Giáo trình Cơ sở giải tích hiện đại (Tập 4): Phần 2

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:136

Thêm vào BST

Báo xấu

128
lượt xem 37
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 Giáo trình Cơ sở giải tích hiện đại (Tập 4) trình bày về đại số Hinbe đầy đủ, định lý Plăngsơreiv — Gôđơmăn, lý thuyết phổ của Hinbe... Tham khảo nội dung giáo trình để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Cơ sở giải tích hiện đại (Tập 4): Phần 2

trên (lại số JiliH) (xét một toán tử compẳc V sao cho U(e )-~ n — ^n('„, trong đó các c n lập thành một r ơ sở hinbe và các. Ả,. là những số I> 0 sao cho chuỗi ^ Ã 2 hội tụ n h ư n g chuỗi n Ằn không hội l ạ ; XÓI thu họp của một vét / (giả thiẽt tồn n tại) lên (lại số các p h é p tự đồng cấu của k h ô n g gian v e c l ơ con lĩ sinh bởi các í k với chỉ số í n và sử dụng a)). 8. ĐẠI SỐ HINBE DẦY ĐỦ Trong toan d i ê m n à y , chủng ta g i ả t h i ế t rằng, đ ạ i sổ hinbe A lù đây đù ( đ o do, là m ộ i k h ô n g gian hinbè) đ ố i vói chuẵn li .1: lị = (x ị .vỹ' . Hon n ữ a , c h ú n g ta sẽ g i ả2 thiết rằng, á n h xạ song l u y ế n (x, y)->xy ciỉa AxA vào A là liên tục đ ố i v ớ i Chilian n à y (ta cỏ t h ề c h ứ n g tỏ ( t i ế t 12.16, bài toái) 8c) r ằ n g , đ ó l à m ộ t h ệ quả của n n ữ n g giả t h i ế t k h á c ) . M ọ i đ ạ i số con đóng và t ự liên hụpBcủa A h i ề n n h i ê n cũng là m ộ t đ ạ i số hinbe đ ầ y đ ủ . (15.8.1) Giả sử b là một ỉđêan trái đóng trong A, và với mọi í/$b ưa mọi xệ^A, iu đặt u ( x ) . . Ị} = h xg. Khỉ đó, b (cc) là một phép bữa diễn CHO đại số A trong không gian hinbc b. T r ư ớ c hết, theo .(15.7.5.3) v ( x ) là m ộ t t o á n t ử liên b tục trong b. Rỡ r à n g ta có Ư (xx') = u (x) u (x'). Theo b h b (15.7.5^2) v ớ i ỉ/, Z thuộc b, ta c ó (ừ ( x ) * . y ị z) = b = (y I u (X) . r ) = (y I xz) = b Ì Z) = ( ờ V ) \ y \ z \ b do đ ó , u ( ỉ ) * = Ư (x*); n g o à i ra, n ế u A c ó p h ầ n h b tử đ ơ n vị e thi U (e) l ủ t o á n t ử đ ò n g n h ấ t . b K h i b = A, ta v i ế t u (x) thay cho U (x) v à n ó i l ẵng, K u là phép biêu diễn chính qui của A. Theo (15.7.5.7), 174
lập biêu d i ê n nà}' là trung thành (15.5). Ngoài ra do ếb l i ê n tục của (.T, y)-*XỊỉ, x-*u (x) là m ộ t á n h xạ fẽn t i n h liền tục của /4 v à o £(A). Việc n g h i ê n c ử u các đ ạ i số hinbe đầv đủ dựa v à o v i ệ c ; c á c iđêan trái cực tiêu của chứng và c á c lũy đổng ịh r a chủng. lời m ọ i i đ ê a n trái ì của Á, ta ký h i ệ u Ì* là ả n h của ì a p h é p đ ố i h ọ p s — •>- .9* ; h i ề n n h i ê n Ì* là m ộ t i đ ê a n li. 15.8.2) Với mọi iđêan trái Ì của A, khủng gian con l^- s trực giao của bao đóng ì của ỉ là một iđêan trải. Vì ĩ là một i đ ê a n t r á i (15.1.3) n ê n ta có t h ề h ạ n chế t t r ư ờ n g họ-p k h i Ì là đ ó n g ; n ế u ỉ/ c Ì "'-"Và z £ A, ta (zy ị x) — (í/ I :*x) = 0 v ớ i m ọ i X ^ ì b ở i vì Ì là m ộ t han t r á i , t ừ đ ó , zỵ ^ Ì . [15.8.3) Giả sử c lờ mội lũy đẵng =f= 0 của A. Khi đó [ì) í e li > Ì; (ii) c* lù IÙỊỊ đằng ; . *• 'Hi) iđêan trái Ae là tập hợp các xệ: Ả sao cho x=xe; lá một tập hợp đủng trong A. Biêu khẳng đ ị n h t h ứ n h ấ t suy l ừ bất đ ẳ n g t h ứ c li e ti n e It
