zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Điện - Điện tử

Giáo trình hướng dẫn phân tích lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p1

Chia sẻ: Dfsdf Fdsgds | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

81
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hướng dẫn phân tích lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p1', kỹ thuật - công nghệ, điện - điện tử phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hướng dẫn phân tích lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p1

h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- Giáo trình hướng dẫn phân tích lý thuyết w w PD PD er er ! ! W W O O N N trường và phương thức sử dụng y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m toán tử hamilton Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng w w w w o o .c .c .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k NÕu F l tr−êng chÊt láng th× th«ng l−îng chÝnh l l−îng n chÊt láng ®i qua mÆt cong S theo h−íng ph¸p vect¬ n trong mét ®¬n vÞ thêi gian. Γ S • Cho tr−êng vect¬ (D, F ) víi F = {X, Y, Z}. Tr−êng v« h−íng ∂X ∂Y ∂Z + + div F = (6.4.2) ∂x ∂y ∂z gäi l divergence (nguån) cña tr−êng vect¬ F. VÝ dô Cho tr−êng vect¬ F = {xy, yz, zx} v ®iÓm A(1, 1, -1) Ta cã div F = y + z + x v div F(A) = 1 + 1 - 1 = 2 §Þnh lý Cho F, G l c¸c tr−êng vect¬ v u l tr−êng v« h−íng. Divergence cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. div (F + G) = div F + div G 1. div (u F) = u div F + 2. Chøng minh Suy ra tõ ®Þnh nghÜa (6.4.2) v c¸c tÝnh chÊt cña ®¹o h m riªng. • Gi¶ sö Ω l miÒn ®ãng n»m gän trong miÒn D v cã biªn l mÆt cong kÝn S tr¬n tõng m¶nh, ®Þnh h−íng theo ph¸p vect¬ ngo i n. Khi ®ã c«ng thøc Ostrogradski ®−îc viÕt l¹i ë d¹ng vect¬ nh− sau. ∫∫ < F, n > dS = ∫∫∫ divFdV (6.4.3) Ω S Chän Ω l h×nh cÇu ®ãng t©m A, b¸n kÝnh ε. Tõ c«ng thøc (6.4.3) v ®Þnh lý vÒ trÞ trung b×nh cña tÝch ph©n béi ba suy ra. 1 div F(A) = lim ∫∫ < F, n > dS (6.4.4) ε →0 V S Theo c«ng thøc trªn, nguån cña tr−êng vect¬ F t¹i ®iÓm A l l−îng chÊt láng ®i ra tõ ®iÓm A theo h−íng cña tr−êng vect¬ F. • Cho tr−êng vect¬ (D, F ) v ®iÓm A ∈ D. NÕu div F(A) > 0 th× ®iÓm A gäi l ®iÓm nguån. NÕu div F(A) < 0 th× ®iÓm A gäi l ®iÓm thñng. VÝ dô Cho tr−êng vect¬ F = {xy, yz, zx} div F = y + z + x Ta cã div F(1, 0, 0) = 1 > 0 ®iÓm (1, 0, 0) l ®iÓm nguån div F(-1, 0, 0) = -1 < 0 ®iÓm (-1, 0, 0) l ®iÓm thñng Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 105
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §5. Ho n l−u • Cho tr−êng vect¬ (D, F ) v ®−êng cong Γ kÝn, tr¬n tõng khóc, n»m gän trong miÒn D, ®Þnh h−íng theo vect¬ tiÕp xóc T. TÝch ph©n ®−êng lo¹i hai K = ∫ < F, T > ds = ∫ Xdx + Ydy + Zdz (3.5.1) Γ Γ gäi l ho n l−u cña tr−êng vect¬ F däc theo ®−êng cong kÝn Γ. NÕu F l tr−êng chÊt láng th× ho n l−u l c«ng dÞch chuyÓn mét ®¬n vÞ khèi l−îng chÊt láng däc Γ theo ®−êng cong Γ theo