Giải tích II - Chương 3

Chia sẻ: Nguyen Ngoc Bau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

169
lượt xem 24
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

trong chương này chúng ta sẽ xây dựng khái niệm và cách tính tích phân cho hàm thực nhiều biến số. trước hết chúng ta nhắc lại khái niệm "hình hộp" đã biết đến ở chương trước. hình hộp trong r là khoảng đóng

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải tích II - Chương 3

MôC LôC 3 TÝch ph©n béi 3 3.1 §Þnh nghÜa tÝch ph©n trªn h×nh hép . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm kh¶ tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1
gi¶i tÝch II S¸ch dïng cho sinh viªn tr-êng §¹i häc x©y dùng vµ sinh viªn c¸c tr-êng §¹i häc, Cao ®¼ng kÜ thuËt 2
Ch-¬ng 3 TÝch ph©n béi Trong ch-¬ng nµy chóng ta sÏ x©y dùng kh¸i niÖm vµ c¸ch tÝnh tÝch ph©n cho hµm thùc nhiÒu biÕn sè. Tr-íc hÕt chóng ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm "h×nh hép" ®· biÕt ®Õn ë ch-¬ng tr-íc. H×nh hép trong R lµ kho¶ng ®ãng [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} trong ®ã a, b ∈ R. Ng-êi ta th-êng nãi h×nh hép trong R lµ h×nh hép 1 chiÒu. H×nh hép trong Rn lµ tÝch §Ò c¸c cña n kho¶ng ®ãng trong R: H = [a1, b1 ] × [a2, b2] × · · · × [an, bn ] hay víi mäi i = 1, .., n. H = {x = (x1, x2, · · · , xn ) | ai ≤ xi ≤ bi }, Ta gäi h×nh hép trong Rn lµ h×nh hép n chiÒu. ThÓ tÝch cña h×nh hép n chiÒu H = [a1, b1] × [a2, b2 ] × · · · × [an , bn ], kÝ hiÖu λ(H ) lµ tÝch cña c¸c ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng [ai, bi ]: λ(H ) = (b1 − a1 )(b2 − a2)...(bn − an ) §Æc biÖt khi H1 = [a, b] lµ h×nh hép 1 chiÒu, thÓ tÝch cña H1 lµ ®é dµi cña ®o¹n [a, b]: λ(H1 ) = λ[a, b] = b − a. 3
Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi 4 NÕu H2 lµ h×nh hép 2 chiÒu H2 = [a1, b1 ] × [a2, b2], khi ®ã thÓ tÝch cña H2 λ(H2 ) = (b1 − a1)(b2 − a2) chÝnh lµ diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt H . Khi x©y dùng kh¸i niÖm tÝch ph©n hµm mét biÕn chóng ta ®· nãi tíi phÐp chia kho¶ng [a, b] thµnh n kho¶ng nhá bëi c¸c ®iÓm chia xi thuéc [a, b] a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b. B©y giê, tæng qu¸t h¬n chóng ta sÏ ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm phÐp chia (theo kiÓu l-íi) h×nh hép n chiÒu H nãi trªn thµnh c¸c h×nh hép n chiÒu nhá h¬n trong H . H×nh 3.1: PhÐp chia l-íi h×nh hép Gäi T1 lµ mét kho¶ng con nµo ®ã (T1 = [xi, xi+1 ]) trong phÐp chia [a1, b1] thµnh m1 kho¶ng nhá, T2 còng lµ mét kho¶ng con nµo ®ã (T2 = [yj , yj +1]) trong phÐp chia [a2, b2 ] thµnh m2 kho¶ng nhá... T-¬ng tù ®èi víi Tn . Khi ®ã h×nh hép n chiÒu H ®-îc chia thµnh N = m1 m2 · · · mn h×nh hép (n chiÒu) nhá h¬n vµ Hi = T1 × T2 × · · · × Tn lµ mét trong c¸c h×nh hép nhá ®ã. HiÓn nhiªn N H= Hi . i=1