V ì (e^)* = c | e* = eiẽị n ê n r õ r à n g , b ) v à c ) l à t ư ơ đ ư ơ n g . N ế u ( e I eầ) = 0 t h ì , t h e o (15.7.5.2) v à (16.7.5.! t ta suy r a 0 = (eị ị e\ Ị = ( f t l « 2 Ie i 6 2 ) = li e l C ỉ li ,2 do đ ó , a) k ẻ o theo h ) . N g ư ợ c lại, nếu = 0, t a c ó («1 I e ) = (e\ 2 Ịe ) = 2 (e t I e i c ) 2 = 0, d o đ ó , b ) k é o theo a). ( 1 5 . 8 . 5 ) Mọi iđêan trái ỉ ịoị c ủ a A đ ề u c/ỉíí-a m ộ / / đàng tự liên hơp i= 0. G i ả s ử . r ạ= 0 t r o n g Ì ; k h i đ ó , r = x * x =4= 0 (15.7.5 v à 2 Jà m ộ t p h ầ n t ử t ự l i ê n h ọ p t r o n g ỉ. N h à n v ớ i * n: vò h ư ớ n g t h ự c =/•= 0 v à k ý h i ệ u u l à p h é p b i ê u ( l i c h i n h q u i c ủ a A ( l õ . 8 . 1 ) , t a c ỏ t h ê g i ả t h i ế t r ằ n g , li U(z) li = Ì ; t ừ đ ó , t h e o (15.8.1) v à (11.5.3), ta k ế t l u ậ n r a i z li U(z ) li = Ì ; VÌ v ậ y , b ằ n g t r u y t o á n t h e o tì t a n h 2 đ ư ợ c li U(z ) li = 1. M ặ t k h á c , ta c ó k 1 k ỵ | ứ ( z + ) li = lị U(z) U(z ) li < li U(z) li . li U ( z ) li H I U(z k v ớ i m ọ i Ả:; v i d ã y c á c lì ư(z ) li l à g i ả m v à c ó v ô s ố s ố h ạ k b ẵ n g Ì n ê n li (J(z ) li = Ì v ớ i m ọ i s ố n g u y ê n k. T ừ đ ó k ế t l u ậ n r ằ n g li z li > Ì / k li u li v ờ i m ọ i k. C h ú n g t a 2k t h ầ y r ằ n g ( 2 ) là m ộ t dãy Côsỉ t r o n g k h ô n g g i a n h i n A. G i ả s ử li, p l à h a i s ố n g u y ê n > . 0, m == n 4 - P- T a = li U(z*) . Z 2 D li 2 < (z2° I z 2 n ) và 2 m 2 m D 2n + 2 a 2 m (z I£ ) = li U(zV).zV+* li 2 < (zP+ I zP )=(2 Ir t ừ đ ó , c u ố i c ù n g ta c ó v ớ i m ; > n ĩ n Ì / li í / li < (z 2 m I^ 2 m )< (z 2 m Ị z 2 n ) < (z °Ì z 2 ). 176
phi n à y t r ư ớ c hết c h ứ n g tỏ r ằ n g , d ã y các li z 2 n li 2 là ậ m và có g i ó i h ạ n a > 0 ; n g o à i ra ta cỏ li rrĩm _ -2n li 2 _ ^_2m , _2m^ _ _ 2 (-2m Ị z 2n) _|_ 2 n 2 n 2 n 2 + (r Ir ) < li r li - ứ t đ i e u n à y kết t h ú c c h ứ n g m ì n h k h ẳ n g đ ị n h . N h ư v ậ y , 2k |v ( ~ ) cỏ một g i ớ i h ạ n e. T ừ t í n h liên tục và do - là 2 4 k • l i ê n h ợ p , h i ề n n h i ê n ta có c = l i m ( r ) = e, e* = k-> 00 2k lim (z*) = e và c u ố i c ù n g , ez — l i m z + = e, 2 2 k 2 k->°° k-^-oo l y « ỉ 1. Ngoài ra, vì li 2 li > l ỵ li Ư li v ớ i m ọ i Ả: > Ì k gằn ta cũng cỏ li e li > 0, đ i ề u n á y kết t h ú c c h ứ n g m i n h . I Ta n ó i r ằ n g , m ộ t lũy đ ẳ n g t ử liên h ọ p e =f= 0 là khả ui, nếu t ò n t ạ i bai l ũ y đ ẳ n g t ử liên h ọ p trực giao e ,e l 2 h á c k h ô n g sao cho e = (ĩị + e ; k h i đ ỏ , theo (15.8.4) 2 í c ó ee = e e — e ce = r e = ^2- 1 x ìtk h ô n g là k h ả z 2 e ta n ó i r ằ n g , e hi bất khả qui. ' (15.8.6) (i) Mọi lũy đẵng tự Hèn hợp e --ệ= 0 là tòng của tột .số hữu hạn lùi] đảng lự liên hợp bối khả qui thuộc Ae. Mọi idêan trái Ì =f-- ỊOỊ (ữ'11 chửa một láy đẵng tự l ện hợp bất khả qui]. É RỔ r à n g là, ( i i ) suy í ừ (i) và t ừ (15.8.5), do đ ó , ta chỉ In chửng m i n h ( i ) . N ế n li e, li < 2 thì e là b ấ t 2 khả qui, 2 |ri vì trong t r ư ờ n g hợp trái lại ta s ẽ c ó li e li = li Í>1 li -f- 2 I li e li , tron
