Giải tích một biến - Chuỗi lũy thừa

Chia sẻ: Lan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

254
lượt xem 47
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chúng ta xem xét trƣờng hợp này trƣớc, không nhất thiết bởi vì khả năng thực tế của nó, mà bởi vì nó trình bày cho chúng ta những ý tƣởng cơ bản của phân tích hồi quy một cách đơn giản nhất có thể đƣợc và một số trong những ý tƣởng này có thể đƣợc minh họa bằng các biểu đồ hai chiều. Hơn nữa, nhƣ chúng ta sẽ thấy, đứng về nhiều phƣơng diện trƣờng hợp phân tích hồi quy bội tổng quát là sự mở rộng hợp lý của trƣờng hợp hồi quy hai biến....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải tích một biến - Chuỗi lũy thừa

Gi i tích m t bi n Bài 10 PGS. TS. Nguy n Xuân Th o Chu i lu th a • Chu i lũy th a • Chu i Taylor và công th c Taylor • Vi phân và tích phân chu i lũy th a • Các phép toán c a chu i lũy th a 1. Chu i lu th a nh nghĩa. a0 + a1 x + a2 x 2 + + an x n + ∞ ∑ an x n , Ký hi u là ó an là các s th c, x là bi n s . n=0 ∞ ∑ an x0n Ta b o chu i lu th a h i t (phân kỳ) t i x0 ⇔ chu i s h i t (phân kỳ), chu i n=0 ∞ ∞ ∑ an x n ∑ an x0n h i t , x0 tuỳ ý ∈ ( a; b ) h i t trên kho ng (a; b) ⇔ chu i s n=0 n=0 ∞ ∑ xn = 1 + x + x2 + Ví d 1. n=0 ∞ 1 ∑ xn = 1 − x ã bi t h i t khi |x| < 1, có n=0 Phân kỳ khi x ≥ 1 ∞ ∑ an x n B . h i t t i x1 ≠ 0 thì s h i t tuy t i t i nh ng x tho mãn |x| < |x1| và n u n=0 nó phân kỳ t i x2 thì s phân kỳ t i x tho mãn |x| > |x2| Ch ng minh. n x n n an x = an x1 . x1 ∞ ∑ an x n n h i t nên có an x1 < 1, ∀ n ≥ N Do n=0 n x n an x < < 1 khi |x| < |x1| x1
∞ x ∑ rn t r= , có h it x1 n=0 ∞ ∑ an x n h it n=0 ∞ ∑ an x2n Tương t khi |x| > |x2| có phân kỳ, do ó n=0 n an x2 > 1, ∀ n ≥ N n x x n n an x = > >1 an x2 x2 x2 ∞ x ∑ rn t r= phân kỳ. có x2 n=0 i v i chu i lu th a anxn, luôn có ch m t trong các kh ng nh sau: nh lý. Chu i lu th a ch h i t t i x = 0. Chu i lu th a h i t tuy t i v i m i s th c x. T n t i m t s th c R sao cho chu i h i t tuy t i v i |x| < R và phân kỳ v i |x| > R. Khi ó s th c R ư c g i là bán kính h i t c a chu i lu th a. Nh n xét. • Quy ư c vi t R = 0 kh ng nh 1), R = +∞ kh n g nh 2), t ó có th phát bi u g n nh lý này như sau: ∞ ∑ an x n u có m t bán kính h i t R v i 0 ≤ R ≤ +∞ , khi ó chu i h i M i chu i lu th a n=0 t tuy t i v i |x| < R và phân kỳ v i |x| > R. • Cách tìm bán kính h i t R: a 1 R = lim n ho c R = n→∞ a na n +1 n xn ∞ ∑ n2 Ví d 1. Tìm kho ng h i t c a chu i n =1 2  n +1 an 1 1 = 2: =  2 n an+1 n ( n + 1) an =1 lim n→∞ a n +1 R = 1, chu i h i t v i |x| < 1, phân kỳ v i |x| > 1.
