Giáo trình Đại số tuyến tính - TS. Nguyễn Duy Thuận (chủ biên)

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:385

Thêm vào BST

Báo xấu

300
lượt xem 88
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Đại số tuyến tính gồm 6 chương: chương 1 trình bày định nghĩa, các tính chất của định thức và các phương pháp cơ bản tính định thức, chương 2 và 3 nghiên cứu không gian vectơ và các ánh xạ giữa các không gian ấy - ánh xạ tuyến tính, chương 4 hệ phương trình tuyến tính, chương 5 nghiên cứu ma trận và mối liên hệ giữa ma trận với không gian vectơ, chương 6 nghiên cứu dạng song tuyến tính và dạng toàn phương, chương 7 nghiên cứu một số bài toán về Quy hoạch tuyến tính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Đại số tuyến tính - TS. Nguyễn Duy Thuận (chủ biên)

TS. NGUY N DUY THU N (Ch biên) ThS. PHI M NH BAN – TS. NÔNG QU C CHINH IS TUY N TÍNH NHÀ XU T B N I H C SƯ PH M
Mã s : 01.01.90/92. H- 2003
M CL C L I NÓI U .......................................................................................... 11 CÁC KÍ HI U .......................................................................................... 15 Chương I: NH TH C............................................................................ 18 M U .................................................................................................. 18 §1. PHÉP TH .............................................................................................. 20 1.1. nh nghĩa phép th ............................................................................ 20 1.2. Ngh ch th .......................................................................................... 21 1.3. D u c a phép th ................................................................................ 21 §2. KHÁI NI M MA TR N ......................................................................... 24 §3. NH NGHĨA VÀ TÍNH CH T C A NH TH C ............................. 26 3.1. nh nghĩa.......................................................................................... 26 3.2. Tính ch t c a nh th c ...................................................................... 27 §4. KHAI TRI N NH TH C.................................................................... 33 4.1. nh th c con - Ph n bù i s ........................................................... 33 4.2. Khai tri n nh th c theo m t dòng..................................................... 34 4.3. Khai tri n nh th c theo r dòng ......................................................... 38 §5. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NH TH C .................................................... 42 5.1. Tính nh th c c p 3 ........................................................................... 42 5.2. Áp d ng phép khai tri n nh th c theo m t dòng ho c m t c t .......... 43 5.3. ưa nh th c v d ng tam giác.......................................................... 44 5.4. Áp d ng các tính ch t c a nh th c ................................................... 47 5.5. Phương pháp quy n p và phương pháp truy h i .................................. 49 5.6. Tính nh th c b ng máy tính b túi và máy tính i n t .................... 51 §6. NG D NG - H PHƯƠNG TRÌNH CRAMER.................................... 55 6.1. nh nghĩa.......................................................................................... 55 6.2. Cách gi i ............................................................................................ 55 6.3. Gi i h Cramer b ng máy tính b túi và máy tính i n t .................... 58 TÓM T T................................................................................................. 60 BÀI T P ................................................................................................... 62 VÀI NÉT L CH S .................................................................................. 67
