intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình hướng dẫn phân tích lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p9

Chia sẻ: Dfsdf Fdsgds | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST
Báo xấu
43
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tìm nghiệm của b i toán DE1a dạng tách biến u(r, ϕ) = V(r)Φ(ϕ) Thế v o phương trình (8.6.1) nhận được hệ phương trình vi phân Φ”(ϕ) + λΦ(ϕ) = 0 (8.6.3) 2 r V”(r) + rV’(r) - λV(r) = 0, với λ ∈ 3 (8.6.4) Phương trình (8.6.3) có họ nghiệm riêng trực giao, tuần ho n chu kỳ T = 2π Φk(x) = Akcoskϕ + Bksinkϕ, λk = k2 với Ak, Bk ∈ 3, k ∈ ∠ Thay v o phương trình (8.6.4) tìm họ nghiệm riêng độc lập v bị chặn Vk(r) = Ckrk với Ck...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hướng dẫn phân tích lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p9

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k • T×m nghiÖm cña b i to¸n DE1a d¹ng t¸ch biÕn u(r, ϕ) = V(r)Φ(ϕ) ThÕ v o ph−¬ng tr×nh (8.6.1) nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n Φ”(ϕ) + λΦ(ϕ) = 0 (8.6.3) r V”(r) + rV’(r) - λV(r) = 0, víi λ ∈ 3 2 (8.6.4) Ph−¬ng tr×nh (8.6.3) cã hä nghiÖm riªng trùc giao, tuÇn ho n chu kú T = 2π Φk(x) = Akcoskϕ + Bksinkϕ, λk = k2 víi Ak, Bk ∈ 3, k ∈ ∠ Thay v o ph−¬ng tr×nh (8.6.4) t×m hä nghiÖm riªng ®éc lËp v bÞ chÆn Vk(r) = Ckrk víi Ck ∈ 3, k ∈ ∠ Suy ra hä nghiÖm riªng ®éc lËp cña b i to¸n DE1a u0 = a0 , uk(r, ϕ) = rk(akcoskϕ + bksinkϕ) víi ak = CkAk , bk = CkBk , k ∈ ∠* • T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n DE1a d¹ng chuçi h m +∞ u(r, ϕ) = a0 + ∑ r k (a k cos kϕ + b k sin kϕ) (8.6.5) k =1 ThÕ v o ®iÒu kiÖn biªn (8.6.2) +∞ u(R, θ) = a0 + ∑ R k (a k cos kθ + b k sin kθ) = g(θ) k =1 NÕu h m g cã thÓ khai triÓn th nh chuçi Fourier th× 2π 2π 2π 1 1 1 ∫ g(θ)dθ , ak = πR k ∫ g(θ) cos kθdθ , bk = ∫ g(θ) sin kθdθ a0 = (8.6.6) 2π 0 πR k 0 0 §Þnh lý Cho g ∈ C1([0, 2π], 3) tho¶ m n g(0) = g(2π). Chuçi h m (8.6.5) víi c¸c hÖ sè ak v bk tÝnh theo c«ng thøc (8.6.6) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n DE1a. Chøng minh LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n CP1 ∆u = 0 víi u(R, θ) = 2Rsinθ VÝ dô Gi¶i b i to¸n DE1 H m g(θ) = 2Rsinθ tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý. Theo c«ng thøc (8.6.6) 2π k = 1 víi k ∈ ∠* 1 2 ∫ sin θ sin kθdθ =  0 ak = 0 v bk = 2R k ≠1 πR k  0 Suy ra nghiÖm cña b i to¸n u(r, ϕ) = 2rsinϕ ≡ 2y • KÝ hiÖu u(z) = u(r, ϕ) víi z = reiϕ ∈ D0 Theo kÕt qu¶ ë §8, ch−¬ng 3 suy ra b i to¸n DE1a cã nghiÖm theo c«ng thøc sau ®©y. ζ + z g( ζ ) 1 1 ∫ R ζ − z ζ dζ = Re 2πi |ζ|∫ RF(ζ)dζ = ReI(z) u(z) = Re (8.6.7) 2 πi |ζ|= = Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 145