x2 ∞ 1 1 ∑ n2 = 2 , m t khác T i |x| = 1 có h i t , do ó chu i lu th a h i t t i |x| = 1. 2 n n n =1 Kho ng h i t là [– 1; 1] ∞ n+2 n ∑ Ví d 2. Tìm kho ng h i t c a chu i lu th a x n n=0 3 n+2 n+3 n+2 an = n : n+1 = 3 n+3 an+1 3 3 an =3 lim n→∞ a n +1 R = 3, chu i h i t khi |x| < 3, phân kỳ khi |x| > 3. ∞ ∞ ∑ an x = ∑ ( n + 2 ) phân kỳ. n T i x = 3 có n=0 n=0 ∞ ∞ ∑ an x n = ∑ ( −1) ( n + 2 ) phân kỳ n T i x = – 3 có n=0 n=0 Kho ng h i t : (– 3; 3). xn ∞ Ví d 3. Tìm kho ng h i t c a chu i lu th a ∑ n=0 n + 1  an  n+2 1 1 = =  :  an+1  n + 1 n + 2 n + 1 a  lim  n  = 1 n→∞ a  n+1  R = 1, chu i h i t v i |x| < 1, phân kỳ v i |x| > 1 ∞ 1 Khi x = 1 có ∑ phân kỳ n =1 n + 1 n ( −1) ∞ ∑ n +1 Khi x = – 1 có là chu i an d u h i t n =1 Kho ng h i t là [– 1; 1). x 2n ∞ ∑ ( −1) n Ví d 4. Tìm kho ng h i t c a chu i lu th a: ( 2 n )! n=0 Không th dùng ngay công th c vì m t n a các h s c a chu i b ng 0: a2n+1 = 0 n ( −1) ∞ ∑ ( 2 n )! y n 2 t y = x có chu i lu th a: n=0 Có
n +1 ( 2 ( n + 1) )! = ( 2n + 1)( 2n + 2 ) n ( −1) : ( −1) an = = ( 2n )! ( 2 ( n + 1) )! ( 2 n )! an+1 an =∞ lim an+1 n→∞ Kho ng h i t : ( −∞, ∞ ) Chú ý. ∞ ∑ an ( x − a ) n (1 ) ư c g i là chu i lu th a t i x = a, n=0 ∞ ∑ an zn t z = x – a có (2) , tìm bán kính h i t R c a chu i (2), và có bán kính h i t n=0 c a chu i (1) là R t c có chu i h i t : –R < x – a < R hay a – R < x < a + R và phân kỳ v i nh n ư c kho ng h i t ta c n xét t i x = a – R và x = a + x < a – R, ho c x > a + R; R. 2. Vi phân và tích phân chu i lu th a. n ∑ ak x k i v i a th c b c n như có th l y o hàm và tích phân t ng s h ng. K t qu k =0 này còn úng không cho chu i lu th a? ∞ nh lý. Gi s chu i lu th a f ( x ) = ∑ an x n có bán kính h i t là R, khi ó có các kh ng n=0 nh sau i) f(x) liên t c trên kho ng (– R; R). ii) f(x) kh vi trên kho ng (– R; R) và có: ∞ ∞ n′ f ′( x ) = ∑ an x = ∑ nan x n−1 ( ) n =1 n=0 iii) f(x) kh tích trên m i o n n m trong (– R; R) và có: x 1 1 1 ∫ f (t )dt = a0 x + 2 a1 x + 3 a2 x + + n + 1 an x + n +1 2 3 0 Nh n xét. Th c ch t t nh lý trên ta có: ∞ n ∞ lim  ∑ an x  = ∑ lim an x n ( )  n=0  n = 0 x → x0 x → x0 d∞  ∞d ∑ an x n  = ∑ ( ) an x n dx  n= 0  n= 0 dx ∞ n ∞ ∫  n=0 an x  dx = ∑ ∑ ( ∫ a x dx ) n n   n=0
Ví d 1. Tìm bi u th c chu i lu th a c a ln (1 + x ) Mi n xác nh: |x| < 1. 1 f ′( x ) = , ó t f(x) = ln(1 + x) 1+ x ∞ ∞ 1 1 = ∑ ( − x ) = ∑ ( −1) x n n n f ′( x ) = x + 1 1 − (− x ) n=0 n=0 ∞  f ′( x )dx = ∫  ∑ ( −1) x n  n ∫  n=0  n +1 ∞ ∞ ( −1)n x n  = ∑ ( −1)n x f ( x) = ∑ ∫   n=0 n +1 n=0 xn x2 x3 x4 ∞ ln (1 + x ) = ∑ ( −1) n +1 =x− +− + x
1 Ví d 4. Bi u di n chu i lu th a c a hàm 2 (1 − x ) d  1  d  ∞ n 1 =  ∑ x , = x
