Giải bài tập về ma trận nghịch đảo - PGS.TS Mỵ Vinh Quang

Chia sẻ: Tran Dung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

754
lượt xem 125
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giải bài tập về ma trận nghịch đảo - pgs.ts mỵ vinh quang', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải bài tập về ma trận nghịch đảo - PGS.TS Mỵ Vinh Quang

Đ IS TUY N TÍNH §8. Gi i bài t p v ma tr n ngh ch đ o Phiên b n đã ch nh s a PGS TS M Vinh Quang Ngày 29 tháng 12 năm 2004 Bài 21. Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n   1 0 3 A= 2 1 1    3 2 2 Gi i Cách 1. S d ng phương pháp đ nh th c Ta có: det A = 2 + 12 − 9 − 2 = 3 1 1 0 3 0 3 A11 = =0 A21 = − =6 A31 = = −3 2 2 2 2 1 1 2 1 1 3 1 3 A12 = − = −1 A22 = = −7 A32 = − =5 3 2 3 2 2 1 2 1 1 0 1 0 A13 = =1 A23 = − = −2 A33 = =1 3 2 3 2 2 1 Vy   0 6 −3 1 A−1 =  −1 −7 5   3 1 −2 1 Cách 2. S d ng phương pháp bi n đ i sơ c p Xét ma tr n     1 0 3 1 0 0 1 0 3 1 0 0  d2 →−2d1 +d2  A= 2 1 1 0 1 0  − − − −  0 1 −5 −2 1 0  −−−→   d3 →−3d1 +d3 3 2 2 0 0 1 0 2 −7 −3 0 1     1 0 3 1 0 0 1 0 3 1 0 0 d =−2d +d   d3 = 1 d3  −3 − −2 −3  0 1 −5 −2 − − −→ 3 1 0  − − →  0 1 −5 −2 −− 1 0   1 0 0 3 1 −2 1 0 0 1 3 −2 3 3 1 1
  1 0 0 0 2 −1 −→  0 1 0 −1 −7 5   3 3 3  1 0 0 1 3 −2 3 1 3 Vy   0 2 −1 A−1 =  − 3 − 3  1 7 5  3  1 2 1 3 −3 3 Bài 22. Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n   1 3 2 A= 2 1 3    3 2 1 Gi i Ta s d ng phương pháp đ nh th c. Ta có det A = 1 + 27 + 8 − 6 − 6 − 6 = 18 1 3 3 2 3 2 A11 = = −5 A21 = − =1 A31 = =7 2 1 2 1 1 3 2 3 1 2 1 2 A12 = − =7 A22 = = −5 A32 = − =1 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 1 3 A13 = =1 A23 = − =7 A33 = = −5 3 2 3 2 2 1 Vy   −5 1 7 1  A−1 = 7 −5 1   18  1 7 −5 (B n đ c cũng có th s d ng phương pháp bi n đ i sơ c p đ gi i bài này) Bài 23. Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n   −1 1 1 1    1 −1 1 1  A=   1  1 −1 1   1 1 1 −1 Gi i Ta s d ng phương pháp 3. 2
Xét h   −x1 + x2 + x3 + x4 = y1  (1)    x −x +x +x =y (2) 1 2 3 4 2  x1 + x2 − x3 + x4 = y3  (3)    x +x +x −x =y (4) 1 2 3 4 4 1 (1) + (2) + (3) + (4) =⇒ x1 + x2 + x3 + x4 = (y1 + y2 + y3 + y4 ) (∗) 2 1 (∗) − (1) =⇒ x1 = (−y1 + y2 + y3 + y4 ) 4 1 (∗) − (2) =⇒ x2 = (y1 − y2 + y3 + y4 ) 4 1 (∗) − (3) =⇒ x3 = (y1 + y2 − y3 + y4 ) 4 1 (∗) − (4) =⇒ x4 = (y1 + y2 + y3 − y4 ) 4 Vy   −1 1 1 1   1  1 −1 1 1  A−1 =   4 1  1 −1 1   1 1 1 −1 Bài 24. Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n   0 1 1 1    −1 0 1 1  A=  −1 −1   0 1   −1 −1 −1 0 Gi i S d ng phương pháp 3. Xét h   x2 + x3 + x4  = y1 (1)    −x + x + x = y2 (2) 1 3 4  −x1 − x2 + x4  = y3 (3)    −x − x − x = y4 (4) 1 2 3 (1) + (2) − (3) + (4) =⇒ −x1 + x2 + x3 + x4 = y1 + y2 − y3 + y4 (∗) (1) − (∗) =⇒ x1 = −y2 + y3 − y4 (∗) − (2) =⇒ x2 = y1 − y3 + y4 (4) =⇒ x3 = −x1 − x2 − y4 = −y1 + y2 − y4 (3) =⇒ x4 = x1 + x2 + y3 = y1 − y2 + y3 3
Vy   0 −1 1 −1   −1  1 0 −1 1  A =  −1   1 0 −1   1 −1 1 0 Bài 25. Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n   1 1 1 ··· 1    0 1  1 ··· 1    0 0  1 ··· 1    . . . .. .   . . . . .   . . . .  0 0 0 ··· 1 n×n Gi i S d ng phương pháp 3. Xét h   x1 + x2 + · · · + xn = y1  (1)      x2 + · · · + xn = y2 (2) .  . .       xn−1 + xn = yn−1 (n − 1)   x =y n n (n) (1) − (2) =⇒ x1 = y1 − y2 (2) − (3) =⇒ x2 = y2 − y3 . . . (n − 1) − (n) =⇒ xn−1 = yn−1 − yn (n) =⇒ xn = yn Vy   1 −1 0 0 ··· 0 0    0 1 −1 0 · · · 0 0  . . . . ..   A−1 = . . . . . 0    . . . . 0     0 0 0 0 · · · 1 −1   0 0 0 0 ··· 0 1 4
Bài 26. Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n   1+a 1 1 ··· 1    1  1+a 1 ··· 1   A=  1 1 1+a ··· 1    . . . .. .   . . . . .  . . . .   1 1 1 ··· 1 + a Gi i S d ng phương pháp 3. Xét h   (1 + a)x1 + x2 + x3 + · · · + xn = y1  (1)    x + (1 + a)x + x + · · · + x = y (2) 1 2 3 n 2  .......................................     x + x + x + · · · + (1 + a)x = y (n) 1 2 3 n n L y (1) + (2) + · · · + (n), ta có (n + a)(x1 + x2 + · · · + xn ) = y1 + y2 + · · · + yn 1. N u a = −n, ta có th ch n tham s y1 , y2 , . . . , yn th a y1 + · · · + yn = 0. Khi đó h vô nghi m và do đó ma tr n A không kh ngh ch. 2. N u a = −n, khi đó ta có 1 x1 + x2 + · · · + xn = (y1 + · · · + yn ) (∗) n+a 1 (1) − (∗) =⇒ ax1 = ((n + a − 1)y1 − y2 − · · · − yn ) n+a (a) N u a = 0, ta có th ch n tham s y1 , y2 , . . . , yn đ phương trình trên vô nghi m. Do đó h vô nghi m và ma tr n A không kh ngh ch. (b) N u a = 0, ta có 1 x1 = ((n + a − 1)y1 − y2 − · · · − yn ) a(n + a) 1 (2) − (∗) =⇒ x2 = (y1 − (n + a − 1)y2 − y3 − · · · − yn ) a(n + a) . . . 1 (n) − (∗) =⇒ xn = (y1 − y2 − y3 − · · · − (n + a − 1)yn ) a(n + a) Vy   n+a−1 −1 −1 ··· −1    −1 n+a−1 −1 ··· −1  −1 1   A =  −1 −1 n + a − 1 ··· −1  a(n + a)    . . . . . . .. . .    . . . . .   −1 −1 −1 ··· n + a − 1 n×n 5