2 đ ó , e v à e đ ề u t h u ộ c Ae ; n g o à i r a ta cỏn e j li = li eẶ -- x 2 2 2 - li 4 li < li e li - 2 2 Ì < Ạ - 1. v à t ư ơ n g t ự , li e li < 2 < / i — Ì , v ì v ậ y ta c ó t h ề á p d ụ n g g i ũ t h i ế t t r u y t o á n , V điều này kết thúc chứng minh. M ộ t i đ ê a n t r á i ì t r o n g Ả đ ư ợ c g ọ i l à cực tiều, n ế u l i k h ô n g q u i về 0 v à k h ô n g t ồ n t ạ i m ộ t i đ ê a n t r á i n à o c h ứ a t r o n g Ì k h á c ịOị v à k h á c 1. C ũ n g n h ư v ậ y ta din nghĩa i đ ê a n phải cực t i ề u . ( 1 5 . 8 . 7 ) Đề mội iđêan trái Ì trong Ả lá cực tiều, càn V đủ là nó cỏ dạiựi Ì =Ae, /rong (ló c là một lũy đẳng lự Hè, hợp bất khả qui 4= u. N ế u Ì là c ự c t i ề u , thì n ỏ c h ứ a m ộ t ỉ ũ v đ ẳ n g t ự liê] 2 h ợ p b ấ t k h ả q u y V ----- 0 ( l õ . 8 . ( í ) , và ta c ó ÁP a Ì v à e—e ệ; ^ Ae ; v ậ y Ae = ỉ. Sịịvcợc l ạ i , g i ả s ử (> là m ộ t l ũ y ăĩxiìị t ự l i ê n h ợ p b a i k h ả q u y =f= ơ, ta c h ứ n g m i n h l ẳ n g , \=Ải l à c ự c t i ề u . T a gia t h i ế t rằng, Ì chứa một iđêíin trái Ì k h á c ỊOỊ v à k h á c Ì ; g i ả s ử ế là m ộ t l ũ y đ ẳ n g t ư l i ê n h ợ i =Ị= 0 c h ứ a t r o n g ì' (15.8.5). Ta c ó t h ê v i ế t 0 — e + í'2 v ở x e — eể v à Cị = (' ~ e.f ; ta c h ử n g t ỏ r ằ n g , e j v à ('., li 2 những lũy đẳng tự liên họ-p trực giao. B ở i vì Ae, tí 2 c ó è = c'e (15.8.3), do đ ó eị ~ rè eo' = eể = éc' — e e e e e e e ''l 2 = ( l — ''2) 2 = "» 2 l =•• 2 ( — ^2) = 0,
' Đ ỗ ý (15.8.G) và (15.8.3), ta nhận đưọ'c hộ quít sau : (15.8.8) Mọi iđr.an trái. của . I đều chứa mội iđèan trái te tiền; mọi iđran trái cực nhi đìu là đóng. (15.8.9) (i) Sếu (', e lủ hai lũi/ đang tự liên hợp trực [ao, thì các iứran trái Ac vù Ác' là trực (ỊÌao. ( i i ) (ìiả sử . . là mội họ hữu hạn nliừng lây ẳng lự Hèn hợp iừnq c(i;> /rực (/lao. Vói mọi X A, n — xei là trực (ỊÌao với nin ì Ảo ị ( Ì
đẳng tự liên hợp e =fz 0 trong l sao cho e(.v*x) = (', de 2 đ ỏ , ex* càng =ị= 0, và vì vậy, xe — (ex*)* 0; vi (ỉ li tồng c ủ a một số hữu hạn những lũv đẳng tự liên hự] bất khả quỵ thuộc Ae (15.8.fi) n ê n c ỏ ít nhat một trorií những lũy đẳng này khi nhản v ó i X cho một p h ì i tử =£=0. Bây giữ ta nhận x ó t rằng, nếu (>j)j 0 V(Vi mọi í, [hi theo (15.8.9 ta nhất thiết c ó ^ li 2 = -r li a^i li 2 > £ 2 li .re; l i , i —Ì Ì 2 do đ ó , /ỉ < li .1 li ịx. Bầy giờ hằng truy toán ta xác đ ị n h một dãy tăng (cp(/7» những số n g u v ê n 0, một đ ã \ (hữu hạn hoặc v ô hạn) (í?k) n l u r n g lũy đẳng tự liên li ợ J bất khẫ quy từng cặp trực g i a o và thuộc Ì, và một d ã \ (• )n">0 " h ù n g phàn tử thuộc A theo cách sau : . r = X Tn 0 cp(0) = 0 ; ta giả thiết rằng, cp(n), các (\ với Ì „; k < (pin) đẵ đ ư ợ c xác định vả giả sử .(•„ = r —- xeỵ. Nếu X D = 0 thi d ã y ( e i c ) là hữu hạn và c ó Cf(/i) phần tử, ta J í í -V ( x —x =Q m n vời /71 > tì, ẹ(m) = (Ị(li) v ớ i ni > /1. Nếu .T„ 4= thì ta lấy một dãy hữu hạn (có thê rỗĩi li X li /2"-i v à c ỏ s ố r l à rô' / ứ n n M / có //ỉ? trong tất cả các dãy hữu hạn c ó c á c lính chất đ ỏ ( t r ê n kia ta đ ã thấy rằng, số này là < 2" i ) . K h i đ ó ta đại 1 180
