Giáo trình Giải tích 1 - Huỳnh Thế Phùng

Chia sẻ: Dinh Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

340
lượt xem 50
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình "Giải tích 1" do Huỳnh Thế Phùng biên soạn có cấu trúc gồm 3 chương trình bày các nội dung: Đường thẳng thực, giới hạn và liên tục của hàm một biến thực, đạo hàm và vi phân của hàm một biến. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Giải tích 1 - Huỳnh Thế Phùng

GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH I Huỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH Huế Ngày 26 tháng 9 năm 2006
1 Mục lục Chương 1. Đường thẳng thực 4 1.1. Trường Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Hệ tiên đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Định lý Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4. Tập số thực mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Các phép toán qua giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3. Điểm tụ - Các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4. Số e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Định nghĩa - Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Chuỗi dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3. Hội tụ tuyệt đối - Bán hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Tôpô trên tập số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1. Lân cận - Tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Điểm tụ - Điểm dính - Bao đóng - Tập đóng . . . . . . . . . . 15 1.4.3. Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.1. Giới thiệu phần mềm Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.2. Các thao tác trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.3. Giải (hệ) phương trình, (hệ) bất phương trình . . . . . . . . . 19 1.5.4. Tính giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.5. Tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2 Giới hạn và liên tục của hàm một biến thực 26
2 2.1. Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1. Định nghĩa - Phân loại hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2. Các phép toán trên hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3. Một số hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2. Các định lý cơ bản về giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3. Vô cùng bé, vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.4. Giới hạn của một số hàm số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Sự liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.3. Hàm luỹ thừa, hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.1. Định nghĩa một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.2. Vẽ đồ thị của hàm số trên hệ toạ độ Oxy . . . . . . . . . . . . 39 2.4.3. Tính giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Chương 3 Đạo hàm và Vi phân của hàm một biến 48 3.1. Đạo hàm - Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.3. Đạo hàm các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.1. Vi phân bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.2. Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.1. Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.2. Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4. Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4.1. Đa thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4.2. Ước lượng phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 3.4.3. Các khai triển quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5.1. Tính đơn điệu, cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5.2. Tính lồi lõm, điểm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.6. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.6.1. Tính đạo hàm của một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.6.2. Khai triển Taylor của hàm f tại x = a đến cấp n . . . . . . . 58 3.6.3. Tính giới hạn các dạng vô định . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6.4. Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.7. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Chương 1. ĐƯỜNG THẲNG THỰC 1.1. Trường Số thực 1.1.1. Hệ tiên đề Tập số thực R là tập hợp trên đó có hai phép toán cộng (+), nhân (·) và quan hệ thứ tự ≤ sao cho R là một trường có thứ tự đầy đủ. Cụ thể, (a) + và · là các phép toán hai ngôi trên R sao cho (R,+,·) lập thành một trường. Tức là, + :R × R −→ R, (x, y) −→ x + y. · :R × R −→ R, (x, y) −→ xy = x · y. thoả mãn (R.1) x + y = y + x với mọi x, y ∈ R; (R.2) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z ∈ R; (R.3) Tồn tại phần tử 0 ∈ R sao cho x + 0 = x với mọi x ∈ R; (R.4) Với mọi x ∈ R tồn tại phần tử − x ∈ R sao cho x + (−x) = 0; (R.5) xy = yx với mọi x, y ∈ R; (R.6) (xy)z = x(yz) với mọi x, y, z ∈ R; (R.7) Tồn tại phần tử 1 ∈ R sao cho 1x = x với mọi x ∈ R; (R.8) Với mọi x ∈ R \ {0} tồn tại phần tử x−1 ∈ R sao cho x(x−1 ) = 1; (R.9) (x + y)z = xz + yz với mọi x, y, z ∈ R. (b) R là một trường sắp thứ tự toàn phần. Tức là: (R.10) x ≤ x với mọi x ∈ R;
5 (R.11) (x ≤ y) ∧ (y ≤ x) ⇒ x = y với mọi x, y ∈ R; (R.12) (x ≤ y) ∧ (y ≤ z) ⇒ x ≤ z với mọi x, y, z ∈ R; (R.13) Với mọi x, y ∈ R ta phải có x ≤ y hoặc y ≤ x; (R.14) x ≤ y ⇔ x + z ≤ y + z với mọi x, y, z ∈ R; (R.15) (0 ≤ x) ∧ (0 ≤ y) ⇒ 0 ≤ xy với mọi x, y ∈ R. Như thông thường, ta viết y ≥ x thay vì viết x ≤ y và viết x < y (hoặc y > x) mỗi khi x ≤ y và x 6= y. Cho A ⊂ R. Ta nói A bị chặn trên nếu tồn tại v ∈ R sao cho a ≤ v với mọi a ∈ A. Lúc đó v được gọi là một cận trên của A. Giả sử A là một tập bị chặn trên, β được gọi là một cận trên đúng của A nếu nó là cận trên bé nhất của A. Tức là, + ∀a ∈ A : a ≤ β; + ∀u < β, ∃a ∈ A : u < a. (c) R là một trường được sắp thứ tự đầy đủ. Tức là (R.16) Mọi tập khác rỗng bị chặn trên trong R đều tồn tại cận trên đúng. Tương tự, ta có các định nghĩa về tập bị chặn dưới, cận dưới và cận dưới đúng. Cận trên đúng của A được ký hiệu là supA còn cận dưới đúng được ký hiệu là infA. Một tập vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn. Định lý 1.1. Mọi tập khác rỗng bị chặn dưới trong R đều tồn tại cận dưới đúng. Định lý 1.2. Cho A ⊂ R. Lúc đó a) β = sup A ⇔ {(a ≤ β; ∀a ∈ A) và (∀² > 0, ∃a ∈ A : β − ² < a)}. b) α = inf A ⇔ {(α ≤ a; ∀a ∈ A) và (∀² > 0, ∃a ∈ A : a < α + ²)}. c) A bị chặn dưới nếu và chỉ nếu −A bị chặn trên, và lúc đó sup(−A) = − inf A. 1.1.2. Định lý Archimedes Để dễ sử dụng, ta vẫn gọi số nguyên dương là các số 1, 2, ..., n,..., mà được định nghĩa một cách quy nạp như sau: 1 là phần tử đơn vị; 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; · · · ; n = (n − 1) + 1; · · · . Ta gọi số nguyên là các số 0, ±1, ±2, ... ±n,.... Tập hợp các số nguyên, số nguyên dương lần lượt được ký hiệu là Z và N∗ . Tập hợp N := N∗ ∪ {0} được gọi là tập các số tự nhiên. Q là ký hiệu tập các số hữu tỷ. Đó là các số có dạng m := mn−1 với m ∈ Z, n ∈ N∗ . Cuối cùng, các số thực x ∈ R \ Q được gọi là số vô n tỷ. Với hai số thực a, b cho trước, ta gọi: Đoạn hay khoảng đóng [a, b] là tập {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}; Khoảng hay khoảng mở (a, b) là tập {x ∈ R | a < x < b};
6 Khoảng nửa đóng trái [a, b) là tập {x ∈ R | a ≤ x < b}; Khoảng nửa đóng phải (a, b] là tập {x ∈ R | a < x ≤ b}; Định lý 1.3 (Định lý Archimedes). Với mọi λ > 0, x ∈ R tồn tại n ∈ Z sao cho x ∈ [(n − 1)λ, nλ). Chứng minh. Giả sử pλ ≤ x với mọi p ∈ Z. Lúc đó tập A := {pλ | p ∈ Z} bị chặn trên, nên tồn tại cận trên đúng β. Theo Định lý 1.2 tồn tại p ∈ Z sao cho pλ > β − λ, hay β < (p + 1)λ ∈ A, vô lý. Vậy tồn tại p ∈ Z sao cho x < pλ. Lúc đó tập B := {pλ | p ∈ Z; pλ > x} khác rỗng và bị chặn dưới bởi x, nên tồn tại α = inf B. Cũng theo Định lý 1.2, tồn tại nλ ∈ B sao cho nλ < α + λ2 . Từ đây ta có (n − 1)λ < α nên (n − 1)λ 6∈ B, hay (n − 1)λ ≤ x. Mặt khác, nλ ∈ B nên x ∈ [(n − 1)λ, nλ). Áp dụng định lý này với λ = 1 ta suy ra, với mọi số thực x tồn tại số nguyên n ∈ Z sao cho n ≤ x < n + 1. Số n như vậy được gọi là phần nguyên của x và được ký hiệu bởi [x]. Hệ quả 1.1. Giữa hai số thực bất kỳ a < b luôn tồn tại số hữu tỷ r sao cho a < r < b. Chứng minh. Vì b − a > 0 nên theo Định lý Archimedes tồn tại n ∈ N∗ sao cho 1 1 n> , hay < b − a. Cũng theo Định lý Archimedes tồn tại m ∈ Z sao cho b−a n m−1 m m ≤ a < . Từ đó, a < < b. n n n 1.1.3. Trị tuyệt đối Với mỗi số thực x, ta ký hiệu trị tuyệt đối của nó bởi |x|. Đó là số thực được định nghĩa như sau    x; nếu x > 0, |x| := −x; nếu x < 0,   0; nếu x = 0. Ta dễ dàng kiểm chứng được các tính chất sau của trị tuyệt đối. (i) |x| ≥ 0; ∀x ∈ R. (ii) |x| = 0 ⇔ x = 0. (iii) |x + y| ≤ |x| + |y|; ∀x, y ∈ R. (iv) |xy| = |x||y|; ∀x, y ∈ R.
