Giáo trình Lý thuyết thế trong địa vật lý: Phần 2 - ĐHQG TP.HCM

Chia sẻ: Hoa La Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 giáo trình "Lý thuyết thế trong địa vật lý" tiếp tục giới thiệu đến bạn đọc nội dung phần còn lại chương III và chương IV. Phần này giới thiệu đến bạn đọc nội dung về các bài toán biên, hàm cầu và các tính chất. Giáo trình được biên soạn kết hợp giữa lý thuyết và bài tập sau mỗi chương. Giáo trình là tài liệu dùng cho sinh viên năm 3 khoa Vật lý, học viên cao học, nghiên cứu sinh bộ môn Vật lý trái đất và bạn đọc khác quan tâm đến vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Lý thuyết thế trong địa vật lý: Phần 2 - ĐHQG TP.HCM

CHÖÔNG III CAÙC BAØI TOAÙN BIEÂN §1 Ba baøi toaùn bieân cô baûn. Caùc baøi toaùn bieân trong lyù thuyeát theá nhaèm xaùc ñònh haøm ñieàu hoøa thoûa maõn moät soá ñieàu kieän bieân. Caùc haøm ñieàu hoøa ôû ñaây trong thöïc teá laø theá cuûa moät tröôøng löïc naøo ñoù. Tuøy theo ñieàu kieän bieân maø ngöôøi ta chia ra laøm ba loaïi baøi toaùn bieân : + Baøi toaùn bieân thöù nhaát, coøn goïi laø baøi toaùn Dirichlet. Coù theå phaùt bieåu : Cho tröôùc haøm V xaùc ñònh taïi moïi ñieåm treân beà maët cuûa maët kín σ . Caàn phaûi tìm haøm V(x,y,z), ñieàu hoøa trong mieàn giôùi haïn bôûi maët σ vaø coù giaù trò treân maët naøy baèng giaù trò V cho tröôùc. Ta caàn phaân bieät baøi toaùn trong, töùc tìm haøm ñieàu hoøa trong mieàn τ giôùi haïn bôûi maët σ vaø baøi toaùn ngoaøi laø tìm haøm ñoù trong mieàn voâ haïn ôû khoâng gian beân ngoaøi maët σ . + Baøi toaùn thöù hai, coøn goïi laø baøi toaùn Neumann. ñaët ra nhieäm vuï sau : dV - Treân maët σ , cho tröôùc giaù trò ñaïo haøm cuûa haøm ñieàu hoøa caàn tìm dn V(x,y,z). Caàn phaûi tìm haøm naøy trong mieàn giôùi haïn bôûi maët σ . Töông töï ta cuõng caàn phaân bieät hai tröôøng hôïp trong vaø ngoaøi ñoái vôi maët σ . + Baøi toaùn thöù ba, coøn goïi laø baøi toaùn hoãn hôïp nhaèm xaùc ñònh haøm ñieàu hoøa dV theo giaù trò cho tröôùc treân maët σ laø moät toå hôp tuyeán tính αV + . dn Gioáng nhö treân, ta cuõng coù baøi toaùn trong vaø ngoaøi. Cuõng caàn chuù yù raèng, haøm ñieàu hoøa buoäc phaûi thoûa ñieàu kieän chính quy ôû voâ cöïc. Trong ngaønh troïng löïc vaø thuyeát veà hình daïng Traùi ñaát, theá haáp daãn laø haøm ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi vaø theo ñieàu kieän bieân, ngöôøi ta chæ coù theå xaùc ñònh ôû khoâng gian ngoaøi. Vì noùi chung, chuùng ta gaêp baøi toaùn ngoaøi (beân trong Traùi ñaât theá khoâng ñieàu hoøa, vì khoâng thoûa phöông trình Laplace. Ta haõy ñi saâu töøng baøi toaùn : 1. Baøi toaùn bieân thöù nhaát. Muïc ñích laø xaùc ñònh taïi moïi ñieåm P(x, y, z) ôû khoâng gian ngoaøi một haøm V(x, y,z) ñieàu hoøa ôû ngoaøi maët σ , chính qui ôû voâ cöïc vaø coù caùc giaù trò treân maët σ baèng ñuùng taäp hôïp lieân tuïc caùc V cho tröôùc. 54
