Giáo trình Lý thuyết đàn hồi

CHƯƠNG 1 : KHÁI NIỆM CHUNG

§1.1. LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI - MỘT NHÁNH CỦA CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG: Cơ học vật rắn biến dạng là một ngành học lớn, nghiên cứu sự làm việc của vật rắn về mặt cơ học như trạng thái ứng suất, trạng thái chuyển vị và biến dạng…dưới các tác dụng bên ngoài (tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức… Do các đối tượng nghiên cứu, đều kiện làm việc và mức độ yêu cầu nghiên cứu khác nhau nên trong quá trình phát triển, ngành học lớn này chia thành nhiều môn học riêng như sau: 1.Sức bền vật liệu và cơ học kết cấu: (đàn hồi ứng dụng trong kỹ thuật):

- Lý thuyết dẻo: Nghiên cứu sự làm việc của vật liệu ở giai đoạn biến

a. Vật liệu liên tục, đồng nhất và đẳng hướng: là vật liệu ở tại mọi điểm và

Chủ yếu nghiên cứu thanh và hệ thanh. Trong quá trình tính toán đã đưa ra các giả thiết để đơn giản việc nghiên cứu từ đó có những kết quả tiện lợi trong vấn đề tính toán. 2. Lý thuyết đàn hồi : Nghiên cứu các vật rắn đàn hồi có hình dạng bất kỳ. 3. Các lý thuyết khác : dạng dẻo, sự hình thành biến dạng dẻo và các ứng suất tương ứng. - Lý thuyết từ biến: Nghiên cứu sự biến đổi theo thời gian của ứng suất và biến dạng của kết cấu dưới tác dụng của ngoại lực ban đầu (kể cả trường hợp ngoại lực không thay đổi theo thời gian). - Lý thuyết lưu biến (Nghiên cứu về sự chảy của vật chất): Nghiên cứu những định luật chung về sự phát sinh và phát triển của biến dạng theo thời gian của vật chất do những nguyên nhân khác nhau trong những điều kiện nhiệt động và hóa lý khác nhau. Nhìn chung các môn học này đều có đối tượng và phương pháp nghiên cứu khác nhau nhưng mang tính tương đối. Trong thực tế ranh giới giữa các môn học này nhiều khi bị xóa bỏ và xâm nhập lẫn nhau. §1.2. NỘI DUNG, ĐỐI TƯỢNG VÀ CÁC GIẢ THIẾT CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 1. Nội dung: Nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng, chuyển vị của vật thể đàn hồi dưới các tác dụng bên ngoài (tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức…) 2. Đối tượng: Các vật rắn thực tuân theo các giả thiết cơ bản sau: 3. Các giả thiết cơ bản: theo mọi phương tính chất cơ lý của nó đều như nhau. b. Vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối: theo giả thiết này quá trình tăng tải và giảm tải hoàn toàn thuận nghịch, trong quá trình chịu tải năng lượng hoàn toàn được bảo toàn.

c. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất tức là vật liệu làm việc

tuân theo định luật Hooke.

e. Giả thiết biến dạng bé: theo giả thiết này biến dạng tương đối rất nhỏ so

* Giả thiết biến dạng bé cùng giả thiết quan hệ giữa ứng suất và biến dạng

- Phương pháp mặt cắt (Đã nghiên cứu trong SBVL và CHKC): là phương

là pháp tuyến ngoài của mặt cắt tại điểm M thì cường độ phân

 nP

d. Vật liệu ở trạng thái tự nhiên trước khi chịu lực: Ở trạng thái ban đầu, khi vật thể chưa biến dạng thì trong vật thể không phát sinh ứng suất, nghĩa là bên trong vật thể không có ứng suất trước. với 1 do đó tích các biến dạng có thể bỏ qua so với biến dạng và so với 1. là bậc nhất cho phép ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng khi giải các bài toán. §1.3. NỘI LỰC - ỨNG SUẤT - HỆ THỐNG CÁC KÝ HIỆU 1. Khái niệm nội lực : Trong vật lý, giữa các phần tử vật chất của vật thể luôn luôn tồn tại các lực tương tác. Khi vật thể chịu tác dụng của ngoại lực như tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức.... các lực tương tác này cũng sẽ thay đổi. Lượng thay đổi của các lực tương tác giữa các phần tử của vật thể được gọi là nội lực. 2. Phương pháp mặt cắt, ứng suất và hệ thống các ký hiệu : pháp làm xuất hiện và để tính các nội lực.  Nếu ký hiệu n bố nội lực tại điểm M được ký hiệu là và gọi là ứng suất toàn phần.

 nP

là nội lực trên một đơn vị diện tích dF có



Định nghĩa: Ứng suất toàn phần  pháp tuyến n lấy tại điểm M(x, y, z) đang xét.

 Pn

 Pd dF

Biểu thức định nghĩa :

 Pd

)

: Tổng nội lực trên diện tích vô cùng bé dF chứa điểm M thuộc mặt cắt

  nMPn (





   ePePP . . 1 2 n

 eP . 3 nz

 S nên ứng suất toàn phần là một hàm chứa các biến là M và n

* Các cách ký hiệu của ứng suất toàn phần: a. Trong hệ tọa độ Descartes : .

y Pny

n t

n

M(x,y)

Pn n

Pnx

Pnz



 nP

    nt n

b. Trong Sức bền vật liệu: Trong đó:  n  nt

y

zy

xz

x

yx

zx

z

yz

xz

c. Trường hợp đặc biệt khi mặt cắt qua điểm M(x, y, z) đang xét lần lượt tương ứng trùng với phương

là ứng suất pháp, có một chỉ số chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt. là ứng suất tiếp, có 2 chỉ số, chỉ số thứ nhất chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ hai chỉ phương song song với ứng suất tiếp hoặc chứa ứng suất tiếp.  vuông góc với các trục tọa độ, các pháp tuyến n của các trục tọa độ:

xy>0

* Trên mặt cắt vuông góc với trục x : - Ưng suất pháp có phương theo trục x ký hiệu : x. - Ứng suất tiếp nằm trong mặt phẳng này chia thành hai thành phần theo

x>0

* xy> 0 *

x>0

Tương tự : *Trên mặt cắt vuông góc trục y : y , yz , yx . *Trên mặt cắt vuông góc trục z : z , zx , zy.

hai phương y, z: ký hiệu : xy , xz . *Quy ước về dấu của các thành phần ứng suất : - Nếu pháp tuyến của mặt cắt hướng theo chiều dương của các trục tọa độ tương ứng, chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục tọa độ tương ứng thì ứng suất là dương.