7 1.1.4. Tập số thực mở rộng Tập số thực mở rộng R bao gồm R và hai phần tử −∞, ∞ với quy ước như sau: (i) Với mọi x ∈ R: −∞ < x < ∞ và x x x + ∞ = ∞ + x = ∞; x + (−∞) = −∞ + x = −∞; = = 0. −∞ ∞ (ii) Với mọi x > 0 x.∞ = ∞.x = ∞; x.(−∞) = (−∞).x = −∞. (iii) Với mọi x < 0 x.∞ = ∞.x = −∞; x.(−∞) = (−∞).x = ∞. Ngoài ra, các phép toán sau không được định nghĩa trong R: 0.∞; ∞.0; ∞ + (−∞); (−∞) + ∞. Lúc này, nếu A là một tập không bị chặn trên trong R ta có thể đặt sup A = ∞. Tương tự, nếu A không bị chặn dưới thì inf A = −∞. Để thuận lợi người ta cũng quy ước sup ∅ = −∞ và inf ∅ = +∞. Cuối cùng, với các định nghĩa khoảng như trong Mục 1.1.2. ta có R = (−∞, ∞); R = [−∞, ∞]. 1.2. Dãy số 1.2.1. Dãy hội tụ Ta gọi một dãy số là một ánh xạ f từ tập các số nguyên dương N∗ (hoặc tập số tự nhiên N) vào R. Lúc đó, nếu ký hiệu xn = f (n) với mỗi n ∈ N∗ thì dãy f còn được gọi là dãy {x1 , x2 , · · · , xn , · · · } hay, đơn giản hơn, (xn )n . Cho dãy f = (xn )n . Giả sử ϕ : N −→ N là ánh xạ sao cho ϕ(k) < ϕ(k + 1) với mọi k. Lúc đó f ◦ ϕ được gọi là một dãy con của f . Trong thực tế, người ta thường đặt nk := ϕ(k), như vậy (f ◦ ϕ)(k) = f (ϕ(k)) = f (nk ) = xnk . Do đó, dãy con f ◦ ϕ của dãy (xn )n chính là dãy {xn1 , xn2 , · · · , xnk , · · · } hay (xnk )k , trong đó n1 < n2 < · · · < nk < · · · .
8 Một số thực a được gọi là giới hạn của dãy số (xn )n nếu với mọi số ² dương tồn tại chỉ số n0 đủ lớn sao cho |xn − a| < ², với mọi n ≥ n0 . Khi đó ta nói dãy số (xn )n hội tụ (đến a) và viết theo một trong các cách sau xn −→ a; xn −→ a; a = lim xn ; a = lim xn n→∞ n→∞ Nếu (xn )n không hội tụ (đến một số thực nào) ta gọi nó là dãy phân kỳ. Dãy (xn )n được gọi là phân kỳ đến +∞ (−∞) và ký hiệu lim xn = +∞ ( lim xn = −∞) n→∞ n→∞ nếu ∀A ∈ R, ∃n0 , ∀n ≥ n0 : xn > A (xn < A). Dãy (xn )n được gọi là bị chặn nếu tồn tại m, M ∈ R sao cho xn ∈ [m, M ] với mọi n, hay một cách tương đương, tồn tại M > 0 sao cho |xn | ≤ M với mọi n. Mệnh đề 1.4. Mọi dãy số hội tụ đều bị chặn. Mệnh đề 1.5. Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất. Mệnh đề 1.6. Nếu dãy số (xn )n hội tụ đến một số dương (âm), thì tồn tại n0 sao cho xn > 0 (xn < 0) với mọi n ≥ n0 . 1.2.2. Các phép toán qua giới hạn Định lý 1.7. Cho hai dãy số hội tụ (xn )n và (yn )n và c là một số thực. Lúc đó các dãy (xn ± yn )n , (xn yn )n , (cxn )n cũng hội tụ và a) lim (xn ± yn ) = lim xn ± lim yn . n→∞ n→∞ n→∞ b) lim (cxn ) = c lim xn . n→∞ n→∞ c) lim (xn yn ) = lim xn . lim yn . n→∞ n→∞ n→∞ ³x ´ xn lim xn n d) Nếu lim yn 6= 0, thì dãy cũng hội tụ và lim = . n→∞ yn n yn lim yn Mệnh đề 1.8. Cho 2 dãy số hội tụ (xn )n và (yn )n . Lúc đó a) Nếu xn ≥ 0 với mọi n thì lim xn ≥ 0. n→∞ b) Nếu xn ≥ yn với mọi n thì lim xn ≥ lim yn . n→∞ n→∞ c) Nếu lim xn = a = lim yn và (zn )n là dãy số sao cho với một số n0 ∈ N nào n→∞ n→∞ đó xn ≥ zn ≥ yn với mọi n ≥ n0 , thì lim zn = a. n→∞
