Giáo án thiết kế cơ khí - Chương 4

Chia sẻ: Tran Ngoc Kin | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

148
lượt xem 59
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 4: Ứng suất tổng hợp và vòng Mo đây là vấn đề quan trọng bởi vì nhiều vấn đề tổng quát trong thiết kế và thiết kế các chi tiết máy ở các chương sau đều liên quan đến ứng suất tổng hợp. Bạn có thể đã được học những nội dung này trong môn học về sức bền của vật liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án thiết kế cơ khí - Chương 4

Chương 4 Ứng suất tổng hợp và vòng Mo Tổng quan Bạn là nhà thiết kế 4.1 Nội dung của chương 4.2 Trường hợp tổng quát của ứng suất tổng hợp 4.3 Vòng tròn Mo 4.4 Bài tập về vòng tròn Mo 4.5 Trường hợp cả hai ứng suất chính có cùng dấu 4.6 Vòng tròn Mo của những chế độ ứng suất cụ thể. 4.7 Phân tích các chế độ tải trọng phức tạp 150
Tổng quan: Ứng suất tổng hợp và vòng Mo Nội dung thảo luận Tìm hiểu  Bạn cần có năng phân tích Tìm các sản phẩm xung quanh bạn có hình dạng hoặc sơ đồ tải các chi tiết và trọng phức tạp. sơ đồ tải trọng Thảo luận về những sản phẩm đó với bạn học của mình. phức tạp hơn. Chương này giúp bạn phân tích những trường hợp phức tạp để xác định ứng suất cực đại. Chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp hình học là vòng Mo để phân tích ứng suất giúp chúng ta thấy được ứng suất thay đổi như thế nào trong bộ phận chịu tải. Trong chương 3, bạn đã ôn lại các khái niệm cơ bản về phân tích ứng suất và biến dạng, thực tập áp dụng vào các vấn đề trong thiết kế máy, và giải quyết một số vấn đ ề dựa vào nguyên lý cộng tác dụng khi hai hoặc nhiều loại tải trọng gây ra ứng suất pháp, kéo hoặc nén. Nhưng vấn đề gì sẽ xảy ra khi sơ đồ tải trọng phức tạp hơn? Nhiều bộ phận máy trong thực tế chịu tổng hợp cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp. Đôi lúc sơ đồ tải trọng hoặc hình dạng của chi tiết là nguyên nhân gây khó khăn trong vi ệc phân tích trực tiếp bằng những phương pháp phân tích ứng suất cơ bản. Bạn hãy xem xét xung quanh và tìm ra các sản phẩm, các bộ phận kết cấu, hoặc các bộ phận máy có tải trọng hoặc hình dạng phức tạp hơn. Có thể một số trường hợp đã có trong phần tổng quan của chương 3. Thảo luận xem chọn các bộ phận chịu tải nào, ứng suất cực đại có khả năng xuất hiện ở đâu, tải trọng và hình dạng liên quan với nhau như thế nào. Người thiết kế đã điều chỉnh hình dạng của các đối tượng như thế nào để tải trọng tác dụng theo hướng có lợi? Hình dạng và kích cỡ các chi tiết ảnh hưởng đến ứng suất mong muốn như thế nào? Khi học chương 5: Thiết kế với các loại tải trọng khác nhau , chúng ta sẽ cần các công cụ để xác định độ lớn và phương chiều của ứng suất tiếp cực đại hoặc ứng suất chính (ứng suất pháp) cực đại. Hoàn thành chương này sẽ giúp bạn phát triển sự hiểu biết trọn vẹn về phân bố của ứng suất trong các chi tiết khi chịu tải, và nó sẽ giúp xác đ ịnh ứng suất pháp hoặc tiếp l ớn nhất, từ đó bạn có thể hoàn thành thiết kế hoặc phân tích một cách đáng tin cậy. Một số cách xác định ứng suất tổng hợp sử dụng những phương trình khá là phức tạp. Vòng tròn Mo, một phương pháp hình học có thể được sử dụng để giúp hoàn thành việc phân tích. Ứng dụng một cách đúng đắn, phương pháp này sẽ giúp bạn hiểu được ứng suất thay đ ổi như thế nào trong một chi tiết chịu tải trọng phức tạp. Nó cũng sẽ giúp bạn sử dụng phần mềm phân tích ứng suất sẵn có một cách hợp lý. Công ty của bạn đang thiết kế một máy Bạn là nhà thiết kế đặc biệt để kiểm tra sợi độ bền cao dưới tác dụng của tải trọng tĩnh kéo dài để xác định 151