j(/ỉ + 1) = rp(/j) + r, r k = v ớ i k = (p(/l) + í", Ì < í" < /•, r .re'j. N ế u k h ô n g m ộ t .ĩ',, n à o l à 0 t h ì 1=1 lẩy (rp(/ỉ)) d ầ n t ỏ i + o o , h ả i v ì , n ế u d ã y n à v l à b ị c h ặ n h ì ta c ó li X ỊỊ / 2 " thì s ự t ồ n tại của (•" m â u Ịhuẫn với tính cực đ ạ i của h ọ n h ữ n g ti v ớ i rp(/ỉ) • < ì Ễ ẹ{" L - Ọ. D.P.C.M.' 181
(15.8.11) Già thiềt rằng, đại số Ả là khả ly. Khi đó, li ì ĩ iđêan trái đóng b là tong hinbe của một dãy (Âữu hạ hoặc vô hạn) những iđcan trái cựa tiều lu — Ae (e / n n lũy đẵng tự liên họp bãi khả quy). Với mọi X ^ b, ta c X — ^ xen và vói mọi X, y thuộc b, ta có (.X ị ý) - n ti Đ ẽ ý r ằ n g , xe là h ì n h c h i ể u t r ự c giao của X lên Aé n (15.8.9), ta SUY ra là, các đ i ề u k h ẳ n g đ ị n h c u ố i l à n h ũ n : h ệ q u ả của đ i ề n k h ẳ n g định đ ầ u và của đ ị n h nghĩ; t ồ n g hinbe (6.4). Dê c h ứ n g m i n h đ i ề n khang đ ị n h đ ầ u ta x u ấ t p h á t t ừ m ộ t dãy trù m ậ t k h ắ p n ơ i ( - V ) - j tron) N b (3.10.9) đ ề xây d ự n g b ằ n " truy l o à n , v ớ i mỗ>i n, m ộ dẫy ( e , i ) [ ^ Ị h ữ u hạn hoặc vò h ạ n n h ữ n g l ũ y đ ẳ n g t i n l i ê n hợp b ấ t k h ả q u i theo c á c h sau: ta l ấ y (c „i)ịíZị l li m ộ t dãy n h ữ n g l ũ y đ ẳ n g l ự liên h ọ p hất k h ả qui t ử n g cụ] t r ự c giao, t h u ộ c b, và sao cho .I'j = ^ . I J C I , ; (ÌÕ.
: .T' +I n e„-ri.i (15.8.10). Theo (15.8.9) và (6.4.2) r ổ i trig h ọ kép (í> ) dược xếp Ihành m ộ t dãy (íĩr,) c h í n h là n)i ỉy c ầ n tìm. Bạc biệt, ta có the á p dụng đ ị n h lý n à y cho b = A và n h ậ n đ ư ợ c m ộ t dinh lý vè k h a i t r i ề n Ả t h à n h t ố n g nhe của n h ữ n g i đ è a n t r á i cực t i ễ u ; càn n h ậ n xét r ằ n g , bì chung, t ò n l ạ i vò sổ n h ũ n g khai t r i ề n n h ư vậy (xem 5.8.14)); c h í n h xác hon, ta c ó : (15.8.11.1) Giả thiết r
(i) N ế u g: I - * r l à m ộ i p h é p đ ồ n g cấu của .4-môđi v à a=q(è), t h ì v ớ i m ọ i X SE Ì ta c ó g(x) = g(xe) = X') = ;ỈYZ (15.8.3, ( i i i ) ) ; vì a ^ r n ê n t a c ỏ a = ae' (15.8. 2 (iii)), và m ặ t k h á c , a = q(e ) = eg(e) = eạ, do đ ạ $ eAe' và ọ = f . Rõ r à n g là eAc' cz CẢ r\ Ae'; n g ư ' a l ạ i , n ế u Ị / ^ d A -le', ta c ó Ị/ = ý e ' v à y = eiỊ (15.8. (iii)), vậy y — eụe'. A n h (7(1) là m ọ t i đ ê a n trái chi t r o n g r, do đ ó , c h ỉ có t h ê h o ặ c l à ịoị h o ặ c l à Ì ' ; C Ũ I n h ư v ậ y , hạch g-\ũ) là m ộ t iđêiin t r ả i chứa t r o n g do đ ó , hoặc bằng Ì hoặc hằng- ỊOị ; n ế u Ị f / ( 0 ) = Ì, ta I _ 1 g(l) = ị o ị ; n ế u k h ô n g t h ế , ta nhất t h i ế t có g(l) =p ị( do đó, g(l) = ì' MÀ q là song á n h . C u ố i c ù n g , n ế u /*a — ta ùhíít thiết c ó f (e) = ea — 0 ; n h ư n g vì a ệ PẢe' ru 0 ea — a v ạ y a = 0. ( l i ) c — đ ạ i số ('Ae là m ộ t đ ạ i số con đ ó n g c ủ a (15.8.3, ( i i i ) ) ; n h ư ta đ ã t h ấ y t r o n