Giáo trình: Cơ học (Đoàn Trọng Thứ)

Chia sẻ: Ng Tien Quy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:126

Thêm vào BST

Báo xấu

443
lượt xem 197
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên môn Vật lý dành cho giáo viên, sinh viên cao đẳng, đại học - Giáo trình cơ học. Cơ học là ngành khoa học nghiên cứu chuyển động của vật chất trong không gian và tương tác giữa chúng. Thông thường khi nói đến cơ học người ta hiểu ngầm là cơ học cổ điển, dựa trên cơ sở của các định luật Newton. Cơ học cổ điển nghiên cứu chuyển động của các vật vi mô có vận tốc nhỏ hơn rất nhiều so với vận tốc của ánh sáng, được xây dựng bởi...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình: Cơ học (Đoàn Trọng Thứ)

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT GIAÙO TRÌNH CÔ HOÏC ÑOAØN TROÏNG THÖÙ 2002
Cô hoïc -2- MUÏC LUÏC MỤC LỤC.................................................................................................................. 2 Phần I: TOÁN BỔ SUNG GIẢI TÍCH VECTOR..................................................... 6 I. Hệ tọa độ Đề các (Descartes) ............................................................................. 6 II. Hệ tọa độ trụ ...................................................................................................... 6 III. Hệ tọa độ cầu.................................................................................................... 7 IV. Các phép tính vector ........................................................................................ 8 IV.1. Phân tích một vector ra các thành phần trực giao..................................... 8 IV.2. Phép cộng vector....................................................................................... 9 IV.3. Hiệu hai vector.......................................................................................... 9 IV.4. Cộng nhiều vector................................................................................... 10 IV.5.Tích vô hướng.......................................................................................... 10 IV.6. Tích vector .............................................................................................. 11 IV.7. Vi phân vector......................................................................................... 11 V. Các toán tử đặc biệt thường dùng trong vật lý................................................ 12 V.1. Gradient.................................................................................................... 12 V.2. Divergence ............................................................................................... 12 V.3. Rotationel (Curl) ...................................................................................... 12 Phần II: CƠ HỌC..................................................................................................... 14 Chương I:ĐỘNG HỌC ............................................................................................ 14 1.1 Khái niệm....................................................................................................... 14 1.1.1- Chuyển động cơ học .............................................................................. 14 1.1.2 Hệ qui chiếu ............................................................................................ 14 1.1.3 Không gian và thời gian.......................................................................... 15 1.2 Phương trình chuyển động và Phương trình quỹ đạo .................................... 15 1.2.1 Phương trình chuyển động ...................................................................... 15 1.2..2 Phương trình quĩ đạo............................................................................. 16 1.3 Vận tốc ........................................................................................................... 16 1.3.1 Định nghĩa vận tốc .................................................................................. 16 1.3.2 Biểu thức của vận tốc trong các hệ tọa độ .............................................. 18 a) Trong hệ tọa độ Đềcac : ........................................................................... 18 b) Trong hệ tọa độ trụ .................................................................................. 19 c) Trong hệ tọa độ cầu ................................................................................. 20 1.3.3 Vận tốc góc và vận tốc diện tích............................................................. 20 a) Vận tốc góc .............................................................................................. 20 b) Vận tốc diện tích...................................................................................... 21 1.4 Gia tốc ............................................................................................................ 