Giáo trình Đại số tuyến tính (Giáo trình đào tạo từ xa): Phần 2

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

83
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nối phần 1, mời các bạn cùng tham khảo phần 2 giáo trình sau đây. Nội dung chính của giáo trình này là những vấn đề mở đầu của đại số tuyến tính, giải tích cổ điển. Tham khảo nội dung giáo trình để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Đại số tuyến tính (Giáo trình đào tạo từ xa): Phần 2

38 2.4. KHÔNG GIAN VECTƠ Không gian vectơ là một cấu trúc ñại số cơ bản khái quát hóa của không gian vectơ hình học mà người học ñã quen thuộc ở chuơng trình bậc trung học phổ thông, ñược ñịnh nghĩa như sau: 2.4.1. ðịnh nghĩa và tính chất của không gian vectơ. Giả sử V là một tập hợp khác rỗng và trên V ñã xác ñịnh hai phép toán: i) Phép cộng: ∀α , β ∈ V ⇒ α + β ∈ V. ii) Phép nhân vô hướng (phép nhân ngoài): ∀ λ ∈ℝ, ∀α ∈V ⇒ λα ∈V . Tập hợp V cùng với 2 phép toán trên ñược gọi là không gian vectơ thực (hay không gian vectơ trên trường số thực ℝ ) nếu các ñiều kiện sau thỏa mãn: 1) α + β = β + α , ∀α , β ∈V . 2) α + ( β + γ ) = ( α + β ) + γ ; ∀α , β , γ ∈V . 3) ∃ θ ∈ V sao cho: α + θ = α , với ∀α ∈ V . 4) Với mỗi α ∈ V , tồn tại phần tử −α ∈ V sao cho α + ( −α ) = 0 5) λ (α + β ) = λα + λβ ; ∀λ ∈ ℝ; ∀α , β ∈V . 6) (λ + µ )α = λα + µα ; ∀λ , µ ∈ ℝ; ∀α ∈V . 7) (λµ )α = λ ( µα ); ∀λ , µ ∈ ℝ; ∀α ∈V . 8) 1α = α , ∀α ∈V . Mỗi phần tử của V ñược gọi là một vectơ (chúng ta không ñể ý ñến bản chất vật lý của các phần tử của V); vectơ θ nói trong ñiều kiện (3) ñược gọi là vectơ không của V; vectơ −α nói ở ñiều kiện (4) ñược gọi là vectơ ñối của α trong V. Các số thực λ ñược gọi là các ñại lượng vô hướng. Không gian vectơ còn gọi là không gian tuyến tính. Ví dụ 1: Tập hợp E2 gồm các vectơ hình học xuất phát từ gốc ñiểm O trong một mặt phẳng cố ñịnh (P) với phép cộng theo quy tắc hình bình hành, phép nhân mỗi số thực với một vectơ thông thường, là một không gian vectơ. Ví dụ 2: Tập hợp các số phức ℂ = { a + bi ; a, b∈ℝ} với hai phép toán sau cũng lập thành không gian vectơ: i) Phép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; ii) Phép nhân: k(a + bi ) = ka + (kb)i, với mọi số thực a,b,c,d, k. 38
39 Ví dụ 3: Tập hợp ℝ [ x ] các ña thức của biến x với hệ số thực lập thành không gian vectơ với phép cộng ña thức và phép nhân mỗi số thực với một ña thức theo nghĩa thông thường. Ví dụ 4: Tập hợp ℝ n [ x ] các ña thức của biến x với hệ số thực có bậc không vượt quá n lập thành không gian vectơ với phép cộng ña thức và phép nhân mỗi số thực với một ña thức theo nghĩa thông thường. Ví dụ 5: Cho n là số tự nhiên khác 0. Ký hiệu ℝ n = {( x1 ,..., x2 ); x1 ,..., x2 ∈ ℝ} . ðịnh nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng trên tập ℝ n như sau: ( x1 ,..., xn ) + ( y1 ,..., yn ) = ( x1 + y1 ,..., xn + yn ) ; λ ( x1 ,..., xn ) = (λ x1 ,..., λ xn ), λ ∈ ℝ . Khi ñó, ℝ n với hai phép toán trên là một không gian vectơ. Ví dụ 6: Tập hợp C[a,b] các hàm số thực liên tục trên ñoạn [a,b] lập thành không gian vectơ với phép cộng hàm số và phép nhân mỗi số thực với một hàm số thực theo nghĩa thông thường và ñược gọi là không gianvectơ các hàm liên tục trên ñoạn [a,b]. Ví dụ 7: Tập hợp M(m,n) các ma trận cấp mxn trên trường số thực lập thành không gian vectơ, với phép cộng các ma trận và phép nhân mỗi số thực với một ma trận. Ta gọi không gian này là không gian vectơ các ma trận cấp mxn trên trường số thực. 2.4.2 ðịnh nghĩa. Cho V là là một không gian vectơ, α1 ,...,α n ∈V ; a1 ,..., an ∈ℝ . Ta n gọi vectơ α = a1 α1 +⋯ + an α n = ∑aα i =1 i i , là một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ α1 ,....,α n qua các hệ số a1 , a2 ,..., an . Khi ñó, ta cũng nói α biểu thị tuyến tính ñược qua hệ vectơ α1 ,....,α n . 2.4.3 Sự tương ñương của các hệ vectơ Trong V cho các hệ vectơ: α1 ,......,α n (1) β1 ,......, β m ( 2) 39