h−íng vect¬ T. • Cho tr−êng vect¬ (D, F ) víi F = {X, Y, Z}. Tr−êng vect¬  ∂Z ∂Y   ∂Y ∂X   ∂X ∂Z   ∂y − ∂z  i +  ∂z − ∂x  j +  ∂x − ∂y  k rot F =   (6.5.2)         gäi l rotation (xo¸y) cña tr−êng vect¬ F. VÝ dô Cho tr−êng vect¬ F = {xy, yz, zx} v ®iÓm A(1, 0, -1) Ta cã rot F = {z, x, y} v rot F(A) = {-1, 1, 0} §Þnh lý Cho F, G l c¸c tr−êng vect¬ v u l tr−êng v« h−íng. Rotation cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. rot (F + G) = rot F + rot G 1. rot (u F) = u rot F + [grad u, F] 2. Chøng minh Suy ra tõ ®Þnh nghÜa (6.5.2) v c¸c tÝnh chÊt cña ®¹o h m riªng. • Gi¶ sö S l mÆt cong tr¬n tõng m¶nh, n»m gän trong miÒn D, ®Þnh h−íng theo ph¸p vect¬ n v cã biªn l ®−êng cong kÝn Γ tr¬n tõng khóc, ®Þnh h−íng theo vect¬ tiÕp xóc T phï hîp víi h−íng ph¸p vect¬ n. Khi ®ã c«ng thøc Stokes viÕt l¹i ë d¹ng vect¬ nh− sau. ∫ < F, T > ds = ∫∫ < rotF, n > dS (6.5.3) Γ S Chän S l nöa mÆt cÇu t©m A, b¸n kÝnh ε. Tõ c«ng thøc (6.5.3) v ®Þnh lý vÒ trÞ trung b×nh cña tÝch ph©n mÆt lo¹i hai suy ra. 1 < rot F, n >(A) = lim ∫ < F, T > ds (6.5.4) ε→ 0 S Γ Theo c«ng thøc trªn, c−êng ®é cña tr−êng vect¬ rot F theo h−íng ph¸p vect¬ n t¹i ®iÓm A l c«ng tù quay cña ®iÓm A theo h−íng trôc quay n. Trang 106 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k • Cho tr−êng vect¬ (D, F ) v ®iÓm A ∈ D. NÕu < rot F, n >(A) > 0 th× ®iÓm A gäi l ®iÓm xo¸y thuËn. NÕu < rot F, n >(A) < 0 th× ®iÓm A gäi l ®iÓm xo¸y nghÞch. VÝ dô Cho tr−êng vect¬ F = {xy, yz, zx} v n = {x, y, z} rot F = {z, x, y} v < rot F, n > = zx + xy + yz Ta cã < rot F, n > (1, 0, 1) = 1 > 0 ®iÓm (1, 0, 1) l ®iÓm xo¸y thuËn < rot F, n > (1, 0, -1) = -1 < 0 ®iÓm (1, 0, -1) l ®iÓm xo¸y nghÞch §Þnh lý Cho tr−êng vect¬ v ®iÓm A ∈ D. Max | < rot F, n >(A) | = | rot F(A) | ®¹t ®−îc khi v chØ khi n // rot F 1. Min | < rot F, n >(A) | = 0 ®¹t ®−îc khi v chØ khi n ⊥ rot F 2. Chøng minh Suy ra tõ tÝnh chÊt cña tÝch v« h−íng. • Theo kÕt qu¶ trªn th× c−êng ®é xo¸y cã trÞ tuyÖt ®èi lín nhÊt theo h−íng ®ång ph−¬ng víi vect¬ rot F v cã trÞ tuyÖt ®èi bÐ nhÊt theo h−íng vu«ng gãc víi vect¬ rot F. §6. To¸n tö Hamilton • Vect¬ t−îng tr−ng ∂ ∂ ∂ ∇= i+ j+ k (6.6.1) ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ víi , v t−¬ng øng l phÐp lÊy ®¹o h m riªng theo c¸c biÕn x, y, v z gäi l ∂x ∂y ∂z to¸n tö Hamilton. • T¸c ®éng to¸n tö Hamilton mét lÇn chóng ta nhËn ®−îc c¸c tr−êng grad, div v rot ® nãi ë c¸c môc trªn nh− sau. 1. TÝch cña vect¬ ∇ víi tr−êng v« h−íng u l tr−êng vect¬ grad u ∂ ∂ ∂ ∂u ∂u ∂u ∇u = ( i+ j+ k)u = i+ j+ k (6.6.2) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z 2. TÝch v« h−íng cña vect¬ ∇ víi tr−êng vect¬ F l tr−êng v« h−íng div F ∂ ∂ ∂ ∂X ∂Y ∂Z ∇F = ( i+ j+ k)(Xi + Yj + Zk) = + + (6.6.3) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z 3. TÝch cã h−íng cña vect¬ ∇ víi tr−êng vect¬ F l tr−êng vect¬ rot F Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 107