22 1.4.1 Độ cong và bán kính chính khúc............................................................. 22 1.4.2 Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến................................................. 23 1.5 Các dạng chuyển động đơn giản .................................................................... 25 1.5.1 Chuyển động thẳng ................................................................................. 25 1.5.2 Chuyển động biến đổi đều ...................................................................... 25 1.5.3 Chuyển động tròn.................................................................................... 26 Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc -3- a) Vận tốc góc .............................................................................................. 26 b) Gia tốc góc............................................................................................... 28 Chương II ĐỘNG LỰC HỌC.................................................................................. 31 2.1 Định luật I Newton......................................................................................... 31 2.1.1 Lực và chuyển động................................................................................ 31 2.1.2 Định luật I Newton.................................................................................. 32 2.1.3 Hệ qui chiếu trái đất ................................................................................ 32 2.2 Nguyên lý tương đương ................................................................................. 33 2.3- Định luật II Newton...................................................................................... 35 2.3.1 Lực và gia tốc :........................................................................................ 35 2.3.2 Khối lượng : ............................................................................................ 35 2.3.4 Dạng khái quát định luật II Newton........................................................ 36 2.4. Định luật III Newton..................................................................................... 38 Chương III CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM – CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN......... 39 3.1 Khối tâm......................................................................................................... 39 3.1.1 Định nghĩa............................................................................................... 39 3.1.2 Vận tốc của khối tâm .............................................................................. 40 3.1.3 Phương trình chuyển động của khối tâm ................................................ 42 3.2 Chuyển động của vật rắn................................................................................ 42 3.2.1 Chuyển động tịnh tiến............................................................................. 42 3.2.2 Chuyển động quay .................................................................................. 43 3.3 Định luật biến thiên và bảo toàn động lượng................................................. 44 3.3.1 Khái niệm................................................................................................ 44 3.3.2 Định luật bảo toàn động lượng của một cơ hệ ........................................ 44 3.3.3 Xung lượng của ngoại lực....................................................................... 46 3.4 Chuyển động của vật có khối lượng thay đổi ................................................ 46 3.5 Momen lực và momen động lượng................................................................ 48 3.5.1 Momen lực .............................................................................................. 48 3.5.2 Momen động lượng................................................................................. 49 Chương IV TRƯỜNG LỰC THẾ – TRƯỜNG HẤP DẪN................................... 53 4.1 Khái niệm và tính chất của trường lực thế..................................................... 53 4.2- Thế năng và cơ năng của trường lực thế....................................................... 55 4.2.1 Định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế .................................... 56 4.2.2 Sơ đồ thế năng........................................................................................ 58 4.3 Trường hấp dẫn ............................................................................................. 60 4.3.1 : Định luật hấp dẫn vạn vật : ................................................................... 60 a) Sự thay đổi gia tốc trọng trường theo độ cao : ........................................ 61 b) Tính khối lượng của thiên thể :................................................................ 