40 Nếu mọi vectơ của hệ (1) biểu thị tuyến tính ñược qua các vectơ của hệ (2) thì ta nói hệ (1) biểu thị tuyến tính ñược qua hệ (2). Nếu (1) biểu thị tuyến tính ñược qua (2) và (2) cũng biểu thị tuyến tính ñược qua (1) thì ta nói (1) tương ñương với (2) và ký hiệu (1) ∼ ( 2 ) . Nhận xét. (a) (1) ∼ (1) (b) Nếu (1) ∼ ( 2 ) và α ∈V biểu thị tuyến tính ñược qua (1) thì α cũng biểu thị tuyến tính ñược qua (2). (c) Nếu (1) ∼ ( 2 ) và ( 2 ) ∼ ( 3) thì (1) ∼ ( 3) . 2.4.4. Một số tính chất ñơn giản của không gian vectơ a) Trong mỗi không gian vectơ V chỉ tồn tại một vectơ không duy nhất. Chứng minh. Giả sử trong V tồn tại các vectơ không là θ và θ ' . Theo tính chất của vectơ không ta có: θ + θ ' =θ , θ + θ ' =θ ' . Do ñó θ =θ ' . b) Vơí mỗi vectơ α ∈ V , tồn tại duy nhất một vectơ α ∈ V sao cho α + ( − α ) =θ . Chứng minh. Thật vậy, giả sử tồn tại vectơ α ' ∈ V sao cho α + α ' =θ . Ta có : ( −α ) + α  + α ' = ( −α ) +  α + α '  = − α + θ = − α Mặt khác ( −α ) + α  + α ' =θ + α ' = α ' . Vậy α = α ' . c) ∀α , β ∈V ; ∀a, b ∈ ℝ có ( i ) a (α − β ) = aα − aβ ( ii ) ( a − b )α = aα − bα . Chứng minh. Từ a (α − β ) + a β = a [ (α − β ) + β ] = a [α + ((− β ) + β ) ] = aα ⇒ a ( α − β ) = aα − aβ Tương tự, từ ( a − b )α + bα = ( a − b + b )α = aα ⇒ ( a − b )α = aα − bα . d) Với ∀a ∈ ℝ; ∀α ∈V , ta có: aα =θ ⇔ a = 0 hoặc α = 0 . Chứng minh. i) θα = ( a − a )α = aα − aα =θ . 40
41 aθ = a (α − α ) = aα − aα =θ . ii) aθ = 0 ( a ≠ 0 ) ⇒ a −1 ( aα ) = a −1θ ⇒ 1α =θ ⇒ α =θ . e) Với ∀α ∈V ta có ( −1)α = − α . Chứng minh. Vì α + ( −1)α =1α + ( −1)α = 1+ ( −1)  α = 0α =θ , nên ( −1)α = − α . 2.4.5. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ. Trong không gian vectơ V cho hệ vectơ α1 ,α 2 ,....,α m (1) Hệ vectơ (1) ñược gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số thực k1 ,..., kn không ñồng thời bằng không sao cho m ∑k α =k α i =0 i i 1 1 + ..... + kmα m = 0 (2) Nếu hệ thức (2) xảy ra khi và chỉ khi k1 = ..... = km = 0 thì hệ vectơ (1) gọi là hệ ñộc lập tuyến tính. Vậy hệ (1) ñộc lập tuyến tính khi và chỉ khi hệ (1) không phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ. 1) Trong ℝ 3 hệ 3 vectơ ε1 = (1,0,0 ) , ε 2 = ( 0,1,0 ) , ε 3 = ( 0,0,1) là ñộc lập tuyến tính. Thật vậy, ta có: λ1 ε1 + λ2ε 2 + λ3 ε = 0 ⇔ λ1 (1,0,0 ) + λ2 ( 0,1,0 ) + λ3 ( 0,0,1) = 0 ( λ1 ,0,0 ) + ( 0, λ2 ,0 ) + ( 0,0, λ3 ) = 0 ⇔ ( λ1 , λ2 , λ3 ) = 0 ⇔ λ1 = λ2 = λ3 = 0. 2) Trong ℝ 3 hệ 4 vectơ sau là hệ phụ thuộc tuyến tính α1 = ( 5, 2,1) , α 2 = ( −1,3,3) , α 3 = ( 9,7,5 ) , α 4 = ( 3,8,7 ) Thật vậy, ta có : α 3 = 2α1 + α 2 ⇒ α 3 = 2α1 + α 2 + 0α 4 3) Trong không gian vectơ các số phức ℂ hệ {1, i} ñộc lập tuyến tính. Thật vậy: a .1+ b .i = 0 ⇔ a + bi = 0 ⇔ a = b = 0 . 2.4.6. Các tính chất của hệ phụ thuộc tuyến tính 1). Mọi hệ vectơ chứa vectơ không ñều là hệ phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy, giả sử hệ (1) là θ , α1 , α 2 ,....., α m khi ñó có các hệ số thực là 1, 0, ….., 0 không ñòng thời bằng 0 sao cho: 41
42 1.θ + 0α 2 + ⋯ + 0α m = 0 Do ñó, hệ (1) là hệ phụ thuộc tuyến tính. 2). Hệ chỉ gồm một vectơ là hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vectơ ñó là vectơ θ . 3). Nếu một hệ vectơ chưa một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì hệ ñó là hệ phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy, giả sử hệ (1) chứa hệ con α1 ,....,α q phụ thuộc tuyến tính, khi ñó tồn tại các số thực k1 ,....., kq không ñồng thời bằng 0 sao cho: k1α1 + ..... + kqα q = 0 ( q ≤ n) Do ñó, ta có một hệ thức không tầm thường là: k1α1 + ..... + kqα q + 0α q+1 + ..... + 0α m = 0 Hay hệ (1) phụ thuộc tuyến tính. 4) Mọi hệ con của một hệ ñộc lập tuyến tính là hệ ñộc lập tuyến tính. 5) Hệ vectơ (1) là hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một vectơ của hệ ñó là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. Chứng minh. i) Giả sử hệ (1) phụ thuộc tuyến tính, khi ñó có k1 ,....., km không ñồng thời bằng không sao cho: k1α1 + ..... + kmα m = 0 . Do k1 ,....., km không ñồng thời bằng không nên có một hệ số ki ≠ 0,1 ≤ k ≤ m . Chẳng hạn k1 ≠ 0 , do ñó  k2   km  α1 =  −  α 2 + ..... +  −  α m  k1   k1  hay α1 biểu thị tuyến tính ñược qua các vectơ α 2 ,.....,α m của hệ (1). 2.4.7. Hệ sinh và cơ sở của không gian vectơ Một hệ vectơ của V ñược gọi là hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V ñều biểu thị tuyến tính ñược qua hệ ñó. Một hệ sinh ñộc lập tuyến tính của V ñược gọi là một cơ sở của V. Một hệ vectơ của V ñược gọi là ñộc lập tuyến tính cực ñại nếu nó ñộc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ vectơ nào của V thì hệ mới thu ñược là hệ phụ thuộc tuyến tính. 42