Chương II: KHÔNG GIAN VECTƠ ......................................................... 69 M U .................................................................................................. 69 §1. NH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CH T ƠN GI N ................................ 71 1.1. nh nghĩa.......................................................................................... 71 1.2. M t s tính ch t ơn gi n ................................................................... 72 1.3. Hi u c a hai vectơ .............................................................................. 73 §2. KHÔNG GIAN CON .............................................................................. 74 2.1. nh nghĩa.......................................................................................... 74 2.2. Tính ch t c trưng............................................................................. 74 2.3. T ng c a nh ng không gian con......................................................... 76 2.4. Giao c a nh ng không gian con.......................................................... 76 2.5. Không gian sinh b i m t h vectơ ...................................................... 77 §3. S C L P TUY N TÍNH - S PH THU C TUY N TÍNH.......... 80 3.1. nh nghĩa.......................................................................................... 80 3.2. Các tính ch t....................................................................................... 81 §4. CƠ S C A KHÔNG GIAN VECTƠ .................................................... 85 4.1. nh nghĩa.......................................................................................... 85 4.2. S t n t i c a cơ s ............................................................................ 86 §5. S CHI U C A KHÔNG GIAN VECTƠ .............................................. 89 5.1. nh nghĩa.......................................................................................... 89 5.2. S chi u c a không gian con .............................................................. 89 §6. T A C A M T VECTƠ ................................................................. 92 6.1. nh nghĩa.......................................................................................... 92 6.2. Ma tr n chuy n ................................................................................... 93 6.3. Liên h gi a các t a c a m t vectơ i v i hai cơ s khác nhau ..... 95 §7. H NG C A H VECTƠ- H NG C A MA TR N............................... 97 7.1. H ng c a h vectơ .............................................................................. 97 7.2. H ng c a ma tr n................................................................................ 98 7.3. Cách tìm h ng c a ma tr n ............................................................... 103 7.5. Tìm cơ s , s chi u c a không gian sinh b i m t h vectơ b ng máy tính i n t ..................................................................................................... 107 TÓM T T............................................................................................... 111
BÀI T P ................................................................................................. 113 VÀI NÉT L CH S ................................................................................ 121 Chương III: ÁNH X TUY N TÍNH ..................................................... 123 M U ................................................................................................ 123 §1. NH NGHĨA ÁNH X TUY N TÍNH - S XÁC NH M T ÁNH X TUY N TÍNH ............................................................................................ 124 1.1. Các nh nghĩa.................................................................................. 124 1.2. S xác nh m t ánh x tuy n tính .................................................... 128 §2. NH VÀ H T NHÂN C A ÁNH X TUY N TÍNH......................... 129 2.1. nh nghĩa và tính ch t ..................................................................... 129 2.2. Liên h gi a s chi u c a nh, h t nhân và không gian ngu n........... 133 2.3. S ng c u gi a hai không gian cùng s chi u ................................ 135 §3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P CÁC ÁNH X TUY N TÍNH - HOMK(V, W)............................................................................................. 136 3.1. Phép c ng hai ánh x tuy n tính ....................................................... 136 3.2. Phép nhân m t ánh x tuy n t ính v i m t s ..................................... 137 3.3. Không gian vectơ HomK(V, W) ........................................................ 