3.1 §Þnh nghÜa tÝch ph©n trªn h×nh hép 5 Trong ch-¬ng nµy khi nãi vÒ phÐp chia F mét h×nh hép nµo ®ã, chóng ta lu«n hiÓu lµ phÐp chia kiÓu l-íi nãi trªn. HiÓn nhiªn thÓ tÝch cña H b»ng tæng c¸c thÓ tÝch cña tÊt c¶ c¸c h×nh hép nhá N λ( H ) = λ ( Hi ) . i=1 Chó ý r»ng còng nh- trong hµm mét biÕn, ng-êi ta kÝ hiÖu d(F ) lµ ®-êng kÝnh cña phÐp chia F . §-êng kÝnh ®ã lµ ®-êng kÝnh lín nhÊt trong sè tÊt c¶ c¸c ®-êng kÝnh cña h×nh hép nhá T1 × T2 × · · · × Tn cña phÐp chia F nãi trªn d(F ) = max{d(H1 ), d(H2 ), ..., d(HN )}. (§-êng kÝnh h×nh hép lµ kho¶ng c¸ch lín nhÊt gi÷a 2 ®iÓm cña h×nh hép ®ã). 3.1 §Þnh nghÜa tÝch ph©n trªn h×nh hép §Þnh nghÜa 3.1.1 Cho h×nh hép n chiÒu H ⊂ Rn vµ hµm f :H →R x¸c ®Þnh trªn H . Gäi F lµ mét phÐp chia l-íi bÊt k× h×nh hép H : N H= Hi , i=1 chän ®iÓm ti ∈ Hi tïy ý thuéc Hi víi mäi i = 1, 2, ..., N . Khi ®ã kÝ hiÖu N f (ti )λ(Hi ) S (F ) = i=1 lµ tæng tÝch ph©n cña hµm f t-¬ng øng víi phÐp chia F . NÕu tæng tÝch ph©n S (F ) tån t¹i giíi h¹n L vµ giíi h¹n ®ã h÷u h¹n khi ®-êng kÝnh cña phÐp chia d(F ) tiÕn tíi 0: N f (ti )λ(Hi ) = L, lim S (F ) = lim i=1
Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi 6 ta nãi hµm f kh¶ tÝch trªn H vµ kÝ hiÖu f (x) dx lim S (F ) = L = d(F )→0 H hoÆc lim S (F ) = L = ... f (x1 , x2, ..., xn) dx1 dx2 ...dxn. H Chó ý r»ng giíi h¹n lim S (F ) = L ®-îc hiÓu nh- sau: d(F )→0 Víi ε > 0 tïy ý lu«n tån t¹i δ = δ (ε) > 0 sao cho víi mäi phÐp chia h×nh hép H cã ®-êng kÝnh d(F ) < δ vµ mäi c¸ch chän c¸c ®iÓm ti ∈ Hi , ta cã N f (ti )λ(Hi ) − L| < ε. |S ( F ) − L | = | i=1 (Chó ý r»ng sù tån t¹i giíi h¹n cña tæng tÝch ph©n S (F ) kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän c¸c ®iÓm ti tïy ý trong Hi ). VÝ dô XÐt tÝch ph©n hµm h»ng sè f (x) ≡ C víi ∀x ∈ H . Khi ®ã víi mäi phÐp m chia F : H = Hi , tæng tÝch ph©n i=1 m m f (ti )λ(Hi ) = S (F ) = Cλ(Hi ) = Cλ(H ) i=1 i=1 kh«ng phô thuéc vµo F . VËy lim S (F ) = Cλ(H ), hay Cdx = ... C dx1 dx2 ...dxn = Cλ(H ). H H §Þnh nghÜa 3.1.2 Cïng víi c¸c kÝ hiÖu trong ®Þnh nghÜa trªn, ta ®Æt Mi = sup f (x) mi = inf f (x). x∈Hi x∈Hi Khi ®ã N S ∗ (F ) = Mi λ(Hi ) i=1
3.2 §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm kh¶ tÝch 7 N S∗ ( F ) = m i λ ( Hi ) i=1 ®-îc gäi lµ tæng Darboux trªn vµ tæng Darboux d-íi cña hµm f t-¬ng øng víi phÐp chia F . Râ rµng víi mäi phÐp chia F S∗ ( F ) ≤ S ∗ ( F ) . §Þnh lÝ sau lµ hiÓn nhiªn (®-îc chøng minh t-¬ng tù nh- trong tÝch ph©n hµm mét biÕn) §Þnh lÝ 3.1.1 (§iÒu kiÖn cÇn ®Ó hµm kh¶ tÝch) NÕu f kh¶ tÝch trªn h×nh hép H , khi ®ã hµm f bÞ chÆn trªn H (tån t¹i sè K ∈ R ®Ó |f (x)| ≤ K víi mäi x ∈ H ). Do ®Þnh lÝ trªn, trong ch-¬ng nµy tõ nay vÒ sau khi nãi vÒ c¸c hµm kh¶ tÝch, ta chØ xÐt nh÷ng hµm bÞ chÆn. 3.2 §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó hµm kh¶ tÝch Chóng ta cÇn ®Õn kh¸i niÖm sau vÒ c¸c phÐp chia. §Þnh nghÜa 3.2.1 Gi¶ sö F vµ F lµ hai phÐp chia mét h×nh hép H . Ta nãi phÐp chia F mÞn h¬n phÐp chia F nÕu mäi h×nh hép con cña H øng víi phÐp chia F ®Òu n»m trong mét h×nh hép con nµo ®Êy øng víi phÐp chia F . §iÒu nµy t-¬ng ®-¬ng víi kh¼ng ®Þnh mäi h×nh hép con øng víi phÐp chia F lµ hîp cña c¸c h×nh hép con nµo ®ã øng víi phÐp chia F Hi = Hk . k : H k ⊂H i Tõ ®Þnh nghÜa trªn, suy ra r»ng nÕu phÐp chia F mÞn h¬n phÐp chia F , khi ®ã S∗ (F ) ≤ S∗ (F ) vµ S ∗ (F ) ≤ S ∗ (F ). Kh¼ng ®Þnh trªn suy ra tõ nhËn xÐt: nÕu A ⊂ B , khi ®ã vµ inf f (x) ≤ inf f (x) sup f (x) ≤ sup f (x). x∈B x∈A x∈A x∈B
Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi 8 §Þnh nghÜa 3.2.2 Gäi N1 (1) F1 : H= Hi i=1 N2 (2) F2 : H= Hj j =1 lµ hai phÐp chia h×nh hép H . Hîp cña hai phÐp chia F1 vµ F2 lµ phÐp chia míi h×nh hép H , kÝ hiÖu F1 ∪ F2 mµ mçi h×nh hép con cña phÐp chia míi b»ng giao cña hai h×nh hép con nµo ®ã øng víi hai phÐp chia F1, F2: (1) (2) Hi ∩ Hj . (1) (2) Hi lµ h×nh hép con øng víi phÐp chia F1 vµ Hj lµ h×nh hép con øng víi phÐp chia F2. N1 N2 (1) (2) F1 ∪ F2 : H= (Hi ∩ Hj ). i=1 j =1 TÝnh ®óng ®¾n cña ®Þnh nghÜa trªn suy ra tõ nhËn xÐt: giao cña hai h×nh hép hoÆc lµ tËp ∅ (tËp ∅ còng ®-îc coi lµ h×nh hép) hoÆc còng lµ h×nh hép. §ång thêi dÔ dµng suy ra r»ng hîp cña hai phÐp chia F1 vµ F2 lµ phÐp chia mÞn h¬n c¶ F1 vµ F2 . §Þnh lÝ 3.2.1 Víi F1 vµ F2 lµ hai phÐp chia bÊt k× h×nh hép H , duy tr× c¸c kÝ hiÖu nh- trong §Þnh nghÜa 2, khi ®ã S∗ ( F 1 ) ≤ S ∗ ( F 2 ) . Chøng minh XÐt phÐp chia T lµ hîp cña hai phÐp chia F1 vµ F2, theo nhËn xÐt trªn phÐp chia T mÞn h¬n c¶ F1 vµ F2 , suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh S∗ ( F 1 ) ≤ S∗ ( T ) ≤ S ∗ ( T ) ≤ S ∗ ( F 2 ) . Ta dÉn vµo c¸c kÝ hiÖu I∗ = sup S∗(F ) I ∗ = inf S ∗ (F ) lµ c¸c cËn trªn ®óng vµ cËn d-íi ®óng cña c¸c tæng tÝch ph©n hµm f víi mäi phÐp chia F cã thÓ cã cña h×nh hép H . (Ng-êi ta cßn gäi I ∗ vµ I∗ lµ tÝch ph©n trªn, tÝch ph©n d-íi cña hµm f ). Ta thõa nhËn ®Þnh lÝ sau
3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi 9 §Þnh lÝ 3.2.2 (§Þnh lÝ Darboux) I∗ = lim S∗ (F ) vµ I ∗ = lim S ∗(F ) khi ®-êng kÝnh cña phÐp chia d(F ) tiÕn tíi 0. Tõ ®Þnh lÝ trªn, ta cã hÖ qu¶ HÖ qu¶ 3.2.1 §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm bÞ chÆn f : H → R kh¶ tÝch trªn h×nh hép H lµ I∗ = I ∗ hoÆc diÔn ®¹t d-íi d¹ng kh¸c t-¬ng ®-¬ng: Víi ε > 0 tïy ý lu«n tån t¹i mét phÐp chia F sao cho S ∗ (F ) − S∗(F ) < ε. Chøng minh §iÒu kiÖn cÇn lµ hiÓn nhiªn. §Ó chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ, ta gäi I = I∗ = I ∗ lµ gi¸ trÞ chung cña tÝch ph©n trªn, tÝch ph©n d-íi hµm f . Theo §Þnh lÝ Darboux, víi ε > 0 tïy ý lu«n tån t¹i δ = δ (ε) > 0 sao cho víi mäi phÐp chia h×nh hép H cã ®-êng kÝnh d(F ) < δ , ta cã |S∗(F ) − I | < ε vµ |S ∗ (F ) − I | < ε. Víi phÐp chia F nh- vËy vµ chän c¸c ®iÓm ti ∈ Hi tïy ý, do tæng tÝch ph©n S (F ) tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc S∗ (F ) ≤ S (F ) ≤ S ∗ (F ), suy ra |S (F ) − I | < ε. §iÒu ®ã chøng minh f kh¶ tÝch trªn h×nh hép H ®ång thêi f (x) dx = I (= I∗ = I ∗). H §Þnh lÝ trªn tr×nh bµy t- t-ëng x©y dùng kh¸i niÖm tÝch ph©n hµm nhiÒu biÕn bÊt k×. Tuy ®Þnh lÝ ph¸t biÓu ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm kh¶ tÝch song trong thùc tÕ ®iÒu kiÖn ®ñ ®ã rÊt khã kiÓm tra. §Þnh lÝ sau ®-a ra ®iÒu kiÖn ®ñ ®¬n gi¶n vµ dÔ kiÓm tra h¬n (c¸ch chøng minh nh- trong gi¶i tÝch hµm mét biÕn). §Þnh lÝ 3.2.3 NÕu hµm f bÞ chÆn vµ liªn tôc trªn h×nh hép H ⊂ Rn , khi ®ã f kh¶ tÝch. H¬n n÷a nÕu tËp hîp c¸c ®iÓm gi¸n ®o¹n cña f lµ h÷u h¹n hoÆc v« h¹n ®Õm ®-îc, th× f còng kh¶ tÝch trªn h×nh hép H . NhËn xÐt r»ng nÕu f lµ hµm thùc mét biÕn (n = 1) ®¬n ®iÖu (t¨ng hoÆc gi¶m) trªn ®o¹n [a, b], khi ®ã tËp c¸c ®iÓm gi¸n ®o¹n cña f kh«ng qu¸ ®Õm ®-îc, suy ra f kh¶ tÝch trªn [a, b]. Líp c¸c hµm kh¶ tÝch kh¸ réng. HÇu hÕt c¸c hµm bÞ chÆn ta th-êng gÆp lµ c¸c hµm kh¶ tÝch.
Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi 10 3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi B©y giê chóng ta sÏ më réng kh¸i niÖm tÝch ph©n trªn mét miÒn giíi néi (bÞ chÆn) bÊt k×. ChÝnh x¸c h¬n ta chØ x©y dùng kh¸i niÖm tÝch ph©n trªn mét miÒn ®o ®-îc d¹ng Jordan. XÐt tËp M ⊂ Rn lµ tËp hîp bÞ chÆn trong Rn , khi ®ã tån t¹i mét h×nh hép H chøa tËp M . Gi¶ sö I1 , I2, ..., Ik, ..., IN Ik ⊂ H k = 1, 2, ..., N lµ c¸c h×nh hép ®«i mét kh«ng cã ®iÓm chung trong vµ N Ik ⊂ M k =1 LËp tæng c¸c thÓ tÝch c¸c h×nh hép Ik vµ kÝ hiÖu λ∗ (M ) lµ cËn trªn ®óng cña tÊt c¶ c¸c tæng ®ã N λ∗ ( M ) = sup λ(Ik ) ∪N Ik ⊂M k =1 k =1 T-¬ng tù gi¶ sö Ik , Ik ⊂ H k = 1, 2, ..., K lµ c¸c h×nh hép ®«i mét kh«ng cã ®iÓm chung trong vµ K Ik ⊃ M. k =1 KÝ hiÖu K λ∗ ( M ) = inf λ(Ik ). ∪K Ik ⊃M k =1 k =1 Chó ý r»ng tr-êng hîp kh«ng tån t¹i mét h×nh hép nµo ®-îc chøa trong M , khi ®ã theo quy -íc λ∗ (M ) = 0. HiÓn nhiªn λ∗ (M ) ≤ λ∗ (M ). Ta cã ®Þnh nghÜa sau §Þnh nghÜa 3.3.1 Mét tËp M bÞ chÆn ®-îc gäi lµ ®o ®-îc d¹ng Jordan nÕu λ∗ (M ) = λ∗ (M ). Khi ®ã gi¸ trÞ chung cña chóng λ∗ ( M ) = λ∗ ( M ) ®-îc gäi lµ ®é ®o Jordan cña tËp M (ng-êi ta cßn gäi t¾t lµ thÓ tÝch cña M ), kÝ hiÖu λ( M ) = λ∗ ( M ) = λ∗ ( M ) .