xem nó có tiếp tục biến dạng một lượng lớn in. Bạn phải thiết kế dầm công xôn để đỡ hơn theo thời gian. Thí nghiệm sẽ thực hiện đầu bên trên của khung chịu tải. ở nhiều mức nhiệt độ khác nhau, yêu cầu Giả sử một trong các ý tưởng thiết kế của môi trường quanh mẫu thử có thể điều chỉnh bạn bố trí như trong hình 4-2. Hai thanh tròn được. Hình 4-1 chỉ ra bản thiết kế tổng quát uốn cong 900. Một trong hai đầu của mỗi dự kiến. Hai gối tựa cứng ở phía sau của máy thanh được hàn chắc vào mặt đứng của gối với khoảng cách giữa chúng là 24 in. Đường tựa. Một thanh phẳng được gắn ngang qua tác dụng của tải trọng trên sợi thí nghiệm là đầu bên ngoài của mỗi thanh để phân bố đều ở tâm khe hở và cách hai gối ra phía trước 15 tải trọng cho hai thanh. Hình 4-1 Bố trí gối tựa của khung chịu tải – hình chiếu bằng Hình 4-2 Thiết kế dự kiến của dầm công xôn 152
Một trong những nội dung thiết kế của trên phân tố A. Cả hai ứng suất đó đều tác bạn là xác định ứng suất lớn nhất tồn tại trên dụng trong mặt phẳng x-y, làm cho phân tố A thanh cong để đảm bảo chúng làm việc an chịu ứng suất pháp và tiếp tổng hợp. Bạn toàn. Loại ứng suất sinh ra trong thanh? Ứng phân tích chế độ ứng suất đó như thế nào? suất ở đâu có khả năng là lớn nhất? Làm thế Ứng suất pháp và ứng suất tiếp tác dụng nào để tính được giá trị của ứng suất đó? Chú cùng nhau như thế nào? Ứng suất pháp và ý rằng phần của thanh gần chỗ liên kết với ứng suất tiếp cực đại trên phân tố A là bao gối có tổ hợp các ứng suất tác dụng. nhiêu, và chúng xuất hiện ở đâu? Xét một phân tố ở mặt trên của thanh, Bạn cần những câu trả lời để hoàn phân tố A trong hình 4-2. Mômen uốn được thành thiết kế của các thanh. Các kiến thức tạo ra bởi lực cách gối tựa 6 in làm cho phân trong chương này sẽ cho phép bạn hoàn thành tố A chịu kéo. Mômen xoắn do lực tác dụng các phân tích cần thiết. cách trục của thanh 15 in tạo ra ứng suất tiếp 4-1 Nội dung của chương Sau khi hoàn thành chương này bạn sẽ: 1. Minh hoạ sự đa dạng của ứng suất tổng hợp trên các phân tố ứng suất 2. Phân tích một cấu kiện mang tải trọng chịu ứng suất tổng hợp để xác đ ịnh ứng suất pháp cực đại và ứng suất tiếp cực đại trên một phân tố bất kì đã cho. 3. Xác định hướng mà các ứng suất lớn nhất cùng phương. 4. Xác định trạng thái của ứng suất trên một phân tố theo phương bất kì. 5. Vẽ đầy đủ vòng Mo giúp cho việc hoàn thành các phân tích tìm các ứng suất lớn nhất. 4-2 Trường hợp tổng quát của ứng suất tổng hợp Để hình dung về trường hợp tổng quát của ứng suất tổng hợp, xét một phân tố của chi tiết mang tải trọng trên đó có cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp tác dụng. Đ ể thảo luận về vấn đề này chúng ta xét một trạng thái ứng suất phẳng, như đã minh hoạ trong hình 4-3. Hệ trục x - y ứng với các trục trên chi tiết đang phân tích. Ứng suất pháp σx, σy có thể do lực kéo hoặc do uốn. Nếu các ứng suất pháp là nén (âm) các véctơ sẽ hướng theo chiều ngược lại, vào phân tố ứng suất. Ứng suất tiếp có thể là do lực cắt (cắt ngang, cắt đứng), hoặc do xoắn. Hai chỉ số dưới giúp xác