62 4.3.2 Trường hấp dẫn ...................................................................................... 62 a) Bảo toàn moment động lượng trong trường hấp dẫn :............................. 63 b) Thế năng hấp dẫn..................................................................................... 64 4.4 Chuyển động trong trường hấp dẫn .............................................................. 66 Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc -4- Chương V CƠ HỌC CHẤT LƯU ........................................................................... 69 5.1 Đại cương về cơ học chất lưu ........................................................................ 69 5.2 Tĩnh học chất lưu ........................................................................................... 69 5.2.1 Áp suất .................................................................................................... 69 5.2.2 Công thức cơ bản của tĩnh học chất lưu.................................................. 70 5.3 Động học chất lưu lý tưởng ........................................................................... 71 53.1 Định luật bảo toàn dòng........................................................................... 71 5.3.2 Định luật Bernoulli ................................................................................. 72 5.4 Hiện tượng nội ma sát (nhớt) ......................................................................... 74 5.4.1 Hiện tượng nội ma sát và định luật newton ........................................... 74 5.4.2 Sự chảy của lưu chất trong một ống trụ .................................................. 75 CHƯƠNG VI CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI ..................................................... 79 6.1. Tính bất biến của vận tốc ánh sáng............................................................... 78 6.1.1 Nguyên lý tương đối ............................................................................... 78 6.1.2 Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng ...................................... 78 6.2. Động học tương đối tính – phép biến đổi Lorentz....................................... 79 6.2.1 Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galilê với thuyết tương đối Einstein .. 79 6.2.2. Phép biến đổi Lorentz ............................................................................ 80 6.2.3. Các hệ quả của phép biến đổi Lorentz ................................................... 83 a/ Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả................................... 83 b/ Sự co ngắn Lorentz .................................................................................. 84 c/ Định lý tổng hợp vận tốc.......................................................................... 86 6.2.3 Động lực học tương đối tính ................................................................... 87 a/ Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm: ................................... 87 b/ Động lượng và năng lượng. ..................................................................... 88 c/ Các hệ quả ................................................................................................ 89 6.3 Lực quán tính ................................................................................................. 92 6.3.1- Không gian và thời gian trong hệ quy chiếu không quán tính .............. 92 6.3.2- Lực quán tính......................................................................................... 92 6.3.3- Lực quán tính trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng có gia tốc.......... 93 6.3.4- Lực quán tính trong hệ quy chiếu chuyển động quay: .......................... 95 6.4 Nguyên lý tương đương ................................................................................. 98 6.4.1 Trạng thái không trọng lượng ................................................................. 98 6.4.2 Nguyên lý tương đương .......................................................................... 99 6.4.3 Lý thuyết tương đối rộng ...................................................................... 100 6.5 chuyển động quay của Trái đất .................................................................... 101 6.5.1 Gia tốc trọng trường.............................................................................. 101 6.5.2 Lực Côriôlit........................................................................................... 103 6.5.3 Con lắc Fucô ......................................................................................... 104 Chương VII DAO ĐỘNG VÀ SÓNG ................................................................. 107 7.1 Dao động điều hòa ....................................................................................... 