Theo (2.27) ta coù coâng thöùc Green :   1   d   1 1 dV − V   d σ r V ( p) = − ∫∫  4π σ  r dn dn  (3.1)   dV r vaãn laø khoaûng caùch töø ñieåm chaïy M ñeán ñieåm quan saùt P. Giaù trò dn khoâng ñöôïc cho tröôùc neân baây giôø ta phaûi tìm caùch loaïi noù ra khoûi tích phaân. Haøm U laø haøm ñieàu hoøa ngoaøi σ vaø chính qui ôû voâ cöïc. Khi haøm U vaø V laø caùc haøm ñieàu hoøa thì coâng thöùc Green thöù hai theo (2.15a) coù daïng : 1  dV dU  0=− 4π ∫∫σ U dn −V dσ dn  (3.2) Coäng töøng veá ñaúng thöùc (3.1) vaø (3.2) ta coù : 1  1  dV d 1  V ( p) = ∫∫σ  r + U  dn − V dn  r + U  dσ (3.2a) 4π 1 1 Kyù hieäu G = + U vaø gaùn cho U ñieàu kieän sau : treân maët σ , U = − . Ta cho r r raèng khaû naêng xaây döïng haøm U nhö vaäy laø coù thöïc teá. Nhö vaäy tích phaân chöùa dV seõ baèng 0 vaø : dn 1 dG V ( p) = 4π ∫∫σ V dn dσ (3.3) Haøm G maø ta ñöa ra ôû ñaây goïi laø haøm Green cho khoâng gian ngoaøi ñoái vôùi maët σ . Nhö vaäy neáu xaây döïng ñöôïc haøm Green ñoái vôùi moät maët cho tröôùc thì ta coù theå tìm ñöôïc haøm ñieàu hoøa V baát kyø ôû khoâng gian ngoaøi theo nhöõng giaù trò cho tröôùc V cuûa noù treân maët σ . 1 Phaûi choïn sao cho U = − treân σ vaø ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi. r 55
1 1 [ Haøm = (x − ξ )2 + ( y − η )2 + (z − ζ )2 r ] − 2 laø haøm ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi vaø chính qui ôû voâ cöïc. Toùm laïi haøm Green laø haøm phaûi thoûa maõn caùc ñieàu kieän sau : Ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi, tröø P, chính qui ôû voâ cöïc, baèng 0 treân maët σ . x, y, z - toïa ñoä ñieåm quan saùt P. ξ ,η , ζ - toïa doä ñieåm chaïy M cuûa tích phaân. 1 Chuù yù :Haøm U phaûi choïn sao cho noù ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi, baèng - r 1 tröø ñieåm P ( x, y, z). Bôûi vì ôû khoâng gian ngoaøi, taïi P haøm U( ξ ,η , ζ ) maø baèng - r thì U seõ bò giaùn ñoïan, vì luùc ñoù M truøng vôùi P vaø r = 0. 2. Baøi toaùn bieân thöù hai. Giaù trò ñaïo haøm cuûa theá ñöôïc cho tröôùc treân maët σ . Vì vaäy, trong coâng thöùc (3.2a), ta caàn phaûi loaïi tröø giaù trò cuûa V. Ñeå laøm vieäc naøy ta haõy duøng moät haøm phuï laø U ñieàu hoøa ngoaøi maët σ , chính qui ôû voâ cöïc vaø thoûa maõn ñieàu kieän sau :  dN  1   =0 N= +U (N laø haøm Neumann)  dn σ r Khi ñoù nghieäm cuûa baøi toaùn bieân thöù hai theo (3.2a) seõ laø : 1 dV V ( p) = − 4π ∫∫σ N dn dσ (3.4) 3.Baøi toaùn bieân thöù ba.  dV  Giaû söû treân maët σ haøm V coù giaù trò sao cho  αV +  = f.  dn σ 1 Kyù hieäu haøm E = + U vaø buoäc haøm naøy treân maët σ thoûa maõn ñieàu kieän : r  dE  α E + dn  = 0 σ 56
Nhö vaäy coù nghóa treân maët σ ta coù :  dE   dn  = − [σ E ]σ σ Do ñoù, döïa vaøo keát quaû naøy ta vieát laïi veá phaûi cuûa tích phaân (3.2a) :  dV dE   dV   dV  ∫∫σ  E dn − V dn dσ = ∫∫σ  E dn + αVE dσ = ∫∫σ αV + dn Edσ Coâng thöùc (3.2a) naøy coù daïng : 1  dV  V ( p) = − 4π ∫∫σ  αV + dn Edσ 1 V ( p) = − 4π ∫∫σ f Edσ (3.5) Nhö vaäy haøm V coù theå xaùc ñònh taïi ñieåm P baát kyø trong khoâng gian ngoaøi, dV döïa vaøo giaù trò toå hôïp tuyeán tính αV + treân maët σ . Vaán ñeà khoù khaên laø xaây dn döïng ñöôïc haøm E ñoái vôùi maët σ cho tröôùc. Phần kết mục 1, ta cần chứng minh rằng bài toán Dirichlet ngoài coù tính ñơn trị. Dùng phương pháp phản chứng : Giả sử có hai hàm V và V’ ñiều hòa ngoài σ , chính quy ở ∞ và có cùng giá trị trên σ . Lúc ñó hàm số mới là T = V-V’ sẽ ñiều hòa ở ngoài σ và chính quy ở ∞ . Áp dụng công thức (2.14) ñối với không gian cho haøm U = V = T. dT ∫∫∫[T∆T + D(T, T)]dτ = −∫∫ T dσdσ τ σ Nhưng ∆T = 0 ở không gian ngoài. Vaø T = 0 ở trên σ (vì ñaõ cho tröôùc : V = V’ trên σ ) Vậy kết quả : ∫∫∫ D(T, T)dτ = 0 τ ðiều treân coù ñược khi tại mọi ñiểm ở không gian ngoài : 57
∂T ∂T ∂T = = =0 ∂x ∂y ∂z ðiều này có nghĩa hàm T là hằng số ở toàn không gian ngoài. Nhưng ở vô cực, hàm ñó bằng không. Vậy tại mọi ñiểm ở không gian ngoài hằng soá ñó baèng 0. T = 0 , ta suy ra : V = V’ ở toàn không gian ngoài – ñieàu caàn chöùng minh. Tính ñơn trị của bài toán Neumann cũng ñược chứng minh tương tự. §.2. Baøi toaùn Dirichlet cho quaû caàu. Chuùng ta haõy tìm nghieäm cho baøi toaùn Dirichlet ngoaøi cho nhöõng maët σ cuï theå. Tröôùc heát phaûi choïn maët caàu S baùn kính R taâm taïi O. Phaûi xaùc ñònh taïi ñieåm ngoaøi baát kyø P ( ρ ,θ , λ ) , haøm Ve ñieàu hoøa ngoaøi maët caàu S, chính quy ôû ∞ vaø laáy ôû treân maët S caùc giaù trò baèng : limVe = f (θ ' , λ ' ) ρ →R ( ρ ,θ , λ ) - toïa ñoä caàu cuûa ñieåm quan saùt (coù daáu phaåy laø treân maët S ). Nhö ñaõ thaáy, ta phaûi xaùc ñònh haøm Green cho maët caàu. Treân ñöôøng thaúng OP ôû khoaûng caùch ρ ' ta choïn ñieåm P’ sao cho ρ , thoûa maõn ñieàu kieän sau : ρρ ' = R 2 (3.6) Ñieåm P vaø P’ nhö theá goïi laø lieân hôïp nhau. Choïn ñieåm K ôû khoâng gian ngoaøi vaø xaùc ñònh khoaûng caùch cuûa noù ñeán caùc ñieåm lieân hôïp. K laø ñieåm di ñoäng. Kyù hieäu r, r’ khoaûng caùch töø K ñeán caùc ñieåm lieân hôïp, ta coù : r 2 = d 2 + ρ 2 − 2dρ cosψ (3.7) 2 2 2 r ' = d + ρ ' −2dρ ' cosψ r P Coøn khi K treân maët caàu S thì hieån nhieân laø : K 2 2 2 rs = R + ρ − 2 Rρ cosψ (3.8) d = R ψ r’ ρ 2 2 2 P’ rs′ = R + ρ ' −2 Rρ ′ cosψ (3.9) O ρ’ H.16 R2 Vì ρ ' = theo (3.6), neân coâng thöùc (3.9) coù daïng : ρ 58