Đ IS TUY N TÍNH Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a PGS TS M Vinh Quang Ngày 24 tháng 1 năm 2005 §9. Gi i Bài T p V H Phương Trình Tuy n Tính 27) Gi i h phương trình tuy n tính   2x1 + x2 + x3 + x4 = 1    x + 2x − x + 4x = 2 1 2 3 4  x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = m   4x1 + 8x2 − 4x3 + 16x4 = m + 1  Gi i: L p ma tr n các h s m r ng A và dùng các phép bi n đ i sơ c p trên dòng đ đưa ma tr n A v d ng b c thang. Nh n xét r ng h ban đ u tương đương v i h có ma tr n các h s m r ng là ma tr n b c thang sau cùng. C th ta có     2 1 1 1 1 1 2 −1 4 2  1 2 −1 4 2  d1 ↔d2  2 1  −−→  1 1 1  A= −−    1 7 −4 11 m  1 7 −4 11 m  4 8 −4 16 m + 1 4 8 −4 16 m + 1   1 2 −1 4 2 d →−2d +d  0 −3 3 −7 −3  d2 →2d2 +d3 −2 − −1 − 2  −−−→ −−−→ −−− d3 →−d1 +d3 0 5 −3 7 m − 2  d3 ↔d2 d4 →−4d1 +d4 0 0 0 0 m−7     1 2 −1 4 2 1 2 −1 4 2  0 −1 3 −7 m − 8  d3 →−3d2 +d3  0 −1 3 −7 m − 8  −−−−   −−−→ 0    0 −3 3 −7 −3 0 −6 14 −3m + 21  0 0 0 0 m−7 0 0 0 0 m−7 • N u m = 7 thì h vô nghi m • N u m = 7 h tương đương v i 1∗   2 −1 4 2  0 −1∗ 3 −7 m − 8     0 0 −6∗ 14 0  0 0 0 0 0 1
h có vô s nghi m ph thu c m t tham s là x4 . Ta có 7 x3 = x4 , x2 = 3x3 − 7x4 + 1 = 1 3 7 −5 x1 = 2 − 2x2 + x3 − 4x4 = x4 − 4x4 = x4 3 3 V y, trong trư ng h p này, nghi m c a h là   x1 = −5a   x = 1 2 (a ∈ R)  x3 = 7a   x4 = 3a  28) Gi i h phương trình:   2x1 − x2 + x3 − 2x4 + 3x5 = 3   x + x − x − x + x = 1 1 2 3 4 5  3x1 + x2 + x3 − 3x4 + 4x5 = 6   5x1 + 2x3 − 5x4 + 7x5 = 9 − m  Gi i: L p ma tr n các h s m r ng     2 −1 1 −2 3 3 1 1 −1 −1 1 1  1 1 −1 −1 1 1  d1 ↔d2  2 −1  −−→  1 −2 3 3  A= −−    3 1 1 −3 7 6  3 1 1 −3 7 6  5 0 2 −5 4 9 − m 5 0 2 −5 4 9 − m     1 1 −1 −1 1 1 1 1 −1 −1 1 1 d →−2d +d  0 −3 3 0 1 1  d2 →d2 −d3  0 −1 −1 0 0 −1  −2 − −1 − 2  −−−→  −− −→  −−−   d3 →−3d1 +d3 0 −2 4 0 1 2  0 −2 4 0 1 2  d4 →−5d1 +d4 0 −5 7 0 2 4−m 0 −5 7 0 2 4−m     1 1 −1 −1 1 1 1 1 −1 −1 1 1 d →−2d +d  0 −1 −1 0 0 −1  d4 →−2d3 +d4  0 −1 −1 0 0 −1  −3 − −2 − 3  −−−→ −−−−  −−−→  d4 =−5d2 +d4 0 0 6 0 1 0  0 0 6 0 1 0  0 0 12 0 2 9−m 0 0 0 0 0 9−m • N u m = 9 thì h vô nghi m. • N u m = 9 thì h có d ng 1∗   1 −1 −1 1 1  0 −1∗ −1 0 0 −1   ∗   0 0 6 0 1 0  0 0 0 0 0 0 rank A = rank A = 3 nên h có vô s nghi m ph thu c 2 tham s là x4 , x5 , ta có 1 x3 = − x5 6 1 x2 = −x3 + 1 = x5 + 1 6 x1 = −x2 + x3 + x4 − x + 5 + 1 1 1 4 = − x5 − 1 − x5 + x4 − x5 + 1 = − x5 + x4 6 6 3 2