- Các trường hợp khác với những điều nêu trên thì ứng suất là âm.

a. Khái niệm: Chuyển vị là sự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất

M1(x1,y1,z1)

m P

M(x,y,z)

b. Các thành phần chuyển vị và ký hiệu :

- Nếu pháp tuyến của mặt cắt hướng theo chiều âm của các trục tọa độ tương ứng, chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tọa độ tương ứng thì ứng suất là dương. §1.4. CHUYỂN VỊ - BIẾN DẠNG - HỆ THỐNG CÁC KÝ HIỆU 1. Chuyển vị : trong vật thể khi vật thể bị biến dạng.

1MM là vectơ chuyển vị.

Hình 1.1

Xét điểm M(x,y,z) trong vật thể V Sau khi vật thể biến dạng M(x,y,z) chuyển thành M1(x1, y1, z1) Vectơ Véc tơ chuyển vị có các hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z là u, v, w. Các điểm M(x,y,z) khác nhau sẽ có các chuyển vị khác nhau nên u, v, w

là hàm của điểm M hay là hàm của 3 biến x, y, z . u = u(x,y,z) v = v(x,y,z) w = w(x,y,z)

Các chuyển vị bé tức là giá trị của nó nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước

a. Khái niệm: Biến dạng là sự thay đổi hình dáng, kích thước của vật thể

b. Các thành phần biến dạng và ký hiệu : Để định lượng biến dạng của vật thể, ta xét những thay đổi của các yếu tố

của vật thể. 2. Biến dạng : hoặc của các yếu tố hình học trong vật thể. hình học như chiều dài, góc, thể tích của vật thể .

1ds



 Biến dạng dài tương đối :  Xét một phân tố chiều dài MN = ds theo phương n Sau biến dạng MN = ds trở thành M1N1 = ds1

 n

 ds

Định nghĩa: Biến dạng dài tương đối, ký hiệu n, là tỷ số

Ý nghĩa: Biến dạng dài tương đối là biến dạng của một đơn vị chiều dài,

có một chỉ số chỉ phương của biến dạng.

Do đó biến dạng dài tương đối theo các phương x, y, z trong hệ tọa độ

Descartes là : x, x, z.

 Biến dạng góc : Xét góc vuông PMN Sau biến dạng PMN trở thành P1M1N1 Định nghĩa: Biến dạng góc, ký hiệu mn là hiệu số mn = PMN - P1M1N1

 - P1M1N1 2 = 

Ý nghĩa: Biến dạng góc là lượng thay đổi của một góc vuông trong mặt

phẳng đang xét, có 2 chỉ số chỉ mặt phẳng xét biến dạng góc.

=> Biến dạng góc trong các mặt phẳng xoy, yoz, zox là : xy, yz, zx.  Biến dạng thể tích tương đối : Xét phân tố có thể tích dV sau biến dạng trở thành dV1. Định nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối, ký hiệu , là tỷ số :

dV 1 dV

=

Ý nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối là lượng thay đổi thể tích của một

đơn vị thể tích. *Các hàm , ,  là hàm của các biến x,y,z:

 = (x,y,z)  = (x,y,z) = (x,y,z)

Theo giả thiết biến dạng bé ta có: //<< 1, / /<< 1, / / << 1 Ý nghĩa : Có thể bỏ qua tích của biến dạng so với biến dạng và so với 1.

- x , y , z > 0 khi chiều dài đang xét dãn dài ra. Ngược lại < 0. - xy, yz, zx > 0 khi các góc vuông bé lại. Ngược lại < 0.

- Là “chiếc cầu” để đi tới những môn học xa hơn trong cơ học như: Lý

* Qui ước dấu của các thành phần biến dạng §1.5. PHƯƠNG PHÁP, MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 1.Phương pháp: Dựa trên cơ sở các phương trình toán học để mô tả các điều kiện cân bằng về mặt cơ học của vật thể, từ đó xác định các đại lượng như ứng suất, biến dạng và chuyển vị của vật thể. 2. Mục đích: Qua môn học này : - Có phương pháp giải các bài toán phức tạp : Như các bài toán có hình dạng và lực tác dụng vượt ra khỏi khuôn khổ của môn học SBVL, CHKC. Những bài toán không tuân theo các giả thiết tính toán cơ bản trong SBVL khi chịu tác dụng của ngoại lực . Các bài toán tấm, vỏ, khối. thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, cơ học phá hủy.....

CHƯƠNG 2 : LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

Trong hệ tọa độ Decartes cho 1 vật thể chịu tác dụng của ngoại lực, bao

y , f *

z .

x , f *

y d

Phần tử loại 1

Phần tử loại 2

y d

§2.1. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG 2.1.1. Đặt vấn đề : gồm: * Lực thể tích: Là lực phân bố trong không gian của vật thể, được đặc trưng bởi cường độ f và là lực trong một đơn vị thể tích, có hình chiếu lên 3 trục tọa độ x, y, z là: fx , fy , fz . * Lực diện tích (lực bề mặt): Là lực tác dụng trên một phần hay trên toàn bộ bề mặt giới hạn của vật thể, được đặc trưng bởi cường độ f* và là lực trên một đơn vị diện tích, có hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z là f *

M(x,y,z)

Dưới những tác dụng này, vật thể nằm ở trạng thái cân bằng tĩnh hoặc động nên những phần tử vật chất của vật thể cũng nằm ở trạng thái cân bằng tương ứng. Tưởng tượng dùng họ những mặt phẳng vuông góc với các trục toạ độ và cách nhau những đoạn vi phân dx, dy, dz cắt qua vật thể (hình vẽ 2.1) ta sẽ nhận được :

(Hình 2.1)

