intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình hướng dẫn phân tích lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p8

Chia sẻ: Dfsdf Fdsgds | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST
Báo xấu
73
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hướng dẫn phân tích lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p8', kỹ thuật - công nghệ, điện - điện tử phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hướng dẫn phân tích lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p8

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k  + ∞ g( ξ )  − ( ξ − x ) 2  2 ( ξ + x )2 x dξ + x h(t − τ) e 4a 2 τ dτ t − 1 −   e 4a 2 t − e 4a 2 t ∫ ∫ τ3 / 2 u(x, t) = 2a π  0 t      0  f (ξ, t − τ)  − 4a 2 τ 2 2 (ξ −x ) (ξ+ x) +∞ t −  dξ  e + ∫ dτ ∫ − e 4a τ 2 (8.3.3)  τ   0 0 §Þnh lý Cho f ∈ C(H, 3)∩ B(D, 3), g ∈ C(D, 3)∩ B(D, 3), h ∈ C(3+, 3)∩ B(3+, 3) tho¶ m n f(0, t) = 0 v g(0) = 0 B i to¸n SP1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.3.3) NhËn xÐt Ph−¬ng ph¸p trªn cã thÓ sö dông ®Ó gi¶i c¸c b i to¸n gi¶ Cauchy kh¸c. §4. B i to¸n hçn hîp thuÇn nhÊt B i to¸n HP1a Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T] v h m g ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 (8.4.1) ∂t ∂x ®iÒu kiªn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) (8.4.2) v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (8.4.3) • T×m nghiÖm cña b i to¸n HP1a d¹ng t¸ch biÕn u(x, t) = X(x)T(t) ThÕ v o ph−¬ng tr×nh (8.4.1) v ®iÒu kiÖn biªn (8.4.3) ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n X”(x) + λX(x) = 0 (8.4.4) T’(t) + λa T(t) = 0 2 (8.4.5) X(0) = X(l) = 0 víi λ ∈ 3 (8.4.6) LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n HH1a, t×m nghiÖm riªng kh«ng tÇm th−êng cña hÖ ph−¬ng tr×nh (8.4.4) v (8.4.6), nhËn ®−îc hä nghiÖm riªng trùc giao trªn ®o¹n [0, l] 2 kπ  kπ  x víi Ak ∈ 3 v λk =   , k ∈ ∠* Xk(x) = Aksin l l Thay v o ph−¬ng tr×nh (8.4.5) t×m ®−îc hä nghiÖm riªng ®éc lËp Trang 140 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 2  kπa  − t víi Bk ∈ 3, k ∈ ∠* l Tk(t) = Bk e Suy ra hä nghiÖm riªng ®éc lËp cña b i to¸n HP1 2  kπa  kπ − t x víi ak = AkBk , k ∈ ∠* l uk(x, t) = Xk(x)Tk(t) = ak e sin l • T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n HP1 d¹ng chuçi h m 2  kπa  kπ +∞ +∞ − t ∑u ∑a l u(x, t) = (x, t ) = e sin x (8.4.7) k k l k =1 k =1 Thay v o ®iÒu kiÖn ban ®Çu (8.4.2) kπ +∞ u(x, 0) = ∑ a k sin x = g(x) l k =1 NÕu h m g cã thÓ khai triÓn th nh chuçi Fourier th× kπ l 2 ak = ∫ g(x ) sin xdx (8.4.8) l0 l §Þnh lý Cho h m g ∈ C1(D, 3) tho¶ m n g(0) = g(l) = 0. Chuçi h m (8.4.7) víi c¸c hÖ sè ak tÝnh theo c«ng thøc (8.4.8) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HP1a. Chøng minh • H m g theo gi¶ thiÕt tho¶ m n ®iÒu kiÖn Diriclet v do ®ã khai triÓn ®−îc th nh chuçi Fourier héi tô ®Òu trªn ®o¹n [0, l]. Do ®ã chuçi h m (8.4.7) víi c¸c hÖ sè ak tÝnh theo c«ng thøc (8.4.8) l héi tô ®Òu v cã thÓ ®¹o h m tõng tõ theo x hai lÇn, theo t mét lÇn trªn miÒn H. KiÓm tra trùc tiÕp thÊy r»ng chuçi h m (8.4.7) v c¸c chuçi ®¹o h m riªng cña nã tho¶ m n ph−¬ng tr×nh (8.4.1) v c¸c ®iÒu kiÖn (8.4.2), (8.4.3) • LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n CP1 suy ra tÝnh æn ®Þnh v duy nhÊt nghiÖm. ∂2u ∂u víi (x, t) ∈ [0, 1] × [0, T] VÝ dô Gi¶i b i to¸n = ∂t ∂x 2 u(x, 0) = x(1 - x) v u(0, t) = u(1, t) = 0 Theo c«ng thøc (8.4.8) ta cã k = 2n 0 1 − (-1) k l  8 ak = 2 ∫ x(1 − x) sin kπxdx = 4 = k = 2n + 1 kπ33  (2n + 1) 3 π 3  0 ThÕ v o c«ng thøc (8.4.7) suy ra nghiÖm cña b i to¸n 8 +∞ 1 u(x, t) = 3 ∑ 22 e −( 2 n +1) π t sin(2n + 1)πx π n =0 (2n + 1) 3 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 141