43 2.4.8. ðịnh lý. Cho hệ hữu hạn các véctơ α 1 ,α 2 ,...,α n của V. Khi ñó, các khẳng ñịnh sau ñây là tương ñương với nhau: (i) α 1 ,α 2 ,...,α n là một cơ sở của V. (ii) Mỗi vectơ của V ñều biểu thị tuyến tính duy nhất ñược qua hệ α 1 ,α 2 ,...,α n . (iii) α 1 ,α 2 ,...,α n là một hệ vectơ ñộc lập tuyến tính cực ñại của V. Chứng minh. (i) ⇒ (ii): Giả sử α 1 ,α 2 ,...,α n là cơ sở của V, khi ñó α 1 ,α 2 ,...,α n là hệ sinh của V. Do ñó, mỗi vectơ của V ñều biểu thị tuyến tính ñược qua hệ này. Ta chứng minh sự biểu diễn duy nhất. Thật vậy, giả sử với vectơ α của V, ta có các sự biểu diễn n n α = ∑ xiα i = ∑ yiα i , ( xi , yi ∈ ℝ). i =1 i =1 Theo tính chất của không gian vectơ có n ∑(x i =1 i − yi )α i = θ . Từ tính ñộc lập tuyến tính của hệ vectơ, suy ra xi − yi = 0 hay xi = yi , ∀i = 1,2,.., n. (ii) ⇒ (iii): Mọi vectơ α của V ñều biểu thị ñược qua hệ vectơ α 1 ,α 2 ,...,α n cho nên hệ vectơ bổ sung α 1 ,α 2 ,...,α n ,α phụ thuộc tuyến tính:. Do ñó, hệ α 1 ,α 2 ,...,α n là hệ ñộc lập tuyến tính cực ñại của V. (iii) ⇒ (i): Do hệ vectơ α 1 ,α 2 ,...,α n là hệ ñộc lập tuyến tính cực ñại nên với mỗi vectơ α của V, ta có hệ vectơ α 1 ,α 2 ,...,α n ,α là hệ phụ thuộc tuyến tính. Do ñó, vectơ α biểu thị ñược qua hệ α 1 ,α 2 ,...,α n hay nó là hệ sinh của V và vì vậy cũng là cơ sở của V. g 2.4.9. ðịnh lý cơ bản về sự phụ thuộc tuyến tính. Trong không gian vectơ V cho các hệ vectơ: α1 ,α 2 ,...,α n (1) β1 , β 2 ,..., β m (2) Nếu hệ (1) ñộc lập tuyến tính và biểu thị tuyến tính ñược qua hệ (2) thì n ≤ m. Chứng minh. Giả sử ngược lại n > m , ta chứng minh rằng hệ (1) phụ thuộc tuyến tính và ñiều ñó sẽ mâu thuẫn với tính ñộc lập tuyến tính của hệ (1). Thật vậy, theo giả thiết của ñịnh lý có sự biểu thị tuyến tính: 43
44 α1 = x1 β1 + x2 β 2 + ⋯ + xm β m ( xi ∈ ℝ). Vì hệ (1) ñộc lập tuyến tính nên vectơ α1 ≠ θ . Do ñó, có ít nhất một số thực xi ≠ 0 . Không mất tính tổng quát, ta giả sử x1 ≠ 0 . Khi ñó 1 m 1 β1 = α1 + ∑ ( − xi ) β i . x1 i =2 x1 Như vậy, hệ (2) biểu thị tuyến tính ñược qua hệ α1 , β 2 ,..., β m (3). và do ñó, hệ (1) cũng biểu thị tuyến tính ñược qua hệ (3). Tiếp tục, ñối với vectơ α 2 của hệ (1) ta có α 2 = y1α1 + y2 β 2 + ⋯ + ym β m ( yi ∈ ℝ ). Vì hệ (1) ñộc lập tuyến tính nên có ít nhất một số thực yi ≠ 0, (2 ≤ i ≤ m) . Không mất tính tổng quát, ta giả sử y2 ≠ 0 . Khi ñó 1 m 1 β2 = α 2 + ∑ ( − yi ) β i . y2 i =3 y2 Như vậy, hệ (3) biểu thị tuyến tính ñược qua hệ α1 ,α 2 , β 3 ,..., β m (4) và do ñó hệ (1) cũng biểu thị tuyến tính ñược qua hệ (4). Tiếp tục lý luận như trên ñối với các vectơ còn lại của hệ (1). Sau m lần thay thế hết m vectơ của hệ (2) bởi m vectơ của hệ (1), ta có hệ (1) biểu thị tuyến tính ñược qua hệ vectơ con α 1 ,α 2 ,...,α m của nó. Do ñó, hệ (1) là hệ phụ thuộc tuyến tính. g 2.4.10. ðịnh nghĩa. Không gian vectơ V ñược gọi là không gian vectơ hữu hạn sinh nếu trong V tồn tại một hệ sinh gồm hữu hạn vectơ. Ví dụ. 1) Không gian vectơ các số phức C là hữu hạn sinh vì trong C có một hệ sinh gồm 2 vectơ {1, i}. 2) Không gian vectơ R[x] các ña thức với hệ số thực là không gian vô hạn sinh. Thật vậy, giả sử R[x] có một hệ sinh hữu hạn: f1 ( x ), f2 ( x ),..., fn ( x ) . Khi ñó, mọi ña thức thuộc R[x] có bậc lớn hơn tất cả bậc của các ña thức f1 ( x ), f2 ( x ),..., fn ( x ) sẽ không biểu thị tuyến tính ñược qua hệ sinh f1 ( x ), f2 ( x ),..., fn ( x ) . Ta gặp ñiều vô lý. 44
45 2.4.11. ðịnh lý. Giả sử V ≠ {θ} là một không gian vectơ hữu hạn sinh. Khi ñó, trong V tồn tại một cơ sở gồm hữu hạn vectơ. Hơn nữa, mọi cơ sở của V ñều có cùng số vectơ. Chứng minh. Giả sử γ 1 , γ 2 ,..., γ r là một hệ sinh hữu hạn của V. Vì V ≠ {θ} nên có một vectơ α 1 ≠ θ trong V. Hệ gồm một vectơ α1 ≠ θ là hệ ñộc lập tuyến tính. Nếu hệ này là hệ ñộc lập tuyến tính cực ñại thì nó chính là một cơ sở của V. Nếu hệ này không ñộc lập tuyến tính cực ñại thì trong V có hệ α 1 ,α 2 ñộc lập tuyến tính. Theo ñịnh lý cơ bản vè sự phụ thuộc tuyến tính, số véctơ của một hệ ñộc lập tuyến tính bất kỳ trong V không vượt quá r. Do ñó, tiếp tục lý luận như trên, sau không quá r bước ta thu ñược một hệ ñộc lập tuyến tính cực ñại α 1 ,α 2 ,...,α n ( n ≤ s) của V. Lại theo ðịnh lý 2.7.2.4, hệ này là một cơ sở hữu hạn của V. Giả sử β1 , β 2 ,..., β n (m ≤ s) là một cơ sở của V. Khi ñó, vì hệ α 1 ,α 2 ,...,α n ( n ≤ s) ñộc lập tuyến tính và biểu thị tuyến tính ñược qua hệ β1 , β 2 ,..., β n (m ≤ s) , nên theo ðịnh lý cơ bản của sự phụ thuộc tuyến tính, ta có n ≤ m . Do tính bình ñẳng giữa hai cơ sở, nên cũng có bất ñẳng ngược lại và do ñó ta có n = m. g Từ ðịnh lý 2.4.11, ta có tính hợp lý của ñịnh nghĩa sau 2.4.12. ðịnh nghĩa. Số vectơ của một cơ sở bất kỳ của không gian vectơ hữu hạn sinh V ≠ {θ} ñược gọi là số chiều (dimention) của V trên R và ñược ký hiệu là dimV. Nếu V = {θ} thì ta quy ước dimV = 0. Nếu V không có một cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó ñược gọi là không gian vectơ vô hạn chiều. Do số vectơ trong một cơ sở của không gian vectơ là số vectơ ñộc lập tuyến tính cực ñại cho nên ta có nhận xét: Nếu dimV= n thì mọi hệ vectơ n + k (k ≥ 1) trong V ñều là hệ phụ thuộc tuyến tính. Trong giáo trình này, nếu không nói gì thêm chúng ta chỉ nghiên cứu không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường số thực R. Ví dụ. 1) dim C = 2 trên R. 2) dim Rn = n trên R. 3) Không gian vectơ R[x] là không gian vô hạn chiều trên R. 2.4.13. ðịnh lý. Giả sử V ≠ {θ} là một không gian vectơ hữu hạn sinh. Khi ñó 45
46 (i) Mọi hệ sinh của V ñều chứa một cơ sở nào ñó của V. (ii) Mọi hệ ñộc lập tuyến tính trong V ñều có thể bổ sung thành một cơ sở của V. (iii) Nếu dimV= n thì mọi hệ n vectơ ñộc lập tuyến tính trong V ñều là cơ sở của V. Chứng minh. (i) Giả sử S là một hệ sinh của V. Gọi S’ là hệ con ñộc lập tuyến tính cực ñại của S. Khi ñó, S biểu thị tuyến tính ñược qua S’ và do ñó V cũng biểu thị tuyến tính ñược qua S’ hay S’ là một cơ sở của V. (ii) Giả sử α 1 ,α 2 ,...,α i là một hệ ñộc lập tuyến tính trong V. Nếu hệ này ñộc lập tuyến tính cực ñại thì nó là cơ sở. Trong trường hợp ngược lại, thì ta bổ sung vào hệ này các vectơ α i ,α i +1 ,... ñể thu ñược một hệ ñộc lập tuyến tính cực ñại trong V. Do V là không gian vectơ n chiều, cho nên quá trình bổ sung trên dừng lại sau không quá n bước. Hệ vectơ thu ñược chính là một cơ sở của V. (iii) Giả sử dim V = n và α 1 ,α 2 ,...,α n là một hệ ñộc lập tuyến tính tuyến tình, khi ñó với vectơ α của V hệ α1 ,α 2 ,...,α n ,α là hệ phụ thuộc tuyến tính. Do ñó, tồn tại một hệ thức tuyến tính không tầm thường x1α1 + x2α 2 + ⋯ + x nα n + x n +1α = θ ( xi ∈ ℝ). Nếu xn+1= 0 thì hệ α 1 ,α 2 ,...,α n phụ thuộc tuyến tính, trái giả thiết. Do ñó, có sự biểu diễn − x1 −x −x α= α1 + 2 α 2 + ⋯ + n α n , ( xi ∈ ℝ). x n +1 x n +1 x n +1 Như vậy, α ñã biểu thị tuyến tính ñược qua hệ α 1 ,α 2 ,...,α n và do ñó hệ này là hệ sinh ñộc lập tuyến tính của V và vì vậy là một cơ sở của V. g 2.4.14. ðịnh nghĩa. Giả sử α 1 ,α 2 ,...,α n là một cơ sở của không gian vectơ V. Khi ñó, mỗi vectơ α của V có sự biểu thị tuyến tính duy nhất: α = x1α1 + x2α 2 + ⋯ + x nα n ( xi ∈ ℝ ) , n hay viết vắn tắt: α = ∑ xiα i , ( xi ∈ ℝ) . i =1 Bộ n số thực ( x1 , x 2 ,..., x n ) ñược gọi là toạ ñộ của vectơ α theo cơ sở α 1 ,α 2 ,...,α n . 2.4.15. Công thức ñổi tọa ñộ. Giả sử α1 ,α 2 ,...,α n β1 , β 2 ,..., β n 46
47 là các cơ sở của không gian vectơ V. Giả sử vectơ α của V có toạ ñộ tương ứng theo các cơ sở ñã cho là ( x1 , x 2 ,..., x n ) và ( y1 , y2 ,..., yn ) . Biểu diễn mỗi vectơ của cơ sở thứ hai qua cơ sở thứ nhất: n β j = ∑ aijα i , ∀j = 1,2,..., n. i =1 Do ñó, ta có: n n n n n n α = ∑ yi β i = ∑ (∑ bj cijα i ) = ∑ (∑ cij bj )α i = ∑ xiα i . i =1 j =1 i =1 i =1 j =1 i =1 Do tính duy nhất của toạ ñộ của mỗi vectơ theo một cơ sở, ta có công thức ñổi tạo ñộ như sau: n xi = ∑ aij y j , i = 1,2,..., n. j =1 2.4.16. Không gian vectơ con. Giả sử V là không gian vectơ. Tập con không rỗng W của V ñược gọi là tập con ổn ñịnh của V nếu i )α + β ∈ W ; ∀α , β ∈ W . ii ) λα ∈ W ; ∀λ ∈ W , ∀α ∈ W . Giả sử W là tập con ổn ñịnh của V, khi ñó phép toán cộng và nhân vô hướng trong W ñược gọi là các phép toán cảm sinh trên V. Tập con ổn ñinh W của V ñược gọi là một không gian vectơ con của V nếu cùng với hai phép toán cảm sinh trên V, bản thân tập W cũng lập thành một không gian vectơ. 2.4.17. Mệnh ñề. Giả sử V là không gian vectơ và W là một không gian vectơ con của V, khi ñó vectơ θ thuộc W. Nói khác ñi, vectơ không của V cũng là vectơ không của W. Chứng minh. Gọi ρ là vectơ không của không gian vectơ W, khi ñó: θ = θ + ρ = ρ . Do ñó, ρ = θ . 2.4.18. ðịnh lý. (Tiêu chuẩn không gian vectơ con ). Tập con không rỗng W của V là không gian vectơ con của V khi và chỉ khi W là tập con ổn ñịnh của V, nghĩa là i )α + β ∈ W ; ∀α , β ∈ W . ii ) λα ∈ W ; ∀λ ∈ W , ∀α ∈ W . 47
48 Chứng minh. Ta chỉ cần kiểm tra các tiên ñề về vectơ không và vectơ ñối, bởi vì các tiên ñề còn lại thoả mãn với mọi phần tử của V nên cũng thoả mãn ñối với mọi phần tử của W. Vì W khác rỗng nên W có ít nhất một phần tử σ . Do ñó, θ = 0 σ thuộc W ñóng vai trò vectơ không của W. Mặt khác, với mọi α thuộc W luôn có (-1) α = - α thuộc W. g Ví dụ. 1) Bản thân {θ } và V là các không gian vectơ con của V. Chúng ñược gọi là các không gian vectơ con tầm thường của V. 2) Không gian vectơ các số thực R là không gian vectơ con của không gian vectơ các số phức C. 3) Không gian vectơ Rn[x] các ña thức hệ số thực có bậc bé hơn n là không gian vectơ con của không gian vectơ R[x] các ña thức hệ số thực. 4) Không gian vectơ C1[a,b] các hàm thực khả vi trên ñoạn [a,b] là một không gian vectơ con của không gian vectơ C[a,b] các hàm thực liên tục trên ñoạn [a,b]. 2.4.19. Mệnh ñề. Giả sử V là không gian vectơ và W là một không gian vectơ con của V, khi ñó dim W ≤ dim V và dấu = xảy ra khi và chỉ khi V = W. Chứng minh. Vì W là không gian con của V nên mỗi hệ ñộc lập tuyến tính trong W cũng là hệ ñộc lập tuyến tính trong V. Do ñó, dim W ≤ dim V. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi mỗi cơ sở của V cũng là một cơ sở của W và ñiều này lại tương ñương với W = V. 2.4.20. Mệnh ñề. Giao của một họ tuỳ ý các không gian vectơ con của V là một không gian vectơ con của V.. Chứng minh. Giả sử {Wi }i∈I là một họ tuỳ ý các không gian con của V . Khi ñó, vì mỗi Wi là một tập con ổn ñịnh của V cho nên giao của chúng cũng có tính chất ñó. Theo tiêu chuẩn không gian vectơ con ta có ñiều cần chứng minh. 2.4.21. ðịnh nghĩa ánh xạ tuyến tính. Cho V và W là hai không gian vectơ trên trường số thực R. Một ánh xạ f : V → W ñược gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu các tính chất sau ñược thỏa mãn: i) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀ x, y ∈ V ii) f ( ax ) = a f ( x ) , ∀ x∈ V , ∀ a∈ ℝ Ta có thể thay hai tính chất trên bởi tính chất sau: iii) f ( ax + by ) = a f ( x ) + b f ( y ) , ∀ x, y ∈V và ∀ a, b∈Κ . Nếu f : V → W là một ánh xạ tuyến tính thì ta còn nói f là một ñồng cấu. 48
49 - ðồng cấu f : V → W mà ñơn ánh ñược gọi là ñơn cấu . - ðồng cấu f : V → W mà toàn ánh ñược gọi là toàn cấu. - ðồng cấu f : V → W mà song ánh ñược gọi là ñẳng cấu. - ðồng cấu f : V → V ñược gọi là một tự ñồng cấu (phép biến ñổi tuyến tính) của V. - Tự ñồng cấu của V mà song ánh ñược gọi là tự ñẳng cấu của V. - Hai không gian V và W ñược goi là ñẳng cấu với nhau và ký hiệu V ≅ W nếu tồn tại một ñẳng cấu f : V → W từ V lên W. Cho ánh xạ tuyến tính f : V → V ' . Ta gọi: { } Ιm ( f ) = f ( V ) = β ∈V ' ∃α ∈V : f (α ) = β là ảnh của ñồng cấu f { Κer(f ) = f −1 (θ ) = α ∈V f ( x ) =θ } là hạt nhân của ñồng cấu f Ví dụ về ánh xạ tuyến tính: 1. Gọi ℝ n [ x ] là không gian vectơ các ña thức bậc ≤ n trên trường số thực. Ánh xạ f : Ρ n [ x ] → Ρ n −1 [ x ] Ρ [ x ] ֏ Ρ' [ x] là một ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, với ∀ p ( x ) , q ( x )∈Ρ n [ x ] và với ∀ a, b∈ℝ , ta có f ( ap ( x ) + bq ( x ) ) =  ap ( x ) + bq ( x )  =  ap ( x )  + bq ( x )  = af ( p ( x ) ) + bf ( q ( x ) ) ' ' ' 2. Ánh xạ f : ℝ 2 → ℝ 3 cho bởi f ( x, y ) = ( x + y , x − y, 2 x + y ) là một ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, với u = ( x1 , y1 ) , v = ( x2 , y2 ) ∈ ℝ , khi ñó f ( λu ) = f ( λ x1 , λ y1 ) = ( λ x1 + λ y1 , λ x1 − λ y1 , 2λ x1 + λ y1 ) = λ ( x1 + y1 , x1 − y1 , 2λ x1 + λ y1 ) = λ f ( u ) . f ( u + v ) = f ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = ( x1 + x2 + y1 + y2 , x1 + x2 − y1 − y2 , 2 x1 + 2 x2 + y1 + y2 ) = ( x1 + y1 , x1 − y1 ,2 x1 + y1 ) + ( x2 + y2 , x2 − y2 , 2 x2 + y2 ) = f ( u ) + f ( v ) . 3. Cho Μ Rm ×n là không gian các ma trận cấp m x n trên trường số thực và Α ∈Μ Rm ×n . Ánh xạ f : Μ Rn x p → Μ Rm x p xác ñịnh bởi f ( Χ ) = ΑΧ với ∀Χ∈Μ Rn x p là một ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, ta có: f ( λΧ + µ Y ) = Α ( λΧ + µ Y ) = λ ( ΑΧ ) + µ ( ΑY ) = λ f ( x ) + µ f ( y ) , ∀ λ , µ ∈ℝ. 2.4.22. Các tính chất của ánh xạ tuyến tính 49
50 1) Nếu f , g :V → W là hai ánh xạ tuyến tính, khi ñó ánh xạ tổng ϕ : V → W xác ñịnh bởi ϕ ( x ) = ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) là ánh xạ tuyến tính. 2) Nếu f :V → W là ánh xạ tuyến tính, khi ñó với mỗi số thực λ , ánh xạ ψ : V → W xác ñịnh bởi ψ ( x ) = ( λ f )( x ) = λ ( f ( x ) ) , là ánh xạ tuyến tính. 3) Tích của 2 ánh xạ tuyến tính ( nếu tồn tại tích ) là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh. Cho f : V → W, g:W →Ω . Gọi h = g o f : V → Ω . ∀ x, y ∈V , ∀ a, b ∈ℝ ; h ( ax + by ) = ( gf )( ax + by ) = g ( f ( ax + by ) ) = g ( af ( x ) + bf ( y ) ) = ag ( f ( x ) ) + bg ( f ( y ) ) = a ( g o f )( x ) + b ( g o f )( y ) = ah ( x ) + bh ( y ) . 5) Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi ñó: a) f ( x − y ) = f ( x ) − f ( y ) = f (θ ) =θ b) f ( − x ) = − f ( x ) , ∀ x, y ∈V Chứng minh. f (−x) = f ( ( −1) x ) = ( −1) f ( x ) = − f ( x ) f ( x − y ) = f ( x + ( − y )) = f ( x ) + f ( − y ) = f ( x ) − f ( y ) f (θ ) = f ( x − x ) = f ( x ) − f ( x ) =θ . 2.4.23. ðịnh lý. Mọi không gian vectơ n – chiều trên ℝ ñều ñẳng cấu với nhau và ñẳng cấu với không gian vectơ ℝ n . Chứng minh. Giả sử V là một không gian véctơ n-chiều, khi ñó trong V tồn tại một cơ sở gồm n vectơ {e1 , e2 ,..., en } . Với mỗi x ∈ V , có duy nhất bộ n số thực ( x1 ,..., xn ) n sao cho x = ∑ x e . ðặt i =1 i i f : V → ℝ n xac sñịnh bởi f ( x) = ( x1 ,..., xn ) . Ta chứng minh f là một ñẳng cấu không gian vectơ. Thật vây: i) f là ánh xạ tuyến tính: Với x, y∈V , giả sử x = ∑ xi ei , y = ∑ yi ei ( ∀ λ , µ ∈ℝ , có f ( λ x + µ y ) = f λ ( ∑ xi ei ) + µ ( ∑ xi ei ) = ) =f ( ∑ ( λ x + µ y ) e ) = ( λ x + µ y ,..., λ x i i i i i m + µ ym ) = λ ( xi ,..., xn ) + µ ( yi ,..., yn ) = λ f ( x ) + µ f ( y ) . ii) f ñơn ánh: f ( x)= f ( y) ⇒ f ( ∑ x e ) = f ( ∑ y e ) ⇒ ( x ,..., x ) = ( y ,..., y ) i i i i i n i n xi = yi , ∀i = 1,..., n ⇒ x = y. 50
51 iii) f toàn ánh: ∀ ( x1 ,..., xn ) ∈ℝ n ⇒∃x = ∑ x e ∈V sao cho: i i f ( x ) = ( x1 ,..., xn ) . Vậy: V ≅ ℝ n . 2.4.24. Hệ quả. V ≅ W ⇔ dim V = dim W. 2.4.25. ðịnh lý xác ñịnh ánh xạ tuyến tính trên các không gian hữu hạn chiều Giả sử α1 ,...,α n là một cơ sở của không gian vectơ n chiều Vn và V ' là một không gian véctơ tuỳ ý trong ñó ñã chọn n vectơ bất kỳ α '1 ,...,α 'n . Khi ñó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : Vn → V ' sao cho f (α i ) = α 'i . Nói cách khác, ánh xạ tuyến tính f : Vn → V ' ñược xác ñịnh bởi ảnh của các vectơ cơ sở của Vn . n n Chứng minh. Giả sử α ∈ Vn , biểu diễn α = ∑ xiα i . Ta ñặt i =1 f ( x ) = ∑ xiα 'i . Chứng i =1 minh ñược f là ánh xạ tuyến tính từ Vn vào V ' . Hơn nữa, từ sự biểu diễn α i =1α i chúng ta suy ra f (α i ) = α 'i , ∀i = 1.2,..., n. Nếu g : Vn → V ' là ánh xạ tuyến tính sao cho f ( xi ) = α 'i thì với x = ∑ xα i i , ta có g ( x ) = g ( ∑ x α ) = ∑ x g (α ) = ∑ x α i i i i i ' i = f ( x ) hay f = g . g 2.7.26. ðịnh lý. Cho f : V → V ' là một ñồng cấu. Ta có: a) Nếu A là không gian con của V thì ảnh f(A) là không gian con của của V . ðặc biệt, Im(f) cũng là không gian con của V' ' b) Nếu B là không gian con của V' thì nghịch ảnh f-1(B) là không gian con của của V. ðặc biệt, Ker(f) cũng là không gian con của V c) f toàn cấu ⇔ Ιm( f ) = V ' d) f ñơn cấu ⇔ Κer(f ) = {θ }. Chứng minh. i) Giả sử f ñơn cấu, khi ñó nếu x∈ Κerf ⇒ f ( x ) = f ( 0 ) = 0 ⇒ x = 0 ( vì f ñơn ánh ) ⇒ Κerf = {θ } . ii) Giả sử Κerf = {θ } và f ( x ) = f ( y ) ⇒ f ( x ) − f ( y ) = 0 ⇒ f ( x − y ) = 0 ⇒ x − y ∈ Κerf = {θ } ⇒ x − y =θ ⇒ x = y. Do ñó f ñơn cấu. Chúng ta phát biểu ñịnh lý sau: 51
52 2..4.27. ðịnh lý. Cho f : V → V ' là một ñồng cấu và V là không gian vectơ hữu hạn chiều. Khi ñó, ta có công thức số chiều sau: dim Im( f ) + dim Ker ( f ) = dimV . 2.4.28. Ma trận của ánh xạ tuyến tính Giả sử f : Vn → Wm là một ánh xạ tuyến tính. Trong Vn chọn một cơ sở: α1 ,...,α n (1) Trong Wn chọn một cơ sở: β1 ,..., β n (2) Ta biểu diễn ảnh f (α i ) của cơ sở (1) qua cơ sở (2): f (α1 ) = a11β1 + a21β 2 + ... + am1β m f (α 2 ) = a12 β1 + a22 β 2 + ... + am 2 β m ………………………………. (3) f (α n ) = a1n β1 + a2 n β 2 + ... + amn β m m Hay viết tổng quát: f (α j ) = ∑ α i j βi , ( j =1,..., n ) i =1 Ma trận A cấp (m, n) mà các phần tử là các hệ số trong các hệ thức (3) (ñã ñổi dòng thành cột ):  a11 a12 ... a1n     a21 a22 ... a2 n  A = [ aij ] = ...................     am1 am 2 ... am n  ñược gọi là ma trận của các ánh xạ tuyến tính f ñối với cặp cơ sở (1) và (2). Nhận xét. a) Ma trận của ánh xạ tuyến tính f ñối với hai cơ sở (1) và (2) ñược xác ñịnh duy nhất. b) Khi Vn = Wm tức f là phép biến ñổi tuyến tính của Vn thì ta có thể chọn cơ sở (1) trùng cơ sở (2), lúc ñó ma trận A ñược gọi là ma trận của phép biến ñổi tuyến tính f ñối với cơ sở (1) ñã cho. Ví dụ 1. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f : ℝ3 → ℝ 4 xác ñịnh bởi f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x3 ,0 ) theo cơ sở ε1 = (1,0,0 ) , ε1 = ( 0,1,0 ) , ε1 = ( 0,0,1) trong ℝ 3 và cơ sở W1 = (1,0,0,0 ) , W2 = ( 0,1,0,0 ) , W3 = ( 0,0,1,0 ) , W4 = ( 0,0,0,1) trong ℝ . 4 Ta có: f ( ε1 ) = (1,0,0,0 ) = W1 + 0W2 + 0W3 + 0W4 f ( ε 2 ) = ( 0,1,0,0 ) = 0W1 +1W2 + 0W3 + 0W4 52
53 f ( ε 3 ) = ( 0,0,1,0 ) = 0W1 + 0W2 +1W3 + 0W4 Vậy ma trận của f ñối với hai cơ sở ñể cho là ma trận cấp ( 4, 3 ) sau ñây: 1 0 0  0 1 0  Α =   0 0 1    0 0 0  Ví dụ 2. Giả sử ℝ n −1 [ x ] là không gian các ña thức có bậc ≤ n −1 . Xét phép biểu thức tuyến tính f : Ρ n −1 [ x ] → Ρ n −1 [ x ] Ρ ( x ) ֏ Ρ' ( x ) Trong Ρ n −1 [ x ] chọn 1 cơ sở: x2 x n− 2 x n −1 ε1 =1, ε 2 = x, ε 3 = ,..., ε n −1 = ,ε = . 2! ( n − 2 )! n ( n − 1)! Ta có f ( ε1 ) = 0 = 0ε1 + 0ε 2 + ... + 0ε n f ( ε 2 ) = 1 = ε1 + 0ε 2 + ... + 0ε n f ( ε 3 ) = x = 0ε1 + 0ε 2 + ... + 0ε n …………………………….. x n−1 f (ε n ) = = 0ε + 0ε + ... + ε n−1 + 0 ε n ( n − 1)! 1 2 0 1 0 ... 0 0  0 0 1 ... 0 0    Vậy: Α = .....................    0 0 0 ... 0 1  0 0 0 ... 0 0  '  x n−1  x n −2 x n−2 Chú ý: f (ε n ) =   = ( n − 1) = =ε  ( n − 1)! ( n − 1)! ( n − 2 )! n−1 2.4.29. ðịnh lý. Giả sử Vn là một không gian n chiều và Wm là một không gian m chiều trong ñó ñã chọn các cơ sở (1) và (2). Giả sử A là một ma trận cấp ( m, n ) với phần tử là các số thực tuỳ ý. Khi ñó, tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f : Vn → Wm sao cho ma trận của f ñối với cặp cơ sở (1) và (2) chính là ma trận A ñã cho. 53
54  a11 a12 ... a1n     a21 a22 ... a2 n  Chứng minh. Giả sử Α =  aij  = m×n .....................     am1 am 2 ... am n  Trong không gian Wm ta xét hệ vectơ m β '1 ,..., β 'n với β ' j = ∑ aij β j (4) i =1 Theo ñịnh lý về sự xác ñịnh ánh xạ tuyến tính tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f : Vn → Wm sao cho f (α j ) = β ' j , j =1,..., n m Ta có f (α j ) = β j = ∑ ai j β j ; j =1,..., n ' i =1 Do ñó, ma trận của f ñối với cặp cơ sở (1) và (2) chính là ma trận A ñã cho. 2.4.30. Ma trận của ánh xạ tuyến tính ñối với hai cặp cơ sở khác nhau Cho hai không gian vectơ Vn và Wm trong ñó ñã chọn hai cơ sở khác nhau: ε1 ,..., ε n (1) w1 ,..., wm (2) Giả sử ánh xạ tuyến tính f : Vn → Wm ñối với cặp cơ sở (1) và (2) có ma trận là Α =  ai j  m×n Giả sử trong Vn và Wm chọn hai cơ sở khác nữa là ε '1 ,..., ε ' n (1’) w'1 ,..., w' m (2’) Gọi ma trận chuyển từ (1) sang (1’) là S Gọi ma trận chuyển từ (2) sang (2’) là T  S11 ... S1n  T11 ...T1m      Giả sử S = ............  , T = ............   Sn1 ... Sn n  Tm1 ...Tm n      Hãy tìm ma trận Β = bi j  m×n của ánh xạ f ñối với cặp cơ sở (1’) và (2’) m Ta có : f ( ε j ) = ∑ akj wk ( j =1,..., n ) ( 3) k =1 m f (ε ' j ) = ∑b ij w' i ( j =1,..., n ) ( 4 ) k =1 54
55 m Mặt khác w i = ∑ tk i wk ' ( i =1,..., n ) ( 5) k =1 n ε j = ∑ si jε l ' ( j =1,..., n ) (6) l =1 Do ñó từ (6) và (3) có : n n m m  n  f ( ε ' j ) = ∑ si j t ( ε l ) = ∑ sl j ∑ ak e wk = ∑  ∑ ak el j  wk l =1 l =1 k =1 k =1  l =1  Một mặt ta lại có từ (4) và (5) m m  m  m  m  f ( ε ' j ) = ∑ bij w'i = ∑ bij  ∑ k i k  = ∑  ∑ tk i bij  wk t w (7) i =1 i =1  k =1  k =1  i =1  m  n  n  m  n m Do ñó có : ∑  ∑ ak l slj  wk = ∑  ∑ tk ibij  wk ⇒ ∑a s = ∑ tk ibij k l lj (8) k =1  l =1  k =1  i =1  l =1 i =1 với ∀ j , k =1,..., n ⇒ Α.S= Τ.Β (9) Vì S và T là các ma trận chuyển cơ sở cho nên S và T là các ma trận không suy biến do ñó có các ma trận nghịch ñảo S-1 và T-1 . Do ñó từ (9) suy ra B = T-1 A.S và A = T.B.S-1. Sơ ñồ (1) (2) (1’) (2’) Ta có : B = T-1 A.S A = T.B.S-1. 2.4.31. Hệ quả. Cho f là một phép biến ñổi tuyến tính trên không gian véctơ V. Giả sử {ε1 ,..., ε n } (1) {w1 ,..., w m } (2) lần lượt là hai cơ sở của V. Giả sử ma trận chuyển từ cơ sở (1) sang cơ sở (2) là T, và ma trận của f lần lượt ñối với (1) và (2) là A và B. Khi ñó: B = T-1 A.T, A = T.B.T-1 Chứng minh. Sử dụng ñịnh lý 5.6.5 với Vn = Wm = V trong ñó chọn (1) = (1’) và (2) = (2’). Khi ñó T = S , do ñó có B = T-1 .A.S = T-1.A. T. 55
56 2.4.32. ðịnh nghĩa. Hai ma trận cùng cấp A và B ñược gọi là ñồng dạng với nhau nếu tồn tại một ma trận vuông S không suy biến cấp sao cho B = S-1 A.S. Nhận xét: 1) Nếu A ñồng dạng với B ñồng dạng thì B ñồng dạng với A. 2) Hai ma trận ñồng dạng với nhau thì có ñịnh thức bằng nhau. 3) Các ma trận của cùng một phép biến ñổi tuyến tính của không gian véctơ V theo hai cơ sở của V là ñồng dạng với nhau. 2.5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT 2.5.1. ðịnh nghĩa. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát là hệ phương trình sau: a11 x1 + a12 x2 +⋯ + a1n xn = b1  a21 x1 + a2 2 x2 +⋯ + a2 n xn = b2  (1)  ⋮ ⋮ ⋮  a x + a x +⋯ + a x = b  m1 1 m 2 2 mn n m hay viết dưới dạng vắn tắt: n ∑a j =1 ij x j = bi ; i =1,....., m trong ñó aij , bi , i =1,..., m; j = 1,..., n là các số phức; x j , j =1,..., n là các ẩn. Các số aij ñược gọi là các hệ số và b1 , b2 ,..., bm ñược gọi là các hệ số tự do của hệ phương trình (1). 2.5.2. Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính tổng quát Gọi Α =  ai j  là ma trận cấp ( m, n ) các hệ số của hệ phương trình (1). m×n b1   x1  b  x  Gọi b=  2  , x =  2  là các ma trận cột. ⋮  ⋮      bm   xn  Khi ñó hệ (1) ñược viết dưới dạng ma trận: Αx = b (2)  a11 a12 ... a1n b1     a21 a22 ... a2 n b2  Ta gọi Β = Α =  ⋮ ⋮     am1 am 2 ... amn bm  56
57 là ma trận bổ sung của hệ phương trình tuyến tính tổng quát (1). 2.5.3. Dạng vectơ của hệ phương trình tuyến tính tổng quát Trong không gian vectơ ℝ m ta xét hệ các véctơ sau: α j = ( a1 j , a2 j ,..., amj )∈ ℝ m ( j =1,..., n ) β = ( b1 j , b2 j ,..., bm )∈ ℝ m Khi ñó, hệ (1) ñược viết: x1α1 + x2α 2 + ... + xnα n = β (3) Ta gọi (3) là dạng vectơ của hệ phương trình (1). 2.5.4. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát Một bộ n số thực ( c1 , c2 ,..., cn )∈ℝ n ñược gọi là một nghiệm của hệ (1) nếu n ∑a c j =1 ij j = bi , i = 1,2,..., m nghĩa là nếu ta thay các x j bởi c j tương ứng vào các phương trình của hệ, ta nhận ñược các ñồng nhất thức ñúng bằng số. Ký hiệu rank(X) là hạng của ma trận X, ta có 2.5.5. ðịnh lí Kronecker – Capeli. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát (1) có nghiệm ⇔ rank ( A) = rank ( A) . Chứng minh. Hệ (1) có nghiệm ⇔ Phương trình dạng vectơ (3) có nghiệm ⇔ β biểu thị tuyến tính ñược qua hệ α1 ,α 2 ,...,α n trong không gian vectơ ℝ m ⇔ Hai hệ véctơ α1 ,α 2 ,...,α n và α1 ,α 2 ,...,α n , β tương ñương với nhau ⇔ rank(A) = rank(B). g 2.5.6. Phương pháp Gauss – Jordan ñể giải hệ phương trình tuyến tính Bước 1. Lập ma trận bổ sung B Bước 2. Thực hiện 3 phép biến ñổi số cấp sau ñây trên các hàng của ma trận B (thực chất mỗi hàng của B là một phương trình của hệ (1)): 1) ðổi chỗ hai hàng cho nhau 2) Nhân vào mỗi hàng với số thực khác 0. 3) Cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính của các hàng còn lại. Buớc 3. Sau một số hữu hạn bước biến ñổi, hệ phương trình (1) ñược ñưa về một hệ tương ñương với ma trận mở rộng có dạng: 57