9 Mệnh đề 1.9. Nếu dãy (xn )n hội tụ về 0 còn dãy (yn )n bị chặn, thì dãy (xn yn )n hội tụ về 0. Mệnh đề 1.10. Cho 2 dãy số (xn )n , (yn )n với (xn )n phân kỳ đến ±∞. Lúc đó, a) Nếu dãy (yn )n bị chặn thì lim (xn ± yn ) = lim xn . n→∞ n→∞ b) Nếu tồn tại số dương ² sao cho yn ≥ ² với mọi n thì lim (xn yn ) = lim xn . n→∞ n→∞ Mệnh đề 1.11. Cho dãy số (xn )n ⊂ R \ {0}, ta có 1 lim xn = 0 ⇔ lim = +∞. n→∞ n→∞ |xn | 1.2.3. Điểm tụ - Các tiêu chuẩn hội tụ Dãy số (xn )n được gọi là dãy tăng (giảm, không giảm, không tăng) nếu với mọi n ta có xn < xn+1 (xn > xn+1 , xn ≤ xn+1 , xn ≥ xn+1 ). Dãy thoả mãn một trong bốn tính chất đó được gọi là dãy đơn điệu. Định lý 1.12. Cho dãy (xn )n . a) Nếu (xn )n không giảm và bị chặn trên thì hội tụ. Lúc đó lim xn = sup{xn | n ∈ N}. n→∞ b) Nếu (xn )n không tăng và bị chặn dưới thì hội tụ. Lúc đó lim xn = inf{xn | n ∈ N}. n→∞ c) Mọi dãy đơn điệu không bị chặn đều phân kỳ đến ∞ hoặc −∞. Hệ quả 1.2. Cho hai dãy (xn )n , (yn )n sao cho (i) (xn )n không giảm, (yn )n không tăng; (ii) xn ≤ yn với mọi n ∈ N. Lúc đó cả hai dãy trên đều hội tụ và lim xn ≤ lim yn . Nếu thêm điều kiện lim(yn − xn ) = 0 thì lim xn = lim yn . Cho dãy bị chặn (xn )n . Với mỗi k ∈ N, ta đặt: uk := inf{xn | n ≥ k}; vk := sup{xn | n ≥ k}. Lúc đó, uk ≤ uk+1 ≤ vk+1 ≤ vk với mọi k. Từ Hệ quả 1.2 ta thấy cả hai dãy này đều hội tụ và u = lim uk ≤ lim vk = v. Người ta gọi u (v) là giới hạn dưới (giới hạn k→∞ k→∞ trên) của dãy (xn )n và ký hiệu là lim xn ( lim xn ) hay lim inf xn (lim supxn ). n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
10 Trường hợp dãy (xn )n không bị chặn, ta cũng có (uk )k , (vk )k là các dãy đơn điệu trong [−∞, ∞]. Do đó ta có thể định nghĩa giới hạn dưới và giới hạn trên (có thể bằng vô cùng) của (xn )n trong mọi trường hợp. Kết quả sau cho ta cái nhìn rõ ràng hơn về các giới hạn này. Mệnh đề 1.13. a) (xn )n không bị chặn trên ⇔ lim sup xn = +∞. b) (xn )n không bị chặn dưới ⇔ lim inf xn = −∞. c) lim xn = −∞ ⇔ lim sup xn = −∞. d) lim xn = +∞ ⇔ lim inf xn = +∞ Định lý 1.14. Cho (xn )n và u, v ∈ R. a) lim inf xn = u khi và chỉ khi hai điều sau thoả mãn: (i) ∀² > 0, ∃n0 , ∀n ≥ n0 : xn > u − ²; (ii) ∀² > 0, ∀m ∈ N, ∃n > m : xn < u + ². b) lim sup xn = v khi và chỉ khi hai điều sau thoả mãn: (i) ∀² > 0, ∃n0 , ∀n ≥ n0 : xn < v + ²; (ii) ∀² > 0, ∀m ∈ N, ∃n > m : xn > v − ². c) (xn )n hội tụ khi và chỉ khi lim sup xn = lim inf xn ∈ R Một điểm s ∈ R được gọi là điểm tụ của dãy số (xn )n nếu tồn tại một dãy con (xnk )k ⊂ (xn )n sao cho xnk −→ s. k→∞ Định lý 1.15. Cho (xn )n là một dãy bị chặn. Lúc đó tồn tại các giới hạn trên, dưới: −∞ < u := lim xn ≤ v := lim xn < ∞. n→∞ n→∞ Hơn nữa, nếu ký hiệu C là tập các điểm tụ của dãy, ta có u = min C và v = max C. Hệ quả 1.3. Một dãy bị chặn là hội tụ khi và chỉ khi nó có một điểm tụ duy nhất. Hệ quả 1.4 (Định lý Bolzano-Weierstrass). Mọi dãy số bị chặn đều tồn tại dãy con hội tụ. Dãy số (xn )n được gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu với mọi ² > 0 tồn tại n0 ∈ N sao cho |xn − xm | < ² với mọi m, n ≥ n0 . Mệnh đề 1.16. Mọi dãy Cauchy đều bị chặn. Định lý 1.17 (Tiêu chuẩn Cauchy). (xn )n hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