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §5. B i to¸n hçn hîp kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n HP1b Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T], c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt 2∂ u ∂u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t ∂x 2 ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = 0 v c¸c ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 • T×m nghiÖm b i to¸n HP1b d¹ng chuçi h m kπ +∞ ∑ T (t ) sin u(x, t) = (8.5.1) x k l k =1 Khai triÓn Fourier h m f(x, t) ®o¹n [0, l], thÕ v o b i to¸n HP1b   2  Tk (t ) +  kπa  Tk (t )  sin kπ x = kπ +∞ +∞ ∑ ′  l  ∑f (t ) sin x  k l l   k =1   k =1 kπx kπ l +∞ 2 ∑T víi fk(t) = ∫ f (x, t ) sin dx v x =0 (0) sin k l0 l l k =1 §−a vÒ hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2  kπa  ′ Tk (t) +   Tk(t) = fk(t), Tk(0) = 0 (8.5.2) l Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh hÖ sè h»ng (8.5.2) t×m c¸c h m Tk(t) thÕ v o c«ng thøc (8.5.1) suy ra nghiÖm cña b i to¸n. §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3). Chuçi h m (8.5.1) víi c¸c h m Tk(t) x¸c ®Þnh bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (8.5.2) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HP1b. B i to¸n HP1 Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T], c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C(D, 3) v c¸c h m p, q ∈ C([0, T], 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂u ∂ 2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) v c¸c ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = p(t), u(l, t) = q(t) Trang 142 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k • T×m nghiÖm b i to¸n HP1 d−íi d¹ng x u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + p(t) + (q(t) - p(t)) (8.5.3) l Trong ®ã h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1a ∂2v ∂v = a2 2 ∂t ∂x x v(x, 0) = g(x) - p(0) - (q(0) - p(0)) = g1(x) l v(0, t) = v(l, t) = 0 (8.5.4) víi ®iÒu kiÖn biªn g1(0) = g1(l) = 0 ⇔ g(0) = p(0), g(l) = q(0) H m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1b ∂2w ∂2w ∂w x = a2 2 + f(x, t) - p’(t) - (q’(t) - p’(t)) = a2 2 + f1(x, t) ∂t ∂x ∂x l w(x, 0) = 0 w(0, t) = w(l, t) = 0 (8.5.5) • Gi¶i c¸c b i to¸n (8.5.4) v (8.5.5) t×m h m v(x, t) v h m w(x, t) thÕ v o c«ng thøc (8.5.3) suy ra nghiÖm cña b i to¸n. §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3), g ∈ C2(D, 3) v p, q ∈ C1([0, T], 3) tho¶ mn g(0) = p(0), g(l) = q(0) H m u(x, t) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.5.3) víi h m v(x, t) v h m w(x, t) l nghiÖm cña c¸c b i to¸n (8.5.4) v (8.5.5) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HP1. ∂2u ∂u = 4 2 víi (x, t) ∈ [0, 1] × [0, T] VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x u(x, 0) = x v u(0, t) = 0, u(1, t) = e-t • T×m nghiÖm cña b i to¸n d−íi d¹ng u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + xe-t víi h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1a víi g1(x) = 0 cßn h m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HP1b víi f1(x, t) = xe-t. B i to¸n HP1a cã nghiÖm v(x, t) = 0 Gi¶i b i to¸n HP1b 2(-1) k +1 − t 1 fk(t) = 2 e − t ∫ x sin kπxdx = e víi k ∈ ∠* kπ 0 Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2(-1) k +1 − t ′ Tk (t) + (2kπ)2Tk(t) = e , Tk(0) = 0 kπ Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 143
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k T×m ®−îc c¸c h m ( ) víi k ∈ ∠ 2(-1) k 2 e − ( 2 kπ ) t − e − t * Tk(t) = kπ(4 k π − 1) 22 Suy ra nghiÖm cña b i to¸n ( ) +∞ 2(-1) k ∑ 2 e −( 2 kπ) t − e − t sin kπx u(x, t) = xe-t + kπ(4 k 2 π 2 − 1) k =1 NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m f v g cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. §6. B i to¸n Dirichlet trong h×nh trßn • XÐt to¸n tö vi ph©n Laplace trong mÆt ph¼ng ∂ 2u ∂ 2 u ∆u(x, y) = + ∂x2 ∂y2 §æi biÕn to¹ ®é cùc x = rcosϕ, y = rsinϕ Theo c«ng thøc ®¹o h m h m hîp ∂u ∂r ∂u ∂ϕ ∂u 1 ∂u ∂u = cos ϕ − sin ϕ + = ∂x ∂r ∂x ∂ϕ ∂x ∂r r ∂ϕ ∂u ∂r ∂u ∂ϕ ∂u 1 ∂u ∂u + = sin ϕ + cos ϕ = ∂y ∂r ∂y ∂ϕ ∂y ∂r r ∂ϕ ∂2u 2 ∂2u 2 ∂2u ∂u 1 ∂u 1 ∂ 2u = cos2ϕ 2 − cosϕsinϕ + 2 cosϕsinϕ + sin2ϕ + 2 sin2ϕ 2 ∂x2 ∂r∂ϕ r ∂ϕ r ∂r r ∂r ∂ϕ r ∂2u ∂2u 2 ∂2u 2 ∂u 1 ∂u 1 ∂2u = sin 2 ϕ 2 + cosϕsinϕ − 2 cosϕsinϕ + cos 2 ϕ + 2 cos 2 ϕ 2 ∂y2 ∂r∂ϕ r ∂ϕ r ∂r r ∂r ∂ϕ r Suy ra biÓu thøc to¹ ®é cùc cña to¸n tö Laplace ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u 1 ∂  ∂u  1 ∂ 2 u + +2 ∆u(r, ϕ) = r  + = ∂r 2 r ∂r r ∂ϕ2 r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ2 B i to¸n DE1a Cho miÒn D = [0, R] × [0, 2π] v h m g ∈ C([0, 2π], 3). T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ∆u(r, ϕ) = 0 víi (r, ϕ) ∈ D0 (8.6.1) v ®iÒu kiÖn biªn u(R, θ) = g(θ) (8.6.2) Trang 144 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2431 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
4=>1