* Những phần tử hình hộp có sáu mặt cắt ở bên trong vật thể gọi là phần

* Những phần tử có ít nhất một mặt là bề mặt ngoài của vật thể gọi là phần

Điều kiện cân bằng của vật thể được đảm bảo thông qua điều kiện cân

Trước tiên ta khảo sát sự cân bằng của các phần tử loại 1 lấy tại điểm

tử loại 1. tử loại 2, trong trường hợp tổng quát, phần tử loại 2 là một khối tứ diện. bằng của tất cả các phần tử loại 1 và loại 2. 2.1.2. Phương trình vi phân cân bằng : M(x,y,z)



 xy

xy

  xy x



P(x,y+dy,z)



x

 x

y d

- Ngoại lực là lực thể tích f có hình chiếu lên các trục toạ độ : fx , fy , fz - Nội lực là các ứng suất trên các mặt của phần tử, các ứng suất này là các

xz

  x x  N(x+dx,y,z) 

 xz

  xz x 

Q(x,y,z+dz) dx

1. Lực tác dụng lên phần tử : hàm số liên tục của tọa độ điểm M(x,y,z).

(Hình 2.2)





;dx



;dx



  x

 x

 x 





;dy

 Hai mặt vuông góc với trục x: + Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các thành phần ứng suất : x , xy , xz + Mặt đi qua điểm N(x+dx,y,z): khai triển theo Taylor và bỏ qua các số hạng vô cùng bé bậc cao có các thành phần ứng suất :

 y 

  y

Tương tự:  Hai mặt vuông góc với trục y: + Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có ứng suất : y , yx , yz + Mặt đi qua điểm P(x,y+dy,z) có các ứng suất :   y



;dz



;dz



  z

 z 

 Hai mặt vuông góc với trục z: + Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các ứng suất z , zx , zy + Mặt đi qua điểm Q(x,y,z+dz) có các ứng suất :

2. Phương trình cân bằng: Dưới tác dụng của ngoại lực, giả sử phần tử đang xét nằm ở trạng thái cân bằng,

 (

)dx

dydz



(

)dy

dxdz



 y 



(

)dz

dxdy



dxdydz



 x   z 

các phương trình cân bằng được thỏa mãn :

 f

;)

 (



 u  t

Sau khi rút gọn và cũng thực hiện tương tự cho các phương trình ∑Y = 0 ; ∑Z=0,

 f

;)

 (



 x   x 

 



 f

 (



  y   y   y

 w  t

 z 

 x  Với : mật độ khối lượng của vật thể.



(2.1) ta sẽ nhận được 3 phương trình vi phân cân bằng như sau :   z  z 

 yx



  xy



xy

 xy



yx

+ Trong trường hợp cân bằng tĩnh: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng 0. + Trong trường hợp cân bằng động: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng các lượng trong dấu ngoặc; u, v, w là các thành phần chuyển vị của phần tử vật chất tại điểm M theo 3 phương x,y,z. Lượng trong dấu ngoặc nếu đổi dấu thì chính là các lực quán tính của một đơn vị thể tích chiếu lên ba phương của các trục tọa độ. Hệ phương trình (2.1) được gọi là phương trình cân bằng tĩnh học NAVIER- CAUCHY. 2.1.3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : * Từ phương trình cân bằng môment của phân tử đối với các trục tọa độ ta sẽ được định luật đối ứng của các ứng suất tiếp.   yx

(Hình.2.3)

Xét phương trình cân bằng ∑Mz = 0 Để đơn giản ta đặt tọa độ ban đầu ở tâm hình lập phương. Tìm moment tại tâm phần tử đối với trục zozo, ta có:







(

)dx

dydz



(

)dy

dxdz



zz 00

 x

dx 2

 y

dy 2



dxdydz

và

dydxdz

dy 2

 y

 x với các vô cùng bé bậc 3, rút gọn và chia 2 vế của phương trình cho dxdydz, ta có :

 Bỏ qua các vô cùng bé bậc 5 so dx 2

;







)2.2(

;





Chứng minh tương tự ta có:

    ; 

Phát biểu định luật: Ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc về trị số bằng

nhau nhưng ngược chiều .

xz

z

zx

x

zy

f*y zf*

xy

f*x yz

(Hình.2.4)

yx

2.1.4. Phương trình điều kiện biên theo ứng suất : Đây chính là điều kiện cân bằng của các phân tử loại 2.Trong trường hợp tổng quát, phân tử này là khối tứ diện, có ba mặt vuông góc với các trục tọa độ và nằm ở bên trong vật thể, có diện tích lần lượt là dSx, dSy, dSz. Mặt còn lại là  với cosin chỉ phương mặt ngoài của vật thể có diện tích dS có pháp tuyến n l,m,n. y (Hình 2.5)

 , xn

Véc

 , yn

 cónto

) = l = cos (

 , zn

) = m = cos (

) = n = cos (

z) trên diện tích dS

x, f*

y,f*

+ Lực bề mặt f*(f*

dSx dS dSy (a) dS dSz dS a. Lực tác dụng lên phân tử: - Ngoại lực : + Lực thể tích f(fx, fy,fz) của thể tích dV. - Nội lực : + Mặt vuông góc trục x, ký hiệu dSx có các ứng suất : x , xy , xz. + Mặt vuông góc trục y, ký hiệu dSy có các ứng suất : y , yx , yz. + Mặt vuông góc trục z, ký hiệu dSz có các ứng suất : z , zx , zy. b. Phương trình cân bằng : Phương trình tổng hình chiếu của các lực theo phương X là:  0

dVf





dSf







)c(





 )b( zx Bỏ qua vô cùng bé bậc ba fx.dV so với các vô cùng bé bậc hai và chia (b) cho dS dS dS

dS dS

Thay (a) vào (c) ta có:

 l





ta có:







)3.2(



 n

Tương tự:

1. Về mặt cơ học: Hệ phương trình (2.1) và (2.3) biểu diễn mối quan hệ

2. Về mặt toán học: Hệ phương trình (2.1) là hệ phương trình vi phân đối với các ẩn số ứng

Còn hệ phương trình (2.3) là điều kiện để xác định các hằng số tích phân

yz Hệ phương trình (2.3) là điều kiện cân bằng của phần tử loại hai, được gọi là hệ phương trình điều kiện biên theo ứng suất. 2.1.5. Kết luận: giữa nội lực và ngoại lực là điều kiện cân bằng của toàn bộ vật thể. suất, khi tích phân sẽ có các hằng số tích phân. ấy.

nP , các hình chiếu của nó lên 3 trục tọa độ x,y,z là Pnx, Pny, Pnz.

