1, M 0 ,B th ng hàng   A1 A ' ⊥ ( ∆ ) B1 B ′ M 0 B ′  ⇒ MA + M B = M A1 + M B ≥ A1 B = M 0A1 + M 0B = M0 A + M 0B B ài 1. C ho A( −7; 4; 4), B(− 6; 2; 3). Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = 0 ( MA + MB) min;|MA – MB| max. B ài 2. C ho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5). Tìm M∈ m t ph ng Oxy sao cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max. B ài 3. C ho A(1; 0; 2), B(2; − 1; 3). Tìm M∈ ( P ) : x − 2 y + z − 4 = 0 (MA + MB) min; |MA – MB| max. B ài 4. C ho A(1; 3; − 2), B(13; 7; −4). Tìm M∈ ( P ) : x − 2 y + 2 z − 9 = 0 (MA + MB) min; |MA – MB| max. B ài 5. C ho A(1; 2;−1), B ( 2 − 2; 2; −3) . x + y + z − 3 = 0 Tìm M∈ ( ∆ ) :  sao cho (MA + MB) min. y + z − 5 = 0 B ài 6. C ho A(1; 1; 0), B(3;− 1; 4). y −1 z + 2 Tìm M∈ ( ∆ ) : x + 1 = sao cho (MA + MB) min. = −1 1 2 A(1;2; −1)  y−2 z −2 Tìm M∈ ( ∆) : x + 1 = B ài 7. C ho  sao cho (MA + MB) min. = −2 B ( 7; −2;3) 3 2  B ài 8. C ho A(2; 3; 0) và B ( 0; − 2; 0 ) . x + y + z − 2 = 0 Tìm M∈ ( ∆ ) :  sao cho (MA + MB) min. x − y + z − 2 = 0
13. D n g 13: Các bài toán v g óc Bài 1. Xác nh góc gi a 2 m t ph ng ( P ) : x + y + 2z + 4 = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + 1 = 0 1 B ài 2. C ho t di n ABCD v i A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C( −1; 0;− 2), D(− 2; 1; 1). Tính góc c a m i c p c nh i c a ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)). B ài 3. C ho ( P1 ) : 3 x − y − z + 2 = 0 , ( P2 ) : x + 2 y + z − 3 = 0 , ( P3 ) : − x + 3 y − 2 z + 1 = 0 . G i (∆) là giao tuy n c a (P1) và (P2). Tính góc gi a (∆) v i giao tuy n c a (P1), (P3) và v i m t ph ng (P3). x = 2 + t 3 x − y − 1 = 0  B ài 4. C ho ( ∆ 1 ) :  và ( ∆ 2 ) :  y = −1 . Tìm m : z − 3y − 5 = 0   z = 1 + mt  a. Góc gi a (∆1) và (∆2) b ng 45° b . Góc gi a (∆1) và (∆2) b ng 60°. Khi ó tính góc gi a (P) v i (∆2) bi t r ng (P) ⊥ (∆1). ) ( B ài 5. C ho A(0;− 2; − 2), B(− 1; −1; 0), C(− 2; − 2; 0), D − 1 ; −1; 0 . 2 a. Tính góc gi a ((ABC); (ABD)) b . Tính góc và kho ng cách gi a 2 ư ng th ng (AD) và (BC). y+2 z 14. Bài m u. Trong h Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( d ) : x − 1 = = −1 1 2 1. Tìm t a i m M thu c ư ng th ng ( d) sao cho: b) MA 2 + MB 2 nh nh t; a) MA + MB nh nh t; c) MA + MB nh nh t d) Di n tích tam giác AMB nh nh t 2. VPT m t ph ng (P) ch a (d) sao cho kho ng cách t A n (P) là l n nh t. 3. VPT m t ph