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Gi¶ sö trong h×nh trßn B(0, R) h m g cã c¸c cùc ®iÓm kh¸c kh«ng ak víi k = 1..n Theo c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n Cauchy (4.7.6) ta cã n ∑ Re sF(a I(z) = ResF(z) + ResF(0) + (8.6.8) ) k k =1 ∆u = 0 víi u(R, θ) = 2Rsinθ VÝ dô Gi¶i b i to¸n DE1 ChuyÓn qua to¹ vÞ phøc 1 ζ2 − R2 1 ζ + z ζ2 − R2 1 iθ -iθ g(ζ) = 2R (e - e ) = v F(ζ) = i ζ − z ζ2 i ζ2 2i Ta cã 2( z 2 − R 2 ) 2 R 2 I(z) = Res[f, z] + Res[f, 0] = + = -2iz iz iz Suy ra nghiÖm cña b i to¸n u(z) = Re(-2iz) = 2y B i to¸n DE1b Cho miÒn D = [ρ, R] × [0, 2π] v c¸c h m g, h ∈ C([0, 2π], 3) T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ∆u(r, ϕ) = 0 víi (r, ϕ) ∈ D0 (8.6.9) v ®iÒu kiÖn biªn u(ρ, θ) = g(θ), u(R, θ) = h(θ) (8.6.10) • LËp luËn t−¬ng tù b i to¸n DE1a, t×m nghiÖm cña b i to¸n DE1b d¹ng t¸ch biÕn u(r, ϕ) = V(r)Φ(ϕ) Thay v o ph−¬ng tr×nh (8.6.9) nhËn ®−îc hä nghiÖm riªng ®éc lËp u0 = a0 + b0lnr uk(r, ϕ) = (akrk + bkr-k)coskϕ + (ckrk + dkr-k)sinkϕ víi ak , bk , ck , dk ∈ 3, k ∈ ∠* • T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n DE1b d¹ng chuçi h m u(r, ϕ) = a0 + b0lnr +∞ ∑ [(a r k + b k r − k ) cos kϕ + (c k r k + d k r − k ) sin kϕ] + (8.6.11) k k =1 ThÕ v o ®iÒu kiÖn biªn (8.6.10) +∞ u(ρ, θ) = a0 + b0lnρ + ∑ [(a k ρk + b k ρ− k ) cos kθ + (c k ρk + d k ρ− k ) sin kθ] = g(θ) k =1 +∞ u(R, θ) = a0 + b0lnR + ∑ [(a k R k + b k R − k ) cos kθ + (c k R k + d k R − k ) sin kθ] = h(θ) k =1 NÕu h m g cã thÓ khai triÓn th nh chuçi Fourier th× Trang 146 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 2π 2π 1 1 2π ∫ 2π ∫ a0 + b0lnρ = g(θ)dθ h(θ)dθ a0 + b0lnR = 0 0 2π 2π 1 1 π∫ π∫ akρk + bkρ-k = g(θ) cos kθdθ h(θ) cos kθdθ akRk + bkR-k = 0 0 2π 2π 1 1 π∫ π∫ ckρk + dkρ-k = g(θ) sin kθdθ h(θ) sin kθdθ ckRk + dkR-k = (8.6.12) 0 0 §Þnh lý Cho c¸c h m g, h ∈ C1([0, 2π], 3) tho¶ m n g(0) = g(2π), h(0) = h(2π). Chuçi h m (8.6.11) víi c¸c hÖ sè ak , bk , ck v dk x¸c ®Þnh tõ hÖ ph−¬ng tr×nh (8.6.12) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n DE1b. §7. B i to¸n Dirichlet trong h×nh ch÷ nhËt B i to¸n DE2a Cho miÒn D = [0, l] × [0, d] v h m ga ∈ C([0, l], 3) T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ∂ 2u ∂ 2 u ∆u = + = 0 víi (x, y) ∈ D0 (8.7.1) ∂x2 ∂y2 v ®iÒu kiÖn biªn u(x, 0) = ga(x), u(x, d) = u(0, y) = u(l, y) = 0 (8.7.2) • T×m nghiÖm cña b i to¸n DE2a d¹ng t¸ch biÕn u(x, y) = X(x)Y(y) Thay v o ph−¬ng tr×nh (8.7.1) ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n X”(x) + λX(x) = 0 Y”(y) - λY(y) = 0 X(0) = X(l) = Y(d) = 0 víi λ ∈ 3 (8.7.3) B i to¸n (8.7.3) cã hä nghiÖm riªng ®éc lËp 2 kπ kπ  kπ  (d − y) , λk =   víi k ∈ ∠* Xk(x) = Aksin x , Yk(y) = Bksh l l l Suy ra cã hä nghiÖm riªng ®éc lËp cña b i to¸n DE2a kπ kπ (d − y) sin x víi ak = AkBk ∈ 3, k ∈ ∠* uk(x, y) = ak sh l l • T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n DE2a d¹ng chuçi h m Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 147