107 7.1.1 Hiện tượng tuần hoàn............................................................................ 107 7.1.2 Dao động điều hoà ................................................................................ 107 7.1.3 Biểu thức toán học của dao động điều hòa : ......................................... 108 Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc -5- 7.1.4 Phương trình của dao động điều hòa .................................................... 109 7.1.5 Năng lượng của dao động điều hòa ...................................................... 109 7.2 Ví dụ áp dụng.............................................................................................. 110 7.2.1 Dao động của một quả nặng treo ở đầu một lò xo ................................ 110 7.2.2 Con lắc vật lý ........................................................................................ 112 7.3 Tổng hợp dao động ...................................................................................... 114 7.3.1 Nguyên lý chồng chất ........................................................................... 115 7.3.2 Tổng hợp hai dao động cùng phương và cùng chu kỳ.......................... 115 7.4 Tổng hợp hai dao động có chu kỳ khác nhau chút ít – Hiện tượng phách . 118 7.5 Tổng hợp hai dao động có phương vuông góc ............................................ 122 7.5.1 Tổng hợp hai dao động có phương vuông góc và cùng tần số ............. 122 7.5.2. Tổng hợp hai dao động vuông góc và có tần số khác nhau ................. 124 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 126 Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc -6- PHAÀN I: TOAÙN BOÅ SUNG GIAÛI TÍCH VECTOR I. Heä toïa ñoä Ñeà caùc (Descartes) z Trong heä toïa ñoä Ñeà caùc, ba truïc Ox, Oy, Oz vuoâng goùc vôùi nhau. r r r k r A Vector OA= r coù theå bieåu dieãn : r r r r r i j y OA= xi +yj +zk (1) O r r r r Hay r = OA = xe x + ye y + ze z r x, y, z : thaønh phaàn cuûa vector r treân ba truïc; r r r x i , j , k : Caùc vector ñôn vò. r r Vaäy coù theå bieåu dieãn vector r daïng r (x,y,z). Theå tích vi phaân dv ñöôïc tính : dv = dx dy dz II. Heä toïa ñoä truï z Trong heä toïa ñoä truï, vò trí cuûa ñieåm A baát kyø ñöôïc xaùc ñònh bôûi ba toïa ñoä ρ, ϕ, z. r ρ : hình chieáu cuûa r treân maët phaúng xOy. A ϕ : goùc giöõa Ox vaø ρ. r r z r z : hình chieáu cuûa r treân truïc Oz. y ρ x r Vaäy, vector baùn kính r cuûa ñieåm coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng : r r r r = ρeρ + ze z (2) Bieát ba toïa ñoä truï cuûa moät ñieåm ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc ba toïa ñoä Ñeà caùc cuûa ñieåm aáy baèng pheùp bieán ñoåi : r r r OA = A ρeρ + A ϕeϕ + A z e z (3) ⎧ρ = x 2 + y 2 ⎧x = ρ cos ϕ ⎪ ⎪ ⎪ y ⎨y = ρ sin ϕ hoaëc ⎨ϕ = arctg (4) ⎪z = z ⎪ x ⎩ ⎪z = z ⎩ ds = ρ dϕ dz : dieän tích vi phaân Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc -7- dv = ds. dρ = ρ dϕdzdρ : Theå tích vi phaân. III. Heä toïa ñoä caàu z A r θ r O y ϕ x Trong heä toïa ñoä caàu, vò trí cuûa ñieåm A baát kyø ñöôïc xaùc ñònh baèng toïa ñoä r, θ, ϕ. Trong ñoù : r r : ñoä daøi cuûa vector baùn kính r r θ : goùc giöõa Oz vaø r ϕ : ñònh nghóa nhö trong heä toïa ñoä truï. r r r Caùc vector ñôn vò trong heä toïa ñoä caàu laø : er , eθ vaø e ϕ . Trong ñoù : r r e r : Vector ñôn vò doïc theo truïc r . r e θ : Vector ñôn vò naèm trong maët phaúng kinh tuyeán ñi qua A vaø r vuoâng goùc vôùi e r , coù chieàu theo chieàu taêng cuûa θ. r e ϕ : Vector ñôn vò ñöôïc ñònh nghóa nhö trong heä toïa ñoä truï. Vaäy, r r vector baùn kính cuûa ñieåm A coù daïng : r = re r (5) Ta coù söï lieân heä giöõa ba toïa ñoä caàu vôùi ba toïa ñoä Ñeà caùc cuûa moät ñieåm nhö sau : r r r OA=Arer + Aθeθ + Aϕeϕ (6) Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc -8- ⎧ ⎪ 2 2 2 ⎧x = r sin θ cos ϕ ⎪r = x + y + z ⎪ ⎪ ⎪ z ⎨y = r sin θ sin ϕ (7) ⎨θ = arccos (8) ⎪z = r cos θ ⎪ x + y 2 + z2 2 ⎩ ⎪ ⎪ϕ = arctg y ⎪ ⎩ x dS = r sinθ dϕrdθ = r2 sinθdθdϕ π 2π ⇒ S=∫ ∫r 2 sin θ dθ dϕ = 4 π r 2 0 0 2 r π 2π 4 dV = r sinθdθdϕdz ⇒ V = ∫ ∫ ∫ r 2 sin θ dθ dϕ dr = πr 3 0 0 0 3 Nhaän xeùt : 1. Tuøy theo tính chaát cuûa chuyeån ñoäng, ta coù theå choïn heä toïa ñoä thích hôïp ñeå moâ taû chuyeån ñoäng. Thoâng thöôøng, neáu chaát ñieåm chuyeån ñoäng theo moät ñöôøng thaúng ta choïn heä toïa ñoä Ñeà caùc, neáu chaát ñieåm chuyeån ñoäng quanh moät truïc ta choïn heä toïa ñoä truï, coøn neáu chaát ñieåm chuyeån ñoäng quanh 1 taâm ta choïn heä toïa ñoä caàu. 2. Tröôøng hôïp chaát ñieåm chuyeån ñoäng trong moät maët phaúng ta thöôøng xeùt trong maët phaúng z = 0. Khi ñoù heä toïa ñoä Ñeà caùc coù 2 toïa ñoä x vaø y, coøn caùc heä toïa ñoä truï vaø caàu suy bieán thaønh heä toïa ñoä cöïc, töùc heä coù hai toïa ñoä laø r vaø ϕ. 3. Caùc heä toïa ñoä Ñeà caùc, truï vaø caàu ñeàu laø caùc heä toïa ñoä tröïc giao. Caùc