ng (Q) ch a (d) và t o v i m t ph ng (xOy) m t góc nh nh t. 4. VPT m t ph ng (R) ch a ư ng th ng (d) và t o v i tr c Oy góc l n nh t. 5. Trong s các ư ng th ng i qua A và c t ư ng th ng (d), vi t phươ ng trình các ư ng th ng sao cho kho ng cách t B n nó là l n nh t? nh nh t? Gi i 1. M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; 6 − t ; 2 − 2t ) , MB = ( −2 + t ; 4 − t ; 4 − 2t ) 2 a. MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; 6 − 4t ) . Suy ra MA + MB = 24 ( t − 2 ) + 44 Do ó MA + MB nh nh t khi t = 2 và lúc ó M ( −1; 0; 4 )
2 b . Ta có MA 2 + MB 2 = 12t 2 − 48t + 76 = 12 ( t − 2 ) + 28 V y MA 2 + MB 2 nh nh t khi t = 2 và khi ó M ( −1; 0; 4 ) c. Ta s xác nh hình chi u A1 , B1 c a hai i m A, B lên ư ng th ng (d) ) ( MA 2 = 2 ( 3t 2 − 10t + 20 ) min ⇔ t = 5 ⇔ M ≡ A1 − 2 ; − 1 ; 10 v i AA1 ⊥ ( d ) 3 3 33 − 14t + 18 ) min ⇔ t = 7 ⇔ M ≡ B ( − 4 ; 1 ; 14 ) v i BB ⊥ ( d ) MB 2 = 2 ( 3t 2 1 1 3 333 AA1 = 1 210 ; BB1 = 1 30 . i m M c n tìm là i m chia o n A1 B1 theo t 3 3  −2 (1 + 2 7 ) 10 − 14 7  AA1 ; − 1; c a M là   k =− = − 7 nên t a s  3 (1 + 7 ) 3 3 (1 + 7 )  BB1   d . AM ( −t ; − 6 + t ; − 2 + 2t ) ; AB ( −2; − 2; 2) ;  AM ; AB  = ( 6t −16; − 2t + 4; 4t −12)   S AMB = 1  AM ; AB  = 1 ( 6t − 16 ) + ( −2t + 4 ) + ( 4t − 12 ) = 1 56t 2 − 304t + 416 2 2 2  2 2 2 ) ( 304 = 19 , khi ó M − 12 ; 5 ; 38 . D th y S AMB nh nh t khi t = 112 7 777 x + y + 1 = 0  2. P T t ng quát c a (d) là  . Vì m t ph ng (P) ch a ư ng th ng 2 y − z + 4 = 0  (d) nên (P) có phươ ng trình a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 v i a 2 + b 2 ≠ 0 2.4 − 2 + 4 = 10 = 2 5 • N u a = 0 thì (P): 2 y − z + 4 = 0 . Khi ó d ( A; ( P ) ) = 2 5 2 + ( −1) 2 a = 1 . Khi ó ( P ) : x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0 . • N u a ≠ 0 thì có th gi s ( 5b + 3) 2 2 5b + 3 Suy ra d ( A; ( P ) ) = f (b) = . Xét hàm s . 5b 2 + 4b + 2 5b 2 + 4b + 2 2 Ta có f ′ ( b ) = −50b + 10b + 24 = 0 ⇔ b = 4 ∨ b = − 3 ( 5b 2 + 4b + 2 ) 2 5 5 () () Do f 4 = 35 ; f − 3 = 0 ; lim f ( b ) = 5 nên d ( A; ( P ) ) l n nh t b ng 2 35 . 5 6 5 6 b →∞ K t lu n: So sánh hai trư ng h p ta có Max d ( A; ( P ) ) = 2 35 khi b = 4 , lúc ó 5 6 phươ ng trình (P) có d ng x + 13 y − 4 z + 21 = 0 , hay ( P ) : 5 x + 13 y − 4 z + 21 = 0 5 5 5 3. Do (Q) ch a (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 v i a 2 + b 2 ≠ 0 . M t ph ng (xOy) có phương trình z = 0