f ( ) (0) n n f ′(0) x f ′′(0) f ( x ) = f (0) + x+ + + x + Rn ( x ) 1! 2! n! f ( ) (c) n+1 n +1 Rn ( x ) = x v i 0 < c < x (ho c x < c < 0) (n + 1)! Ví d 1. Hàm f(x) = ex ư c khai tri n thành chu i Taylor? Tìm chu i này. f ( x) = e x , f (0) = 1 (k ) f ( k ) (0) = 1 x ( x) = e , f Chu i Taylor c a hàm ex là: xn ∞ 12 1n =∑ 1+ x + x+ + x+ 2! n! n! n=0 n +1 ( c ) x n+1 ( n +1) f x n →∞ Rn ( x) = ≤M  0 → ( n + 1)! ( n + 1)! xn ∞ ex = ∑ n! n=0 Ví d 2. Tìm chu i Taylor c a hàm f(x) = sin x. Ch ng minh r ng hàm f(x) ư c khai tri n thành chu i Taylor. f ( x) = sin x, f (0) = 0 0, n = 2k  f ( n ) ( x) = sin ( x + n π ) , f ( n ) (0) =  k 2 ( −1) , n = 2k + 1  Chu i Taylor c a hàm f(x) = sin x là x 2 k +1 ∞ ∑ ( −1) ( 2k + 1)! k k =0 n +1 n +1 f ( n +1) (c) n +1 x x sin ( c + (n + 1) π ) ≤ Rn ( x ) = n →∞ x≤  0 → ( n + 1)! ( n + 1)! ( n + 1)! 2 x 2 n +1 ∞ sin x = ∑ ( −1) n ( 2n + 1)! n=0 Ví d 3. Tìm chu i Taylor c a hàm s f(x) = cos x. Ch ng minh r ng hàm này ư c khai tri n thành chu i Taylor. f ( x) = cos x, f (0) = 1 0, n = 2k + 1 ( 0) =  k f( n) f ( n ) ( x) = cos ( x + n π ) ,  2 ( −1) , n = 2k  Chu i Taylor c a hàm f(x) = cos x là x2n ∞ cos x = ∑ ( −1) . n ( 2n ) ! n =0
n +1 n +1 x x cos ( c + (n + 1) 2 ) ≤ n →∞ π Rn ( x) =  0 → ( n + 1)! ( n + 1)! x2n cos x = ∑ ( −1) n ( 2n ) ! Chú ý. f(x) kh vi vô h n trên kho ng ch a x = a thì f(x) có th khai tri n thành chu i Taylor t i x = a, t c có f ( n ) (a ) ∞ f ( x) = ∑ n ( x − a) n! n =0 Có hàm kh vi vô h n không ư c khai tri n thành chu i Taylor, ví d  − x12  x≠0 f ( x ) = e , 0, x=0  f ( ) (0) = 0 , n t nhiên b t kỳ n Th t v y có ngay 1 − x2 1 f ( x) − f (0) e −0 1 t f ′ ( x ) = lim x = lim = lim = lim = lim =0 t2 1 t →∞ 2t et x−0 x x →0 x →0 x →0 t →∞ e x e T ó có o hàm m i c p t i x = 0 cũng b ng 0. Chu i Taylor c a hàm f(x) là 0 + 0 + 0 + 0 + .... Chu i này h i t , chúng h i t t i f(x) ch t i x = 0. Nên f(x) nói trên không ư c khai tri n thành chu i Taylor f ( n +1) (c) n S dư Rn ( x) = x nh n ư c do s d ng nh lý Rolle ( n + 1)! 4. Các phép toán c a chu i lu th a a. Phép nhân ∞ f ( x ) = ∑ an x n , x
ln (1 − x ) Ví d 2. Tìm chu i Taylor c a x −1   x 2 x3 x 4 ln (1 − x ) = −  x + + + + x
Ví d 1. 1 = 1 + x + x 2 + x3 + , x < 1 1− x 1 = 1 − 2 x2 + 4 x4 − 8x6 + , 2 x2 < 1 1 + 2 x2 x 2 x3 ex = 1 + x + + + , ∀ x 2! 3! x4 x6 2 ex = 1 + x2 + + + , ∀ x 2! 3! 3 x5 x sin x = x − + − , ∀x 3! 5! 2 5 ( 3x ) ( 3x ) sin 3 x = 3 x − + − ,∀x 3! 5! Ví d 2. Tìm chu i Taylor c a esin x t i s h ng ch a x4. x3 sin x = x − + 6 x 2 x3 ex = 1 + x + + + 2! 3! 2 3 4  x3  1  x3  1  x3  1  x3  sin x = 1+  x −  +  x −  +  x −  +  x +  + e 6  2 6  3!  6  4!  6   x3  1  13 1 1 + (x + ) + 4! ( x ) = 1 +  x −  +  x2 − x4 + 4 + 6  2 6 3   1 1 1 = 1 + x + x2 +  −  x4 +  4! 6  2 1 1 = 1 + x + x2 − x4 + 2 8 D ng toán: • Tìm kho ng h i t c a chu i lũy th a (bài t p l t 1 n 31 trang 426). • Khai tri n Taylor c a hàm s (bài t p l t 1 n 15 trang 436). • S d ng các phép toán khai tri n thành chu i lũy th a (bài t p l t 1 n 33 trang 442). • Tính t ng (bài 34, 36 trang 444). K t thúc môn h c Gi i tích m t bi n s Chúc các em t k t qu t t!