vector ñôn vò doïc theo caùc truïc ñeàu vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi moät. IV. Caùc pheùp tính vector IV.1. Phaân tích moät vector ra caùc thaønh phaàn tröïc giao Thöôøng moät vector ñöôïc xaùc ñònh ñoái vôùi moät heä toïa ño. Moät vector coù theå ñöôïc phaân tích ra caùc thaønh phaàn theo caùc bieán soá khoâng gian cuûa heä toïa ñoä töông thích ñeå tieän vieäc phaân giaûi. Caùc heä toïa ñoä thöôøng duøng laø heä toïa ñoä Ñeà caùc, heä toïa ñoä truï vaø heä toïa ñoä caàu. r Moät vector A coù theå vieát daïng : r r A = Au r r u goïi laø vector ñôn vò trong heä toïa ñoä Ñeà caùc Oxyz, u song song vaø cuøng r r chieàu A vaø u = 1 . r r r Caùc vector ñôn vò i , j , k höôùng doïc theo 3 truïc Ox, Oy, Oz. Coù theå phaân tích : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc -9- r r r OA = x i + y j + z k OA = x 2 + y 2 + z2 IV.2. Pheùp coäng vector Ñeå xaùc ñònh pheùp coäng vector, ta xeùt tröôøng hôïp dòch chuyeån nhö sau : C r r r r d d2 V V2 A B r r d1 V1 r Neáu moät chaát ñieåm ñi töø A ñeán B ñöôïc bieåu dieãn bôûi d 1 vaø sau ñoù chaát ñieåm r ñi töø B → C ñöôïc bieåu dieãn bôûi d 2 . Vaäy coù theå xem ñieåm ñaõ dòch chuyeån moät r r r r khoaûng d ñeå ñi töø A → C. Coù theå vieát d = d 1 + d 2 . Pheùp coäng vector coù tính giao hoaùn : r r r r r V = V1 + V2 = V2 + V1 Ta coù : AC2 = AD2 + DC2 AD = AB + BD = V1 + V2 cosθ Do vaäy : V2 = (V1 + V2 cosθ )2 + (V2sinθ)2 = V1 1 + V2 2 + 2 V1 V2 cosθ ⇒V= V12 + V22 + 2 V1 V2 cos θ (8) r V C E V2 sinθ r V2 θ r A V1 B V2 cosθ D r r * Ñaëc bieät : V1 vaø V2 thaúng goùc nhau → θ = π/2 Khi ñoù : V = V12 + V22 IV.3. Hieäu hai vector Ta xem : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc - 10 - r r r r r D = V1 − V2 = V1 + ( − V2 ) D= V12 + V22 + 2 V1 V2 cos (π − θ) (9) D= V12 + V22 − 2 V1V2 cos θ Pheùp tröø vector khoâng coù tính chaát giao hoaùn. IV.4. Coäng nhieàu vector r r r r Ta môû roäng cho tröôøng hôïïp coäng hai vector V = V1 + V2 + V3 ..... , deã thaáy raèng duøng pheùp tònh tieán ta laàn löôït saép xeáp sao cho muõi cuûa vector naøy truøng vôùi ñieåm ñaàu cuûa vector keá tieáp, vector toång seõ laø ñoaïn thaúng noái lieàn ñieåm ñaàu cuûa vector ñaàu tieân ñeán ñieåm muõi cuûa vector cuoái cuøng. Ñoái vôùi hình beân ta coù : r r r r r V = V1 + V2 + V3 + V4 r r V V4 r r V1 V3 r V2 Xeùt vector toång trong maët phaúng xOy ta coù : r r r r r V = (V1x i + V1y j ) + ( V2 x i + V2 y j ) + ... r r = (V1x + V1y + ...) i + (V2 x + V2 y + ...) j r r = Vx i + Vy j Trong ñoù : Vx = V1x + V2 x + ... = ∑ Vix = ∑ Vi cos α i i i Vy = V1y + V2 y + ... = ∑ Viy = ∑ Vi sin α i i i r αi laø goùc hôïp bôûi Vi vaø truïc Ox. r VicosαI , Visinαi laàn löôït laø thaønh phaàn cuûa Vi theo hai truïc Ox vaø Oy. IV.5.Tích voâ höôùng r r r r r r Tích voâ höôùng cuûa hai vector A vaø B kí hieäu A . B (ñoïc laø A chaám B ) ñöôïc xaùc ñònh laø moät soá voâ höôùng nhö sau : r r A . B = A . B. cos θ vôùi θ laø goùc hôïp bôûi (A , B ) r r (10) Vôùi ñònh nghóa treân chuùng ta deã daøng suy ra moät soá tính chaát sau : Vôùi Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc - 11 - r r r r ⎧A = A x i + A y j + A z k ⎪ ⎨r r r r ⎪ ⎩ B = Bx i + By j + Bz k r r A . A = A2 + A2 + A2 = A2 x y z r r A . B = A x Bx + A y By + A z B z r r r r Neáu A ⊥ B thì A . B = 0 r r r r Tích voâ höôùng coù tính chaát giao hoaùn : A . B = B . A ( ) r r r r r r r Tích voâ höôùng coù tính chaát phaân phoái : A . B . C = A . B + A . C v r r Caùc vector ñôn vò i , j , k coù tính chaát : v r r r r r i . i = j . j = k . k =1 v r r r r v i . j = j.k = k. i = 0 IV.6. Tích vector r r r r r r r r Cho hai vector A vaø B . Tích vector A vaø B kí hieäu A × B (ñoïc A nhaân B ) r r ñöôïc xaùc ñònh laø moät vector thaúng goùc vôùi maët phaúng chöùa A vaø B , coù chieàu tuaân theo qui taéc “vaën nuùt chai “ vaø coù ñoä lôùn : r r r r A × B = A . B . sin θ , θ : goùc hôïp bôûi ( A , B ) (11) r r Töø ñònh nghóa treân ta coù caùc tính chaát sau : A × B r r r r r A × B = − B× A B r r r ( ) r r r r A× B+ C = A×B+ A×C r r r r r r θ r i × i = j× j = k×k = 0 A r r r r r r r r r r r i × j = k ; j × k = i ;k× i = j B×A Cho hai vector : r r r r A = Ax i + Ay j + Azk r r r r B = B x i + By j + Bz k r r r r r ⇒ A × B =(A y Bz − A z By )i − (A x Bz − A z Bx ) j + (A x By − A y Bx )k r r r i j k r r Hay A × B = Ax Ay Az Bx By Bz IV.7. Vi phaân vector r r Cho haøm soá vector f (s) , töùc vector f phuï thuoäc vaøo bieán soá s. Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc - 12 - r r r df f (s + ds) − f (s) r = lim : ñaïo haøm vector f (12) ds ∆s → 0 ∆s Ta coù moät soá tính chaát sau : r r ds ( d r r dA dB A±B = ) ± ds ds r r ds ( ds ) d r r dA r dB r A .B = .B + ds .A r r ( d r r dA r ) r dB A×B = × B + A× ds ds r ds d ( ) dΦ r dA r ΦA = A+Φ (vôùi φ voâ höôùng ) ds ds ds r r Ñaïo haøm rieâng phaàn : Cho A(x , y , z ) . Vi phaân cuûa A theo moät bieán soá goïi laø ñaïo haøm rieâng phaàn : r r r ∂A A(x + ∆x , y , z ) − A (x , y , z ) = lim (13) ∂x ∆x → 0 ∆x Tính chaát : vi phaân rieâng phaàn coù caùc tính chaát gioáng vi phaân vector noùi treân. V. Caùc toaùn töû ñaëc bieät thöôøng duøng trong vaät lyùù V.1. Gradient Cho moät haøm voâ höôùng U(x, y, z), gradient cuûa U ñöôïc kí hieäu laø gradU≡∇U, vôùi : ∂U r ∂U r ∂U r ∇U = i + j+ k (14) ∂x ∂y ∂z V.2. Divergence r r r r Cho haøm soá vector A(x , y , z ) , divergence cuûa A kí hieäu laø Div A ≡∇ A , vôùi : r ∂A x ∂A y ∂A z ∇A= + + ∂x ∂y ∂z r r r r Trong ñoù A = Ax i + Ay j + Azk (15) V.3. Rotationel (Curl) r r r r Cho haøm soá vector A(x , y , z ) , Curl cuûa A kí hieäu laø Rot A ≡∇× A , vôùi : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc - 13 - r r r i j k r ∂ ∂ ∂ ∇×A = (16) ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc - 14 - PHAÀN II: CÔ HOÏC CHÖÔNG I:ÑOÄNG HOÏC 1.1 Khaùi nieäm Trong chöông naøy, muïc tieâu laø nghieân cöùu söï chuyeån ñoäng cuûa vaät theå döôùi hình thöùc ñoäng hoïc chaát ñieåm, chuùng ta chæ giôùi haïn vieäc moâ taû chuyeån ñoäng maø chöa ñeà caäp ñeán nguyeân nhaân gaây ra chuyeån ñoäng. Ta xeùt moät vaøi khaùi nieäm cô baûn : 1.1.1- Chuyeån ñoäng cô hoïc Chuyeån ñoäng cô hoïc laø söï thay ñoåi vò trí cuûa vaät naøy ñoái vôùi vaät khaùc hoaëc cuûa phaàn naøy ñoái vôùi phaàn khaùc cuûa cuøng moät vaät. Chuyeån ñoäng cuûa moät vaät coù tính chaát töông ñoái, khi noùi ñeán chuyeån ñoäng cuûa moät vaät naøo ñoù phaûi xem noù chuyeån ñoäng ñoái vôùi vaät naøo. Khi ñoù chuyeån ñoäng cuûa vaät ñöôïc xem laø söï thay ñoåi toïa ñoä khoâng gian theo thôøi gian so vôùi vaät ñöôïc qui öôùc ñöùng yeân. Khaùi nieäm ñöùng yeân cuõng chæ coù tính chaát töông ñoái, cho ñeán nay ngöôøi ta chöa tìm ñöôïc vaät naøo ñöùng yeân tuyeät ñoái caû. Ngay maët trôøi cuõng chuyeån ñoäng xung quanh taâm thieân haø cuûa chuùng ta vaø thieân haø naøy cuõng chuyeån ñoäng töông ñoái so vôùi caùc thieân haø khaùc trong vuõ truï bao la. 1.1.2 Heä qui chieáu Chuyeån ñoäng cô hoïc coù tính chaát töông ñoái, vaäy khi xeùt chuyeån ñoäng cuûa moät chaát ñieåm caàn xaùc ñònh roõ ñieåm aáy chuyeån ñoäng so vôùi nhöõng vaät naøo ñöôïc xem laø ñöùng yeân. Heä vaät maø ta qui öôùc laø ñöùng yeân vaø duøng laøm moác ñeå khaûo saùt, xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm chuyeån ñoäng ñöôïc goïi laø heä qui chieáu. Khi khaûo saùt chuyeån ñoäng ta coù theå choïn heä qui chieáu naøy hay heä qui chieáu khaùc. Caàn choïn heä qui chieáu thích hôïp sao cho vieäc moâ taû vaø nghieân cöùu tính chaát chuyeån ñoäng ñöôïc ñôn giaûn nhaát. Ñeå moâ taû chuyeån ñoäng trong phaïm vi khoâng lôùn treân beà maët quaû ñaát, thöôøng ta choïn heä quy chieáu laø quaû ñaát hay moät heä vaät naøo ñoù khoâng chuyeån ñoäng ñoái vôùi traùi ñaát. Ví duï, ñeå nghieân cöùu chuyeån ñoäng cuûa moät quaû ñaïn phaùo, coù theå choïn heä qui chieáu laø maët ñaát hay chính laø khaåu phaùo. Traùi ñaát chuyeån ñoäng chung quanh maët trôøi, do vaäy trong moät soá tröôøng hôïp khi nghieân cöùu caùc chuyeån ñoäng trong thaùi döông heä, taâm maët trôøi ñöôïc choïn laø heä qui chieáu. Ñaàu theá kyû 17, nhôø söû duïng heä qui chieáu maët trôøi (heä qui chieáu Copernic), Kepler môùi tìm ñöôïc qui luaät ñuùng ñaén moâ taû chuyeån ñoäng cuûa cuûa caùc haønh tinh trong Thaùi döông heä. Maëc duø ñöôïc moâ taû khaùc nhau trong caùc heä qui chieáu khaùc nhau, nhöng neáu bieát chuyeån ñoäng töông ñoái cuûa caùc heä qui chieáu, coù Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc - 15 - theå töø caùch moâ taû chuyeån ñoäng ñoái vôùi heä qui chieáu naøy suy ra caùch moâ taû chuyeån ñoäng ñoái vôùi heä qui chieáu khaùc. Ví duï, bieát chuyeån ñoäng troøn cuûa moät ñieåm treân vaønh xe ñaïp ñoái vôùi xe ñaïp, bieát chuyeån ñoäng cuûa xe ñaïp ñoái vôùi maët ñöôøng, coù theå xaùc ñònh ñöôïc chuyeån ñoäng cuûa moät ñieåm treân vaønh xe ñaïp ñoái vôùi maët ñöôøng. Trong cô hoïc, khi nghieân cöùu chuyeån ñoäng cuûa vaät theå ñôn giaûn, nhieàu luùc coù theå boû qua aûnh höôûng do kích thöôùc, hình daïng cuûa vaät vaø löïc caûn cuûa moâi tröôøng. Luùc ñoù xem vaät nhö laø moät chaát ñieåm. Trong thöïc teá, tuøy tröôøng hôïp cuï theå maø ta coù theå xem vaät laø chaát ñieåm hoaëc coá theå. Heä qui chieáu chuyeån ñoäng thaúng, ñeàu goïi laø heä qui chieáu quaùn tính. 1.1.3 Khoâng gian vaø thôøi gian Khi chaát ñieåm chuyeån ñoäng thì vò trí töông ñoái cuûa noù seõ thay ñoåi trong khoâng gian theo thôøi gian. Thôøi gian trong cô hoïc coå ñieån ñöôïc xem laø troâi ñeàu ñaën töø quaù khöù ñeán töông lai, ñoàng nhaát vaø khoâng quan heä ñeán chuyeån ñoäng cuûa vaät chaát. Khoâng gian cuõng ñöôïc xem laø troáng roãng, ñoàng nhaát, ñaúng höôùng, coù 3 chieàu vaø tuaân theo hình hoïc Eudide, khoâng lieân quan ñeán chuyeån cuûa vaät chaát. Vaät lyù hoïc hieän