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k kπ kπ +∞ +∞ ∑u ∑a (d − y) sin u(x, y) = k (x, y ) = (8.7.4) sh x k l l k =1 k =1 ThÕ v o ®iÒu kiÖn biªn (8.7.2) kπd kπ +∞ u(x, 0) = ∑ a k sh x = ga(x) sin l l k =1 NÕu h m ga cã thÓ khai triÓn th nh chuçi Fourier trªn ®o¹n [0, l] th× kπ l 2 ∫ g a (x) sin l xdx ak = (8.7.5) kπd 0 lsh l §Þnh lý Cho h m ga ∈ C1([0, l], 3) tho¶ m n ga(0) = ga(l) = 0. Chuçi h m (8.7.4) víi hÖ sè ak tÝnh theo c«ng thøc (8.7.5) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n DE2a. • LËp luËn t−¬ng tù nh− trªn, chóng ta gi¶i c¸c b i to¸n sau ®©y. B i to¸n DE2b Cho miÒn D = [0, l] × [0, d] v h m gb ∈ C([0, d], 3). T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ∆u = 0 víi (x, y) ∈ D0 v ®iÒu kiÖn biªn u(l, y) = gb(y), u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0 §Þnh lý Cho h m gb ∈ C1([0, d], 3) tho¶ m n gb(0) = gb(d) = 0. B i to¸n DE2b cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc kπ d kπ kπ +∞ 2 ∑ b k sh ∫ g b (y) sin d ydy u(x, y) = y víi bk = (8.7.6) x sin kπl 0 d d k =1 dsh d B i to¸n DE2c Cho miÒn D = [0, l] × [0, d] v h m gc ∈ C([0, l], 3). T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ∆u = 0 víi (x, y) ∈ D0 v ®iÒu kiÖn biªn u(x, d) = gc(x), u(0, x) = u(x, 0) = u(l, y) = 0 §Þnh lý Cho h m gc ∈ C1([0, l], 3) tho¶ m n gc(0) = gc(l) = 0. B i to¸n DE2c cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc kπ l kπ kπ +∞ 2 ∑ c k sh ∫ gc (x) sin l xdx u(x, y) = x víi ck = (8.7.7) y sin kπd 0 l l k =1 lsh l Trang 148 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k B i to¸n DE2d Cho D = [0, l] × [0, d] v h m gd ∈ C([0, d], 3). T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ∆u = 0 víi (x, y) ∈ D0 v ®iÒu kiÖn biªn u(0, y) = gd(y), u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0 §Þnh lý Cho h m gd ∈ C1([0, d], 3) tho¶ m n gd(0) = gd(d) = 0. B i to¸n DE2d cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc kπ kπ +∞ u(x, y) = ∑ d k sh (l − x) sin y d d k =1 kπ d 2 ∫ g d (y) sin d ydy víi dk = (8.7.8) kπl 0 dsh d B i to¸n DE2 Cho miÒn D = [0, l] × [0, d], c¸c h m g1 , g3 ∈ C([0, l], 3) v g2 , g4 ∈ C([0, d], 3) T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ∆u = 0 víi (x, y) ∈ D0 v ®iÒu kiÖn biªn u(x, 0) = g1(x), u(l, y) = g2(y), u(x, d) = g3(x), u(0, y) = g4(y) • T×m nghiÖm cña b i to¸n DE2 d−íi d¹ng u(x, y) = u0(x, y) + u©(x, y) + ub(x, y) + uc(x, y) + ud(x, y) Trong ®ã uα(x, y) l nghiÖm cña b i to¸n DE2α. Hm u0(x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.7.9) l nghiÖm cña b i to¸n DE sao cho uα(x, y) triÖt tiªu t¹i c¸c ®Ønh cña h×nh ch÷ nhËt. Do tÝnh liªn tôc cña h m u(x, y) trªn biªn ∂D u(0, 0) = g4(0) = g1(0) = A u(l, 0) = g1(l) = g2(0) = A + Bl u(l, d) = g2(d) = g3(l) = A + Bl + Cd + Dld u(0, d) = g3(0) = g4(d) = A + Cd Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn suy ra g (d ) − g 4 (0) g (l) − g1 (0) ,C= 4 A = g4(0) = g1(0), B = 1 l d g (l) − g3 (0) − g1 (l) + g1 (0) g (d ) − g 2 (0) − g 4 (d ) + g 4 (0) D= 3 =2 (8.7.10) ld ld Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 149
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2431 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2