3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi 11 NhËn xÐt r»ng nÕu M lµ h×nh hép khi ®ã ®é ®o Jordan cña M chÝnh lµ thÓ tÝch cña h×nh hép ®ã. Ta cã thÓ chøng minh r»ng (dµnh cho ®éc gi¶) c¸c ®a gi¸c, h×nh trßn, h×nh elip, h×nh cÇu, ... lµ c¸c tËp ®o ®-îc d¹ng Jordan. Nãi chung c¸c tËp hîp "th«ng th-êng" (c¸c tËp hîp th-êng gÆp) lµ c¸c tËp ®o ®-îc d¹ng Jordan. Tuy nhiªn ta xÐt mét vÝ dô vÒ tËp hîp kh«ng ®o ®-îc d¹ng Jordan. KÝ hiÖu A lµ tËp c¸c sè h÷u tØ trªn ®o¹n [0, 1] (xÐt trong tËp c¸c sè thùc R). HiÓn nhiªn kh«ng tån t¹i mét h×nh hép (®o¹n th¼ng) nµo ®-îc chøa trong A, suy ra λ∗ (A) = 0. Trong khi ®o¹n th¼ng (h×nh hép mét chiÒu) bÐ nhÊt chøa A lµ ®o¹n [0, 1], nãi c¸ch kh¸c λ∗ (A) = 1. VËy tËp c¸c sè h÷u tØ trªn ®o¹n [0, 1] kh«ng ®o ®-îc d¹ng Jordan. Gäi H lµ h×nh hép chøa tËp M vµ xÐt phÐp chia F h×nh hép ®ã: N F: H= Hi i=1 DÔ dµng nhËn thÊy λ∗ (M ) = sup σ∗(F ), trong ®ã σ∗ ( F ) = λ(Hk ) k : H k ⊂M vµ λ∗ (M ) = inf σ ∗(F ), trong ®ã σ ∗ (F ) = λ ( Hk ) . k: H k ⊃M k T-¬ng tù nh- ®Þnh lÝ Darboux, ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng vµ λ∗ (M ) = lim σ ∗(F ). λ∗ (M ) = lim σ∗(F ) Ta dÉn vµo kÝ hiÖu nÕu x ∈ M 1 χM ( x) = nÕu x ∈ M 0 / Hµm χM : Rn → R ®Þnh nghÜa ë trªn ®-îc gäi lµ hµm ®Æc tr-ng cña M . B©y giê ta xÐt tÝch ph©n hµm ®Æc tr-ng χM (x) trªn h×nh hép H . DÔ dµng chøng minh ®-îc λ∗ (M ) vµ λ∗ (M ) b»ng tÝch ph©n trªn vµ tÝch ph©n d-íi t-¬ng øng cña hµm ®Æc tr-ng χM (x). V× vËy ®Þnh lÝ sau lµ hiÓn nhiªn
Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi 12 §Þnh lÝ 3.3.1 TËp bÞ chÆn M ⊂ Rn ®o ®-îc d¹ng Jordan khi vµ chØ khi hµm ®Æc tr-ng χM : H → R kh¶ tÝch trªn h×nh hép H nµo ®ã chøa M . Khi ®ã thÓ tÝch (®é ®o Jordan) cña M b»ng: χM (x) dx. λ( M ) = H NhËn xÐt r»ng tÝch ph©n trªn kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän h×nh hép H chøa M . Tõ ®Þnh lÝ nµy suy ra hîp (giao) cña h÷u h¹n tËp hîp ®o ®-îc d¹ng Jordan còng lµ tËp hîp ®o ®-îc d¹ng Jordan. Ngoµi ra nÕu A, B lµ hai tËp hîp rêi nhau A ∩ B = ∅ trong Rn , hiÓn nhiªn χ A ∪B = χ A + χ B . Ta cã kÕt qu¶ sau §Þnh lÝ 3.3.2 NÕu M1, M2 , ..., Mk lµ c¸c tËp hîp ®o ®-îc vµ ®«i mét rêi nhau, khi k ®ã Mi còng ®o ®-îc d¹ng Jordan, ®ång thêi i=1 k k λ( Mi ) = λ(Mi ). i=1 i=1 TÝch ph©n trªn tËp hîp ®o ®-îc d¹ng Jordan B©y giê chóng ta cã thÓ dÉn vµo kh¸i niÖm tÝch ph©n trªn tËp hîp ®o ®-îc d¹ng Jordan. Cho hµm f : M → R x¸c ®Þnh trªn tËp bÞ chÆn vµ ®o ®-îc d¹ng Jordan. Gäi H lµ h×nh hép nµo ®ã chøa M . Ta më réng ¸nh x¹ f lªn h×nh hép H b»ng ¸nh x¹ f ∗ : H → R nÕu x ∈ M f ( x) f ∗ ( x) = nÕu x ∈ H \M 0 Nh- vËy f chÝnh lµ thu hÑp ¸nh x¹ f ∗ lªn tËp M vµ trªn M f f∗ = trªn H \M 0 Ta cã ®Þnh nghÜa sau