ñaïi chæ ra raèng thôøi gian vaø khoâng gian laø hai phaïm truø vaät chaát lieân quan nhau vaø chòu aûnh höôûng bôûi chuyeån ñoäng cuûa vaät chaát. Tuy nhieân, khi nghieân cöùu chuyeån ñoäng cuûa nhöõng vaät vó moâ vôùi vaän toác raát beù so vôùi vaän toác aùnh saùng, caùc quan nieäm cuûa cô hoïc coå ñieån ñöôïc xem laø gaàn ñuùng vaø coù theå söû duïng ñeå moâ taû chuyeån ñoäng. Luùc ñoù coù theå xem caùc ñoä daøi vaø khoaûng thôøi gian laø nhö nhau trong moïi pheùp ño. 1.2 Phöông trình chuyeån ñoäng vaø Phöông trình quyõ ñaïo 1.2.1 Phöông trình chuyeån ñoäng Trong chuyeån ñoäng cô hoïc, vò trí cuûa moät chaát ñieåm seõ ñöôïc xaùc ñònh hoaøn toaøn neáu ta bieát 3 giaù trò veà soá ño cuûa toïa ñoä. Vaäy ñeå xaùc ñònh chuyeån ñoäng cuûa moät chaát ñieåm, ta caàn bieát vò trí cuûa ñieåm aáy taïi nhöõng thôøi ñieåm khaùc nhau, töùc caàn bieát vector baùn kính cuûa chaát ñieåm laø haøm cuûa thôøi gian : r r r = r (t ) (1.1) Phöông trình treân bieåu dieãn vò trí cuûa chaát ñieåm theo thôøi gian vaø goïi laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm. Vaäy, trong heä toïa ñoä Ñeàcac ta coù : x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) (1.2) Töông töï trong heä toïa ñoä truï ta coù : ρ = ρ(t) ; ϕ= ϕ(t) ; z = z(t) (1.3) Trong heä toïa ñoä caàu ta coù : r = r(t) ; θ = θ(t) ; ϕ= ϕ(t) (1.4) Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc - 16 - ÔÛ moãi thôøi ñieåm t, chaát ñieåm coù moät vò trí xaùc ñònh vaø khi t bieán thieân thì r chaát ñieåm chuyeån ñoäng moät caùch lieân tuïc, vaäy haøm r (t ) laø nhöõng haøm xaùc ñònh, ñôn trò vaø lieân tuïc cuûa t. 1.2..2 Phöông trình quó ñaïo Khi chuyeån ñoäng vò trí cuûa chaát ñieåm luoân luoân thay ñoåi, vaïch thaønh moät ñöôøng lieân tuïc trong khoâng gian, ñoù laø quó ñaïo cuûa chaát ñieåm chuyeån ñoäng. Hay coù theå xem quó ñaïo cuûa chaát ñieåm chuyeån ñoäng laø ñöôøng taïo bôûi taäp hôïp taát caû caùc vò trí cuûa noù trong khoâng gian trong suoát quaù trình chuyeån ñoäng. Bieát heä phöông trình chuyeån ñoäng coù theå suy ra ñöôïc phöông trình quó ñaïo baèng caùch khöû t khoûi caùc phöông trình ñoù. Chaúng haïn, trong heä toïa ñoä Ñeàcac, khöû t khoûi heä phöông trình (1.2) ta ñöôïc : f1(x,y) = 0 ; f2(y,z) = 0 f1(x,y) = 0 laø phöông trình ñöôøng cong C1 naøo ñoù trong maët phaúng (xOy), f2(y,z) = 0 laø phöông trình ñöôøng cong C2 naøo ñoù trong maët phaúng (yOz). Vaäy heä phöông trình moâ taû quó ñaïo chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm goàm hai phöông trình voâ höôùng ñoäc laäp, moãi phöông trình moâ taû moät maët cong trong khoâng gian. Quó ñaïo cuûa chaát ñieåm chính laø ñöôøng caét cuûa hai maët cong ñoù. Trong caùc heä toïa ñoä khaùc nhau, caùc phöông trình quó ñaïo noùi chung coù daïng khaùc nhau, nhöng chuùng cuøng moâ taû moät quó ñaïo xaùc ñònh. Quó ñaïo laø moät trong nhöõng ñaëc tröng cô baûn cuûa chuyeån ñoäng. Tuy nhieân, treân cuøng moät quó ñaïo, chaát ñieåm coù theå chuyeån ñoäng theo nhöõng qui luaät khaùc nhau. Vì vaäy, ngoaøi phöông trình quó ñaïo chuùng ta caàn phaûi bieát qui luaät chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm treân quó ñaïo ñoù. 1.3 Vaän toác 1.3.1 Ñònh nghóa vaän toác Ngoaøi vò trí, chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm coøn ñöôïc ñaëc tröng baèng vaän toác cuûa noù. Ñeå ñaëc tröng cho caû phöông, chieàu vaø ñoä nhanh chaäm cuûa chuyeån ñoäng chaát ñieåm, ngöôøi ta ñöa vaøo moät vector goïi laø vector vaän toác. Trong chuyeån ñoäng thaúng ñeàu vaän toác ñöôïc xaùc ñònh baèng tæ soá giöõa quaõng ñöôøng dòch chuyeån cuûa chaát ñieåm vaø khoaûng thôøi gian maø chaát ñieåm dòch chuyeån heát quaõng ñöôøng ñoù. Trong chuyeån ñoäng thaúng khoâng ñeàu, vaät chuyeån ñoäng luùc nhanh luùc chaäm vaø ôû moãi thôøi ñieåm chuyeån ñoäng ñöôïc ñaëc tröng baèng moät vaän toác khaùc nhau. *- Xeùt chuyeån ñoäng cuûa moät chaát ñieåm treân ñöôøng cong c : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc - 17 - Ta choïn moät ñieåm O treân ñöôøng c laøm goác vaø choïn chieàu döông laø chieàu chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm. Giaû söû ôû thôøi ñieåm t, chaát ñieåm ôû vò trí M xaùc ñònh bôûi hoaønh ñoä cong s(t), ôû thôøi ñieåm t + ∆t chaát ñieåm ôû vò trí M’ töông öùng vôùi s + ∆s. Vaäy trong khoaûng ∆t chaát ñieåm dòch chuyeån ñöôïc moät quaõng ñöôøng ∆s. Quaõng ñöôøng trung bình chaát ñieåm dòch chuyeån ñöôïc trong moät ñôn vò thôøi gian ñöôïc ñònh nghóa laø vaän toác trung bình cuûa chaát ñieåm trong khoaûng ∆t : ∆s v= ∆t Xeùt tröôøng hôïp haït chæ dòch chuyeån theo phöông Ox. Neáu trong khoaûng thôøi gian voâ cuøng beù dt haït dòch chuyeån ñöôïc moät ñoaïn ñöôøng voâ cuøng beù dx thì trong khoaûng thôøi gian aáy chuyeån ñoäng coù theå xem laø ñeàu vaø coù theå xem vaän toác taïi thôøi ñieåm t laø : ∆x dx v = lim = ∆t → 0 ∆t dt Vaäy vaän toác baèng ñaïo haøm cuûa