định hướng của ứng suất tiếp. Ví dụ, τxy, thể hiện ứng suất tiếp tác dụng trên mặt phân tố vuông góc với trục x và song song với trục y. Một ứng suất tiếp dương có xu hướng làm quay phân tố theo chiều kin đồng hồ Trong hình 4-3, τxy là dương, và τyx là âm. Độ lớn của chúng phải bằng nhau để đảm bảo sự cân bằng của phân tố. Chúng ta cần phải xác định độ lớn và dấu của các ứng suất để thể hiện chính xác trên phân tố ứng suất. Ví dụ 4-1 sau đây xác định các ứng suất chính sẽ minh hoạ quá trình này. 153
Hình 4-3 Phân tố ứng suất phẳng tổng quát Với một phân tố ứng suất xác định, mục đích của các phân tích là xác định ứng suất pháp cực đại, ứng suất tiếp cực đại, và mặt phẳng xuất hiện các ứng suất đó. Sau đây là các công thức chủ yếu. (Xem tham khảo 1 để biết nguồn gốc) Ứng suất pháp cực đại: Các ứng suất chính Tổng hợp các ứng suất pháp và ứng suất tiếp tác dụng tạo ra ứng suất pháp cực đ ại gọi là ứng suất chính lớn nhất, σ1. Độ lớn của σ1 có thể được tính từ công thức sau: 2  σ x −σ y σ x +σ y   +τ 2 σ1 = + Ứng suất chính lớn nhất: (4-1)   xy 2 2   Tổng hợp của các ứng suất tác dụng tạo ra ứng suất pháp nhỏ nhất được gọi là ứng suất chính nhỏ nhất, σ2. Độ lớn của nó được tính theo 2  σ x −σ y σ x +σ y   +τ 2 σ2 = − Ứng suất chính nhỏ nhất: (4-2)   xy 2 2   Trong phân tích ứng suất việc biết hướng của ứng suất chính là rất quan trọng. Góc nghiêng của các mặt phẳng trên đó các ứng suất chính tác dụng, gọi là mặt chính, có thể tính từ 1 φ σ = arctg [ 2τ xy / (σ x − σ y ) ] Góc có ứng suất chính: (4-3) 2 Góc φσ được xác định từ chiều dương trục x của phân tố ứng suất ban đầu với ứng suất chính lớn nhất σ1. Khi đó ứng suất chính nhỏ nhất σ2 ở trên mặt phẳng vuông góc với σ1. Khi phân tố ứng suất được định hướng sao cho ứng suất chính đang tác dụng lên phân tố, ứng suất tiếp bằng không. Phân tố ứng suất thu được chỉ ra trong hình 4-4. 154
Hình 4-4 Phân tố ứng suất chính Hình 4-5 Phân tố ứng suất có ứng suất tiếp cực đại Ứng suất tiếp cực đại Theo một hướng khác của phân tố ứng suất, ứng suất tiếp cực đại sẽ xuất hiện. Độ lớn của nó có thể được tính từ 2  σ x −σ y τ max =   +τ 2 Ứng suất tiếp cực đại: (4-4)   xy 2   Góc nghiêng của phân tố mà ứng suất tiếp cực đại xuất hiện được tính như sau 1 arctg [ − (σ x − σ y ) / 2τ xy ] Góc của phân tố có ứng suất tiếp cực đại: φτ = (4-5) 2 Góc giữa phân tố chính và phân tố ứng suất ứng suất tiếp cực đại là 450. Trên phân tố ứng suất tiếp cực đại, các ứng suất pháp có độ lớn bằng nhau sẽ tác dụng vuông góc với các mặt phẳng có ứng suất tiếp cực đại tác dụng. Những ứng suất pháp đó có giá trị σ avg = (σ x + σ y ) / 2 Ứng suất pháp trung bình: (4-6) 155
Chú ý rằng đây là trung bình của hai ứng suất pháp tác dụng. Kết quả của phân tố ứng suất tiếp cực đại được chỉ ra trong hình 4-5. Chú ý phát biểu bên trên, đó là góc gi ữa phân t ố chính và phân tố ứng suất tiếp cực đại là 450. Tổng kết và qui trình chung để phân tích các ứng suất tổng hợp Danh sách dưới đây tóm tắt các bước được trình bày trong mục này; nó cũng là một qui trình tổng quát áp dụng trong phân tích ứng suất. Hình 4-6 Liên hệ giữa phân tố ứng suất ban đầu, phân tố chính, và phân tố ứng suất tiếp lớn nhất với tải trọng đã cho. Qui trình chung để tính các ứng suất chính và ứng suất tiếp cực đại 1. Quyết định điểm bạn muốn tính các ứng suất. 2. Định rõ hệ toạ độ cho đối tượng, sơ đồ tách vật, độ lớn cũng như phương chiều các lực. 3. Tính ứng suất tại điểm đã chọn, và chỉ ra các ứng suất tác dụng trên một phân t ố ứng suất tại điểm mong muốn với sự chú ý cẩn thận đến phương chiều. Hình 4-3 là một cách để biểu diễn các ứng suất đó. 4. Tính các ứng suất chính tại điểm đó và hướng tác dụng của chúng. Sử dụng các công thức (4-1), (4-2), và (4-3). 5. Vẽ phân tố ứng suất trên đó các ứng suất chính tác dụng, và chỉ ra hướng của nó so với trục x ban đầu. Chú ý rằng phân tố chính được vẽ bên cạnh phân tố ứng suất ban đầu để minh hoạ cho liên hệ giữa chúng. 6. Tính ứng suất tiếp cực đại trên phân tố và hướng của mặt phẳng mà nó tác dụng. Ngoài ra cần tính ứng suất pháp tác dụng trên phân tố có ứng suất tiếp cực đ ại. Sử dụng các công thức (4-4), (4-5), và (4-6). 7. Vẽ phân tố ứng suất trên đó ứng suất tiếp cực đại tác dụng, và chỉ ra hướng của nó so với trục x ban đầu. Chú ý rằng phân tố có ứng suất tiếp cực đại đ ược vẽ bên cạnh phân tố ứng suất chính cực đại để minh hoạ liên hệ giữa chúng. 8. Kết quả thu được là 3 phân tố ứng suất như đã trình bày trong hình 4-6 Ví dụ sau đây sẽ minh hoạ việc sử dụng qui trình này. 156
Ví dụ 4-1 Trục trong hình 4-7 được đỡ bởi hai ổ và mang hai bánh đai thang. Lực căng của đai gây ra các lực ngang trên trục, có xu hướng gây uốn trục trong mặt phẳng x-z. Bánh đai B gây ra một mômen xoắn theo chiều kim đồng hồ trên trục khi nhìn hướng về gốc của hệ t ọa đ ộ dọc theo trục x. Bánh đai C gây ra một mômen xoắn tương đương nhưng ngược chiều. Với đi ều kiện đặt tải đã cho, xác định các ứng suất chính và ứng suất tiếp lớn nhất trên phân t ố K ở mặt trước của trục (z dương) ngay bên phải của bánh đai B. Áp dụng qui trình chung đ ể phân tích các ứng suất tổng hợp. Lời giải Vấn đề: tính các ứng suất chính và ứng suất tiếp lớn nhất trên phân tố K. Đã cho: trục và sơ đồ tải trong hình 4-7. Tính toán: Sử dụng qui trình chung để phân tích các ứng suất tổng hợp. Kết quả: Phân tố K chịu uốn tạo nên một ứng suất kéo tác dụng theo phương x. Ngoài ra còn có một ứng suất tiếp do xoắn tác dụng tại K. Hình 4-8 đưa ra biểu đ ồ lực cắt và mômen uốn của trục và chỉ ra mômen uốn tại K là 1540 lb.in. Vì vậy ứng suất uốn là: σ x = M /S ; S = π.D3/32 = [π(1.25in)3]/32 = 0.192 in3 σ x = (1540 lb.in)/(0.192 in3) = 8030 psi Trên phân tố K một ứng suất tiếp đi xuống trên cạnh phải của phân tố và một ứng suất tiếp đi lên trên cạnh trái. Kết quả của tác động này có xu hướng làm quay phân t ố theo chi ều kim đồng hồ, nghĩa là các ứng suất dương theo qui ước. Cũng cần lưu ý các ứng suất tiếp có hai chỉ số dưới. Ví dụ, τxy biểu diễn ứng suất tiếp tác dụng trên mặt của phân tố vuông góc với trục x và song song với trục y. Vì vậy, với phân tố K: Hình 4-7 Trục mang hai bánh đai thang và được đỡ bằng hai ổ 157
Hình 4-8 Biểu đồ lực cắt và mômen uốn của trục τxy = T/ZP ZP = πD3/16 = π(1.225 in)3/16 = 0.383 in3 τxy = (1100 lb.in)/(0.383 in3) = 2870 psi Giá trị của ứng suất pháp σx, và ứng suất tiếp τxy, được chỉ ra trên phân tố ứng suất K trong hình 4-9. Lưu ý rằng ứng suất theo phương y bằng 0 với tải trọng đã cho. Ngoài ra, giá tr ị của ứng suất tiếp τyx bằng với τxy và phải tác dụng như trên hình vẽ để cho phân tố ở trạng thái cân bằng. Bây giờ chúng ta có thể tính các ứng suất chính trên phân tố sử dụng các công thức từ (4- 1) đến (4-3). Ứng suất chính lớn nhất là: 2  σ x −σ y  σ x +σ y σ1 = + ÷ + τ xy (4-1) 2   ÷ 2 2   2 σ 1 = (8030 / 2) + (8030 / 2) + 2780 2 σ 1 = 4015 + 4935 = 8950 psi Ứng suất chính nhỏ nhất là 2  σ x −σ y  σ x +σ y σ2= − ÷ + τ xy (4-2) 2   ÷ 2 2   2 σ 2 = (8030 / 2) − (8030 / 2) + 2780 2 σ 2 = 4015 – 4935 = - 920 psi (nén) Phương có ứng suất chính lớn nhất tác dụng là : 158