11 1.2.4. Số e Xét hai dãy số 1 1 1 1 1 1 1 1 un := 1 + + + ··· + ; vn := 1 + + + ··· + + = un + . 1! 2! n! 1! 2! n! n! n! Dễ thấy un ≤ un+1 ≤ vn+1 ≤ vn với mọi n và vn − un → 0. Theo Hệ quả 1.2 cả hai dãy này đều hội tụ và có cùng giới hạn. Người ta ký hiệu giới hạn này bởi số e. Đây là một giá trị đặc biệt và có vai trò rất quan trọng trong giải tích. Chúng ta có thể ước lượng thô số e bởi các bất đẳng thức: 2 = u1 ≤ e ≤ v1 = 3; 38 = u3 ≤ e ≤ v3 = 17 6 . Thật ra, số e còn được thiết lập từ một giới hạn khác. Cụ thể, ta có Định lý 1.18. µ ¶n 1 e = lim 1 + . n→+∞ n Chứng minh. Thật vậy, nếu đặt zn := (1 + n1 )n ta có thể khai triển: n X n! 1 zn = k=0 k!(n − k)! nk 1 1 1 1 1 2 1 1 2 n−1 =1+ + (1 − ) + (1 − )(1 − ) + · · · + (1 − )(1 − )...(1 − ). 1! 2! n 3! n n n! n n n Dễ chứng minh được rằng zn−1 < zn < un với mọi n. Do đó tồn tại giới hạn lim zn ≤ e. Mặt khác, với mọi số nguyên dương cố định m ta có 1 1 1 1 1 2 m−1 zn ≥ 1 + + (1 − ) + · · · + (1 − )(1 − )...(1 − ); ∀n ≥ m. 1! 2! n m! n n n Cho n → +∞ ta có lim zn ≥ um . Vì m được lấy tuỳ ý ta suy ra lim zn ≥ e và bổ đề hoàn toàn được chứng minh. 1.3. Chuỗi số 1.3.1. Định nghĩa - Tính chất Cho dãy số (an )n . Với mỗi n ta đặt sn := a1 + a2 + · · · + an , như vậy ta được một dãy mới (sn )n , gọi là dãy các tổng riêng. Nếu dãy này hội tụ về một giá trị S ta nói chuỗi số ∞ X (A) : ai . i=1 hội tụ, S là tổng của chuỗi và viết
12 ∞ X n X S= ai = lim ai . n→∞ i=1 i=1 P ∞ Nếu dãy (sn )n không hội tụ ta nói chuỗi ai phân kỳ. i=1 Mệnh đề 1.19. Giả sử (A) và (B) là các chuỗi số hội tụ và c là một số thực. Lúc P ∞ P ∞ đó, các chuỗi (ai ± bi ), c.ai hội tụ và ta có i=1 i=1 P ∞ P ∞ P ∞ a) (ai ± bi ) = ai ± bi ; i=1 i=1 i=1 P ∞ P ∞ b) c.ai = c. ai . i=1 i=1 Mệnh đề 1.20. Nếu chuỗi (A) hội tụ thì lim ai = 0. i→∞ Định lý 1.21 (Tiêu chuẩn Cauchy). ¯ n+p ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ Chuỗi (A) hội tụ ⇐⇒ ∀² > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N : ¯ ai ¯ < ². ¯ ¯ i=n P 1 P 1 Ví dụ 1.1. Chuỗi n phân kỳ còn chuỗi n2 hội tụ. Cho chuỗi (A). Với mỗi k ∈ N ta gọi chuỗi sau là phần dư thứ k của (A): ∞ X (Ak ) : ai . i=k+1 Hệ quả 1.5. Với mọi k ∈ N, hai chuỗi (A) và (Ak ) đồng thời hội tụ hay phân kỳ. 1.3.2. Chuỗi dương Chuỗi số (A) được gọi là chuỗi dương nếu ai ≥ 0 với mọi i ∈ N. Lúc đó, dãy các tổng riêng (sn )n là không giảm. Dãy này sẽ hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên. Trong trường hợp ngược lại, dãy dần đến +∞. Tóm lại, ta luôn luôn có: P ∞ - Hoặc ai = S ∈ [0, +∞); i=1 P ∞ - Hoặc ai = +∞. i=1 Hệ quả 1.6. Cho hai chuỗi dương (A), (B) sao cho ai ≤ bi với mọi i ∈ N. Lúc đó, nếu (B) hội tụ thì (A) cũng hội tụ, hay một cách tương đương, nếu (A) phân kỳ thì (B) cũng phân kỳ.
13 Định lý 1.22. Cho hai chuỗi số dương (A), (B). Nếu tồn tại giới hạn ai lim = k ∈ (0, +∞), i→∞ bi thì hai chuỗi này đồng thời hội tụ hay phân kỳ. Định lý 1.23 (Tiêu chuẩn Cauchy). Cho chuỗi dương (A). Đặt √ ρ := lim n an . n→∞ Lúc đó, nếu ρ < 1 thì (A) hội tụ, nếu ρ > 1 thì (A) phân kỳ. Định lý 1.24 (Tiêu chuẩn D’Alembert). Cho chuỗi dương (A). Đặt an+1 an+1 α := lim ; β := lim . n→∞ an n→∞ an Lúc đó, nếu α > 1 thì (A) phân kỳ, nếu β < 1 thì (A) hội tụ. Định lý 1.25 (Tiêu chuẩn Raabe). Cho chuỗi dương (A). Đặt µ ¶ µ ¶ an an α1 := lim n − 1 ; β1 := lim n −1 . n→∞ an+1 n→∞ an+1 Lúc đó, nếu α1 > 1 thì (A) hội tụ, nếu β1 < 1 thì (A) phân kỳ. X 1 X 1 X 1 Ví dụ 1.2. Xét các chuỗi sin( ), , √ . n n! n n 1.3.3. Hội tụ tuyệt đối - Bán hội tụ Chuỗi (A) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu ∞ X |ai | < ∞. i=1 Mệnh đề 1.26. Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ. Tuy vậy, điều ngược lại không đúng, một chuỗi hội tụ có thể không hội tụ tuyệt P ∞ đối. Chuỗi như vậy được gọi là bán hội tụ. Ví dụ, chuỗi (−1)n n1 là bán hội tụ. n=1 Chuỗi (A) được gọi là chuỗi đan dấu nếu ai = (−1)i .bi ; bi ≥ 0 với mọi i ∈ N. Định lý 1.27 (Định lý Leibnitz). Nếu (A) là chuỗi đan dấu và (|an |)n là dãy giảm về 0, thì (A) hội tụ.
14 Chuỗi (A) được gọi là hội tụ giao hoán nếu với mọi song ánh σ : N → N, chuỗi ∞ X (Aσ ) : aσ(i) hội tụ. i=1 Định lý 1.28 (Định lý Dirichlet). Nếu chuỗi (A) hội tụ tuyệt đối thì nó là hội tụ giao hoán. Hơn nữa, với mọi song ánh σ : N → N, (Aσ ) và (A) có cùng tổng. Định lý 1.29 (Định lý Riemann). Nếu chuỗi (A) bán hội tụ thì với mọi S ∈ R luôn tồn tại một song ánh σ : N → N sao cho ∞ X aσ(i) = S. i=1 Bây giờ cho hai chuỗi (A) và (B). Ta thiết lập chuỗi tích: ∞ X (AB) : ck , k=2 trong đó k−1 X ck := ai .bk−i , k ≥ 2. i=1 Định lý 1.30. Nếu (A) và (B) là hai chuỗi hội tụ tuyệt đối thì chuỗi tích (AB) hội tụ và Ã∞ ! Ã∞ ! X∞ X X ck = ar . bs . k=2 r=1 s=1 1.4. Tôpô trên tập số thực 1.4.1. Lân cận - Tập mở Với mỗi x ∈ R và số δ > 0 ta gọi khoảng mở (x − δ, x + δ) là một δ−lân cận của x và ký hiệu là Nδ (x). Một tập U ⊆ R được gọi là một lân cận của x nếu Nδ (x) ⊆ U với một δ > 0 nào đó. Lúc đó ta cũng nói x là một điểm trong của U . Một tập con U của R được gọi là mở nếu với mọi x ∈ U , x cũng là một điểm trong của U . Tức là U mở ⇐⇒ ∀x ∈ U, ∃δ > 0, Nδ (x) ⊆ U. Mệnh đề 1.31. Mọi khoảng mở (a, b) đều là một tập mở trong R.
15 Họ τ tất cả các tập con mở của R được gọi là tôpô của R. Tập R các số thực cùng với tôpô τ được gọi là đường thẳng thực. Định lý 1.32. Tôpô τ của đường thẳng thực có các tính chất sau: a) Tập rỗng ∅ là mở. b) Bản thân R là mở. c) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là mở. d) Giao của một số hữu hạn các tập mở là mở. Bổ đề 1.1. Mọi họ các khoảng mở khác rỗng và rời nhau trên R đều đếm được. Định lý 1.33. Mọi tập con mở của R đều là hợp của một họ đếm được các khoảng mở rời nhau. Tập hợp tất cả các điểm trong của một tập A được gọi là phần trong của A và được ký hiệu là Int A. Rõ ràng A mở khi và chỉ khi A = Int A. Trường hợp tổng quát ta có kết quả sau Mệnh đề 1.34. Với mọi A ⊂ R, Int A là tập mở và là tập con mở lớn nhất của A. 1.4.2. Điểm tụ - Điểm dính - Bao đóng - Tập đóng Cho A là một tập con của R. Số thực a được gọi là một điểm tụ của A nếu ∀δ > 0, (Nδ (a) \ {a}) ∩ A 6= ∅, a được gọi là điểm dính của A nếu ∀δ > 0, Nδ (a) ∩ A 6= ∅. Tập các điểm tụ của A được ký hiệu là A0 , còn tập các điểm dính của A được ký hiệu là A và được gọi là bao đóng của A. Mệnh đề 1.35. Cho tập con A của R và số thực a. Lúc đó, a) a ∈ A ⇐⇒ ∃(xn )n ⊂ A, xn → a. b) a ∈ A0 ⇐⇒ ∃(xn )n ⊂ A; xn 6= a, ∀n ∈ N, xn → a. Hệ quả 1.7. Với Q là tập các số hữu tỷ trên R, ta có Q = Q0 = R = (R \ Q) = (R \ Q)0 . Hệ quả 1.8. Với mọi tập con A của R, ta có a) A = A ∪ A0 . Nói riêng A ⊆ A và A0 ⊆ A. b) A = A.
16 Mệnh đề 1.36. Cho A, B là các tập con của R. Lúc đó, a) A ⊆ B =⇒ A ⊆ B. b) A ∪ B = A ∪ B. c) A ∩ B ⊆ A ∩ B. Một tập con A của R được gọi là tập đóng nếu A = A. Từ định nghĩa và từ các tính chất của bao đóng ta suy ra ngay các khẳng định sau Hệ quả 1.9. Cho A là một tập con của R. Lúc đó, hai khẳng định sau là tương đương: a) A là tập đóng; b) ∀(xn )n ⊂ A : xn → a =⇒ a ∈ A. Hệ quả 1.10. Với mọi tập con A của R, A là tập đóng và là tập đóng bé nhất chứa A. Quan hệ giữa các tập đóng và tập mở được phát biểu qua định lý sau: Định lý 1.37. Một tập con A của R là đóng khi và chỉ khi phần bù R \ A của nó là tập mở. Định lý sau là hệ quả trực tiếp của Định lý 1.32 và Định lý 1.37. Định lý 1.38. Họ các tập đóng của R có các tính chất sau: a) Tập rỗng ∅ là dóng. b) Bản thân R là đóng. c) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng. d) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng. Hệ quả 1.11. a) Khoảng đóng bị chặn [a, b] trong R là đóng. b) Tập một điểm là đóng. c) Tập hữu hạn điểm là đóng. Từ Định lý 1.32 và Định lý 1.38 ta nhận thấy rằng tập rỗng ∅ và bản thân R vừa đóng vừa mở. Một câu hỏi đặt ra khá tự nhiên là ngoài hai tập này còn có tập nào trong R có tính chất đó nữa hay không. Định lý sau đây trả lời câu hỏi đó. Định lý 1.39. Đường thẳng thực R không còn có tập con nào vừa đóng vừa mở ngoài ∅ và R.