2 2 R4 R3 R2 2 2 R2 r' = R + s 2 −2 cosψ = 2 ( ρ + R − 2 Rρ cosψ ) = 2 rs2 ρ ρ ρ ρ R Do vaäy ta coù: rs' = ( )rs (3.10) ρ Haøm Green chuùng ta xaây döïng nhö sau : 1 1 1R G = +U = − (3.11) r r r' ρ 1R Trong ñoù haøm U = − seõ thoûa maõn ñieàu kieän chính qui ôû voâ cöïc, vaø ñieàu r' ρ 1 hoøa trong toaøn khoâng gian ngoaøi. Coøn haøm seõ ñieàu hoøa trong toaøn khoâng gian r 1 ngoaøi vaø chính quy ôû voâ cöïc tröø ñieåm P ( ñieåm kî ). Vì haøm khi naèm trong tích r 1 phaân seõ laø haøm cuûa ñieåm chaïy K, khi K truøng vôùi P thì = ∞ ). r Toùm laïi haøm G thoûa maõn ñieàu kieän cuûa haøm Green. Baây giôø ta tính ñaïo haøm cuûa G ñeå ñöa vaøo tích phaân (3.2) : dG 1 dr R 1 dr ' =− 2 + dn r dn ρ r '2 dn (3.12) n laø phaùp tuyeán ngoaøi, truøng vôùi höôùng cuûa d. Laáy ñaïo haøm hai ñaúng thöùc (3.7) theo phaùp tuyeán ta coù : dr r = d − ρ cosψ dn dr ' r' = d − ρ ' cosψ dn Theá hai bieåu thöùc treân ñaây vaøo (3.12) ta coù : dG d − ρ cosψ R d − ρ ' cosψ =− + dn r3 ρ r '3 ÔÛ ngay treân maët caàu thì : 59
R2 R d = R, ρ = , r's = rs ρ ρ dG Do ñoù, ñaïo haøm nay coù daïng sau : dn R2 R− cosψ dG R − ρ cosψ R ρ =− + dn rS3 ρ R3 3 rS3 (3.13) ρ Sau khi giaûn öôùc ta coù :  dG  ρ 2 − R2   =  dn σ RrS3 (3.14) Thay (3.14) vaøo (3.3) ta coù nghieäm baøi toaùn Dirichlet ngoaøi : 1 ρ 2 − R2 Ve ( ρ ,θ , λ ) = 4π ∫ σ∫ f (θ ' , λ ' ) Rr S3 dσ (3.15 Nghieäm naøy goïi laø tích phaân Poisson cho khoâng gian ngoaøi. Töông tö,ï ta coù theå chöùng minh raèng nghieäm cuûa baøi toaùn Dirichlet trong : 1 R2 − ρ2 Vi ( ρ ,θ , λ ) = 4π ∫ σ∫ f (θ ' , λ ' ) Rr S3 dσ (3.16) §.3. Baøi toaùn Dirichlet cho maët phaúng voâ haïn. Coâng thöùc cho tröôøng hôïp maët phaúng nhaän ñöôïc baèng caùch cho baùn kính quaû caàu khoâng ngöøng tieán tôùi voâ cöïc. Luùc ñoù ñaïi löôïng trong daáu tích phaân seõ coù giôùi haïn sau: ( ρ + R) lim =1 2R ρ cuõng tieán tôùi ∞ khi R → ∞ , kyù hieäu ρ − R laø z, töùc chieàu cao dieåm quan saùt so vôùi maët phaúng voâ haïn ta nhaän ñöôïc : 60
z dσ Ve = 2π ∫ σ∫ f (θ ' , λ ' ) r3 (3.17) Baây giôø σ laø maët phaúng voâ haïn, vaø dσ laø dieän tích nguyeân toá cuûa maët phaúng ñoù. 61
CHÖÔNG IV HAØM CAÀU VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT §1. Giaûi phöông trình Laplace trong toïa ñoä caàu Haøm ñieàu hoøa laø haøm thoûa maõn phöông trình Lapcace theo ñònh nghóa. Ñöông nhieân nghieäm cuûa phöông trình Lapcace laø haøm ñieàu hoøa. Daïng toång quaùt cuûa nghieäm naøy, ta seõ nhaän ñöôïc sau khi giaûi phöông trình Lapcace. Trong toïa ñoä caàu, phöông trình Laplace coù daïng : 1  ∂  2 ∂U  1 ∂  ∂U  1 ∂ 2U    ρ  +  sin θ  + = 0  ρ 2  ∂ρ  ∂ρ  sin θ ∂θ  ∂θ  sin 2 θ ∂λ 2  (4.1) Söû duïng phöông phaùp taùch bieán soá, ta ñaët nghieäm : U ( ρ , θ , λ ) = f ( ρ )Y (θ , λ ) (4.2) Theá U trong (4.1) baèng (4.2) ta co ù: 1 ∂ 2 d  f (ρ)  1 ∂  ∂  1 ∂ 2  2 Y(θ, λ) ρ f (ρ) + 2  sinθ Y(θ, λ) + 2 2 Y(θ, λ) =0 ρ ∂ρ  dρ  ρ sinθ ∂θ  ∂θ  sin θ ∂λ  (4.3) Nhaân 2 veá cuûa (4.3) baèng ρ / Y (θ , λ ) f ( ρ ) ñeå taùch bieán soá, ta coù: 2 1 ∂ 2 d  1  1 ∂  ∂  1 ∂2  ρ f ( ρ) +  sinθ Y (θ , λ) +  sin θ ∂λ 2 2 Y (θ , λ)=0 f (ρ) ∂ρ  dρ  Y(θ, λ) sinθ ∂θ  ∂θ   (4.4) Phaàn chöùa ρ ta ñaët baèng k : 1 ∂  2 d  ρ f ( ρ ) = k (4.5) f ( ρ ) ∂ ρ  dρ  Phaàn chöùa θ , λ ta ñaët baèng -k : 1 ∂  ∂Y  1 ∂Y 2  sin θ + + kY = 0 (4.6) sin θ ∂ θ  ∂ θ  sin 2 θ ∂ λ 2 62
Ñaët f ( ρ ) = ρ , n = 0, 1, 2, 3,….vaø thay vaøo (4.5) ta coù : n 1 d n (ρ 2nρ n −1 )= k ρ dρ Sau khi laáy ñaïo haøm theo ρ ta coù : k = n(n+1) (4.6a) Thay n baèng -(n+1) vaøo (4.6a), keát quaû k vaãn baèng n(n+1). − ( n +1) Vaäy ta coù 2 nghieäm. Nhöng nghieäm f ( ρ ) = ρ coù tính chính quy ôû ∞ , thích hôïp cho baøi toaùn ngoaøi.Ñöa giaù trò k naøy vaøo (4.6), ta coù : 1 ∂  ∂Yn  1 ∂ 2Y n  sin θ  + + n ( n + 1)Y n = 0 sin θ ∂ θ  ∂ θ  sin 2 θ ∂ λ 2 (4.7) Taùch bieán soá moät laàn nöõa baèng caùch ñaët nghieäm: Y n (θ , λ ) = Pn (θ ) L n ( λ ) Sau khi thay (4.7a) vaøo (4.7) ta coù: Ln d  ∂ Pn  Pn d2  sin θ + L n + n ( n + 1) Pn L n = 0 (4.8) sin θ d θ  ∂ θ  sin 2 θ d λ 2 Nhaân 2 veá cuûa (4.8) baèng sin θ / Ln Pn thì phöông trình (4.8) taùch laøm 2 2 phaàn. Ñaët chuùng baèng l vaø - l, ta coù : d2 L n = − lL n l − haèng soá (4.9) dλ2 d  dP  sin θ [ 2  sin θ n  + n(n + 1) sin θ − l Pn = 0 dθ  dθ  ] (4.10) '' Phöông trình (4.9) coù daïng quen thuoäc Ln + lLn = 0 trong dao ñoäng ñieàu hoøa neân Ln seõ laø 1 toå hôïp tuyeán tính cuûa sin mλ , cos mλ maø trong ñoù l =m2 (döông), m = 0,1,2,3 … Thay l = m 2 trong (4.10) vaø ñaët cosθ = x , ta coù : d  2 dPn   m2  dx (  1 − x ) + dx   n (n + 1) − 1 − x 2  Pn = 0 (4.11) 63
Ñaây laø phöông trình cô baûn cuûa haøm caàu maø nghieäm rieâng cuûa noù baèng haøm lieân keát Legendre : m dm 2 Pnm ( x ) = (1 − x ) Pn ( x ) 2 (4.12) dx m Ví duï: 1 ( P11 ( x) = 1 − x 2 ) = sin θ 2 1 3 P12 ( x) = 3(1 − x ) = sin 2θ 2 2 2 3 P22 ( x) = 3(1 − x 2 ) = (1 − cos 2θ ) 2 3 1 3 P31 ( x) = (1 − x 2 ) 2 (5 x 2 − 1) = (sin θ + 5 sin 3θ ) 2 8 15 P32 ( x) = 15(1 − x 2 )x = (cosθ − cos 3θ ) 4 3 15 P33 ( x) = 15(1 − x 2 )2 = (3 sin θ − sin 3θ ) 4 Khi m = 0, ta coù Pno(x) = Pn(x) laø ña thöùc Legendre : 1 dn 2 Pn ( x ) = 2 n! dx n n ( x − 1) n ) (4.13) laø nghieäm cuûa phöông trình (4.11) vôùi m = 0 : 2 (1− x ) d P − 2x dP 2 2 n dx + n(n +1)P = 0 n n (4.14) dx Ví duï : Po(x) = 1 P1 ( x ) = x = cos θ 3 1 1 P2 ( x ) = x 2 − = ( 3 cos 2θ + 1) 2 2 4 5 3 1 P3 ( x ) = x 2 − x = ( 5 cos 3θ + 3 cos θ ) 2 2 8 64
Keát quaû: U(ρ,θ, λ) = ρ nYn (θ, λ) (4.15) n Y n (θ , λ ) = ∑ m=0 Pmn (cos θ )( A mn cos m λ + B nm sin m λ ) (4.16) U n ( ρ ,θ , λ ) goïi laø haøm caàu khoái, coøn Yn (θ , λ ) goïi laø haøm caàu maët. Chuù yù laø Pn ( x) môùi chæ laø nghieäm rieâng cuûa (4.14) Nghieäm toång quaùt laø : Z = C1Pn(x) + C2Qn(x) C1, C2 – haèng soá. x dx Q n ( x ) = Pn ( x ) ∫ (4.17) ∞ ( 1 − x Pn2 ( x ) 2 ) Haøm naøy goïi laø haøm Legendre loaïi 2. Ví duï : 1 1+ x Q 0 = arcthx = ln 2 1− x 1 1+ x Q1 = P1 ( x ) Q o ( x ) − 1 = x ln −1 2 1− x 3 Q 2 = P2 ( x ) Q o ( x ) − x 2 5 2 Q 3 = P3 ( x ) Q o ( x ) − x 2 + 2 3 Töông töï, nghieäm toång quaùt cuûa (4.11) laø: W = C1Pnm(x) + C2Qnm(x’) Trong ñoù: x dx Qnm = Pnm ( x) ∫ (4.18) ∞ (1 − x )[Pnm ( x)] 2 2 §.2 Moät soá tính chaát cuûa ña thöùc Legendre 1. Ña thöùc Legendre laø nhöõng haøm tröïc giao trong mieàn : -1≤ x ≤ 1 +1 ∫ P ( x) P −1 n m ( x ) dx = 0 (4.19) 2. Tích phaân cuûa bình phöông ña thöùc Legendre baäc n laáy töø -1 ñeán +1 baèng : 65
+1 2 ∫ [Pn ( x ) ] dx 2 = (4.20) −1 2n + 1 3. Heä soá tröôùc x coù luõy thöøa baäc cao nhaát trong ña thöùc Legendre laø : ( 2 n )! (4.21) 2 n ( n! ) 2 Ví duï: Khi n = 3. ta coù : 5 3 3 P3 ( x ) = x − x 2 2 6! 5 Thay n = 3 vaøo (4.21) ta coù heä soá laø : 3 2 = 2 (3! ) 2 5 laø heä soá tröôùc x3 coù luõy thöøa baäc cao nhaát ôû ñaây. 2 4. Pn(1) = 1, Pn(-1) = (-1)n (4.22) 5. Coâng thöùc truy hoài cho ña thöùc Legendre : Coâng thöùc baéc caàu, duøng ñeå tính ña thöùc Legendre baäc cao hôn khi ñaõ bieát hai ña thöùc Legendre baäc thaáp hôn keá caän : n +1 n xPn ( x ) = Pn +1 ( x ) + Pn −1 ( x ) 2n + 1 2n + 1 Töø ñoù ruùt ra: ( n + 1) Pn +1 ( x ) = ( 2 n + 1) xPn ( x ) − nPn +1 ( x ) (4.23) §.3. Moät soá tính chaát cuûa haøm lieân keát Legendre 1. Tính chaát tröïc giao trong mieàn [-1, +1] : +1 ∫P −1 km ( x ) Pnm ( x ) dx = 0 khi k ≠ n (4.24) 2. +1 2 ( n + m )! ∫ [P ( x ) ] dx = 2 nm (4.25) −1 2 n + 1 ( n − m )! 3. Coâng thöùc truy hoài : 66
Pn , m + 2 = 2 ( m + 1) Pn ,m +1 cot g θ − ( n − m )( n + m + 1) Pnm (4.26) Hoaëc : 1 − x 2 Pn , m + 2 = 2 ( m + 1) xPn , m +1 − ( n − m )( n + m + 1) 1 − x 2 Pn , m 1 §.4. Khai trieån haøm thaønh chuoãi ña thöùc Legendre. r 1 Haøm chính laø tyû leä nghòch vôùi khoaûng caùch giöõa ñieåm quan saùt P(x,y,z) vaø r ñieåm M (ξ ,η , ς ) coù khoái löôïng haáp daãn ñôn vò nhö ta ñaõ bieát. 1 1 V (r ) = = r (x − ξ ) + ( y − η )2 + (z − ς )2 2 Haøm r coù theå bieåu dieãn qua toïa ñoä cöïc : r= R 2 + ρ 2 − 2 R ρ cos θ (4.27) R = ξ 2 +η 2 + ς 2 vaø ρ= x2 + y2 +z2 ÔÛ khoâng gian ngoaøi ρ > R , neân : 1 1 R V (r ) = = U( ) R 2 R ρ ρ   ρ 1 +   − 2 cos θ ρ ρ R Kyù hieäu α = , ta caàn coù α < 1 vaø ρ 1 U(α ) = 1 + α 2 − 2α cosθ P r M ρ R O H. 17 67
Khai trieån U (α ) thaønh chuoãi Mac-Laurin : α ' α 2 '' α n ( n) U (α ) = U (0) + U ( 0) + U ( 0) + ... + U (0) (4.28) 1! 2! n! U (0) = 1    α − cosθ  U ' (0) = −   = cosθ  2 3   (1 + α − 2α cosθ ) 2 α = 0  3(α − cosθ ) 2 1  U ' ' ( 0) =  5 − 3  = 3 cos 2 θ − 1  r r  15(α − cosθ ) 2 9(α − cosθ )  U ' ' ' ( 0) =  2 + 5 (  == 3 5 cos 3 θ − 3 cosθ )  r r  Thay theá giaù trò ñaïo haøm naøy vaøo (4.28), ta coù : 2 3 cos2 θ − 1 5 cos3 θ − 3 cosθ U (α ) = 1 + α cosθ + α +α 3 + ... 2 2 Hoaëc : 2 U (α ) = Po (cosθ ) + αP1 (cosθ ) + α P2 (cosθ ) + ... ∞ U (α ) = ∑ α Pn (cosθ ) n n =0 (4.29) Mieàn hoäi tuï cuûa chuoãi, nay ñöôïc xaùc ñònh bôûi mieàn hoäi tuï cuûa chuoãi Mac- Laurin laø α < 1 , töùc ρ > R , khoâng gian ngoaøi quaû caàu baùn kính R. Keát quaû : ∞ Rn V (r ) = ∑ Pn (cosθ ) n =0 ρ n+1 (4.30) Neáu α >1 thì chuoãi naøy khoâng hoäi tuï nhöng chuoãi cuûa 1 seõ hoäi tuï (thay α α baèng 1/α). Khi ñoù ta vieát : 68
1 1 1 V (r ) = = ρ ρ 2 R 1 1 R 1 +   − 2 cosθ 1+ −2 cosθ R R α2 α Ta suy ra : 1 ∞ ρ n U   = ∑ n+1 Pn (cosθ )  α  n =0 R (4.31) ∞ ρn V (r ) = ∑ Pn (cosθ ) (4.31a) n =0 R n+1 1 Mieàn hoäi tuï cuûa chuoãi laø < 1 hay α > 1 , töùc ρ < R , khoâng gian beân trong quaû caàu α baùn kính R. §.5.Caùc heä thöùc tích phaân cho haøm caàu. Giaû söû U vaø V laø hai haøm ñieàu hoøa toàn taïi trong mieànø τ cho tôùi maët giôùi haïn S. Theo coâng thöùc Green thöù hai cho haøm ñieàu hoøa ( 2.15a) , ta coù :  dV dU  ∫∫ U dn − V s dS = 0 dn  (4.32) Maët S ta choïn maët caàu coù baùn kính R vôùi taâm laø goác toïa ñoä.Coøn hai haøm ñieàu hoøa ta choïn nhö sau : U = ρ Yn (θ , λ ) n (4.33) V = ρ Ym (θ , λ ) m (4.34) ρ ,θ , λ -toïa ñoä cuûa ñieåm maø U vaø V toàn taïi trong quaû caàu. d d Chuù yù, n laø phaùp tuyeán ngoaøi neân vaø dS = R sin θdθdλ . Treân maët 2 = dn dR caàu ρ = R. Thay taát caû vaøo (4.32) ta coù: 2 2 ∫ ∫ [R Yn (θ , λ ) mR m −1Ym (θ , λ ) − R m Ym (θ , λ ) nR n −1Yn (θ , λ .R 2 sin θ d θ d λ] n 0 0 69
π 2π = R m + n +1 ( m − n ) ∫ ∫Y n (θ , λ ) sin θ d θ d λ = 0 0 0 π 2π Ta suy ra : ∫ ∫Y 0 0 n (θ , λ )Y m (θ , λ ) sin θ d θ d λ = 0 Ñieàu naøy noùi leân tính chaát tröïc giao treân maët caàu cuûa haøm caàu, khi m ≠ n. 1 Baây giôøi xeùt tröôøng hôïp U = , trong ñoù : l l = ρ 2 + ρ ' 2 − 2 ρρ ' cos ψ (4.35) YÙ nghóa hình hoïc cuûa ρ , ρ ' ,ψ theå hieän ôû hình 18. Choïn ñieåm N coá ñònh treân maët caàu, coøn ñieåm P vaø P’ beân trong maët caàu. Ñoái vôùi P, xeùt tam giaùc PNO theo (4.31) ta coù : 1 ρn r = ∑ R n +1 Pn (cos θ ) (4.36) Ñoái vôùi P’ töông töï, xeùt tam giaùc P’NO ta coù: 1 ρ 'n r' = ∑ R n +1 Pn (cos θ ' ) (4.37) Xeùt tam giaùc P’PO ta cuõng coù töông tö ï: 1 ∞ ρ 'n l = ∑ n=0 P (cos ψ ) ρ n +1 n (giaû söû ρ > ρ ' ) (4.38) Choïn P’ laøm ñieåm quan saùt. P seõ laøm ñieåm chaïy trong tích phaân maët noùi 1 treân neân trong bieåu thöùc cuûa vaø ñaïo haøm cuûa noù, ta thay ρ = R. l 1 ∞ ρ 'n l = ∑ n=0 R n +1 Pn (cos ψ ) (4.39) 70
N R ρ θ θ’ P O ψ l ρ’ P’ H. 18 Aùp duïng (2.21 b) vaø (4.39) cho ñieåm quan saùt P’ beân trong S, ta coù : 1  1 dV Vd  1   V (P') = 4π ∫∫  l s dn −   dS dn  l   d d Söû duïng phaùp tuyeán ngoaøi neân = , ta coù : dn dR π 2π 1 ∞ ρn V (P') = ∫ ∫[ mR m −1 Y m (θ , λ ) ∑ n +1 P n (cos ψ ) 4π ∂ 0 n =0 R ∞ ρ 'n + R Y m (θ , λ ) ∑ ( n + 1) m n+2 Pn (cos ψ ) ]R 2 sin θ d θ d λ n=0 R Theá V(P’) ôû veá traùi baèng bieåu thöùc cuûa noù (4.34) vaø nhoùm veá phaûi laïi ta coù : π 2π 1 ∞ ρ ' Y m (θ , λ ) = m 4π ∑ ρ' n=0 n R m−n ∫ ∫ [mY (0 , λ )P (cos ψ ) m n 0 0 + ( n + 1)Y m (θ , λ ) Pn (cos ψ ) ]sin θ d θ d λ Ñaúng thöùc treân ñaây ñuùng vôùi moïi ñieåm coù ρ ' < R ρ ' m Y m (θ ' , λ ' ) = π 2π ∞ R m−n ∑ n=0 ρ' n 4π ( n + m + 1) ∫ ∫Y m (cos ψ ) Pn (cos ψ ) sin θ d θ d λ (4.40) 0 0 71
So saùnh heä soá caïnh ρ ' ôû hai veá treân ta coù : Khi m ≠ n veá traùi chæ coù duy nhaát ρ ' , coù nghóa caùc soá haïng coøn laïi vôùi luõy n thöøa m ≠ n ñeàu baèng 0 : π 2π ( n + m + 1) ∫ ∫Y m−n R m (θ , λ ) Pn (cos ψ ) sin θ d θ d λ = 0 4π 0 0 Töùc Pn (cosψ ) vaø Ym (θ , λ ) tröïc giao vôùi nhau. Coøn khi m = n, töø (4.40) ta ruùt ra : (4.41) 2n + 1 4π ∫S Yn (θ ' , λ ' ) = Y (θ , λ ) Pn (cosψ )dσ ∞ Trong ñoù Y (θ , λ ) = ∑Y m =0 m (θ , λ ) . Nhôø tính tröïc giao, neân thay Ym (θ , λ ) baèng Y (θ , λ ) khoâng coù gì thay ñoåiû. §.6. Khai trieån haøm soá f(θ,λ) thaønh chuoãi haøm caàu. Giaû söû ta coù haøm soá naøo ñoù f (θ , λ ) coù theå khai trieån thaønh chuoãi hoäi tuï sau : f (θ , λ ) = Y0 (θ , λ ) + Y1 (θ , λ ) + .... + Yn (θ , λ ) (4.42) Yn (θ , λ ) laø haøm caàu maët ôû coâng thöùc (4.16). Duøng coâng thöùc (4.16) thay vaøo coâng thöùc (4.42) ta coù : ∞ ∞  n  : f (θ , λ ) = ∑ Yn (θ , λ ) = ∑  A0 Pn (cosθ ) + ∑ ( Anm cos mλ + Bnm sin mλ )Pnm (cosθ ) n =0 n =0 m =1  (4.43) Neáu nhö caùc heä soá A0, Anm, Bnm xaùc ñònh ñöôïc thì coi nhö ta ñaõ trieån khai xong f (θ , λ ) thaønh chuoãi. Tính caùc heä soá : Nhaân 2 veá cuûa (4.43) vôùi cos kλdλ vaø laáy tích phaân töø 0 ñeán 2π (k ≠ 0) : 2π ( , ) cos ∞  A P cosθ )2πcos kλdλ + ∫ f θ λ kλdλ = ∑  o n ∫ 0 n =0 0 n  2π 2π   ∑  Anm ∫ cos mλ cos kλdλ + Bnm ∫ sin mλ cos kλdλ Pnm (cosθ ) m =1 0 0   72
2π Soá haïng ñaàu baèng 0, vì ∫ cos kλdλ = 0 0 chuù yù laø : 2π k ≠ m ∫ cos mλ cos kλdλ = 0 0 2π k = m ∫ cos mλ cos kλdλ = π 0 Vaäy caùc soá haïng thöù 2 chæ khaùc 0 khi m = k, coøn vôùi k vaø m baát kyø, caùc soá haïng thöù 3 luoân luoân baèng 0 : 2π ∫ sin mλ cos kλdλ = 0 0 (4.44) Keát quaû laø : 2π ∞ ∫ f (θ , λ ) cos mλdλ = ∑ AnmπPnm (cosθ ) (4.45) 0 n =0 Nhaân tieáp 2 veá (4.45) vôùi Pnm (cosθ )d cosθ vaø laáy tích phaân töø -1 ñeán +1 : +12π +1 2 ∫ ∫ f (θ , λ ) cos mλP nm (cosθ )d cosθdλ = Anmπ ∫ [Pnm (cosθ )] d cosθ −1 0 −1 Do tính chaát cuûa haøm lieân keát (4.25) ta coù tích phaân : +1 2 2 (n + m)! ∫ [P −1 nm (cosθ )] d cosθ = 2n + 1 (n − m)! (4.46) Vaäy : π 2π 2n + 1(n − m)! 2π (n + m)! ∫0 ∫0 Anm = f (0, π ) cos mλPnm (cosθ ) sin θdθdλ (4.47) Töông tö ï: π 2π 2n + 1(n − m)! 2π (n + m)! ∫0 ∫0 Bnm = f (θ , λ ) sin mλPnm (cosθ ) sin θdθdλ (4.48) 73