g ( i ) , m ọ i p h ầ n t ử oi E n d ( l ) hoặc là k h ô n g , hoặc k h á n g ư ợ c , do đ ó , E n đ ( A A là m ộ t trường, v ậ y eAe cũng là m ộ t t r i r ờ n g . Rỗ r ; ' i n e l à p h ầ n t ử đ ơ n vị của ('Ae, và vì Ả là m ộ t đ ạ i số kì chuỉĩn (15.1.8) n ê n t ừ đ ị n h lý Ghenphan — Madua (15.2. ta k ế t r ằ n g , eAe — Cớ. (Hi) N ế u Ì và r là k h ô n g đ ẳ n g cấu t h ì theo (i) ta nh t h i ế t có eAe' = ỊOỊ, và nói r i ê n g , ee' = ú, vậy e và ế t r ự c giao (15.8.4); t ư ơ n g t ự n h ư vậy cho Ì và r (15.8.' ta c ó l i ' = ịoị. N ế u Ì và V là đ ẳ n g cấu và g là m ộ t phê đ ẳ n g cấu c ù a Ì lên r thì m ọ i p h é p đ ò n g cấu k h á c cí Ì v à o r đ ê u có dạng g o li, trong đ ó li là m ộ t p h é p t đ ò n g cấu của Ì ; do đ ỏ , iheo (ì) và ( i i ) , eAe' là nu C-không gian v e c t ơ v ờ i số c h i ề u 1. R ổ r à n g , l i ' l à m< i đ è a n t r á i chửa t r o n g r, và vì n ó chứa cAe' =j= ịoị, nô n h ấ t t h i ế t p h ả i bằng r . (iv) Vì l.v là ả n h của ì qua p h é p đ ò n g cấu í/ - > yx củ ì vảo A, n ê n n ó là m ộ t i đ ô a n t r á i đ ẳ n g c ấ u v ớ i I / I 184
'rong đ ó V là hạch của phép đ ồ n g c ấ u t r ê n . N h ư n g vì Ị' chỉ cỏ t h ế hoặc bằng 0, hoặc bằng Ì, n ê n ỉ/ - V yx hoặc ià k h ô n g , hoặc là đ o n á n h . . (15.8.13) Giả thiết Á lá khả ly. Khi (tò (ĩ) Tòn iại một đãi/ hữu hạn hoặc vô hạn những ậếan / r á i cực nhi từng cặp không đổng cấu sao cho mọi đêan trải arc tiều của A là mòi A-môđuii đung cấu với nót trong những Ik-?* (ii) Với mọi chỉ'Sổ />- J, ban đóng của tong tut cả các đêan trái cực nêu của A đẵng cấu với lỵ là một iđẳan lai phía tự liên hợp a . Mọi iđảan trái cực tiêu của đại số k ùnbe a là mội iãèan /rái cực tiều của A đẳng cấu với lỵ k 'ủ dại sổ a ỉihòiiq chừa một iđran hai phía đóng nào khác k
chính nó, mà điều này là vô lý. Lập luận tương t c h ử n g tỏ rằng, ỉ trực giao v ó i tốt c ả c á c ah v ô i h =Ị= t r o n g J , m à aỵ là p h à n b ù t r ự c giao c ủ a t ô n g h ì n b e củ -các ah v ớ i c h ỉ s ố li 4= k, n ê n ta n h ấ t thiết c ó Ì d at. T đ ó ta đ a kết l u ậ n được rằng, a k l à bao đống của tồn tất c ả c á c i đ ê a n t r á i c ự c t i ề u c ủ a Ả đ ẳ n g c ấ u v ớ i Ik, V đ i ê u n à y c h ứ n g m i n h r ằ n g , a không k phụ thuộc v à o c á c khai triền A t h à n h lổng hinbe của c á c r„ m à ta xui p h á t . N g o à i r a , v ớ i m ạ i X ê A f à m ạ i n ^ lỵ, Y x Ì n m ộ t i đ ê a n trái h o ặ c b ằ n g k h ô n g , h o ặ c đ ẳ n g c ấ u vé I'n ( l õ . 8 . 1 2 , (iv)), do đ ó , c h ứ a t r o n g au, d i ề u n à y c h ư n t ỏ r ằ n g , a t l à m ộ t i đ ê a n hai p h í a . N ế u l'n = Ae'n, tron đ ó e' l à m ộ i l ũ y đ ẳ n g tự l i ê n hạ-p hất k h ả q u i , ta c n ỉ ' * = e' A, n v ậ y theo t r ò n , a* — a . k Giả s ử Ì " l à m ộ t i đ ê a n t r ạ i c ự c t i ề u c ủ a đại sỗ hình a ; ta c ó Ì" = a ^ " , trong đ ó e" k lá m ộ t l ũ v đ ẳ n g ti l i ê n h ạ p ( l õ . 8 . 7 ) , v à la k h ô n g the c ó e e" n — 0 với m ọ Jỉ lỵ, v ì n ế u k h ô n g , Ì " s ẽ ( r ự c giao v ớ i tất c ả cái l'n v ớ i n ^ lỵ, do đ ó , v ớ i bao đ ó n g au c ủ a t ồ n g củi c h ủ n g , m à đ i ề u n à y l à v ỏ l ý vì Ì " ---Ị= ị O Ị . V i v ậ y , t ồ n tạ t n h ấ t m ộ t c h ỉ s ố /Ì
[ v à k h á c [OỊ. T ừ ( l ă . 8 . 1 3 ) ta suy r a r ằ n g v i ệ c n g h i ê n l u c ấ u t r ú c c ủ a m ộ t d ạ i sổ h i nhe đ ầ y đ ủ k h ả l y A h o à n làn c ó thê đ ư a v ề việc n g h i ê n c ứ u c á c H u , n ó i c á c h Ị á c , đ ư a v ề t r ư ờ n g h ọ p k h i .1 l à đon ỉỏpò. (ì 5 . 8 . 1 I) Giả sử A lá mội dại .vố hi ti lít' khả ly đay đủ ị đem tôpô. Với mọi iđừ.an [rái cực nhi ỉ của A, phép l u diễn X -* Uị (x) của Á trong không gian hinbe Ì là ung thành. 'Nếu A là vỏ hạn clìĩảii thì ỉ ái ne/ là 1>Ò hạn chiên ; ảnh la A quít Vị là đại si) Z. Ọ ) các Loàn lừ ỉỉinbe- 2 Smii trong 'lõ.à.8) và tôn lại mỏi hùng số Ỵ J> 0 sao cho (15.8.14.1) T (X ị lị) = ( t / j (.r) I Uị ( y ) ) ối với tích vò hướng xác. đình trong (15.7.4)). A'?u Ả Là hữu hạn chiêu lliì ảnh của A qua Vị là đại sứ ^ n d ( l ) tất cả các phép c lự đíìnq cấn của không qian ịectơ Ì , nà ta cùng cỏ hệ í hức (í !).:>.14'.í) đối vời tích vô ịướng xác đinh tronq (15.7. {xuất phát từ tích vỏ lương trong Ì mà là tim hẹp của lích vù hưửnq trong A). T a cỏ t h ề g i ã t h i ế t ràiiặặ, Ả là l ồ n g h i n b e của m ộ t d ã y hữu h ạ n hoặc vò hạn) n h ũ n g iđêan trái cực tiêu ó = Ae v ớ i Ì ••= ì ị (15.8.11.1), v à t ấ t c ả c á c In l à đ ẳ n g n ấ u (15.8.13). N ế u la c ó l\ị.v) = 0, l ứ c l à xỉ = ặOj hì t a suy ra (A.r) Ì — v;ì v i i d ô a n A.r là + ỊOỊ n ê n [ó c h ứ a m ộ t i d è a n t r á i c ụ c t i ề n r (15.8.8) n h ấ t t h i ế t [ ẳ n g c ấ u v ớ i Ì ( l ã . 8 . 1 3 ) , k h i d ỏ ta c ỏ n = Ị ( ) j , m â u t h u ẫ n ỏ i (15.8.12, ( i i i ) ) . P h é p h i ế u d i ễ n Vị, (lo đ ó , l à t r u n g h à n h . T a đ ặ t /*„ — Vị ( > ) ; (ỉó ]à hình chiếu /rực giao c ủ a n ;= Acị t r ê n k h ô n g g i a n con vời số chiều Ì (15.8.12) l ở i vì (xei — CnXCị ị e ỊỊ:(',, Ui cù P J ' r . ~ 0, đ o đ ó , c á c 187
k h ô n g gian con e Ae là từng cặp trực giao. N g o à i ra, Ì u l tòng hinbe của các k h ô n g gian con r Ae.j, b ỏ ] v ì nếu n t r ự c giao v ó i tất cả c á c k h ô n g gian con n à y t h i ĩ\{xe< = 0 vái m ọ i /ỉ, t ứ c là í> .TỂj = 0 với m ọ i 77; d o đ ỏ , n cũng t h u ộ c cái l i n h hỏa b ê n p h ả i của .4, m à cái l í h ó a n à y q u i v ề 0 (15.7.5.7). Đ i ề u n à y c h ứ n q t ô r ằ n g , dãy l là hữu hạn, c ầ n v à đủ là, ì (và (lo đ ỏ , m ỗ i !„ n Mu hạn c h i ề u t r ê n c, tức là A là /ỉ'7'íỉ hạn c h i ê u . G i ả sử (ù,,) là m ộ t c ơ sỏ- hinbe của ỉ sao cho rt„ €E e Aei; D ta c ỏ a a* n ^e Ae„, n đ o đ ỏ , e„) v à mặt k h á c , Ì = (a„ I ÚT.,) = ( « n ị « n C i ) --= (a* (la ị ei) — A (c! n i v ậ y ta cỏ (15.8.14.2) (e n Ic j = {e, I v ớ i m ọ i n, và tất cả c á c Ằ cỏ c ù n g m ộ t n giá [ _ 1 Ỵ = (Cj j C i ) . Vi vậy, v ớ i m ọ i X, Ị] t r o n g Ả, ta c 188