Giả sử đã biết các ứng suất trên 3 mặt vuông góc với hệ trục tọa độ đi qua  với các

xz

z

zx

zy

x

f*Pny zf*

xy

f* yz

y

yx

§2.2. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG – TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - TENXƠ ỨNG SUẤT 2.2.1. Đặt vấn đề : M(x,y,z), tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ có pháp tuyến n cosin chỉ phương là (l, m, n) đi qua điểm M(x,y,z) đó. 2.2.2. Ứng suất toàn phần :  Để tìm ứng suất tại điểm M(x,y,z) trên mặt cắt nghiêng có pháp tuyến n với các côsin chỉ phương l,m,n. Ta xét cân bằng của phần tử tứ diện lấy tại điểm M(x,y,z), phần tử có ba mặt vuông góc với các trục tọa độ, trên đó có các ứng suất , (như H.2.6). Mặt thứ tư của phân tử là mặt nghiêng có ứng suất toàn phần

Hình 2.6

f,f,f

Ba hình chiếu này giữ vai trò tương tự như lực bề mặt khi viết

 l



 l



 l













)4.2(





    

    

    

    

    

    

điều kiện biên (2.3), nên có thể có kết quả tương tự như sau: m

Giá trị của ứng suất toàn phần Pn được tính theo công thức sau :

)5.2(





nP có thể biểu diễn qua ứng suất pháp và ứng suất

Ứng suất toàn phần

P 2.2.3. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp : tiếp.

nP trên pháp tuyến

 , được ký hiệu n . n    P e.P



 e.P





Pch



 e.P  e.P(



 e.P

 )e.P



1.Ứng suất pháp: là hình chiếu của ứng suất toàn phần





lm.



)nl.

mn.

)7.2(

 (2

(2.6)





Pnz

Pnx





 n.Pm.Pl.P Thay (2.4) vào (2.6) ta có:  l. m.  n. x 2. Ứng suất tiếp : Trị số ứng suất tiếp Tnt trên mặt cắt nghiêng được tính theo công thức : Pny

(2.8)

)

  nMPn (

T

* Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp các ứng suất trên mọi mặt

2.2.4. Trạng thái ứng suất - Tenxơ ứng suất : cắt có thể đi qua điểm đó. * Nếu ứng suất thành phần là khái niệm phụ thuộc điểm và pháp tuyến của mặt cắt [ ] thì trạng thái ứng suất là khái niệm rộng hơn, chỉ phụ thuộc vào điểm. Điều đó cho phép ta phân biệt, so sánh được trạng thái nội lực tại các điểm khác nhau trong vật thể. Các biểu thức (2.7) và (2.8) cho phép xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kỳ đi qua điểm đang xét, điều đó chứng tỏ rằng chín thành phần ứng suất trên các mặt cắt vuông góc với các trục tọa độ là đủ để xác định trạng thái ứng suất tại điểm đó. Kết luận: Trạng thái ứng suất tại một điểm đặc trưng bởi chín thành phần ứng suất trên các mặt cắt vuông góc với các trục tọa đô đi qua điểm đó. Chín thành phần này lập thành một đại lượng gọi là tenxơ ứng suất.











    

    

Ký hiệu : Và được biểu diễn: 

Tenxơ ứng suất là một tenxơ hạng 2 đối xứng vì theo định luật đối ứng



;

, vậy tenxơ ứng suất có 6

của ứng suất tiếp ta có thành phần độc lập. 2.2.5. Tenxơ lệch ứng suất và Tenxơ cầu ứng suất :



(



)









(



)













(



)



    

    

Tenxơ ứng suất có thể chia thành Tenxơ lệnh ứng suất D và Tenxơ cầu

    

    

     





o 

ứng suất To      



(

)

1 3

Với : Ứng suất pháp trung bình.

D: Tenxơ lệch ứng suất, gây ra biến dạng hình dạng của phân tử. To : Tenxơ cầu ứng suất, gây ra biến dạng thể tích của phân tử.

§2.3. MẶT CHÍNH - PHƯƠNG CHÍNH - ỨNG SUẤT CHÍNH 2.3.1.Khái niệm:

m = cos (n , y) n = cos (n , z)

nP sẽ có phương vuông góc với mặt

* Mặt chính là mặt trên đó có ứng suất tiếp bằng không; * Phương chính là phương pháp tuyến của mặt chính. * Ứng suất chính là ứng suất pháp trên mặt chính . Ký hiệu n .  với l = cos (n, x) Giả sử có phương chính n Trên mặt chính ứng suất toàn phần

nP 

(2.9)

chính và có giá trị Pnx = n.l Pny = n.m Pnz = n.n





(





(







)10.2(







(





    

tb Hệ (2.10) có nghiệm tầm thường của là l = m = n =0 không thỏa mãn

Do đó hình chiếu Pnx, Pny, Pnz của Pn lên các trục x, y, z là : Thay (2.4) và (2.9) ta có hệ phương trình:  

điều kiện l2 + m2 + n2 = 1 (2.11).

Để hệ (2.10) có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ số phải

(



)



Det



(



)



)12.2(



)

    

    

n :

 ( Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính 0

bằng không:

 I I 1 

(2.13)



(

)



(

)

    

;

;  3 2

Trong đó: (2.14)

   1 3 2 ứng với mỗi

i đó.

;

;  3 2

- Phương chính : sau khi đã có các ứng suất chính và theo qui ước ;  ; 3 2

Các hệ số I1, I2 , I3 trong phương trình tìm ứng suất chính là những giá trị không đổi khi ta xoay trục. Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái ứng suất tại một điểm. - Giải phương trình bậc 3 (2.13) ta nhận được ba giá trị ứng suất chính, . các giá trị này đều là thực, kí hiệu lần lượt là i sử dụng hệ phương trình (2.10) và phương trình (2.11) để tìm cosin chỉ phương li, mi, ni của ứng suất chính Kết quả ta có ba phương chính tương ứng với ba ứng suất chính . Ba phương này trực giao với nhau và lập thành một hệ trục tọa độ, ký hiệu các trục là 1,2,3.







    

    

Tenxơ ứng suất này được viết là : 0







    

Các bất biến của trạng thái ứng suất chính :

Tùy theo giá trị của các ứng suất chính, ta phân loại trạng thái ứng suất thành trạng thái ứng suất đơn; trạng thái ứng suất phẳng và trạng thái ứng suất khối.

CHƯƠNG 3

LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG

§3.1. PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Xét biến dạng của phần tử vật chất lấy tại điểm M(x,y,z). Với các biến dạng là bé, ta có thể quan sát biến dạng của phần tử qua biến dạng các hình chiếu của nó trên các mặt phẳng tọa độ.



u y

 

P 1



 

v y P ( x ,y + d y )



N 1



y d

M 1

N 2



 

v x

N ( x + d x ,y )

M (x ,y ) U



 

u x

d x

(Hình 3.1)

+ Xét biến dạng trong mặt phẳng xoy (H.3.2). Phân tố chữ nhật MNQP với các cạnh ban đầu dx, dy sau biến dạng trở thành phân tố M1N1Q1P1.

(Hình 3.2)

- Điểm M(x,y) có chuyển vị theo phương x,y là : u; v. - Điểm N(x+dx,y) có các chuyển vị theo phương x,y, khai triển Taylor bỏ qua

dx.

 

u x

 v x 

các vô cùng bé bậc cao là : u + ; v+

dy.

 u  y

 

v y

- Điểm P(x,y+dy) có các chuyển vị theo phương x,y là : u + ; v+



 tg

sin

;



cos



cos

- Biến dạng dài tương đối của các cạnh theo phương x,y là x , y. - Biến dạng góc trong mặt phẳng đang xét xoy là xy = α+β. Theo giả thiết biến dạng bé, ta có : /x /<< 1; /y /<< 1; /α/ << 1; /β/ << 1 Sử dụng các công thức gần đúng :  tg

NM 1

3.1.1.Tính biến dạng dài tương đối :



 MN Trong đó : MN = dx





Ta có : (a)

M1N1 =

NM  cos



 u

dx.

 u



dx)

NM 2

 u x 

 

u x



dx)





 

u x

)a(





 MN

 u  x

Từ hình vẽ ta có :



 

v y

 v)dx



 

Tương tự ta có : (b)

α  tgα =

NN NM

 v  x 



 x)



 v x   u  x

= = =

3.1.2.Tính biến dạng góc: xy = α+β Góc quay của cạnh MN sẽ là : u x  u x 

Theo giả thiết biến dạng bé ta có x << 1 có thể bỏ qua x so với 1

 v x 

 α =

 + v x 

 u y 

 u  y

Tương tự β = (c) => xy = α+β=

Các kết quả (b) và (c) cho trong mặt phẳng xoy được sử dụng cho hai mặt phẳng còn lại yoz và zox. Bằng cách hoá vị vòng các chỏ số theo thứ tự của tam diện thuận x,y,z ta nhận được quan hệ chuyển vị và các biến dạng như sau : x(u)



;







;





)1.3(



;





u   x v   y w   z

v   x w   y u   z

u   y  v  z w   x

        

y(v) z(w)

Công thức (3.1) thiết lập mối quan hệ tuyến tính giữa các thành phần biến dạng và các chuyển vị xét ở thời điểm t, được gọi là phương trình quan hệ hình học CAUCHY

Từ (3.1) có thể kết luận các biến dạng là bé khi đạo hàm bậc nhất các

chuyển vị theo phương toạ độ là bé.

§3.2 TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG - TENXƠ BIẾN DẠNG 3.2.1.Biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ :

Hệ (3.1) cho phép ta tính biến dạng dài tương đối theo các phương x,y,z.

dy y

Đặt vấn đề làm sao tính biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ ?

(Hình 3.3)

Trong hệ trục toạ độ Descartes.Xét vi phân chiều dài MK= ds theo phương

n với các cosin chỉ phương là l,m,n.

Hình chiếu của ds lên các trục x,y,z là dx, dy, dz.

 x,n



l = cos ( ) =

dx ds  y,n

cóntoVéc

dy ds

m = cos ( ) = (a)

 z,n

dz ds

n = cos ( ) =

+Ở trạng thái ban đầu, toạ độ điểm đầu và điểm cuối của vi phân MK là

M(x,y,z) và K(x+dx, y+dy, z+dz)

+Điểm M(x,y,z) chuyển vị theo ba phương x,y,z là u,v, w. +Điểm K(x+dx, y+dy, z+dz) chuyển vị theo ba phương là : u+du; v+dv;

du =

dv =

dw =

w+dw.

Với du, dv, dw là các vi phân toàn phần của thành phần chuyển vị u,v,w. u  .dy + u  .dx +  .dz u x y   z   .dy + v  .dx + v  .dz v y  z x    .dy + w  .dz  .dx + w w y   x z 

+ Sau biến dạng MK trở thành M1K1 = ds1 trong đó : M(x,y,z) trở thành M1( x+u, y+v, z+w). K(x+dx, y+dy, z+dz) trở thành K1(x+dx+u+du, y+dy+v+dv, z+dz+w+dw).

2 = (dx+du)2 + (dy+dv)2 + (dz+dw)2

(b)

n =

ds1  ds



(n + 1)2 =

+ Chiều dài vi phân trước biến dạng: ds2 = dx2 + dy2 + dz2 + Chiều dài vi phân ds1 sau biến dạng: ds1

2 =

(d)

 1+2n + n

 n =

ds  ds2

ds ds (Với giả thiết biến dạng bé có thể bỏ qua n

2 so với n)

2 = [dx + (

u  x 

 .dz)]2 + u z 

 u  y

.dx + .dy + Tính ds1

+ [dy + ( .dy +

 .dz)]2 + v z   .dz)]2. w  z

 .dx + v x   .dx + w  x

 v y   w y  Khai triển (e) và bỏ qua các thành phần vô cùng bé bậc cao

+ [dz + ( .dy + (e)

 .dz)2;( u z 

 v y 

 w  y

( .dx+ .dy+ .dy+ .dy+

u  x  u  x 

 u  .dx+ v  .dz)2;( v  y x  z   ...(vì theo giả thiết biến dạng bé w z 

 v y 

2 = (dx2 + dy2 + dz2) + 2 [(

; ; ; ;

.dxdy + (e)  ds1

 .dxdz) + u z   .dydz) + v .dy2 +  z

+ (

 .dx+ w  .dz)2 so với w x   z u  v   ... << 1) và rút gọn : w x y    z u  u  .dx2 + x y    .dxdy + v  x  .dxdz + w x 