1 φ σ = arctg  2τ xy / ( σ x − σ y )  (4-3)   2 1 arctg [ ( 2)(2870) /(8030)] = 17.80 φσ = 2 Dấu dương cho thấy phân tố quay theo chiều kim đồng hồ. Các ứng suất chính có thể được biểu diễn trên một phân tố như minh họa trong hình 4- 10. Lưu ý phân tố đó được biểu diễn cùng phân tố ban đầu để nhấn mạnh hướng của các ứng suất chính so với trục x ban đầu. Dấu dương của φσ thể hiện rằng phân tố ứng suất chính được quay cùng chiều kim đồng hồ từ vị trí ban đầu của nó. Bây giờ xác định phân tố ứng suất tiếp cực đại, sử dụng các công thức (4-4) đến (4-6): 2  σ x −σ y  τ max =  ÷ + τ xy (4-4) 2  ÷ 2   2 2 τ max = (8030 / 2) + (2780) τ max = ± 4935 psi Hai cặp ứng suất tiếp, + τ max và − τ max có độ lớn tương đương nhưng hướng ngược nhau. Hình 4-9 Các ứng suất trên phân tố K Hình 4-10 Phân tố chính Hướng của phân tố có ứng suất tiếp lớn nhất tác dụng xác định từ công thức (4-5): 159
[( ] ) 1 φτ = arctg − σ x − σ y / 2τ xy (4-5) 2 1 arctg ( − 8030 /[( 2)(2870)]) = − 27.2 0 φτ = 2 Dấu âm cho thấy quay phân tố ngược chiều kim đồng hồ. Các ứng suất pháp bằng nhau tác dụng trên các mặt của phân tố ứng suất này có đ ộ lớn là: σ avg = ( σ x + σ y ) / 2 (4-6) σ avg = 8030 / 2 = 4015 psi Nhận xét: hình 4-11 chỉ ra phân tố ứng suất trên đó ứng suất tiếp lớn nhất tác dụng và liên hệ với phân tố ban đầu. Lưu ý rằng góc giữa phân tố này và phân tố chính là 450. Khảo sát các kết quả của ví dụ 4-1. Ứng suất chính lớn nhất, σ 1 = 8950 psi, lớn hơn 11% so với σ x = 8030 psi tính từ ứng suất uốn tác dụng lên trục theo phương x. Ứng suất tiếp cực đại, τ max = 4935 psi, lớn hơn 72% so với ứng suất tiếp τ xy = 2870 psi. Bạn sẽ học chương 5 ở đó ứng suất pháp cực đại hoặc ứng suất tiếp cực đ ại thường được dùng để dự đoán chính xác các hư hỏng và để đưa ra các giải pháp thiết kế an toàn. Các góc của các phân tố ứng suất này cũng dự báo sự định hướng của hầu hết các ứng suất phá hủy, trợ giúp trong phân tích ứng suất thí nghiệm và phân tích các bộ phận bị hỏng trong thực tế. Một khái niệm khác là ứng suất von Mises, được dùng trong thuyết năng lượng biến dạng của phá hủy nhắc đến trong chương 5. Ứng suất von Mises là một sự tổ hợp duy nhất của ứng suất chính lớn nhất σ1 và ứng suất chính nhỏ nhất σ2, có thể so sánh trực tiếp với giới hạn chảy của vật liệu để dự đoán hỏng hóc do độ võng. Hình 4-11 Liên hệ giữa phân tố ứng suất tiếp lớn nhất với phân tố ứng suất ban đ ầu và phân tố ứng suất chính. Phương pháp tính các ứng suất chính và ứng suất tiếp cực đại đã nêu trong ví dụ 4-1 có thể coi như là một bản tóm tắt. Ta có thể đạt được những kết quả tương tự khi sử dụng vòng tròn Mo, sẽ được thảo luận ở phần tiếp theo. Phương pháp này sử dụng kết hợp sự hỗ trợ của 160
hình học và các tính toán đơn giản. Trong thực tế, sử dụng vòng Mo sẽ cung cấp cho bạn cảm giác trực quan hơn với các thay đổi của ứng suất tại từng điểm phụ thuộc vào góc đ ịnh hướng của phân tố ứng suất. Ngoài ra, nó còn cung cấp một cách tiếp cận hợp lí đ ể xác đ ịnh chế đ ộ ứng suất trên một mặt bất kì mà bạn quan tâm. 4-3 Vòng tròn MO MDESIGN Bởi vì có nhiều thuật ngữ và kí hiệu phức tạp, và cần nhiều tính toán trong tính các ứng suất chính và ứng suất tiếp cực đại, nên khả năng xuất hiện lỗi là khá cao. Sử dụng vòng Mo với sự hỗ trợ của hình học giúp giảm thiểu các lỗi và trực quan hơn khi xác đ ịnh chế đ ộ ứng suất tại một điểm cần quan tâm. Sau khi dựng vòng Mo, có thể sử dụng để: 1. Tìm ứng suất chính lớn nhất và nhỏ nhất, và hướng tác dụng của chúng. 2. Tìm ứng suất tiếp cực đại và hướng của mặt mà chúng tác dụng trên đó. 3. Tìm giá trị của các ứng suất pháp tác dụng trên các mặt có ứng suất tiếp cực đại 4. Tìm các giá trị của ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên một phân tố có hướng bất kì. Tất nhiên, các thông số cần để dựng vòng Mo cũng giống với khi tính các giá trị trên đây, vì phương pháp hình học cũng tương tự với phương pháp tính toán. Nếu biết các ứng suất pháp và ứng suất tiếp tác dụng trên hai mặt phẳng vuông góc b ất kì của một phân tố, có thể dựng vòng tròn Mo và tìm được các thông số từ 1 đến 4. Vòng Mo trên thực tế là một bản vẽ tổ hợp của các ứng suất pháp và ứng suất tiếp có trên một phân tố cho tất cả các góc định hướng của phân tố. Phương pháp này đ ặc biệt hữu ích trong việc phân tích ứng suất thực nghiệm vì các kết quả đã đạt được từ nhiều dụng cụ đo biến dạng tiêu chuẩn cung cấp những thông số đầu vào cần thiết đ ể vẽ ra vòng Mo. (xem tham khảo 1.) Khi đã tìm được các ứng suất chính và ứng suất tiếp cực đại, có thể hoàn thiện phân tích và thiết kế, sử dụng các lí thuyết khác nhau về phá hủy thảo luận trong chương 5. Qui trình dựng vòng tròn Mo 1. Thực hiện phân tích ứng suất để xác định độ lớn cũng như hướng của các ứng suất pháp và ứng suất tiếp tác dụng tại điểm đang xét. 2. Tại điểm đang xét vẽ phân tố ứng suất như trong hình 4-12(a). Vẽ ứng suất pháp trên hai mặt vuông góc bất kì sao cho ứng suất kéo là dương hướng từ phân tố ra ngoài. Các ứng suất nén là âm và hướng vào mặt phân tố. Chú ý rằng phải vẽ t ổng hợp của tất cả các ứng suất pháp theo hướng đã chọn. Các ứng suất tiếp được coi là dương nếu chúng làm quay phân tố theo chiều kim đồng hồ (cw), và âm khi ngược lại. Lưu ý trên phân tố ứng suất đã minh họa, σx là dương, σy là âm, τxy là dương, và τyx là âm. Việc qui ước như vậy là tùy ý. Trong trường hợp chung, ứng suất tổng hợp là dương hoặc âm đều có thể tồn tại. 161
3. Tham khảo hình 4-12(b). Dựng một hệ tọa độ vuông góc trong đó chiều dương trục hoành (ngang) biểu diễn ứng suất pháp dương (kéo), và chiều dương trục tung (đứng) biểu diễn ứng suất tiếp dương (chiều kim đồng hồ). Vì vậy mặt phẳng đã tạo sẽ được xem như là mặt σ-τ. 4. Vẽ các điểm trên mặt σ-τ ứng với các ứng suất tác dụng trên các mặt của phân tố ứng suất. Nếu phân tố được vẽ trên mặt x-y, hai điểm vẽ ra sẽ là σx, τxy và σy, τyx. 5. Vẽ đường thẳng nối hai điểm đó. 6. Tâm của vòng tròn Mo là giao điểm của đường thẳng này và trục σ, đó là giá trị trung bình của hai ứng suất pháp tác dụng, trong đó σ x +σ y σ avg = 2 Trong hình 4-12 tâm của vòng trong Mo là O. 7. Chú ý trong hình 4-12 tam giác bên phải có các cạnh là a, b, và R, trong đó R = a 2 + b2 Kiểm tra chúng ta thấy rằng σ x −σ y a= 2 b = τxy Điểm O cách gốc tọa độ ban đầu là σx – a. Bây giờ chúng ta có thể tiếp tục. 8. Vẽ vòng tròn hoàn thiện với tâm tại O và bán kính R, như trong hình 4-13. 9. Vòng tròn cắt trục σ tại điểm bên phải cho ta giá trị của ứng suất chính lớn nhất, σ1. Chú ý σ1 = σavg + R. 10. Vòng tròn cắt trục σ tại điểm bên trái cho ta giá trị của ứng suất chính nhỏ nhất, σ2. Chú ý σ2 = σavg – R. 11. Tọa độ điểm cao nhất của vòng tròn cho ta ứng suất tiếp cực đại và ứng suất pháp trung bình tác dụng trên phân tố có ứng suất tiếp cực đại. Chú ý rằng, τ max = R . Lưu ý: Các bước sau đây liên quan đến xác định các góc nghiêng của phân tố chính và phân tố ứng suất tiếp cực đại so với trục x ban đầu. Một vấn đề quan trọng khi xác định các góc này là các góc trên vòng tròn Mo thực tế gấp đôi góc thực. Xem hình 4-13; đường thẳng từ O qua điểm đầu tiên σx, τxy biểu diễn trục x ban đầu. Đường từ O qua điểm σy, τyx biểu diễn trục y ban đầu. Dĩ nhiên, trên phân tố ban đầu các trục này vuông góc với nhau, chứ không tạo thành một góc 1800, như đặc điểm gấp đôi góc của vòng Mo. Với sự lưu ý như vậy, chúng ta tiếp tục các b ước tiếp theo. 12. Góc 2φσ được đo từ trục x trên vòng tròn đến trục σ. Lưu ý rằng 2φ σ = arctg(b/a) 162
Một vấn đề quan trọng cần lưu ý là hướng từ trục x đến trục σ (thuận chiều hay ngược chiều kim đồng hồ). Nó rất cần thiết để biểu diễn các mối tương quan giữa phân tố chính với phân tố ứng suất ban đầu một cách đúng đắn. Hình 4-12 Vòng Mo gần hoàn thiện, các bước từ 1-7 Hình 4-13 Vòng Mo hoàn thiện, các bước từ 8-14 163
Hình 4-14 Biểu diễn các kết quả từ vòng Mo 13. Góc từ trục x trên vòng tròn đến đường thẳng đứng qua τmax là 2φτ. Trong ví dụ đã nêu, từ các thông số hình học của vòng tròn chúng ta thấy được 2φτ = 900 − 2φ σ Với những ứng suất ban đầu khác cũng vẫn cho liên hệ tương tự giữa 2 φσ và 2φτ. Các thông số hình học cụ thể của vòng tròn được sử dụng tùy từng thời điểm. Xem các ví dụ 4-3 đến 4-8 sau mục này. Như phần trên việc lưu ý hướng từ trục x đến trục τmax là rất quan trọng trong định hướng của phân tố ứng suất tiếp lớn nhất. Bạn cũng cần lưu ý trục σ và trục τmax tạo thành góc 900 trên vòng tròn và bởi vậy chúng tạo ra góc 45 0 trên phân tố thực. 14. Bước cuối cùng trong phương pháp sử dụng vòng Mo là vẽ các phân tố ứng suất thu được theo sự liên hệ chính xác của chúng với phân tố ban đầu, như đã chỉ trong hình 4-14. Bây giờ chúng ta sẽ minh họa việc dựng vòng tròn Mo bằng cách sử dụng các thông số tương tự như trong ví dụ 4-1 với các ứng suất chính và ứng suất tiếp lớn nhất đã được tính trực tiếp từ các công thức. Ví dụ 4-2 Trục đã nêu trong hình 4-7 được đỡ bằng hai ổ và mang hai bánh đai thang. Lực căng trong các dây đai gây ra các lực ngang trên trục, dẫn đến uốn trục trong mặt x-z. Bánh đai B gây ra mômen xoắn thuận chiều kim đồng hồ trên trục khi khi nhìn hướng về gốc hệ tọa đ ộ dọc theo trục x. Bánh đai C gây ra mômen xoắn tương đương nhưng ngược chiều trên trục. Với điều kiện tải như vậy, xác định các ứng suất chính và ứng suất tiếp lớn nhất trên phân t ố K ở mặt trước của trục (z dương) ngay bên phải của bánh đai B. Sử dụng qui trình xây dựng vòng tròn Mo trong mục này. Lời giải: Vấn đề: xác định các ứng suất chính và ứng suất tiếp lớn nhất trên phân tố K. 164