138 3.4. Tích hai ánh x tuy n tính................................................................. 139 TÓM T T............................................................................................... 141 BÀI T P ................................................................................................. 143 VÀI NÉT L CH S ................................................................................ 147 Chương IV: H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH................................. 148 M u.................................................................................................... 148 §1. PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH - PHƯƠNG PHÁP GAUSS............. 149 1.1. nh nghĩa........................................................................................ 149 1.2. Gi i h phương trình tuy n tính b ng phương pháp Gauss (kh d n n s ) ........................................................................................................... 150 1.3. Th c hi n phương pháp Gauss trên máy tính i n t ........................ 156 §2. DI U KI N H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH CÓ NGHI M 159 2.1. i u ki n có nghi m ......................................................................... 159 2.2. Gi i h phương trình tuy n tính b ng nh th c ................................ 160
§3. H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH THU N NH T ........................ 165 3.1. nh nghĩa........................................................................................ 165 3.2. Không gian nghi m c a h thu n nh t .............................................. 166 3.3. Liên h gi a nghi m c a h phương trình tuy n tính và nghi m c a h thu n nh t liên k t ................................................................................... 170 3.4. Gi i h phương trình tuy n tính b ng máy tính i n t ..................... 171 TÓM T T.............................................................................................. 174 BÀI T P ................................................................................................. 175 VÀI NÉT L CH S ................................................................................ 181 Chương V: MA TR N ............................................................................ 183 M U ................................................................................................ 183 §1. MA TR N C A M T ÁNH X TUY N TÍNH ................................. 184 1.1. nh nghĩa........................................................................................ 184 1.2. Liên h gi a HomK(V, W) v i Mat(m.n)(K) ........................................ 186 §2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC T P MA TR N ................................. 188 2.1. Phép c ng......................................................................................... 188 2.2. Phép nhân m t ma tr n v i m t s .................................................... 189 2.3. Phép tr ............................................................................................ 190 2.4. Không gian vectơ Mat(m,n)(K) ........................................................... 190 2.5. Tích c a hai ma tr n ......................................................................... 191 2.6. Th c hi n các phép toán ma tr n b ng máy tính b túi và mây tính i n t ............................................................................................................ 196 §3. I S MATN(K) CÁC MA TR N VUÔNG C P N ......................... 200 3.1. nh th c c a tích hai ma tr n .......................................................... 200 3.2. Ma tr n ngh ch o ........................................................................... 202 3.3. Tìm ma tr n ngh ch o .................................................................... 204 3.4. M t vài ng d ng u tiên c a ma tr n ngh ch o ........................... 210 3.5. Ma tr n c a m t ng c u ................................................................. 211 §4. S THAY I C A MA TR N C A M T ÁNH X TUY N TÍNH KHI THAY I CƠ S - MA TR N NG D NG ................................ 212 4.1. S thay i c a ma tr n c a m t ánh x tuy n tính khi thay i cơ s 212 4.2. Ma tr n ng d ng............................................................................ 213
§5. VECTƠ RIÊNG-GIÁ TR RIÊNG ........................................................ 215 5.1. Vectơ riêng- Giá tr riêng.................................................................. 215 5.2. Da th c c trưng - Cách tìm vectơ riêng.......................................... 217 5.3. Tìm giá tr riêng và vectơ riêng b ng máy tính i n t ...................... 222 §6. CHÉO HOÁ MA TR N ....................................................................... 224 6.1. nh nghĩa........................................................................................ 224 6.2. i u ki n m t ma tr n chéo hoá ư c .......................................... 224 6.3. nh lí .............................................................................................. 227 TÓM T T............................................................................................... 228 BÀI T P ................................................................................................. 230 VÀI NÉT L CH S ................................................................................ 240 Chương VI: D NG SONG TUY N TÍNH D NG TOÀN PHƯƠNG ... 241 M U ................................................................................................ 241 §1. D NG TUY N TÍNH VÀ D NG SONG TUY N TÍNH .................... 242 1.1. nh nghĩa, ví d .............................................................................. 242 §2. D NG TOÀN PHƯƠNG...................................................................... 249 2.1. nh nghĩa........................................................................................ 249 2.2. Ma tr n c a d ng toàn phương.......................................................... 250 2.3. D ng toàn phương xác nh .............................................................. 251 §3. ƯA D NG TOÀN PHƯƠNG V D NG CHÍNH T C .................... 252 3.1. nh nghĩa........................................................................................ 252 3.2. nh lý ............................................................................................. 252 3.3. Dưa d ng toàn phương v d ng chinh tác b ng máy tính i n t ....... 257 3.4. nh lý quán tính.............................................................................. 259 §4. KHÔNG GIAN VECTƠ ƠCLIT ........................................................... 262 4.1. nh nghĩa không gian vectơ Ơclit ................................................... 262 4.2. Cơ s tr c chu n .............................................................................. 263 4.3. Không gian con bù tr c giao............................................................. 268 4.4. Hình chi u c a m t vectơ lên không gian con................................... 269 4.5. Phép bi n i tr c giao - Ma tr n tr c giao ....................................... 270 4.6. Phép bi n i d i x ng ..................................................................... 271 4.7. ng d ng ......................................................................................... 272
TÓM T T............................................................................................... 280 §1. D NG TUY N TÍNH, D NG SONG TUY N TÍNH.......................... 280 1.1. nh nghĩa........................................................................................ 280 1.2. Ma tr n c a d ng song tuy n t ính ..................................................... 281 1.3. Liên h gi a hai ma tr n c a cùng m t d ng song tuy n tính i v i hai cơ s khác nhau....................................................................................... 281 §2. D NG TOÀN PHƯƠNG...................................................................... 282 2.1. D ng toàn phương ............................................................................ 282 2.2. Ma tr n c a d ng toàn phương.......................................................... 282 2.3. D ng toàn phương xác nh .............................................................. 282 §3. ƯA D NG TOÀN PHƯƠNG V D NG CHÍNH T C .................... 283 3.1. nh nghĩa........................................................................................ 283 3.2. nh lý. ........................................................................................... 283 3.3. Dùng ph n m m Maple ưa d ng toàn phương v d ng chính t c 283 3.4. nh lý quán tính.............................................................................. 284 §4. KHÔNG GIAN VECTƠ ƠCLIT ........................................................... 285 4.1. nh nghĩa........................................................................................ 285 4.2. Cơ s tr c chu n .............................................................................. 285 4.3. Không gian con bù tr c giao............................................................. 286 4.4. Hình chi u c a m t vectơ lên không gian con................................... 286 4.5. Phép bi n i tr c giao - Ma tr n tr c giao ....................................... 286 4.6. Phép bi n i i x ng ..................................................................... 287 4.7. ng d ng ......................................................................................... 287 BÀI T P ................................................................................................. 288 §1. D NG SONG TUY N TÍNH............................................................... 288 §2. D NG TOÀN PHƯƠNG...................................................................... 289 VÀI NÉT L CH S ................................................................................ 293 Chương VII: QUY HO CH TUY N ANH............................................. 294 M D U ................................................................................................ 294 §1. BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH ........................................... 295 1.1. M t vài bài toán th c t .................................................................... 295 1.2. Bài toán quy ho ch tuy n t ính........................................................... 297
1.3. Ý nghĩa hình h c và phương pháp th ........................................... 302 §2. PHƯƠNG PHÁP ƠN HÌNH VÀ CÁC THU T TOÁN C A NÓ ..... 306 2.1. M t s tính ch t c a bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c ... 306 2.2. Phương pháp ơn hình...................................................................... 313 2.3. Gi i các bài toán quy ho ch tuy n tính b ng máy tính i n t ( Theo l p trình tính toán v i Mathematica 4.0)........................................................ 335 TÓM T T............................................................................................... 339 BÀI T P ................................................................................................. 340 VÀI NÉT L CH S ................................................................................ 346 L I GI I -HƯ NG D N -TR L I ..................................................... 347 TÀI LI U THAM KH O ....................................................................... 385
L I NÓI U th i i c a chúng ta, khoa h c và kĩ thu t phát tri n như vũ bão. Chúng òi h i ngành giáo d c ph i luôn luôn i m i k p th i áp ng m i nhu c u v tri th c khoa h c c a thanh thi u niên, giúp h có kh năng lao ng và sáng t o trong cu c s ng sôi ng. Hi n nay chương trình và sách giáo khoa b c ph thông nư c ta ã b t u và ang thay i phù h p v i òi h i y. Trư ng Cao ng Sư ph m, cái nôi ào t o giáo viên THCS, c n ph i có nh ng i m i tương ng v chương trình và sách giáo khoa. Vì m c ích ó, b sách giáo khoa m i ra i, thay th cho b sách giáo khoa cũ. Cu n sách i s tuy n tính biên so n l n này, n m trong khuôn kh c a cu c i m i y. Nó nh m làm m t giáo trình tiêu chu n chung cho các trư ng Cao ng Sư ph m trong c nư c theo chương trình m i (chương trình 2002), òi h i không nh ng ph i i m i nh ng n i dung ki n th c (n u c n) và c phương pháp gi ng d y c a gi ng viên cũng như phương pháp h c t p c a sinh viên. M t khác, qua m t th i gian dài th c hi n chương trình và sách giáo khoa cũ, n nay ã có th ánh giá nh ng ưu, khuy t i m c a nó, s phù h p c a nó v i trình u vào c a sinh viên các trư ng Cao ng Sư ph m. Do ó cu n sách biên so n l n này cũng th a hư ng nh ng ưu i m và kh c ph c nh ng thi u sót c a nh ng cu n sách cũ. i tư ng s d ng cu n sách này là sinh viên và gi ng viên các trư ng Cao ng Sư ph m trong c nư c, các giáo viên THCS c n ư c b i dư ng t trình chu n hoá. Cu n sách cũng có th ư c dùng cho các trư ng i h c và Cao ng khác và cho t t c nh ng ai mu n t h c môn h c này. Cơ s l a ch n n i dung c a giáo trình này là yêu c u u ra và trình u vào c a sinh viên Cao ng Sư ph m hi n nay, ng th i cũng c n tính n vai trò c a môn h c i v i các môn khoa h c khác như Gi i tích, Hình h c, V t lý, Hoá h c,v.v.., và t o i u ki n cho ngư i h c có th h c lên cao hơn. C th , giáo trình này ph i trang b ư c cho ngư i giáo viên toán tương lai trư ng THCS nh ng ki n th c c n thi t, y , v ng vàng v i s tuy n tính gi ng d y t t nh n g ph n liên quan trong chương trình toán THCS. Tuy nhiên, n i dung và phương pháp trình bày nh ng n i dung y l i ph i phù h p v i trình 11
nh n th c và kh năng ti p nh n sinh viên. M t khác, giáo trình này cũng ph i cung c p y ki n th c giúp ngư i c có th h c ư c nh ng môn khoa h c khác như ã nói trên; ng th i áp ng mong mu n c a nh ng sinh viên có hoài bão nâng cao hơn n a trình c a mình. Vì th , n i dung cu n sách ch a ng nh ng i u r t cơ b n mà m i sinh viên c n n m v ng, nhưng cũng có nh ng ph n không òi h i m i sinh viên u ph i hi u. Môn quy ho ch tuy n tính có s d ng nhi u ki n th c i s tuy n tính. Nhi u sách i s tuy n tính trên th gi i x p nó như m t chương c a mình dư i m c "B t phương trình tuy n tính". Trong chương trình Cao ng Sư ph m m i c a h ào t o giáo viên d y hai môn, n i dung c a môn Quy ho ch tuy n tính có gi m b t. Nó cũng ư c x p vào m t chương trong giáo trình i s tuy n tính này. Cu n sách này g m b y chương: Chương I. Trình bày nh nghĩa, các tính ch t c a nh th c và các phương pháp cơ b n tính nh th c. ó là m t phương ti n nghiên c u không gian vectơ và lý thuy t h phương trình tuy n tính. Chương II và chương III. Nghiên c u không gian vectơ và các ánh x gi a các không gian y - ánh x tuy n tính. Nó là cơ s c a i s tuy n tính. Nó giúp cho vi c hoàn thi n lý thuy t h phương trình tuy n tính. Chương IV. H phương trình tuy n tính. ó là m t trong nh n g hư ng m r ng c a phương trình ư c h c trư ng ph thông. V i chương này, lý thuy t h phương trình tuy n tính ư c coi là hoàn thi n. Chương V. Nghiên c u ma tr n và m i liên h gi a ma tr n v i không gian vectơ. Nh nó mà các ánh x tuy n tính ư c nghiên c u sâu s c hơn. Chương VI. Nghiên c u d ng song tuy n tính và d ng toàn phương, m t ph n c a lý thuy t d ng trong i s tuy n tính nhưng l i có nh hư ng sâu s c n Hình h c, Phương trình vi phân và Phương trình o hàm riêng. Chương VII: Nghiên c u m t s bài toán c a Quy ho ch tuy n tính. Ph n i s tuy n tính c a cu n sách này ư c dùng chung cho c hai h ào t o giáo viên toán (h ào t o giáo viên d y môn Toán cùng v i môn th hai, và h ào t o giáo viên d y ch m t môn Toán). Yêu c u i v i m i h có khác nhau. i v i h ào t o giáo viên d y hai 12
môn, chương trình ch yêu c u sinh viên n m ư c nh ng i u r t cơ b n. Ch ng h n, i v i chương nh th c yêu c u ch là hi u ư c nh nghĩa nh th c, n m v ng các tính ch t tính ư c các nh th c thông thư ng, không c n hi u kĩ ch ng minh c a các tính ch t này. Song i v i h ào t o giáo viên ch d y Toán thì òi h i cao hơn c v n i dung và c v rèn luy n và phát tri n tư duy toán h c. Tuy nhiên nh n g òi h i này ư c th c hi n n âu còn tuỳ thu c vào trình sinh viên t ng a phương. ó là ph n m m d o mà các trư ng v n d ng linh ho t. Ph n Quy ho ch tuy n tính ây ch dùng cho h ào t o giáo viên d y hai môn. M i chương u có ph n m u nêu lên nh ng yêu c u và cách h c t p c a chương y. Cu i m i chương có ph n tóm t t ôi nét chính n i dung c a chương b n c có d p ôn t p l i. Ph n bài t p có m t s lư ng có th vư t quá yêu c u chung ôi chút vì các tác gi cu n sách mong mu n giúp cho nh ng b n c ham thích môn h c này có thêm cơ h i rèn luy n kĩ năng. Vì v y, i v i s ông sinh viên thì gi ng viên c n ch d n cho h nh ng bài c th . Tuy nhiên b n c c g ng gi i càng nhi u bài t p càng t t. Các ph n in ch nh không òi h i sinh viên ph i c. Chúng ch dành cho nh ng ai thích thú tìm hi u. h c ư c giáo trình này, ngư i h c c n ư c b sung ki n th c v s ph c khi mà chương trình Toán THPT chưa c p t i; hơn n a cũng c n có khái ni m v các c u trúc i s như nhóm, vành, trư ng ti n di n t và b t nh p ư c v i cách trình bày giáo trình; c n c ng c v ng vàng ki n th c toán h c b c THPT. Giáo trình này ư c h c vào năm th nh t sau ph n c u trúc is c a giáo trình Nh p môn Toán h c Cao c p. Khi gi ng d y giáo trình này, có th k t h p nhi u hình th c như thuy t trình c a gi ng viên, hư ng d n sinh viên t c sách, t ch c xêmina, v.v... Ch ng h n, có th t ch c xêmina các m c: Các phương pháp tính nh th c; Gi i h phương trình tuy n tính; Các phép tính v ma tr n. M t i u mà các tác gi mu n lưu ý thêm i v i các gi ng viên là: vì giáo trình còn ư c s d ng t h c nên có nhi u ch ph i t vn d n d t ngư i h c, có nhi u ví d . Do ó khi gi ng bài l p, các gi ng viên nên l a ch n nh ng i u c n thi t nh t có th i gian truy n t nh ng ki n th c cơ b n, nh ng ph n còn l i dành cho sinh viên t h c. Cũng như ã nói trên, i s tuy n tính có nhi u ng d ng, do ó sinh viên c n có kĩ năng v n d ng ki n th c và k năng tính toán. 13
Mu n th vi c th c hành c a sinh viên c n ư c coi tr ng. Nên c g n g gi m b t th i gian h c lý thuy t l p giành thêm th i gian cho vi c gi i bài t p c a sinh viên, và n u có th thu x p ư c m t t l gi a th i gian d y lý thuy t và th i gian làm bài t p là 1/1 thì càng t t. i v i ngư i h c, khi h c giáo trình này luôn luôn có giây và bút trong tay t mình mô t các khái ni m d a theo nh ng nh nghĩa; t mình ch ng minh các nh lí sau khi ã tìm hi u kĩ gi thi t và k t lu n; v n d ng các khái ni m, các nh lí t mình trình bày các ví d cho trong sách. Cu i m i chương có ph n tóm t t, b n c nên t n d ng nó c ng c và h th ng l i ki n th c ã h c ư c chương y. Cũng c n nói thêm r ng i s tuy n tính là m t trong nh ng ngành khoa h c c nh t nhưng cũng r t hi n i. Nh ng i u ư c trình bày ây ch là nh ng i u cơ b n nh t, m u c a i s tuy n tính trên trư ng s (mà ch y u là trư ng s th c). Còn nhi u v n n i dung chưa th cp t i. Trong cu n sách này ch K ư c kí hi u chung cho c ba trư ng s , trư ng s h u t Q, trư ng s th c R và trư ng s ph c C, m i khi mu n nói m t i u gì chung cho c ba trư ng s y. Cu i cùng, các tác gi hi v ng r ng cu n sách áp ng ư c nh n g òi h i c a chương trình, nh ng mong mu n c a b n c. Tuy nhiên, cu n sách chưa tránh kh i h t m i khi m khuy t. Vì th , các tác gi mong nh n ư c nhi u ý ki n c a b n c có th s a ch a nh ng sai sót làm cho cu n sách ngày càng hoàn thi n và ngày càng h u ích hơn. Xin chân thành c m ơn! Các tác gi 14
CÁC KÍ HI U Xn T p h p {1, 2,..., n} g m n s t nhiên t 1 n n. 1 2 ... n  σ=  Phép th σ bi n ph n t 1 thành σ(i).   σ(1) σ(2) ... σ(n)    Sn T p h p các phép th trên t p Xn sgn(σ) D u c a phép th σ. n ∑a T ng a1 + a2 +...+ an. i i=1 ∑a T ng các s aj, v i j thu c t p ch s J. j j∈J n Tích a1a2...an. ∏a i i =1 Tích các th a s aj, v i j thu c t p ch s J. ∏a j j∈ J A = (aij)(m,n) Ma tr n A có m dòng, n c t,v i các thành ph n aij dòng th i, c t th j. A = (aij)n Ma tr n vuông c p n. Matn(K) T p h p các ma tr n vuông c p n v i các thành ph n thu c trư ng K. t A Ma tr n chuy n v c a ma tr n A. -1 A Ma tr n ngh ch o c a ma tr n A. |A| nh th c c a ma tr n A. I Ma tr n ơn v . ~ M nh th c con bù c a thành ph n aij trong ma ij tr n vuông (aij). 15
Aij Ph n bù i s c a thành ph n aij. M ijll ... ir r nh th c con xác nh b i các dòng i1,.., ir ....j và các c t i1,..., jr. ~ i1 ...i r M nh th c con M ij ... i . nh th c con bù c a l r ....j j1 ... jr l r A ij11... ir r nh th c con M ij ... i . Ph n bù is c a l r ....j ....j l r h ng(A) H ng c a ma tr n A. A+B T ng c a hai ma tr n A và B. AB Tích c a hai ma tr n A và B. Vectơ, là m t ph n t c a không gian vectơ. α -α Vectơ i c a α. Vectơ không. 0 A = { α 1, α 2,..., α m} H vectơ g m các vectơ α 1, α 2,... α m. h ng(A) H ng c a h vectơ A.. A (ε) ={ ε 1 ε 2,..., ε n} Cơ s (ε) c a không gian vectơ. S chi u c a K- không gian vectơ V. dimKV f: V → W Ánh x tuy n tính t không gian V n không gian W. f(X) nh c a t p X qua ánh x tuy n tính f. Imf nh c a không gian V hay nh c a ánh x tuy n tính f. f-1(Y) nh ngư c c a t p Y. Kerf hay f-1(0) H t nhân c a ánh x tuy n tính f. HomK(V, W) T p h p các ánh x tuy n tính t V n W. f+g T ng c a hai ánh x tuy n tính f và g. gf Tích c a hai ánh x tuy n tính f và g. Tích vô hư ng c a hai vectơ. α.β 16
α tr c giao v i β . α⊥ β H⊥G Không gian H tr c giao v i không gian G. Chu n c a α . α hchw α Hình chi u c a α lên không gian W. |z| Mô un c a s ph c z. S ph c liên h p c a s ph c z. z “⇒” Ch ng minh i u ki n c n. “⇐” Ch ng minh i u ki n . x* Phương án t i ưu. * X T p phương án t i ưu. Ai Vectơ dòng th i c a ma tr n A. Aj Vectơ c t th j c a ma tr n A. 17
Chương I NH TH C M U l p 9, ta gi i h phương trình b c nh t hai n b ng phương pháp c ng i s ho c phương pháp th . Nh ng phương pháp này ã giúp ta d dàng gi i các h phương trình v i h s b ng s . Nhưng lên l p 10, khi ph i bi n lu n h phương trình: ta th y hai phương pháp trên kém t ng quát. Song n u dùng khái ni m nh th c c p hai thì vi c trình bày tr nên sáng s a, g n gàng. Ta s th y r ng khi khái ni m nh th c c p n, (v i n là m t s nguyên dương tuỳ ý) ư c xây d ng, thì nó có m t vai trò r t to l n. Nó còn ư c áp d ng vào h u h t các chương trong giáo trình này; c bi t, nó góp ph n ưa v n gi i h phương trình b c nh t tr thành m t lý thuy t. Nó còn ư c áp d ng trong nhi u b môn khoa h c khác như Hình h c, Gi i tích, V t lí, Hoá h c, v.v... Chính vì th mà ta c n n m v ng các tính ch t c a nh th c và các phương pháp tính nh th c, làm nhi u bài t p rèn luy n kĩ năng tính nh th c có th v n d ng t t khi h c t p và nghiên c u b môn i s tuy n tính này cũng như nh ng môn khoa h c khác. nh nghĩa nh th c c p n ta c n các khái ni m phép th và ma tr n. Yêu c u chính c a chương này là: - Hi u rõ và n m v ng các tính ch t c a nh th c. - N m v ng các phương pháp tính nh th c có th tính thành th o nh ng nh th c c n thi t. 18
Hơn n a, trong chương này ta c n dùng m t vài kí hi u sau: T ng n ∑a c a n s : a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an, (n ≥ 1 ), ư c vi t g n là , i i =1 c là "xích ma ai, i ch y t 1 n n". T ng quát hơn, n u ch s ch y kh p m t t p I nào ó thì ta vi t là ∑ a i , và c là "xích ma ai, thu c I". i∈I 7 ∑a Ví d : a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = , c là “xích ma ai, i i i =1 ch y t 1 n 7”. n • Tích c a n s : a1a2a3...an. (n ≥ 1), ư c vi t g n là , và c là ∏a i i =1 “pi ai, i ch y t 1 n n”. N u ch s t ch y kh p m t t p I nào ó thì ta vi t là và c là “pi, ai, i thu c I”. ∏a i i∈I n Ví d : a1a2a3a4a5 = , c là “pi ai, i ch y t 1 n 5”. ∏a i i =1 • Cu i cùng trong cu n sách này ta dùng t “trư ng K” m i khi mu n nói n m t i u nào ó chung cho c trư ng s h u t Q, trư ng s th c R và trư ng s ph c C. Ta hãy tìm hi u khái ni m phép th . 19
§1. PHÉP TH ây ta ch dùng khái ni m phép th như m t phương ti n nghiên c u nh th c ch chưa nghiên c u sâu v nó. h c chương này b n c ch c n hi u và nh nh nghĩa các d ng phép th và tính ch t v d u c a nó, không c n nh ch ng minh. 1.1. nh nghĩa phép th a) Gi s t p h p Xn = {1, 2, 3,..., n}, ( n ≥ 1 ). M t song ánh σ : Xn → Xn ư c g i là m t phép th trên t p Xn. Nói riêng, song nh ng nh t ư c g i là phép th ng nh t. b) M t phép th τ trên t p Xn ư c g i là m t chuy n trí hai ph n t i, j thu c Xn n u τ(i) = j, τ(j) = i và τ(k) = k, v i m i k ∈ Xn, k ≠ i, k ≠ i. Nó còn ư c kí hi u b i (i, j). Nói m t cách ơn gi n, m t chuy n trí ch hoán v hai ph n t nào ó c a Xn, còn gi nguyên m i ph n t khác. T p h p t t c các phép th trên t p Xn ư c kí hi u b i Sn. Phép th σ : Xn → Xn ư c bi u di n như sau: trong ó σ(i) là nh c a ph n t i ∈ Xn ư c vi t dòng dư i, trong cùng m t c t v i i. 1 2 3 4  Ví d 1. σ =   3 2 4 1  là phép th trên t p X4 = {1, 2, 3, 4} xác    nh b i: σ(1) = 3, σ(2) = 2, ε(3) = 4, σ(4) = 1. 1 2 3 4  τ= 1 4 3 2  là m t chuy n trí hoán v hai s 2 và 4. Nó ư c    vi t g n là τ = (2, 4). Chú ý. nh c a các ph n t c a t p Xn qua m i phép th cho ta m t hoán v trên t p Xn. Ngư c l i, m i hoán v l i xác nh m t phép th , 20
1 2 3 4 (ch ng h n, hoán v (3, 4, 1, 2) xác nh phép th µ =   trên   3 4 1 2 t p X4). Vì th s các phép th trên t p Xn b ng s các hoán v trên t p y; nghĩa là b ng n!. Như v y, t p Sn có n! ph n t . Ví d 2. S3 có 3! = 1.2.3 = 6 ph n t . ó là nh ng phép th sau: 1.2. Ngh ch th nh nghĩa. Gi s mà m t phép th trên t p Xn. V i i,j ∈ Xn, i ≠ j, ta nói c p (σ(i), σ(j)) là m t ngh ch th c a σ n u i σ(j).  1 2 3 Ví d . Trên X3, phép th σ2 =   Có 2 ngh ch th là: (2, 1), (3,    2 3 1  1 2 3 1), phép th τ2 =   có 3 ngh ch th là: (3, 2), (3, 1), (2, 1).   3 2 1 1.3. D u c a phép th nh nghĩa. Ta g i phép th σ là m t phép th ch n nên nó có m t s ch n ngh ch th . σ ư c g i là phép th l n u nó có m t s l ngh ch th . Ta gán cho m i phép th ch n m t giá tr b ng +1, m i phép th l m t giá tr b ng -1. Giá tr này c a phép th σ ư c g i là d u c a σ và ư c kí hi u b i sgn(σ). Như v y, theo nh nghĩa, sgn(σ) =  1 2 3 Ví d . Trong ví d m c 1.2, ta th y phép th τ =   3 2 1  là m t    21