le I yon} = (y*x ị a a* n ) = (y*x ị je ) n = y(xe n ị ye„); ĩ h u ỗ i v ớ i số h ạ n g t ồ n g q u á i (xe ị ye ) h ộ i tụ tuyệt n n và c ỏ t o n g là (a; I ự) (15.8.11), n ê n ta t h ấ y r ằ n g , n ế u i V Ô h ạ n c h i ê u t h ì ỉ'ị (x) l à m ộ t t o á n t ử H i n b e — S m i t •a c ó h ệ t h ứ c ( l õ . 8 . Ì 1.1); b ở i v i A l à m ộ t k h ô n g g i a n be, n é n ả n h c ỉ a n ó q u a Ỉ7j c ũ n g v ậ y , v à đ ê c h ử n g ih r ằ n g , ả n h n à y l à t o à n k h ô n g g i a n h i n b e £ ậ ) z 4.8), t a e h ỉ c ầ u c h ứ n g t ỏ r ằ n g , n ó ỉrừ mật t r o n g L ( l ) . 2 rng, vời ni n ta c ó e Aem n . e A(^ n r (Ae ) m n (AỂ"I) = e Ae m l 812, ( i i i ) ) v à v ì c Aeí n — Cơn, n ê n t ò n t ạ i e mj> ^ e Aem a c cho e a mn a = am ( đ i ề u n à y k é o theo e mn = Ỵ- a a*), 1 m í h i ê n n h i ê n ta c ó f « p = 0 v ớ i p =f= n. T ừ đ ỏ t a k ế t m n in rằng, / í = Uị(e )m n là p h é p t ự đ ồ n g c ấ u l i ê n tục mn a t h ô n g g i a n h i n b e Ì sao cho E . a = a ,E mn. a— n m m n p 0 với p ^ /ỉ. V i c á c to h ợ p t u y ế n t í n h h ữ u h ạ n c ỉ a ữiíg E mn là t r ù m ậ t k h í i p n ơ i I r o u g £ ( l ) (15.4.8) n ê n 2 đ o ta suy r a d i ề u k h ẳ n g đ ị n h . T a c ũ n g s ử d ụ n g l ậ p L n t ư ơ n g t ự n h ư n g (lơn g i ả n h ơ n c h o ' t r ư ờ n g hợp k h i là h ữ u h ạ n c h i ề n . Ta n h ạ n x é t r ầ u " , t r o n g m ọ i H ư ờ n g h ọ p , c á c Ui ( l ) c ó n ị phần t ừ ki n h ữ n g phê]) t ự đ ồ n g c ấ u d ạ n g U(x)oP , a ộ x l ậ p t h à n h h ỏ i c á c p h é p l ự đ ò n g c ấ u t r o n g Ì c ó hạng õgl. fis.8.15) V ớ i các giả lìúếl của (15.8.lí), nếu tòn tạ. ịf /han lử --Ị-- (I troiHỊ tàm của A thi A là hữu hạn chiều 1 tó, tám của Ả là Cu, trong đó li lủ phần tử đơn vị ĩ A. Thực v ậ y , n ế u c £ A t h u ộ c l à m c ỉ a A t h i Ui ( c ) l à m ộ t ẻ p t ự đ ò n g c á u c ỉ a A-môđun ì, do đ ó l à m ộ t p h é p v ị 189
t ự .T - * x.r v ớ i c (15 8.12). N h ư n g m ộ t p h é p v ị t ự l à m ộ t t o á n t ử I ỉ i n b e — S m í t t r o n g m ộ t k h ô n g gian v ố h ạ n c h i ê u chỉ c ó t h ê k h i n ó là k h ô n g . ( 1 5 . 8 . 1 6 ) Giã sử A là mội đại số hinbe đầy đả và khả ly, ãỵ ực ^ J ) lù những đại s ố hinbe đơn lòpó cỏ A là tống hinbc (1Õ.H.Í3), và với mối k ^ .ì, lỵ là một iđèan trái cực tiêu của &ỵ. Già sử V là một phép biêu diên không.suy biến (/..)..5.ó) của A trong một không gian hinbe khả ly H sao cho V: A -> £(H) la liên tục. ( i ) H là tống hi nhe của rác kliònq giun con Hỵ (k fg ,/) ồn đinh đối với V .sao cho nêu Yỵ là tỉm hẹp của V lén ị Hỵ ta có Vk(.v) — 0 vời s
Ịch l ê u , đ o đ ỏ , đ ỏ n g (ã.9.2) n é n bằng H. Vỉ v ậ y , chỉ c ầ n l ậ p l u ậ n bẳn 1) thi í l \ là ồ n đ ị n h đ ố i v ó i V v à V là tung h i n b e c ủ a c á c p h é p b i ê u diễn Vk — thu h ẹ p c ủ a V l ê n : ĩ ỉ \ ; m ỗ i p h é p l)iỉ u áivn n à v Hi b i ê u d i ễ n c i c l i c v ớ i /'ki l à m ộ t v e c t ơ c i c l i c b ở i vì / í Ì . 6 k Ì = í>kl. C h ứ n g tỏ rịng, p h é p b i ê u d i ễ n này t ư ơ n g đ ư ơ n g với p h é p b i ê u d i ễ n Vị' 19Ĩ