V y, trong trư ng h p này nghi m c a h là   x1 = a − 8b    x2 = b + 1    x3 = −b a, b ∈ R   x4 = a      x = 6b 5 29) Gi i và bi n lu n h phương trình   mx1 + x2 + x3 = 1  x1 + mx2 + x3 = m  x + x + mx = m2  1 2 3 Gi i: L p ma tr n các h s m r ng     m 1 1 1 1 1 m m2 A=  1 m 1 m  −→  1 m 1 m  1 1 m m2 m 1 1 1   1 1 m m2 −→  0 m − 1 1 − m m − m2  0 1 − m 1 − m2 1 − m3   1 1 m m2 −→  0 m − 1 1−m m − m2  2 2 3 0 0 2−m−m 1+m−m −m Chú ý r ng 2 − m − m2 = (2 + m)(1 − m). Ta có • m = 1, h tr thành   1 1 1 1 A= 0 0 0 0  0 0 0 0 rank A = rank A = 1 nên h có vô s nghi m ph thu c hai tham s x1 , x2 . Nghi m là   x1 = 1 − a − b  x2 = a a, b ∈ R  x3 = b  • m = −2, h tr thành   1 1 −2 4  0 −3 3 −6  h vô nghi m 0 0 0 3 • m = 1, m = −2, h có nghi m duy nh t 2 3 2  x = 1 + m − m − m = m + 2m + 1   3     (2 + m)(1 − m) m+2  2 m + 2m + 1 1 x2 = x3 − m = −m=    m+2 m+2 3 2 2  x1 = m2 − x2 − mx3 = m + 2m − 1 − m(m + 2m + 1) = −m − 1    m+2 m+2 3
30) Gi i và bi n lu n h phương trình   mx1 + x2 + x3 + x4 = 1  x1 + mx2 + x3 + x4 = 1   x + x + mx + x = 1 1 2 3 4 Gi i: L p ma tr n các h s m r ng     m 1 1 1 1 1 1 m 1 1 d ↔d3 A=  1 m 1 1 1  −1− →  1 m 1 1 1  −− 1 1 m 1 1 m 1 1 1 1   1 1 m 1 1 d →−d +d2 −2 − − −  0 m − 1 1 − m − − 1− → − 0 0  d3 →−md1 +d3 2 0 1−m 1−m 1−m 1−m   1 1 m 1 1 d →d +d −3 − 2 −3  0 m − 1 −− →− 1−m 0 0  (∗) 2 0 0 2−m−m 1−m 1−m Chú ý r ng 2 − m − m2 = (1 − m)(2 + m). Ta có các kh năng sau • m = 1 h tr thành   1 1 1 1 1  0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 rank A = rank A = 1, trư ng h p này h có vô s nghi m ph thu c ba tham s x2 , x3 , x4 . Nghi m c a h là   x1 = 1 − a − b − c   x = a 2 a, b, c ∈ R  x3 = b   x4 = c  • m = −2 h tr thành 1∗ 1 −2 1 1    0 3∗ −3 0 0  0 0 0 3∗ 3 Ta có rank A = rank A = 3 nên h có vô s nghi m ph thu c m t tham s là x3 . Ta có x4 = 1, 3x2 = 3x3 ⇒ x2 = x3 x1 = −x2 + 2x3 − x4 + 1 = x3 Trong trư ng h p này nghi m c a h là   x1  =a  x 2 =a a∈R  x3  =a  x4 =1  • m = 1, −2. Khi đó, t (∗) ta th y h có vô s nghi m ph thu c tham s x4 và m. Ta có (1 − m) − (1 − m)x4 1 − x4 (2 − m − m2 )x3 = (1 − m) − (1 − m)x4 ⇒ x3 = 2) = (2 − m − m m+2 (m − 1)x2 = (m − 1)x3 ⇒ x2 = x3 (m + 2) − (1 − x4 ) − m(1 − x4 ) − (m + 2)x4 1 − x4 x1 = 1 − x2 − mx3 − x4 = = m+2 m+2 4