 .dz2)]. w z 

 v y   w  y

2 - ds2 = 2 [(

.dydz + + (

 .dxdz) + u  z

.dx2 + .dxdy +  ds1

 .dydz) + v z 

+( .dy2 +

 .dz2)]. w  z

+ ( .dydz +









 u  y

Theo (d)



 u  x  v x   w  x

 u  z  v  z  w  z

dxdz ds dydz ds dz ds

dy ds dydz ds



u  u  x  y   v  .dxdy + v y  x   w  .dxdz + w  y x  2 ds  ds2 dx ds dxdy ds dxdz ds dy ds

dxdy ds  v y  w  y  dz ds

dx ds

Thay và biểu thức (3.1) vào n :



(3.4).

 zx 2

n = x.l2 + y.m2 + z.n2 + 2  n = x.l2 + y.m2 + z.n2 + xy.lm + yz.mn + zx.nl  xy yz     lm   2 2  



xy 

yz 

zx 

; ta có :

(3.5)

(3.6)

nml

n = 

    

    

 zx  zy 

    

Đặt ; n = x.l2 + y.m2 + z.n2 + 2( xy .lm + yz .mn + zx .nl) Có thể viết dưới dạng toàn phương :   x yx    xy y     yz  + Sau khi nhận được (3.5) ta thấy (3.5) hoàn toàn tương tự với (2.7) : n = x.l2 + y.m2+z.n2 + 2(Txy.ml + Tyz.mn + Txz.nl) (2.7) Nên có thể kết luận : Trạng thái biến dạng tại 1 điểm được đặc trưng bởi 9 thành phần biến dạng trên các mặt cắt vuông góc với hệ trục toạ độ. Chín thành phần này cũng thành lập 1 tenxơ hạng 2 đối xứng gọi là tenxơ biến dạng bé. Ký hiệu : T

 zx  zy  z

    

    

Và được biểu diễn : T =

Tenxơ biến dạng T có thể phân tích thành tổng của hai tenxơ hạng 2 là

 x yx   xy x   II. Tenxơ lệch biến dạng và Tenxơ cầu biến dạng : tenxơ lệch biến dạng D và Tenxơ cầu biến dạng T0.





 tb 0

 

0  0

 tb

 xz  

    

    

 x  yx 

xy  tb   zy

    

    

 xz  yz  z

     =

yz 

 z +

 x xy   yx y   zy T

= +



T0.

1 3

= : Biến dạng dài trung bình. Với tb D    z y

D: đặc trưng cho biến dạng hình dạng của phần tử T0: đặc trưng cho biến dạng thể tích của phần tử

§3.3. BIẾN DẠNG CHÍNH VÀ PHƯƠNG BIẾN DẠNG CHÍNH Trạng thái biến dạng tại điểm M(x,y,z) được đặc trưng bởi tenxơ biến dạng bé. Tại điểm M(x,y,z) ấy ta có thể tìm được ba phương vuông góc với nhau

- Các biến dạng dài tương đối theo phương biến dạng chính là các biến

Ký hiệu các biến dạng chính là : 1, 2 , 3. => theo quy ước 1> 2 > 3. Tương tự như việc tìm các ứng suất chính, biến dạng chính được xác định

(



)



và trên các mặt phẳng vuông góc với ba phương đó, các biến dạng góc bằng không. Những phương đó gọi là phương biến dạng chính. dạng chính, các biến dạng chính là biến dạng dài cực trị tại điểm ấy. từ phương trình sau :



Det



 (

)





)

(

    

    

n :

 z Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính 

(3.7)



0 J





(

)

(3.8)



(

)

     

yz Các hệ số J1, J2 , J3 trong phương trình tìm biến dạng chính là những giá trị không đổi khi ta xoay trục. Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái biến dạng tại một điểm. Phương trình (3.8) cho 3 nghiệm biến dạng chính, cả ba nghiệm này đều là thực. * Tìm phương biến dạng chính : Sau khi có các biến dạng đường chính 1, 2 , 3, ứng với mỗi i sử dụng hệ phương trình (3.10) và phương trình (3.11) ta có hệ ba phương trình tương ứng với ba ẩn số là ba cosin chỉ phương của biến dạng chính i đó.

(











(







)10.3(







    

 ( m l2 + m2 + n2 = 1



Trong đó (3.9)

n) Kết quả ta có 3 phương biến dạng chính tương ứng với 3 biến dạng chính.

l Và phương trình: Ba phương này trực giao với nhau ký hiệu các trục là 1,2,3.

(3.11)

Tenxơ biến dạng chính được viết là :





    

    

 Các bất biến của trạng thái biến dạng chính :







    



x =

Ở mục trên ta đã lập được 6 phương trình vi phân của biến dạng theo 3



yz =

y =



zx =

z =

(3.1)

 u  y  v  z  u  z

§3.4. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH BIẾN DẠNG chuyển vị u, v, w. (Biểu thức 3.1).  v  u xy = x   x  w  v  y y   w  w  x z 

Các quan hệ này được gọi là các điều kiện tương thích hay điều kiện liên

Để nhận được các phương trình này, ta khử các chuyển vị u, v, w trong

- Các phương trình này cho phép tính được các biến dạng bằng cách lấy đạo hàm của các chuyển vị u, v, w. Những hàm chuyển vị này, theo tính liên tục của vật thể sẽ là những hàm đơn trị và liên tục của các biến số. Dó đó, các biến dạng cũng sẽ là những hàm đơn trị và liên tục. - Để giải bài toán ngược tìm 3 hàm chuyển vị u, v, w khi biết các biến dạng, ta có 6 phương trình đạo hàm riêng đối với 3 ẩn số. Số phương trình nhiều hơn ẩn số, nên để xác định được 3 ẩn số là các hàm liên tục và đơn trị thì 6 phương trình này phải có quan hệ với nhau. tục của biến dạng cũng được gọi là các điều kiện Sainti - Venant. các phương trình biến dạng Cauchy - Navier.















I. Nhóm phương trình cho các biến dạng trong cùng 1 mặt phẳng :

 . xy

2  y 2

 yx 

 u  y

 v x 

 yx 

 

v x

 y 

 u  x

 x 

 v y 

2   x 2 y 

 x

  

  







 yx  2  y 2

 x







)12.3(

2   x 2 y  2  y 2





2   z 2 y  2   x 2 z 

 u  y 2  xy  yx 2  yz  zy 2   zx zx 

 z 2   z 2  x



Tương tự ta có :

w   x

u   y

u   z

 

v x

 2  xy  zx  zx  yx 

 

  

  

 zx  2

+ =





II. Nhóm phương trình cho các biến dạng trong các mặt phẳng khác nhau:  yx  2

w  y 

  v  z 

 zy 

u  x 

 zy 

u  x 

 . 