17 1.4.3. Tập compact Một tập con A của R được gọi là tập compact nếu với mọi dãy (xn )n trong A, tồn tại dãy con (xnk )k ⊂ (xn )n hội tụ đến một điểm x¯ ∈ A. Định lý 1.40. Một tập con A của R là compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn. Một họ F = (Oλ )λ∈I được gọi là một phủ của tập A nếu [ A⊆ Oλ . λ∈I Hơn nữa, nếu tất cả các Oλ đều mở thì F được gọi là một phủ mở của A. Một phủ con của F là họ con G = (Oλ )λ∈J , với J ⊆ I sao cho ta vẫn có [ A⊆ Oλ . λ∈J Một họ (Fλ )λ∈I các tập con của R được gọi là có tính chất giao hữu hạn nếu với mọi tập hữu hạn các chỉ số K ⊆ I ta có \ Fλ 6= ∅. λ∈K Định lý 1.41. Một tập con A của R là compact khi và chỉ khi mọi phủ mở của nó tồn tại một phủ con hữu hạn. Tức là, nếu (Oλ )λ∈I là phủ mở của A thì tồn tại λ1 , λ2 , · · · , λk ∈ I sao cho [k A⊆ Oλi . i=1 Hệ quả 1.12. Nếu họ (Fλ )λ∈I các tập con compact của R có tính chất giao hữu hạn thì chúng có giao khác rỗng. Tức là \ Fλ 6= ∅. λ∈I 1.5. Thực hành tính toán trên Maple 1.5.1. Giới thiệu phần mềm Maple Maple là một trong các phần mềm tính toán phong phú, hỗ trợ cho hầu hết các lĩnh vực của Toán học như giải tích số, đồ thị, đại số tuyến tính, đại số hình thức, phương trình vi phân, phương trình toán lý,... Maple tạo ra một môi trường làm việc hoàn toàn thoải mái, giúp cho người dùng có thể thực hiện các tính toán trực tiếp
18 đơn giản hoặc viết các đoạn chương trình tính toán phức tạp. Vì đây không phải là một cuốn sách chuyên khảo về Maple nên chúng tôi không có tham vọng giới thiệu quá sâu mà chỉ muốn cho sinh viên làm quen với phần mềm, đủ để giải quyết tốt những bài toán có liên quan trong phạm vi giáo trình. Sử dụng phần mềm này, sinh viên không những giải được những bài toán phức tạp mà nếu tính toán bằng tay phải mất hằng tháng trời (hoặc không tính nổi) mà còn giúp sinh viên nhìn thấy được bản chất của nhiều vấn đề một cách nhanh chóng và sinh động. Thật ra, đây không phải là phần mềm tính toán duy nhất. Tuy nhiên, nếu biết sử dụng Maple một cách thành thạo, sinh viên dễ dàng tiếp cận với các chương trình tính toán phổ biến khác hiện nay như Mathematica, Matlab,... Ta luôn bắt đầu tính toán với việc đưa vào một cụm xử lý (bằng cách nhấn chuột vào nút có biểu tượng [> hoặc vào chức năng Insert/Execution Group/After Cusor có sẵn trên thanh lệnh của giao diện) Một dấu nhắc lệnh [> sẽ hiện ra, chờ đợi ta đưa lệnh vào thực hiện. Một số điều cần chú ý là: Câu lệnh được viết ra phải tuân thủ nghiêm ngặt là chữ hoa hay chữ thường, tất cả câu lệnh đều viết bằng tiếng Anh (nhưng không khó để học thuộc, vì số lượng không nhiều). Kết thúc mỗi câu lệnh đều có dấu ";" hoặc ":" và sau đó nhấn phím Enter. Nếu sử dụng dấu ";" thì kết quả tính toán sẽ hiển thị ngay dòng dưới, còn nếu sử dụng dấu ":" thì kết quả sẽ không hiện ra. 1.5.2. Các thao tác trên tập hợp a) Định nghĩa tập hợp. Cú pháp: [> (Tên tập hợp):= {(danh sách các phần tử của tập hợp)}; Ví dụ: [> A:={1, 2, 3, 4, 15}: [> B:={a, b, x, y, z}; B := {a, b, x, y, z} b) Các phép toán trên tập hợp. Ta đã biết 3 phép toán trên tập hợp là ∪ (ký hiệu union), ∩ (ký hiệu intersect) và \ (ký hiệu minus). Cú pháp: [> (Tập hợp 1) (phép toán) (Tập hợp 2); Ví dụ: [> {2, 6, 1, 3 } union {2, 3, 7, 18}; {1, 2, 3, 6, 7, 18} [> M:={1, 3, 5}:
19 [> N:={5, 1, 2, 6}: [> P:=M minus N; P := {3} c) Kiểm tra các quan hệ trên tập hợp. Ta có 3 phép kiểm tra là ∈ (kí hiệu member), ⊂ (kí hiệu verify(subset)) và ⊃ (kí hiệu verify(superset)). Kết quả ta được true hoặc f alse. Cú pháp: [> member(phần tử, tập hợp); [> verify(Tập hợp 1, Tập hợp 2, ’subset’/’superset’); Ví dụ: [> member(3, {1, 3, 5}); true [> verify({1, 3, 5}, {2, 3, 5}, ’subset’); f alse [> verify({1, 3, 5, 6}, {3, 5}, ’superset’); true 1.5.3. Giải (hệ) phương trình, (hệ) bất phương trình a) Giải phương trình, bất phương trình. Cú pháp: [> solve(phương trình/bất phương trình, {biến}); Ví dụ: [> solve(x*x - 1 = 0, {x}); {x = 1}, {x = −1} [> ptb3:=u∧3 - 1 = 0: [> solve(ptb3, {u}); 1 1 √ 1 1 √ {u = 1}, {u = − + I 3}, {u = − − I 3} 2 2 2 2 [> solve(x*x - 3*x + 2 < 0, {x});