2 . G i ả s ủ - i / l à m ộ t k h ô n g gian Hinbe v ô h ạ n c h i ề u , A= £z(ỉi) l à d ạ i s ố B a n ắ c c á c t o à n t ử H i n b e — S m í t trong H, B Hà m ộ t đ ạ i s ố c o n tự l i ê n họ-p ( l ó n g c ủ a Ả. C h ứ n g t ỏ rằng, t ò n t a i một k h a i t r i ề n c ủ a H t h à n h tồng h i n b e c ủ a một k h ô n g gian e o n Ho v à m ộ t d ã y ( h ữ u h ạ n hoặc v ô h ạ n ) n h ữ n g k h ô n g gian com đ ó n g Ilk ồ n đ ị n h đ ố i v ớ i B và c ó c á c t í n h c h á t s a u : 1 ° . c á c thu hẹp l ê n Ho c ủ a các toán tử t h u ộ c B đề u- bằng kbÔDg; 2 ° . m ỗ i Hí l à t ố n g hinbe c ử a m ó t d ã y hữu han (llkó) A/n làg ả n h x ạ c h í n h t ắ c : c h ú n g ta n h ắ c l ạ i r ằ n g , A/ĩig được t r o n g bị c h í n h tắc b ố i một c á u t r ú c đ ạ i s ố h i n b e (15.7). S a u đ â y c h ú n g t a s ẽ giả thiết r ằ n g , k h ô n g gian t i ê n h i n b e A/n g l à khả ly, do đ ó , l à m ộ t k h ô n g g i a n c o n trù mật k h ắ p n ơ i c ủ a m ộ t không gian hinbe khả ly m à ta k ỷ h i ệ u l à Hg. Vì v ậ y , x u ấ t p h á t từ (J ta n h ậ n đ ư ợ c m ộ t c á c h c h í n h tắc m ộ t p h é p b i ế u d i ễ n c ủ a A t r o n g Hg (15.G.10) m à ta s ẽ k ý h i ệ u Ug; ả n h c ủ a A q u a ơ g l à m ộ t đ ạ i s ố c o n giao h o á n v à đ ố i h ọ p (15.5.1) c ủ a £(Hg); c h ú n g ta 192
ký h i ệ u c4 là bao đỏng của n ó t r o n g £(Hg), v à n h ư s vậy'; bao đ ỏ n g n à y là m ộ i đ ạ i số sao giao h o á n (do đ ó , lập t h à n h bời c á c t o á n t ử chuỉỉn tắc (15.4.11)); sau đ â y ĩ h ú n g ta sẽ giả thiết l ằng, đ ạ i số n à y là khả ly ( đ i ề u này k h ô n g phải là hệ quả của t i n h k h ả ly của A/n , xem g bài t o á n Ì ) M ộ t t r ư ờ n g hợp riêng của vết t r ê n A (do đ ó , c ũ n g ỉinh m ộ t song vết theo cách chinh tắc (15.6.2)) là đ ư ợ c cho b ở i c á c đặc trưng hinbe của .4 : ta g ọ i là đặc trưng hinbe của A, m ọ i đấc t r u n g X của A (15.3) t h ỏ a m ã n (15.9.1) X(.r*) = X(x), 2 R õ r à n g ta cỏ X (x*x) = I X(x) Ị > 0 và v ợ i g(x, ụ) = l(y*x) = X(a;) đ i ề u k i ệ n (Ư) cửa (15.G) h i ê n nhiên đuọ'c thỏa mãn, b ơ i vì 2 2 2 g(si, si) = I %(s) I I xụ) I = I X(s) ị g(t, í); m ấ t k h á c , i đ è a n n , k h i đ ó là hạch của X, là m ộ t g siêu p h à n g của 4 ' , (lo đ ỏ , đ ạ i số A/n„ dồng n h ấ t v ớ i c, và điều 2 k i ệ n (N) đirợc suy ra ngay, vỉ n ế u l(x) 0 t h i l(x ) =f= 0. P h é p b i ê u d i ễ n t ư ơ n g ứ n g Uy h i ê n n h i ê n là bắt k h ả qui. C h ú n g ta sẽ ký h i ệ u H ( / l ) l à tập h ọ p c á c đấc t r ư n g A h é c m i t .của .4 ; đ ó là m ộ t p h ầ n của k h ô n g gian tích C , đóng đôi v ớ i t ô p ỏ tích (3.15.1) ; c h ú n g la sẽ t r a n g bị H(.4) t ò p ò c ả m sinh bởi t ô p ô lích n à y (3.15.1) (nói c á c h k h á c , t ô p ô yếu (12.15)). K h i A là một đ ạ i số Banắc đ ố i h ọ p , giao h o á n , k h ả l y và cỏ p h ầ n t ử đ o n vị e 4= 0, t h i H ( / l ) là một k h ô n g gian khả metric compile v à là m ộ t k h ô n g gian con của X(,4) (15.3.2); ta n h ậ n xét r ằ n g , k h i đ ó ta có thế c ó H ( á ) r-X(A) (tiết 154, bùi t o á n 3), n h ư n g , n ế u n g o à i ra , A là m ộ t đại số sao k h ả ly thì ta c ó H ( / l ) = \(A) (15.4.14). 13 CSGT 193