V y, trong trư ng h p này h có nghi m là 1−a  x  1 =    m+2 1−a    x 2 = m+2   x 1−a  3 = m+2     x4 =a  31) Cho aij là các s nguyên, gi i h  1  x1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn 2    1   x = a x + a x + ··· + a x 2 21 1 22 2 2n n 2 ...    1    x = a x + a x + ··· + a x  n n1 1 n2 2 nn n 2 Gi i: H phương trình đã cho tương đương v i   (2a11 − 1) x1 + 2a12 x2 + · · · + 2a1n xn = 0    2a x + (2a − 1) x + · · · + 2a x = 0 21 1 22 2 2n n ...   2an1 x1 + 2an2 x2 + · · · + (2ann − 1) xn = 0  G i ma tr n các h s c a h phương trình trên là An , ta có 2a11 − 1 2a12 ... 2a1n 2a21 2a22 − 1 ... 2a2n det An = ... ... ... ... 2an1 2an2 . . . 2ann − 1 Chú ý r ng aij là các s nguyên nên các ph n bù đ i s c a (An )ij cũng là các s nguyên, do đó n u khai tri n đ nh th c theo dòng cu i ta s có 2a11 − 1 2a12 ... 2a1,n−1 2a21 2a22 − 1 ... 2a2,n−1 det An = 2k + (2ann − 1) ... ... ... ... 2an−1,1 2an−1,2 . . . 2an−1,n−1 − 1 = 2k + (2ann − 1) det An−1 = 2k + 2ann det An−1 − det An−1 = 2l − det An−1 Do đó, det An + det An−1 = 2l là s ch n, Suy ra det An và det An−1 có cùng tính ch n l v i m i n, mà det A1 = 2a11 − 1 là s l nên det An là s l và do đó det An = 0 (vì 0 là s ch n). Vì h phương trình có det An = 0 nên h trên là h Cramer và có nghi m duy nh t là x1 = x2 = · · · = xn = 0. 5
32) Gi i h phương trình   x1 + x2 + · · · + xn = 1    x1 + 2x2 + · · · + 2n−1 xn = 1    x1 + 3x2 + · · · + 3n−1 xn = 1  ...     x + nx + · · · + nn−1 x = 1  1 2 n Gi i: Gi s x1 , x2 , . . . , xn là nghi m c a h phương trình đã cho. Xét đa th c f (X) = xn X n−1 + xn−1 X n−2 + · · · + x2 X + x1 − 1 = 0 Vì x1 , x2 , . . . , xn là nghi m c a h nên X = 1, 2, . . . , n là các nghi m c a đa th c trên. Vì f (X) có b c n − 1 mà l i có n nghi m phân bi t nên f (X) ≡ 0 (f (X) là đa th c không), do đó ta có xn = xn−1 = · · · = x2 = 0, x1 = 1. V y h phương trình đã cho có nghi m duy nh t x1 = 1, x2 = x3 = · · · = xn = 0. 33) Ch ng minh h phương trình   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0   a x + a x + ··· + a x = 0 21 1 22 2 2n n ···   an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = 0  trong đó aij = −aji và n l , có nghi m không t m thư ng. Gi i: G i A là ma tr n các h s , theo gi thi t (A)ij = −(A)ji do đó A = At . Do tính ch t đ nh th c det A = det At nên ta có det A = det(−At ) = (−1)n det At = (−1)n det A = − det A( do n l ) B i v y suy ra det A = − det A hay det A = 0, t c là rank A = r < n. Theo Đ nh lý Cronecker- Capelly h có vô s nghi m (ph thu c n − r tham s ) do đó h có nghi m khác (0, 0, . . . , 0). 6