 



  

  





= + +

  2  yz 2







 x 

2 2   x  zy

  

  









)13.3(

 y 

2  y xz 

  

  





22   x zy   yz   x  yz   x  yz   x



 z 

  

  

2 2   z  yx

x   zx xy     y  z  zx xy     y  z   zx xy    y  z

Ý nghĩa : Hệ phương trình (3.12) và (3.13) thể hiện mối quan hệ giữa các biến dạng là điều kiện để tìm u, v, w từ phương trình biến quan hệ hình học Cauchy- Navier gọi là phương trình liên tục biến dạng.

CHƯƠNG 4 : QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

(4.1)

(4.2)

Trong hai chương trên ta đã nghiên cứu hai mặt riêng biệt của môi trường liên tục đó là mặt tĩnh học (trường ứng suất) và mặt hình học (trường biến dạng), giữa hai mặt này có quan hệ với nhau. Sự phân bố ứng suất và biến dạng của môi trường phụ thuộc vào quan hệ đó. Xét quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tức là xét về mặt vật lý của môi trường. Sự khác nhau về mặt vật lý đã dẫn đến những nội dung khác nhau trong lý thuyết cơ học vật rắn biến dạng như lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến và lý thuyết đàn hồi dẻo. Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất là hàm của biến dạng : x = f1(x, y, z, xy, yz, zx); ); y = f2(x, y,... ); z = f3(x, y,... ); Txy= f4(x, y,... ); Tyz= f5(x, y,... Tzx= f6(x, y,... ); Trong môn học này ta giả thiết vật liệu làm việc đàn hồi tuyến tính tức quan hệ ứng suất và biến dạng là các quan hệ tuyến tính. Do đó (4.1) viết thành : x = a11x + a12y + a13z + a14xy + a15yz + a16zx; y = a21x + a22y + a23z + a24xy + a25yz + a26zx; ............ Tzx = a61x + a62y + a63z + a64xy + a65yz + a66zx. Trong đó : Các hệ số aij : Là các hằng số đàn hồi của vật liệu. Trong (4.2) : Có tất cả là 36 hằng số đàn hồi. Ta sẽ chứng minh rằng đối với vật liệu hoàn toàn đàn hồi và đẳng hướng chỉ có 2 hằng số độc lập với nhau.

Khi phần tử bị biến dạng các nội lực sinh ra một công.

§4.1. CÔNG VÀ THẾ CỦA LỰC ĐÀN HỒI Xét 1 phần tử hình hộp có các cạnh dx, dy, dz tại điểm M(x,y,z). Các mặt của phân tử có các ứng suất như hình vẽ (H,4.1). Ứng với các ứng suất ấy phần tử có chuyển vị đường và chuyển vị góc.







xy

P (x,y+ dy,z)

xy x







x

 x 

y d

xy

N (x+dx,y,z) 

 xz

  xz x 

Q (x,y,z+ dz) dx

Hình 4.1

 .dx, có

4.1.1. Số gia của công do ứng suất pháp sinh ra:

x x 

Ứng suất pháp trên 2 mặt vuông góc trục x là : x và x +

Sau thời gian vô cùng bé t, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia:

độ dài tương đối x, độ dãn dài tuyệt đối : x.dx. x. Số gia của độ dãn dài tuyệt đối của cạnh dx : x .dx. (x.dydz)( x.dx)

Số gia của công do x sinh ra : Tương tự số gia của công y và z sinh ra : (y.dxdz)( y .dy) (a)

(z.dxdy)( y .dz).

4.1.2. Số gia của công do ứng suất tiếp sinh ra: Xét thành phần Txy ở tại thời điểm t, góc trượt tỷ đối là xy. Sau thời

gian t, góc trượt đó có số gia xy. Lực do Txy : Txy.dy.dz. Moment do Txy tác dụng trên 2 mặt phẳng đối diện vuông góc ox : (Txy.dydz).dx.

Số gia của công do Txy sinh ra : (Txy.dydz.dx). xy. Tương tự số gia của công do các ứng suất tiếp Tyz và Tzx sinh ra là :

(b) (Tyz.dzdx.dy). xz.

(Tzx.dxdy.dz). zx.

(4.3) Số gia công của phần tử hình hộp bằng tổng số gia của công do các ứng suất sinh ra (a+b): T = (x. x +y. y +z. z +Txyxy + Tyzyz + Tzxzx )dxdydz.

Ta có: dV = dxdydz : Thể tích của phần tử trước biến dạng.

*Số gia của công của một đơn vị thể tích (công riêng) A sẽ là :

T  V 

A = (4.4) = x. x +y. y +z. z +Txyxy + Tyzyz + Tzxzx

A = W (4.5)

(4.6)

Lực đàn hồi thỏa mãn điều kiện (4.5) gọi là có thế . Từ (4.5)  A = W Thế năng sinh ra do biến dạng và chỉ do biến dạng mà có, vì vậy thế năng

w  

 w  z

 w  y

w   x

W = (4.7) .x + .y + .z + yz + xy + zx. * Đối với vật thể hoàn toàn đàn hồi năng lượng sinh ra do biến dạng được bảo toàn. Nếu gọi W là thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy khi vật thể biến dạng thì độ lớn của thế năng biến dạng đàn hồi bằng công ngoại lực A. Do vậy ta có biến dạng đàn hồi là hàm số của các thành phần biến dạng : W = f(x, y, z, xy, yz, zx). Trong miền đàn hồi quá trình biến dạng là thuận nghịch nên W là 1 vi phân toàn phần. Nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao khi khai triển số gia của thế năng biến dạng đàn hồi theo biến dạng ta được :  w  yz

So sánh (4.4) và (4.7) : A = W : ta có :

w  

; ; x = Txy =

xy w  

; ; (4.8) y = Tyz =

yz w  

w   x  w  y w   z

; ; z = Tzx =

Từ (4.8) cho phép phát biểu kết luận định lý Green: Các phần tử ứng suất là các đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi đối với các biến dạng tương ứng. §4.2. ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT- CÁC HẰNG SỐ ĐÀN HỒI CỦA VẬT LIỆU. 4.2.1. Dựa vào định lý Green : Từ (4.2) ta có : x = a11x + a12y + a13z + a14xy + a15yz + a16zx.

w   x

(4.8) ta có : x =

 2 w   yz x

 (a). = a15

Từ (4.2) ta có: Tyz = a51x + a52y + a53z + a54xy + a55yz + a56zx.

w  

Từ (4.8) ta có: Tyz =

 2 w    yz x

 (b). = a51

a15 = a51.

(4.9) aij = aji

(d).





a  14

a 15



   

Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) và (b) ta có : Tổng quát đối với các hằng số đàn hồi của (4.2) ta có: Vậy các hằng số của hệ phương trình (4.2) đối xứng qua đường chéo chính. Do đó các hằng số cần xác định chỉ còn 36 - 15 = 21 hệ số. 4.2.2. Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng : Vật thể đẳng hướng là vật thể có tính chất đối xứng hoàn toàn, bất kỳ mặt phẳng nào đi qua phần tử cũng là mặt phẳng đối xứng. Tính chất cơ, lý của vật liệu theo mọi phương là như nhau. Do đó các phương trình (4.2) không thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ : +Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp x của phương trình thứ nhất trong hệ (4.2) không thay đổi: Nhưng các biến dạng góc xy và yz đổi dấu vì khi đổi chiều trục y thì góc trượt trước đây làm góc vuông nhỏ lại nay làm cho góc vuông lớn lên  x = a11x + a12y + a13z - a14xy - a15yz + a16zx Đồng nhất (c) và (d) ta có : a

Tương tự nếu đổi chiều trục z ta có a16 = 0. Bằng cách chứng minh tương tự ta đi đến kết luận ba hằng số cuối của

Do aij = aji nên ba hằng số đầu của ba phương trình cuối trong hệ

ba phương trình đầu trong hệ phương trình (4.2) đều bằng 0. phương trình (4.2) cũng bằng 0.

(4.9)

- Các ứng suất pháp không có quan hệ với các biến dạng góc. - Các ứng suất tiếp không có quan hệ với các biến dạng dài tương đối.

(e)



a  45



   

* Hệ phương trình (4.2) trở thành : x = a11x + a12y + a13z y = a21x + a22y + a23z z = a31x + a32y + a33z Tyx = a44xy + a45yz + a46zx Tyz = a54xy + a55yz + a56zx Tzx = a64xy + a65yz + a66zx Hệ phương trình (4.9) cho ta kết luận : Xét phương trình thứ (4) của hệ phương trình ( 4.9) : Tyx = a44xy - a45yz + a46zx Nếu ta đổi chiều trục z thì Txy không đổi nhưng yz và zx sẽ đổi dấu: (f) Tyx = a44xy - a45yz - a46zx  Đồng nhất (e) và (f) ta có :

Do aij = aji  a54 = a64 = 0. Tương tự ta có : a56 = a65 = 0.

(4.10)

x = a11x + a12y + a13z y = a21x + a22y + a23z z = a31x + a32y + a33z Tyx = a44xy Tyz = a55xy Tzx = a66xy

y x z

z = a31x + a32y + a33z x = a31y + a32z + a33x (4.14)

x = a12y + a13z + a11x

Hệ phương trình (4.9) có thể rút gọn như sau: Bằng cách hoán vị vòng phương trình (3) của hệ phương trình (4.10), ta có: Hoán vị vòng ta có: Phương trình (1) của hệ phương trình (4.10) : Đồng nhất (4.14) và (1) ta có : a31 = a12 a32 = a13 a33 = a11 a12 = a21 Vì aij = aj i  a31 = a13 a32 = a23

* Đặt a = a11 = a22 = a33 b = a12 = a21 = a13 = a31 = a23

(4.11)

x = ax + b(y + z) y = ay + b(x + z) z = az + b(x + y) Txy = cxy Tyz = cyz Tzx = czx

(4.12)

a -b = 2 

(4.13)

(

ba )

Bằng phép hoán vị vòng các phương trình (4,5,6) của hệ (4.10) ta có : (4.15) c = a44 = a55 = a66 Do đó (4.10) có dạng : *Ta có:  = x + y + z: là biến dạng thể tích tương đối. nên x = b + (a - b) x y = b + (a - b) y z = b + (a - b) z *Đặt b =  (4.12)  x =  +2x y =  +2y z =  +2z

Thực nghiệm chứng minh rằng khi xoay hệ trục tọa độ ta có c =

1 2  c = 

(4.14)

Txy = xy Tyz = yz Tzx = zx

 Các hệ phương trình (4.18) và (4.19) là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật thể đàn hồi và đẳng hướng được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng ứng suất theo biến dạng. Đối với loại vật liệu này chỉ có hai hằng số vật lý là  và . Hai hằng số này được gọi là hằng số LaMê.

$4.3. MỘT DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT

1  2 3 

Từ (4.18) ta có : x + y + z = 3 + 2 Trong đó :  = x + y + z : Độ biến dạng thể tích tương đối.   = (a) (x + y + z)













 

y  2 



      

Từ (4.18) (b)



)

(c)

 .( y z

  

x =







 y  2   z  2  Mặt khác x =  - (y + z) Thay (a) và (b) vào(c) ta có :   x  z   ( x ) z      2  )2    x y x z ( )  2

1 2   3     3( )2

)

 .( x y 

    )

(

  

(4.15) x =

Đặt E =

    x  )2   3(  3( )2       (2  )



 = (416)

    ) z (



; Ta có (4.20) : x =



Tương tự ; (4.17) :y =

)

    y (

1 E 1     ) z ( E 1 E

. : z =

Từ (4.21) ta có :



  2(

 3(  )2  

  

    

  2  2    

   

  

E =

  =

E  E 

  = G Mà G =

Lúc này (4.19) có dạng :

xy =

(4.18) yz =

1 Txy G 1 Tyz G 1 Tzx G

zx =

S .

Các hệ phương trình (4.22) và (4.23) được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng biến dạng theo ứng suất. *Định luật Hooke khối Từ (4.17) ta có : (*) E(x + y + z) = (x + y + z) - 2(x + y + z)

21  E

(*)  E = S (1 - 2)   = (4.19)

Với:  = x + y + z : Biến dạng thể tích tương đối. S =x + y + z: Hàm ứng suất tổng. Phương trình (4.19) được gọi là Định luật Hooke khối.