3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi 13 §Þnh nghÜa 3.3.2 Ta nãi f kh¶ tÝch trªn tËp bÞ chÆn vµ ®o ®-îc M , nÕu hµm f ∗ kh¶ tÝch trªn H . Khi ®ã f ∗ (x)dx = f (x)dx = f (x)χM (x) dx. M H H Chó ý r»ng tÝch ph©n hµm f trong ®Þnh nghÜa trªn kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän h×nh hép H chøa M . TÝnh chÊt cña tÝch ph©n béi TÝch ph©n trªn tËp bÞ chÆn cã c¸c tÝnh chÊt ®¬n gi¶n sau ®©y (t-¬ng tù tÝch ph©n hµm mét biÕn, b¹n ®äc tù chøng minh) 1. TËp M lµ tËp ®o ®-îc d¹ng Jordan trong Rn . Gi¶ sö f vµ g lµ c¸c hµm kh¶ tÝch trªn ®ã, khi ®ã (a) Víi mäi α ∈ R, αf còng kh¶ tÝch trªn M vµ αf (x)dx = α f (x)dx. M M (b) f + g còng kh¶ tÝch trªn M vµ (f (x) + g (x))dx = f (x)dx + g (x)dx. M M M 2. NÕu M = M1 ∪ M2 lµ hîp cña hai tËp ®o ®-îc rêi nhau, khi ®ã f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. M M1 M2 3. ThÓ tÝch cña tËp M b»ng 1 dx. λ( M ) = M 4. NÕu f (x) ≤ g (x) víi mäi x ∈ M , khi ®ã f (x)dx ≤ g (x)dx. M M
Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi 14 5. Víi f kh¶ tÝch trªn M , f (x)dx ≤ |f (x)|dx. M M 6. Ta c«ng nhËn kÕt qu¶ sau (cßn ®-îc gäi lµ ®Þnh lÝ vÒ gi¸ trÞ trung b×nh) Gi¶ sö f liªn tôc trªn tËp liªn th«ng D ⊂ Rn vµ D ®o ®-îc d¹ng Jordan, khi ®ã tån t¹i mét ®iÓm c ∈ D sao cho f (x)dx = λ(D)f (c). D Chó ý r»ng tÝch ph©n hµm nhiÒu biÕn th-êng ®-îc gäi lµ tÝch ph©n béi, tÝch ph©n hµm hai biÕn ®-îc gäi lµ tÝch ph©n kÐp, tÝch ph©n hµm ba biÕn ®-îc gäi lµ tÝch ph©n béi ba. TÝch ph©n c¸c hµm ch½n, lÎ trªn miÒn ®èi xøng Ta cã nhËn xÐt quan träng sau ®©y vÒ tÝch ph©n c¸c hµm ch½n, lÎ trªn miÒn ®èi xøng. 1. Gi¶ thiÕt tËp M ⊂ R2 nhËn ®-êng th¼ng y = 0 lµm trôc ®èi xøng, hµm d-íi dÊu tÝch ph©n f (x, y ) kh¶ tÝch trªn M vµ nhËn c¸c gi¸ trÞ ®èi nhau t¹i c¸c ®iÓm ®èi xøng nhau qua ®-êng th¼ng y = 0 f (x, y ) = −f (x, −y ) víi mäi (x, y ) ∈ M. (Ta cßn nãi f lµ hµm lÎ theo biÕn y ). Khi ®ã I= f (x, y ) dxdy = 0. M ThËt vËy tËp M cã thÓ ph©n tÝch thµnh hîp cña hai tËp rêi nhau M = M1 ∪ M2 , trong ®ã M1 thuéc nöa trªn cña mÆt ph¼ng xOy (y ≥ 0) vµ M2 thuéc nöa d-íi cña mÆt ph¼ng ®ã. (Xem h×nh vÏ d-íi ®©y). Theo tÝnh chÊt cña tÝch ph©n béi nªu trªn f (x, y )dxdy = f (x, y )dxdy + f (x, y )dxdy. M M1 M2
3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi 15 H×nh 3.2: MiÒn ®èi xøng Tõ ®Þnh nghÜa tÝch ph©n béi lËp c¸c tæng tÝch ph©n cña hai tÝch ph©n nãi trªn, nÕu ta sö dông c¸c phÐp chia ®èi xøng vµ chän c¸c c¸c ®iÓm ti = (ξi , ηi ) còng ®èi xøng nhau qua ®-êng th¼ng y = 0, suy ra c¸c tæng tÝch ph©n t-¬ng øng lµ c¸c sè ®èi nhau N N (1) (1) S (F1 ) = f (ξi , ηi )λ(Hi ) =− f (ξi , −ηi)λ(Hi ) = −S (F2). i=1 i=1 Do vËy khi chuyÓn qua giíi h¹n, gi¸ trÞ cña c¸c tÝch ph©n còng ®èi nhau f (x, y )dxdy = − f (x, y )dxdy. M1 M2 Suy ra tÝch ph©n cÇn tÝnh b»ng 0 I= f (x, y )dxdy = 0. M LËp luËn t-¬ng tù nÕu tËp M ⊂ R2 nhËn ®-êng th¼ng y = 0 lµm trôc ®èi xøng, hµm f (x, y ) kh¶ tÝch trªn M vµ f (x, y ) lµ hµm ch½n theo biÕn y , khi ®ã f (x, y )dxdy = 2 f (x, y )dxdy (∗) M M1 (M lµ hîp cña 2 tËp ®èi xøng nhau qua trôc hoµnh M = M1 ∪ M2 , hµm f lµ hµm ch½n theo biÕn y : f (x, y ) = f (x, −y ) ∀(x, y ) ∈ M.)
Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi 16 2. Ta còng nhËn ®-îc kÕt qu¶ t-¬ng tù nÕu tËp M nhËn ®-êng th¼ng x = 0 (trôc tung) lµm trôc ®èi xøng (hoÆc gèc täa ®é O lµm t©m ®èi xøng), hµm d-íi dÊu tÝch ph©n f (x, y ) lµ hµm lÎ theo x, kh¶ tÝch trªn M f (x, y ) = −f (−x, y ) ∀(x, y ) ∈ M. (hoÆc f (x, y ) = −f (−x, −y ) ∀(x, y ) ∈ M ). Khi ®ã I= f (x, y )dxdy = 0. M Tr-êng hîp f (x, y ) lµ hµm ch½n theo biÕn x, b¹n ®äc tù rót ra c¸c kÕt qu¶ t-¬ng tù nh- trong ®¼ng thøc (∗). 3. C¸c kÕt qu¶ trªn còng cã thÓ më réng sang tÝch ph©n béi ba. Ch¼ng h¹n ta xÐt tËp M ⊂ R3 nhËn mÆt ph¼ng z = 0 (mÆt ph¼ng xOy ) lµm mÆt ph¼ng ®èi xøng, hµm d-íi dÊu tÝch ph©n f (x, y, z ) lµ hµm lÎ theo z , kh¶ tÝch trªn M . Khi ®ã f (x, y, z )dxdydz = 0. M VÝ dô 3.3.1 1. TÝnh tÝch ph©n x2 + y 2 4a2 − x2 − y 2 − I1 = xy dxdy, 2a D trong ®ã miÒn D lµ h×nh trßn x2 + y 2 ≤ 2a2. Ta nhËn xÐt r»ng D nhËn ®-êng th¼ng x = 0 (trôc tung trong mÆt ph¼ng xOy ) lµm trôc ®èi xøng, hµm d-íi dÊu tÝch ph©n x2 + y 2 4a2 − x2 − y 2 − f (x, y ) = xy 2a kh¶ tÝch trªn h×nh trßn D vµ lµ hµm lÎ ®èi víi biÕn x (nhËn c¸c gi¸ trÞ ®èi nhau t¹i c¸c ®iÓm ®èi xøng nhau qua ®-êng th¼ng x = 0) f (x, y ) = −f (−x, y ) víi mäi (x, y ) ∈ D. Suy ra I1 = 0.
3.3 TÝch ph©n béi trªn tËp giíi néi 17 2. TÝnh tÝch ph©n I = dxdy , víi D lµ miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi elip D x2 y 2 + 2 = 1. a2 b MiÒn D nhËn c¸c trôc täa ®é lµm trôc ®èi xøng, theo tÝnh chÊt cña tÝch ph©n kÐp I= dxdy = 4 dxdy = 4S (D1 ), D D1 S (D1 ) b»ng mét phÇn t- diÖn tÝch cña elip. Trong ch-¬ng tÝch ph©n x¸c ®Þnh ta ®· tÝnh π 2 x2 πab S (D1 ) = b 1− dx = ⇒ I = πab. 2 a 4 0 3. TÝnh tÝch ph©n x2yz 3dxdydz, I2 = V trong ®ã V lµ elipx«it x2 y 2 z 2 + + 2 ≤ 1. a2 b2 c §Ó tÝnh tÝch ph©n I2 = x2 yz 3dxdydz , ta cã nhËn xÐt r»ng elipx«it V V nhËn mÆt ph¼ng xOy lµm mÆt ph¼ng ®èi xøng, V = V1 ∪ V2 , trong ®ã V1 lµ nöa trªn mÆt ph¼ng xOy vµ V2 lµ phÇn cßn l¹i, nöa d-íi. Hµm d-íi dÊu tÝch ph©n (f (x, y, z ) = x2yz 3 ) nhËn c¸c gi¸ trÞ ®èi nhau t¹i c¸c ®iÓm ®èi xøng nhau qua mÆt ph¼ng xOy (hµm lÎ theo z ) f (x, y, z ) = −f (x, y, −z ) ∀(x, y, z ) ∈ V. Tõ tÝnh chÊt tÝch ph©n béi suy ra tÝch ph©n hµm f trªn V1 vµ V2 còng ®èi nhau. VËy x2 yz 3dxdydz = x2 yz 3dxdydz + x2yz 3dxdydz = 0. V V1 V2
Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi 18 ý nghÜa h×nh häc cña tÝch ph©n béi Gi¶ sö f : M → R lµ hµm kh«ng ©m kh¶ tÝch trªn M ⊂ R2 . §å thÞ cña f th-êng ®-îc biÓu diÔn nh- mét mÆt cong trong kh«ng gian R3 . PhÇn kh«ng gian giíi h¹n bëi mÆt cong ®ã, mÆt ph¼ng täa ®é z = 0 vµ mÆt trô víi M lµ ®¸y, ®-îc gäi lµ h×nh trô cong øng víi hµm kh«ng ©m f . Do c¸c tæng Darboux d-íi S∗(F ) lµ tæng c¸c thÓ tÝch cña c¸c phÇn kh«ng gian n»m trong h×nh trô cong vµ tæng Darboux trªn S ∗(F ) lµ tæng c¸c thÓ tÝch cña c¸c phÇn kh«ng gian chøa h×nh trô cong, ®ång thêi f kh¶ tÝch trªn M hay lim S∗ (F ) = lim S ∗(F ), suy ra h×nh trô cong cã thÓ tÝch vµ thÓ tÝch h×nh trô cong, kÝ hiÖu V , b»ng gi¸ trÞ tÝch ph©n hµm f trªn M V = lim S∗ (F ) = lim S ∗(F ) = f (x, y ) dxdy. M H×nh 3.3: ý nghÜa h×nh häc cña tÝch ph©n 3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi Trong thùc hµnh ta th-êng xuyªn ph¶i sö dông ®Þnh lÝ cùc k× quan träng sau ®©y. §Ó ®¬n gi¶n, tr-íc hÕt ta ph¸t biÓu vµ chøng minh cho tr-êng hîp n = 2, viÖc chøng minh trong tr-êng hîp tæng qu¸t hoµn toµn t-¬ng tù dµnh cho b¹n ®äc. §Þnh lÝ 3.4.1 (Fubini) Cho h×nh ch÷ nhËt H = [a, b] × [c, d] vµ hµm f : H → R kh¶ tÝch trªn ®ã. Gi¶ sö víi mäi x ∈ [a, b], tån t¹i tÝch ph©n x¸c ®Þnh d g ( x) = f (x, y ) dy. c
3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi 19 Khi ®ã g (x) kh¶ tÝch trªn [a, b] ®ång thêi b b d g (x) dx = f (x, y ) dy dx = f (x, y ) dxdy. a a c H TÝch ph©n hµm f (x, y ) trªn h×nh ch÷ nhËt H = [a, b] × [c, d] lµ tÝch ph©n kÐp vµ kÝ hiÖu b d f (x, y ) dxdy = f (x, y ) dxdy. a c H Chøng minh XÐt phÐp chia F bÊt k× h×nh ch÷ nhËt H . H×nh 3.4: PhÐp chia l-íi h×nh hép Gi¶ sö a = x0 < x1 < · · · < xn = b c = y0 < y1 < · · · < ym = d lµ c¸c phÐp chia ®o¹n [a, b] vµ [c, d] t-¬ng øng cña F . Chän ®iÓm ξi ∈ [xi−1 , xi] i = 1, 2, ..., n tïy ý, khi ®ã m d yk g (ξi ) = f (ξi , y ) dy = f (ξi , y ) dy. c yk −1 k =1 Gäi mik vµ Mik lµ c¸c cËn trªn ®óng (sup) vµ cËn d-íi ®óng (inf) cña f trªn c¸c h×nh ch÷ nhËt [xi−1, xi ] × [yk−1 , yk ] i = 1, 2, ....n; k = 1, 2, ..., m.
Ch-¬ng III. TÝch ph©n béi 20 Khi ®ã yk mik (yk − yk−1 ) ≤ f (ξi , y ) dy ≤ Mik (yk − yk−1 ). yk −1 Suy ra m m mik (yk − yk−1 ) ≤ g (ξi ) ≤ Mik (yk − yk−1 ). k =1 k =1 Nh©n c¸c vÕ cña bÊt ®¼ng thøc nµy víi (xi − xi−1) råi céng chóng l¹i theo i ta ®-îc n m n mik (yk − yk−1 )(xi − xi−1 ) ≤ g (ξi )(xi − xi−1 ) i=1 k =1 i=1 n m ≤ Mik (yk − yk−1 )(xi − xi−1 ). i=1 k =1 Trong bÊt ®¼ng thøc kÐp nµy n m mik (yk − yk−1 )(xi − xi−1 ) = S∗ (F ) i=1 k =1 lµ tæng Darboux d-íi vµ n m Mik (yk − yk−1 )(xi − xi−1) = S ∗ (F ) i=1 k =1 lµ tæng Darboux trªn cña hµm f t-¬ng øng víi phÐp chia F . Theo gi¶ thiÕt hµm f kh¶ tÝch trªn h×nh ch÷ nhËt H = [a, b] × [c, d], suy ra b d lim S∗ (F ) = lim S ∗(F ) = f (x, y ) dxdy a c n khi ®-êng kÝnh cña phÐp chia d(F ) → 0. V× vËy tån t¹i lim g (ξi )(xi − xi−1 ) i=1 vµ b»ng n b d lim g (ξi )(xi − xi−1) = f (x, y ) dxdy a c i=1 ®iÒu nµy còng cã nghÜa lµ g (x) kh¶ tÝch trªn [a, b], ®ång thêi b b d g (x) dx = f (x, y ) dxdy a a c