Đã cho: trục và chế độ tải trọng trong hình 4-7. Hình 4-15 Các ứng suất trên phân tố K Hình 4-16 Vòng Mo gần hoàn thiện Tính toán: sử dụng qui trình dựng vòng tròn Mo. Một số kết quả có thể có ngay từ lời giải của ví dụ 4-1 và từ các hình 4-7, 4-8, 4-9. Kết quả: Bước 1 và 2: phân tích ứng suất với tải trọng đã cho được hoàn thành trong ví dụ 4-1. Hình 4-15 giống với hình 4-9 và trình bày các kết quả của bước 2. Bước 3-6: hình 4-16 chỉ ra các kết quả. Điểm đầu tiên được vẽ là σx = 8030 psi, τxy = 2870 psi Điểm thứ hai được vẽ tại σy = 0 psi, τyx = - 2870 psi Nối hai điểm bằng một đường thẳng cắt trục σ tại O. Giá trị của ứng suất tại O là: σavg = (σx + σy)/2 = (8030 + 0)/2 = 4015 psi Bước 7: chúng ta tính các giá trị của a, b, và R 165
a = (σx - σy)/2 = (8030 – 0)/2 = 4015 psi b = τxy = 2870 psi R = a 2 + b 2 = 4015 2 + 2870 2 = 4935 psi Bước 8: hình 4-17 chỉ ra vòng Mo hoàn thiện. Vòng tròn này có tâm tại O và bán kính là R. Chú ý rằng vòng tròn này đi qua hai điểm đã vẽ ở trên. Có điều đó vì vòng Mo biểu diễn t ất cả các trạng thái ứng suất có thể trên phân tố K. Bước 9: ứng suất chính lớn nhất là tại bên phải của vòng. σ1 = σavg + R σ1 = 4015 + 4935 = 8950 psi Bước 10: ứng suất chính nhỏ nhất là tại bên trái của vòng σ2 = σavg - R σ2 = 4015 – 4935 = - 920 psi Bước 11: tại đỉnh của vòng tròn σ = σavg = 4015 psi τ = τmax = R = 4935 psi Giá trị của ứng suất pháp trên phân tố ứng suất tiếp lớn nhất là tọa đ ộ của O, tâm vòng tròn. Bước 12: tính góc 2φσ và φσ. Sử dụng vòng Mo 2φσ = arctg (b/a) = arctg (2870/4015) = 35.60 φσ = 35.60/2 = 17.80 166
Hình 4-17 Vòng Mo hoàn thiện Hình 4-18 Các kết quả từ phân tích vòng Mo Chú ý rằng φσ cần được đo theo chiều kim đồng hồ từ trục x ban đầu đến hướng đường tác dụng của σ1. Phân tố chính sẽ được quay theo hướng tương tự, như một phần của bước 14. Bước 13: tính góc 2φτ và φτ. Từ vòng Mo chúng ta thấy rằng 2φτ = 900 - 2φσ = 900 – 35.60 = 54.40 φτ = 54.40/2 = 27.20 Chú ý rằng phân tố ứng suất tiếp lớn nhất có được nhờ quay phân tố ban đ ầu ngược chiều kim đồng hồ một góc như trên. Bước 14: hình 4-18 chỉ ra các phân tố ứng suất yêu cầu. Chúng giống như các phân tố đã có trong hình 4-11. 4-4 Bài tập về vòng tròn Mo MDESIGN Với một người thấy vòng Mo lần đầu tiên, nó dường như dài và phức tạp. Nhưng việc luyện tập với các tổ hợp khác nhau của ứng suất pháp và tiếp, bạn có thể thực hi ện 14 b ước nhanh chóng và chính xác. Bảng 4-1 đưa ra 6 cụm thông số (ví dụ 4-3 đến 4-8) các ứng suất pháp và ứng suất tiếp trong mặt x-y. Bạn được yêu cầu hoàn thiện vòng tròn Mo cho từng trường hợp trước khi xem lời giải trong hình 4-19 đến 4-24. Từ vòng Mo, xác định hai ứng suất chính, ứng suất ti ếp l ớn nhất, và các mặt mà những ứng suất đó tác dụng. Sau đó vẽ phân tố ứng suất đã cho, phân t ố chính, và phân số ứng suất tiếp lớn nhất, tất cả phải định hướng chính xác so với hướng của trục x, y. 167
Bảng 4-1 Các ví dụ với vòng Mo Ví dụ Hình số σx σy τxy 4-3 + 10.0 ksi - 4.0 ksi + 5.0 ksi 4-19 4-4 + 10.0 ksi - 2.0 ksi - 4.0 ksi 4-20 4-5 + 4.0 ksi - 10.0 ksi + 4.0 ksi 4-21 4-6 + 120 MPa - 30 MPa + 60 MPa 4-22 4-7 - 80 MPa + 20 MPa - 50 MPa 4-23 4-8 - 80 MPa + 20 MPa + 50 MPa 4-24 Ví dụ 4-3 Hình 4-19 Lời giải cho ví dụ 4- 3 168
Ví dụ 4-4 Hình 4-20 Lời giải cho ví dụ 4-4 Ví dụ 4-5 Hình 4-21 Lời giải cho ví dụ 4- 5 169