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂ ∂ ∂ ∇×F = ( k) × (Xi + Yj + Zk) i+ j+ ∂x ∂y ∂z  ∂Z ∂Y   ∂Y ∂X   ∂X ∂Z   ∂y − ∂z  i +  ∂x − ∂y  k − =   j + (6.6.4)    ∂z ∂x      • T¸c ®éng to¸n tö Hamilton hai lÇn chóng ta nhËn ®−îc c¸c to¸n tö vi ph©n cÊp hai. 4. Víi mäi tr−êng v« h−íng (D, u) thuéc líp C2 ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u ∂u = ∆u div (grad u) = div ( i+ j+ k) = + + (6.6.5) ∂x ∂y ∂z ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 To¸n tö ∂2 ∂2 ∂2 ∆= i+ j+ k ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 gäi l to¸n tö Laplace. ∆u = div (grad u) = ∇(∇u) = ∇2u Tøc l 5. Víi mäi tr−êng v« h−íng (D, u) thuéc líp C2 ∂u ∂u ∂u rot (grad u) = rot ( i+ j+ k) = 0 (6.6.6) ∂x ∂y ∂z rot (grad u) = ∇×∇u = 0 Tøc l 6. Víi mäi tr−êng vect¬ (D, F ) thuéc líp C2  ∂Y ∂X    ∂Z ∂Y   ∂X ∂Z   ∂x − ∂y  k  = 0 (6.6.7)  ∂y − ∂z  i +  ∂z − ∂x  j +  div (rot F) = div          div (rot F) = ∇(∇ × F) = 0 Tøc l 7. Víi mäi tr−êng vect¬ (D, F ) thuéc líp C2  ∂Y ∂X    ∂Z ∂Y   ∂X ∂Z   ∂x − ∂y  k   ∂y − ∂z  i +  ∂z − ∂x  j +  rot (rot F) = rot          = grad (div F) - ∆ F (6.6.8) §7. Tr−êng thÕ • Tr−êng vect¬ (D, F ) víi F = {X, Y, Z} gäi l tr−êng thÕ nÕu cã tr−êng v« h−íng (D, u) sao cho F = grad u. Tøc l ∂u ∂u ∂u X= Y= Z= (6.7.1) ∂x ∂y ∂z H m u gäi l h m thÕ vÞ cña tr−êng vect¬ F. Trang 108 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Tõ ®Þnh nghÜa suy ra nÕu tr−êng vect¬ F l tr−êng thÕ th× rot F = rot (grad u) = 0 (6.7.2) Chóng ta sÏ chøng minh r»ng ®iÒu ng−îc l¹i còng ®óng. §Þnh lý Tr−êng vect¬ (D, F ) l tr−êng thÕ khi v chØ khi rot F = 0 Chøng minh §iÒu kiÖn cÇn suy ra tõ c«ng thøc (6.7.2). Chóng ta chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ rot F = 0 Gi¶ sö Khi ®ã víi mäi ®−êng cong Γ kÝn, tr¬n tõng khóc v n»m gän trong miÒn D. ∫ Xdx + Ydy + Zdz = ∫∫ < rot F, n > dS = 0 Γ S víi S l mÆt cong tr¬n tõng m¶nh, n»m gän trong miÒn D v cã biªn ®Þnh h−íng theo ph¸p vect¬ n l ®−êng cong Γ. Suy ra víi mäi A, M ∈ D tÝch ph©n ∫ Xdx + Ydy + Zdz AM kh«ng phô thuéc v o ®−êng lÊy tÝch ph©n. Cè ®Þnh ®iÓm A ∈ D v ®Æt ∫ Xdx + Ydy + Zdz víi M ∈ D u(M) = AM Do c¸c h m X, Y, Z cã ®¹o h m riªng liªn tôc nªn h m u cã ®¹o h m riªng liªn tôc trªn miÒn D. KiÓm tra trùc tiÕp ta cã grad u = F Tõ ®ã suy ra tr−êng vect¬ F l tr−êng thÕ v h m u l h m thÕ vÞ cña nã. • Tõ c¸c kÕt qu¶ ë trªn suy ra ý nghÜa c¬ häc cña tr−êng thÕ nh− sau. 1. Trong tr−êng thÕ kh«ng cã ®iÓm xo¸y rot F = 0 2. Ho n l−u däc theo ®−êng cong kÝn n»m gän trong miÒn D lu«n b»ng kh«ng. ∫ < F, T > ds = ∫∫ < rot F, n > dS = 0 K= (6.7.3) Γ S 3. C«ng dÞch chuyÓn b»ng thÕ vÞ ®iÓm cuèi trõ ®i thÕ vÞ ®iÓm ®Çu. ∫ < F, T > ds = ∫ Xdx + Ydy + Zdz = ∫ du = u(N) - u(M) (6.7.4) MN MN MN u(M) u(N) Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 109

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2431 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.