toïa ñoä theo thôøi gian vaø noùi chung laø haøm cuûa thôøi gian v = v(t). Bieát bieåu thöùc vaän toác, coù theå xaùc ñònh ñöôïc quaõng ñöôøng ñi cuûa haït trong khoaûng thôøi gian cho tröôùc. Neáu choïn goác toïa ñoä taïi x = 0 laø vò trí cuûa haït ôû thôøi ñieåm t=0 thì vò trí cuûa haït ôû thôøi ñieåm t ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : t dx = vdt ⇒ x(t) = ∫ v(t)dt 0 Trong tröôøng hôïp toång quaùt, khi chuyeån ñoäng khoâng ñeàu vaø coù phöông thay ñoåi thì vaän toác cuûa haït ñöôïc ñònh nghóa laø moät vector, baèng tæ soá cuûa vector ñoä dôøi r d s chia cho khoaûng thôøi gian voâ cuøng beù dt ñeå haït ñi ñöôïc ñoä dôøi aáy. Goïi vector r v laø vector vaän toác, ta coù : ∆s ds v = lim = ∆t → 0 ∆t dt Neáu choïn taïi thôøi ñieåm t = 0 chaát ñieåm ôû goác 0 (s = 0), thì vò trí cuûa chaát ñieåm ôû thôøi ñieåm t ñöôïc xaùc ñònh : t s = ∫ v(t ) dt 0 Xeùt caû phöông, chieàu ta coù : r r ds v= dt r r Chieàu cuûa vector v truøng vôùi vector ñoä dôøi d s , töùc ôû moãi thôøi ñieåm, vaän toác höôùng theo phöông tieáp tuyeán vôùi quó ñaïo vaø theo chieàu chuyeån ñoäng cuûa haït. Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc - 18 - M r r τ v(t ) r ds M’ r r r r r r + dr v ( t + ∆t ) O Hình 1.1 r Vector vaän toác taïi moät vò trí M laø moät vector v coù phöông naèm treân tieáp tuyeán vôùi quó ñaïo taïi M, coù chieàu theo chieàu chuyeån ñoäng vaø coù giaù trò baèng trò tuyeät ñoái cuûa v. r Goïi τ laø vector ñôn vò, tieáp tuyeán vôùi quó ñaïo taïi ñieåm M vaø höôùng theo chieàu chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm, thì : r r r ds v=vτ= (1.5) dt r Vaäy vector vaän toác laø tæ soá giöõa vector dòch chuyeån voâ cuøng beù d s cuûa chaát ñieåm vôùi khoaûng thôøi gian voâ cuøng beù dt ñeå chaát ñieåm ñi ñöôïc ñoä dôøi ds. r r y giôø laáy hai vò trí voâ cuøng gaàn nhau cuûa haït, öùng vôùi caùc vector baùn kính Baâ r r r vaø r + d r . Roõ raøng laø vi phaân cuûa vector baùn kính d r baèng ñoä dôøi voâ cuøng beù r ds cuûa haït : r r dr = d s Vaäy coù theå vieát bieåu thöùc vaän toác : r r dr v= dt Vaäy, vaän toác cuûa chaát ñieåm taïi moät ñieåm naøo ñoù baèng ñaïo haøm baäc nhaát theo thôøi gian cuûa vector baùn kính taïi ñieåm ñoù. Thöù nguyeân cuûa vaän toác laø LT −1 vaø ñôn vò laø (m/s). 1.3.2 Bieåu thöùc cuûa vaän toác trong caùc heä toïa ñoä a) Trong heä toïa ñoä Ñeàcac : Ñoä dòch chuyeån vi phaân cuûa chaát ñieåm : r r r r d s = dx e x + dye y + dze z Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc - 19 - r r ⎡e x ⎤ ⎡ i ⎤ ⎢ r ⎥ ⎢r ⎥ ⎢e y ⎥ = ⎢ r ⎥ j ⎢e ⎥ ⎢ k ⎥ r ⎣ z⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Theo (1.5 ) ta coù : r r d s dx r dy r dz r v= = ex + ey + ez (1.6) dt dt dt dt r Goïi vx, vy, vz laø thaønh phaàn cuûa v treân caùc truïc toïa ñoä : r r r r v = vx ex + vyey + vzez dx vx = =x& dt dy vy = = y & Vaäy : dt dz vz = = z& dt Chaát ñieåm chuyeån ñoäng baát kì trong khoâng gian coù theå xem ñoàng thôøi tham gia ba chuyeån ñoäng thaúng treân ba truïc toïa ñoä Ñeàcac vôùi caùc vaän toác töông öùng vx, vy, vz. Ñoä lôùn vector vaän toác : v = v2 + v2 + v2 x y z (1.7) v cho bieát chaát ñieåm chuyeån ñoäng nhanh hay chaäm, coøn chieàu cuûa noù xaùc ñònh chieàu chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm treân quó ñaïo. r v r vy r v cos(Ox , v) = x , cos(Oy , v) = , cos(Oz , v) = z (1.8) v v v b) Trong heä toïa ñoä truï r r r r d s = dρ e ρ + ρdϕ e ϕ + dz e z r dρ r dϕ r dz r ⇒ v= eρ + ρ eϕ + ez (1.9) dt dt dt Caùc thaønh phaàn cuûa vector vaän toác trong heä toïa ñoä truï : dρ vρ = =ρ & dt dϕ vϕ = =ρϕ & dt Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù
Cô hoïc - 20 - dz vz = =z & dt Döïa treân tính chaát tröïc giao cuûa heä toïa ñoä truï, ta deã daøng suy ra giaù trò cuûa vector vaän toác : v = v 2 + v 2 + vz = ρ 2 + ρ 2 ϕ2 + z 2 x y 2 & & & (1.10) c) Trong heä toïa ñoä caàu r r r r d s = dr e r + r dθ e θ + r sin θ dϕ e ϕ r dr r dθ r dϕ r ⇒ v= er + r e θ + r sin θ eϕ (1.11) dt dt dt Caùc thaønh phaàn cuûa vector vaän toác trong heä toïa ñoä caàu : dr vr = =r & dt dθ & vθ = r =rθ dt dϕ v ϕ = r sin θ = r sin θ ϕ & dt Döïa treân tính tröïc giao cuûa heä toïa ñoä caàu, suy ra ñöôïc giaù trò cuûa vector vaän toác : v = v 2 + vθ + vϕ = r 2 2 & 2 + r 2 θ2 + r 2 sin 2 θ ϕ2 r & (1.12) 1.3.3 Vaän toác goùc vaø vaän toác dieän tích a) Vaän toác goùc Trong phaàn treân chuùng ta ñaõ ñöa vaøo caùc ñaïi löôïng ñaëc tröng cho söï thay ñoåi nhanh hay chaäm cuûa toïa ñoä goùc theo thôøi gian laø θ vaø ϕ, caùc ñaïi löôïng naøy ñöôïc goïi laø vaän toác goùc. Ñeå xaùc ñònh ñöôïc chieàu cuûa vaän toác goùc, ta qui öôùc nhö sau : r Neáu vector baùn kính r quay moät goùc θ theo chieàu vaën ñinh oác thuaän thì ñinh r r r oác tieán theo chieàu cuûa vector vaän toác goùc ω . Goïi n laø vector ñôn vò doïc theo ω , ta coù : Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù