Giáo trình Lý thuyết nhóm (Dùng cho sinh viên ngành Toán học): Phần 2

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

384
lượt xem 43
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình này nhằm trình bày một cách có hệ thống các cơ sở của lý thuyết nhóm, nhằm giúp học sinh nắm được những kiến thức cơ bản đầu tiên của lý thuyết nhóm, từ đó có thể tiếp tục nghiên cứu những vấn đề sâu sắc hơn của lý thuyết nhóm cũng như những lý thuyết khác của toán học hiện đại có liên quan. Phần 2 giáo trình là nội dung chương 2 - Một số lớp nhóm quan trọng. Mời bạn đọc cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Lý thuyết nhóm (Dùng cho sinh viên ngành Toán học): Phần 2

Chương l i M Ộ T S Ố L Ớ P N H Ó M QUAN T R Ọ N G §1. NHÓM HỮU HẠN Tiết này dành cho việc trình bày đinh iý Xi-lốp về nhóm hữu hạn, một trong những định lý quan trọng nhất của lý thuyết nhóm cổ điển và có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các ngành toán học khác nhau. 1. Quỹ đạo. Người ta nói rằng: nhóm G tác động trên tập hặp M , nếu đối với mỗi cặp phần tử me M , ge G, xác định phần từ rnge M thỏa mãn hai điều kiên ì) (mgi)g2 = m(gig2) li) me = m vói mọi me M , gi,g e G, trong đó e là phần tử đơn vị của G. 2 Tập hặp mG = {mg I ge G} đưặc gọi là quỹ đạo của phần tử m. Rõ ràng là quỹ đạo của hai phần tử thuộc M hoặc trùng nhau, hoặc không giao nhau nên tập hặp M đưặc phân hoạch thành các quỹ đạo khÔỊỊơ W ' T * nhau. 2. Địũii ci Áao j. t Giả sử G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố. Tồn tại: Đối với mỗi lũy thừa p a chia hết cấp của G, tòn tại trong G a nhóm con cấp p . a +I Lông nhau: Nếu p chia hết cấp của G, thì mỏi nhóm con cấp p a a +/ của G được chỊa trong một nhóm con cấp p nào đố của G. Nói riêng, r r p - nhóm cỡn tối đại của G, đố chính là các nhóm con cấp p , trong đó p là lũy thừa cao nhất của p, chia hết cấp của G. Liên hợp: Tất cả các p- nhóm con tối đại của G đều liên hợp với nhau trong G. SỐ lượng: Số lượng p- nhóm con tối đại của G đồng dư với Ị theo môđun p. Chứng minh. Tòn tại: Giả sử I G I = ựL (p,ể) = 1. Giả SÙM là tập a hặp tất cả các tập con có lực lưặng p của G. Rõ ràng p 7 = 1 J 23
r a bởi vậy lũy thừa lớn nhất của p, chia hết \M ị, sẽ là p " . Nếu MÈM , ge G thì rõ ràng , Mg = {mg I me M} e M cho nên G tác động ừẽĩiM bời các phép chuyển dịch phải. Giả sử {Mi, Ms} là quỹ đạo mà lực lượng là s của nó không chia r a l hết cho p , Hơn nữa, giả sử Gi= { g | g e G , M g = M }, (Ì < i < j) i i Thử nghiỏm trực tiếp rằng Gi là nhóm con của G, còn Gi là các lớp a liên hợp của G theo Gi. Chúng ta chứng tỏ rằng nhóm con Gi có cấp p phải tìm. Kí hiỏư ị Gi ị- - t, theo định lý Lagrãng, ta có st = ị G I = p7. r a a Bởi vì lũy thừa cao nhất của p chia hết s là p ' , nên t chia hết cho p , đặc a biỏt t > p . Mặt khác, nếu xe Mi thì rõ ràng aGi C M Ị , nên I Gi I < Ị Ml I a a hay t < p . Do đó t = p . Lòng nhau: Giả sử p a + 1 chia hết I G I , p là nhóm con cấp p của G, & a là lớp các nhóm con liên hợp với p bởi các phần tử của G. Chúng ta có \e\ = |G:N (P)I G Y (Trong ao I V ) là cái chuẩn hóa của nhóm con p, tức là tập hợp tất cả các phần tử g€ G mua mãn điều kiỏn gP = Pg). Nếu I (3\ không chia hết a +1 cho p, thì I NG(P) Ì chia hết cho p , v à theo phần chứng minh trên trong N (P)/P tồn tại nhóm con p*/p cấp p. Khi đó p* là nhóm con phải tìm. G Giả sử I (ỉ I chia hết cho p. Nhóm con p tác động trên Ổ bói các phép liên hợp, hơn nữa lực lượng các quỹ đạo chia hết I p I, v ì thế chúng có a dạng p ' , ai > 0. Vì có ít nhất một quĩ đạo- một phần tử - {P} và l ố i chia hết cho p, nên tìm ngay được một quỹ đạo - một phần tử - khác { Q } . Nhưng điều đó có nghĩa p chuẩn hóa Q, vì thế PQ là một p - nhóm con (nhớ rằng PQỵ Q = ỸỊ (? n Q) và mở rộng của một p- nhóm con nhờ một p- nhóm con là một p- nhóm). Áp dụng vào PQ phép tự đẳng cấu trong của G đã biến Q thành p, ta thu được p- nhóm con P'P chứa p làm nhóm con chuẩn tắc thực sự. Lại theo chứng minh trên, trong P'P p tìm được nhóm con p* / p cấp p. Khi đó p* là nhóm con cần tìm. Từ chứng minh trên suy ra ràng các p- nhóm con tối đại của một nhóm 24
hữu hạn đúng là các nhóm con cấp p , trong đó p là lũy thừa cao nhất của r r p chia hết cấp của nhóm. r Liên hợp: Giả sử p là một nhóm con cấp p của G (đặc biệt, đó là p- nhóm con tối đại) và
Ngược l ạ i , dễ kiểm tra được rằng, nế u q ss Ì (mod p), I * Si Ì (mod q), r 3 Ì (mod q), thì công thức nhân trên xác định một nhóm không Aben cấp pq. Cuối cùng, các nghiêm của phương trình đồng dư ĩ 9 = í (mod q) tạo thành một nhóm xyclic cấp p, bởi vậy, từ các nghiêm này xác định một và chỉ một nhóm, bed vì nế u thay thế phớn tử sinh a bởi a' thì sẽ dẫn tới việc thay thế r bởi r*. Như vậy, nhờ đinh lí Xìlốp, chúng ta đã mô tả được tất cả các dạng của lớp nhóm hữu hạn cấp pq. Chúng có hai lớp: Nhóm Aben và không Aben, thêm vào đó lớp nhóm thứ hai tồn tại chỉ khi thỏa mãn điều kiên q s Ì (mod p). 4. Các thí dụ về p- nhóm con tôi đại. (1) Xét nhóm cộng Z(n), với n = p f ' p ? ...p"* (trong đó ai > 0). Thế 2 thì các p- nhóm con tối đại của Z(p) là nhóm xycỉic cấp ọ f . (2) p- nhóm con tối đại của nhóm nhân c* là các nhóm tựa xycỉic C(p°°). m (3) Giả sử p là số nguyên tố, m,ne z và m > Ì, n > Ì, q = p . Khi đó p- nhóm - s .ại của GL(n,q) là nhóm UT(n,q). Bài tập 1. Thử nghiêm rằng nhóm A(4) có cấp bằng 12 nhung trong A(4) không có nhóm con cấp 6. 2. Chỉ ra một thí dụ chứng tỏ rằng các p- nhóm con tối đại của một nhóm vô hạn có thể không liên hợp với nhau. 3. Giả sử p là p- nhóm con tối đại của nhóm hữu hạn G và H là nhóm con của G chứa No(P). Chứng minh N (P) = H. G 4. Giả sử G là nhóm hữu hạn cấp 6. Chứng minh rằng hoặc G = S(3) hoặc G là nhóm xyclic cấp 6. 5. Giả sử ọ là đồng cấu của nhóm hữu hạn G. Chứng tỏ rằng nế u p là p- nhóm con tối đại của G thì (p(P) là p- nhóm con tối đại của ọ(G). Đảo lại, mỗi p- nhóm con tối đại của (p(G) là ảnh của một p- nhóm con tối đại nào đó của G. 6. Chứng tỏ rằng: Tích của hai phớn tử cấp p có thể là phớn tử cấp hữu hạn không chia hế t cho p, cũng có thể là phớn tử cấp vô hạn. Do đó, tập 26
a hợp các phần tử cấp p với p đã cho không phải luôn luôn tạo thành một nhóm con. 7. Giả sử G là nhóm hữu hạn và A Q G . Chứng minh rằng: Nếu chỉ ê số I G : AI bé hơn ước nguyên tố p nào đó của cấp G, thì giao n A chứa geỏ p- nhóm con tối đại của G, và nói riêng, khác { e } . §2. NHÓM ABEN Tiết này chủ yếu trình bày hai lớp nhóm Aben quan trọng: Nhóm Aben từ do và nhóm Aben hữu hạn sinh. Có nhiều cách trình bày vấn đề này. ở đây, chúng tôi trình bày theo Sten Hu [6]. 1. Nhóm Aben tự do. Giả sử s là một tập hợp tùy ý cho trước. Ta gọi nhóm Aben tự do trên tập hợp 5, một nhóm Aben F cùng một ánh xạ f :s F sao cho, với mọi ánh xạ g : s —> X từ tập hợp s vào một nhóm Aben X, tồn tại một đồng cấu duy nhất h : F - » X sao cho quan hê giao hoán: h°f = g xảy ra trong tâm giác sau: s F h \/ X Định lý 1. Nếu một nhóm F cùng một ảnh xạ f: s -> F là một nhóm Aben tự do trên tập hợp s, thì/là đơn ánh và ảnh của nóf(S) sinh ra F. Chứng minh. Để chứng minh f là đơn ánh, giả sử a và b là hai phần tử khác nhau của tập hợp s đã cho, ta phải chứng minh f(a) * f(b). Giả sử X là một nhóm Aben chứa nhiều hơn một phần tử và ta chọn một ánh xạ g: s - » X với g(a) * g(b). Vì h[f(a)] = g(a) * g(b) = h[f(b)] nên f(a) * f(b). Suy ra f đơn ánh. Để chứng minh f(S) sinh ra F, giả sử A là nửa nhóm con của F sinh ra bởi f(S). Thế thì ánh xạ f xác định một ánh xạ g: s - > A với iog = f, trong đó i là đồng cấu bao hàm ì: A c; B. Hieo định nghĩa đã cho ở trên, có một đồng cấu h : F -> A sao chos h°f - ^=- g. > Xét F sơ đồ sau 27
trong đó j là tự đồng cấu đồng nhất của F và k = ì'h. Vì ta có j o f = f, k>f = = i» h»f = l o g = f nên từ tính chất duy nhất trong định nghĩa nhóm Aben tự do, suy ra: i«h = k = j . Vì j là đẳng cấu nên từ i o h = j suy ra í là toàn cấu. Do đó A = F và từ đó f(S) sinh ra F. Định lý 2.(Định lý về tính duy nhất). Giả sử ( F f ) và (F'f') là các nhóm Aben tự do trên cùng một tập s. Khi đó một đẳng cấu duy nhất j: F ->F' sao cho jf = f . Chứng minh. Vì (F,f) là một nhóm Aben tự do trên tập s, nên từ định nghĩa suy ra có một đồng cấu j : F -> F sao cho ta có j o f = f ' trong tam giác sau s -L-* F N Tương tự, có một đồng cấu k : F - » F sao cho ta có k°f' = f trong tam giác sau s -£-».F \/ F Bây giờ, ta xét các hợp thành h = k>j và tự đồng cấu đồng nhất i của F. Trong sơ đ ồ sau s F ta có h . f = k . j . f = k . f = f , i . f = f . Từ tính duy nhất trong định nghĩa, ta suy ra k>j = h = i Vì i là một đẳng cấu, nên từ k o j = i ta suy ra j là đơn cấu. Tương tự, ta có thể chứng minh j o k là tự đồng cấu đồng nhất của F . Từ đó j cũng là toàn cấu. Điều này chứng tỏ rằng j là một đẳng cấu. Định lý 3. (Định lý vê tôn tại). Với bất kì tập s nào, bao giờ cũng có một nhóm tự do trên s. 28
Chứng minh. Giả sử z là nhóm cộng tất cả các số nguyên, ta xét tập hợp F tất cả các ánh xạ O: s -> z thỏa mãnfl>(s)= 0 với tất cả trừ nhiều lắm một số hữu hạn phần tử seS. F sẽ trở thành nhóm Aben với phép cộng ánh xạ xem như phép toán hai ngôi; tức là, với bất kì hai phần tử (ị) và Vị/ trong F, phần tử (ằ) + lằ/ được xác đằnh bởi (ộ + \ụ)(s) = ộ(s) + Vằ/(s) với mọi se s. Rồi ta đằnh nghĩa một ánh xạ f : s - » F bằng cách cho ứng với mỗi phần tử se s một ánh xạ f(s): s -» z xác đằnh bởi Ì nế u í = s [f(s)](t) = • l 0 nếu t * s với moi te s. Ta sẽ chứng minh F cùng với ánh xạ f: s - » F là một nhóm Aben tự do trên s. Muốn vậy, giả sử g : s - » X là một ánh xạ tùy ý từ s vào một nhóm Aben X. Ta đằnh nghĩa một ánh xạ h: F -» X bằng cách cho ứng với mỗi ệ € F phần tử h(ệ) = ỵ
thành một đồng cấu duy nhất h : s - » X. Nhóm Aben F đó gọi là nhóm Aben tự do sinh bởi tập s đã cho. Bây giờ ta hãy xét một họ những nhóm Aben 3 = {Xs|seS} chỉ số hóa bởi tập s, trong đó Xs là nhóm cộng z tất cả các số nguyên với mọi chí số se s. Nhóm Aben tự do F dựng trong phép chứng minh định lí 3 chính là tổng trực tiếp cửa họ 3. Do đó ta có kết quả sau: Tổng trực tiếp của một họ chỉ số hóa tùy ý 3 = {Xs \ seS} những nhóm xyclic vỡ hạn~Xsđẳng cấu với nhóm Aben tự do sinh bởi tập s. Để nêu lên một ứng dụng cửa các nhóm Aben tự do, ta có định lí sau: Định lí 4. Mọi nhóm khen đều đẳng cấu với một nhóm thương của nhóm Aben tự do. Chứng minh. Giả sử X là một nhóm Aben tùy ý cho trước. Ta hãy rút ra một tập sinh bất kỳ s cửa X chẳng hạn, ta có thể lấy s = X. Xé' -^ - - n Aben tự do F sinh bởi s. Khi đó hàm bao g: s -> X mở rộng ra thám Ì dong cấu h: F -> X Vì s = g(S) c h(F) và vì s sinh ra X, nên ta có h(F) = X. Do đó h là một toàn cấu. Giả sử K là hạt nhân cửa h. Thế thì X đẳng cấu với nhóm thương F^Kcua nhóm tự do F. Định lý được chứng minh. • Bây giờ ta hãy xét hai nhóm Aben tự do F và G sinh ra bởi những tập hợp tùy ý s c F và T c G. Giả sằF vàG đẳng cấu. Ta hãy chứng tỏ rằng nếu s có n phan tằ thì cũng cố n phân tủ. Thật vậy, vì F và G đẳng cấu, nên có đẳng cấu h : F - > G. Vì h(2x) = 2h(x) với mọi X e F, nên h chuyển nhóm con 2F lên nhóm Con 2G. Do đó h cảm ứng ra một đồng cấu h : F2 - > Go. Rõ ràng h là một đồng cấu cửa các nhóm thương: F = F / 2F và G = G/2G. 2 2 Các phần tử cửa F có thể đồng nhất hóa với 2 ánh xạ (Ị) : s -> Z2 từ tập s vào nhóm cộng Z2 các số nguyên mod 2 sao cho
h* là đẳng cấu, nên nhóm G phải là hữu hạn và có cùng cấp 2 . Đ i ề u này 2 n kéo theo T hữu hạn và có n phần tử. M ộ t n h ó m Aben G tùy ý cho trước g ọ i là tự do nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với một nhóm Aben tự do F sinh bởi một tập hợp s đã cho n à o đ ó . Giả sử j : F - » G là một đẳng cấu tùy ý và f = j I s- T h ế thì ta c ó thể đẢ dàng thử nghiệm rằng (G,í) là một n h ó m Aben tự do trên tập s. Ảnh B = f(S) trong G g ọ i là một cơ sở của n h ó m Aben tự do G. N ó có tính chất đặc trưng là m ọ i ánh xạ g : B - » X từ B vào một n h ó m Aben tùy ý X đều mở rộng ra thành một đồng cấu duy nhất h : G - » X. Theo định nghĩa vừa nêu trên, hoàn toàn rõ ràng'là một nhóm Aben tự do có thể có nhiều cơ sở khác nhau. N ế u một cơ sở B của n h ó m Aben tự do là vô hạn, thì từ các nhận xét trên ta suy ra m ọ i cơ sở của G đều vô hạn. Trong trường hợp này, nhóm Aben tự do G được g ọ i là hạng vô hạn. Mặt khác, nếu một cơ sở B nào đó của n h ó m Aben tự do G g ồ m một số hữu hạn n phần tử, thì mọi cơ sở khác của G đều gồm n phần tử. Trong trường hợp này, nhóm Aben tự do G được g ọ i là có hạng n. Đ ể cho đầy đủ, ta sẽ xem n h ó m tầm thường 0 như là n h ó m Aben tự do hạng 0. Ki . u ọ u sẽ được sử dụng để chỉ hạng của G. Kết quả sau đây là hiển nhiên: Một nhóm. khen tự do G cố hạng n khi và chỉ khi G đẳng cấu với tống trực tiếp của n nhóm xyclic vô hạn. 2. N h ó m Abeo hữu hạn sinh. M ộ t n h ó m X được gọi là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu c ó một tập hợp hữu hạn s những phần tử của X sinh ra X. Các nhóm Aben hữu hạn sinh đáng được quan tâm đặc biệt vì chúng đóng vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng. Từ chứng minh định lí 4, ta suy ra: Mọi nhóm Aben với n phần tử sinh đêu đẳng cấu với một nhóm thương của nhóm Aben tự do hạng n. Từ đó, để m ô tả các nhóm Aben hữu hạn sinh, trước hết ta cần khảo sát các nhóm con của n h ó m Aben tự do hạng n. Bổ đ ề 1. Mọi nhóm con G của nhóm Aben tự do F hạng n là nhóm Aben tự do hạng r(G) V2, v } trong G, trong đó m - r(G), thỏa m mãn: 31
V, = tịUị , (í = ỉ , 2, m) trong dó í / , ti t,n là những số nguyên sao cho tị ỉ chia hết cho tị, với + i = ỉ. 2 in -ì. Chứng minh. Với n = 0, bổ đề trở thành tầm thường. Đ ể chứng minh bổ đ ề bằng qui nạp, g i ả sử n > 0 và giả sử kết luận của bổ đề Ì là đúng khi thay t h ế n bởi n - 1 . N ế u G = 0 thì chẳng còn gì phải chứng minh nữa. Vì vậy ta sẽ giả thiết G là k h ô n g tầm thường. G i ả sử ị = { x i , x } là một cơ sở tùy ý của F. T h ế thì mệi phần tử n của g c ó thể biểu thị một cách duy nhất dưới dạng tuyến tính g = kiXi + ... + k„x n qua x b x , v ớ i các hệ số nguyên k i , k r n . G i ả sử X(ị) là số nguyên dương nhỏ nhất xuất hiện như là một hệ số trong các dạng tuyến tính đ ó . Số Ằ,(ẽ,) đó phụ thuộc vào cơ sở Ta hãy giả thiết rằng cơ sở (Ị, đã được lựa chện sao cho X(ị) có giá trị nhỏ nhất c ó thể được. Đặt t] = X(ị). Theo định nghĩa của số dương À-(ệ), có một phần tử V i sao cho t! xuất hiện như là một hộ số trong dạng tuyến tính của V ) . Bằng cách hoán vị các phần tử của cơ sở X i , X ệ , x , nếu cần, ta có n V( = tịXi + k X2 2 + ... + k x n n trong đó k i , k 2 , k n là những số nguyên. Chia các số n g u y ê n k o , . . . , kn cho số nguyên dương t i , ta được ki = CỊiti + Ti v ớ i 0 < Tị < ti (i = 2, 3 , n ) . Nếu ta kí hiệu Ui = Xi + q2X 2 + ... + q n x n thì ta được một cơ sở mới Tị = { U i , XO, x } của F sao cho n Vị = tiUi + rọX2 + ... + r x n n trong đó 0 < Ti < ti , (i = 2, n), nên từ sự lựa chện của số dương t i , suy ra: Tị = 0 v ớ i m ệ i i = 2, n. Do đó ta được Vi = tiUi. Gệi H là n h ó m con của F sinh bởi n - Ì phần tử x , 2 x . T h ế thì H là n một n h ó m Aben tự do hạng n - 1 . Xét nhóm con K = H n G của nhóm con đã cho G của F. Vì H là một n h ó m Aben tự do hạng n -1 và K là một nhóm con của H, n ê n từ g i ả thiết qui nạp ta suy ra rằng K i a một nhóm Aben tự do hạng n-1. Giả sử m - Ì là hạng của K. T h ế thì ta có m < n. Theo giả thiết qui nạp, 32
có một cơ sở {ii2, Un} của H và một cơ sở { v , 2 v } của K sao cho m Vị = tjUj , ( ì = 2 , m), trong đ ó t , 2 t m là những s ố n g u y ê n d ư ơ n g thỏa mãn điều kiện ti + 1 chia hết cho tị, với mọi i = 2 , m -Ì. Để chứng minh rằng G là nhóm Aben tự do, giả sử J là nhóm xycỉic vô hạn của F sinh ra bởi phần tử Vị. Vì V i e G, nên ta có J c G. Vì ri = { Ui, X 2 , x n } là một cơ sở của F và Vi = tiUi, nên suy ra rằng J n Ke J n H = 0. Mợt khác, giả sử g là phần tử tùy ý của G. Vì TI là một cơ sở của F, nên ta có - g= CiUi + C2X2 + ... + c x n n trong đó C i , c , 2 c n là những số nguyên. Chia Ci cho t i , ta được C i = q i t i + r i với 0 < r < tị. Thế thì nhóm G chứa phần tử k = g - q v i = nùi + C2X2 + . . . + c x n n vì 0 < r < ti, nên từ sự lựa chọn của số nguyên dương t i , ta suy ra rằng r = 0. Do đó c k = C2X2 + — + n*n e H Điều này kéo theo ke H n G = K. Vì vậy g = qv! + k e J + K Vì J n K = 0 nên điều này chứng minh rằng G là tổng trực tiếp của ỉ và K. Như vậy, ta đã chứng minh G là một nhóm Aben tự do hạng m < n. Dĩ nhiên a = { U i , Un } là một cơ sở của F. Để chứng minh rằng (5 = { V i , v m } là một cơ sở của G, ta hãy gọi ge G là một phần tử tùy ý cho trước. Vì G là tổng trực tiếp của J và K, nên phần tử g € G này xác định một phần tử duy nhất X G J và một phần tử duy nhất y € K sao cho g = x + y . V ì J l à nhóm xyclic vô hạn sinh bởi V Ị , nên X xác định một số nguyên di sao cho X = diVi. Vì K là nhóm Aben tự do với { v , 2 v j là m một cơ sở, nên y có thể biểu thị một cách duy nhất dưới dạng tuyến tính y = dọVọ + ... + d r n v m của các phần tử V o , v m trong đó d 2 , d m là những số nguyên. Như vậy ta đã chứng minh rằng g có thể biểu thị duy nhất dưới dạng tuyến tính ' g = diVt + d v 2 2 + ... + d m v m 33
Điều nà y kéo theo 3 = { v l 5 v } là một cơ sở của G. Còn phải m chứng minh t chia hết cho ti- Muốn vậy, ta hãy chia t2 cho t i , được 2 t 2 = qoti + ro với 0 < ro < tị Xét phần tử W i = U i - qoUọ. Thế thì {WỊ, u , 2 Un} là một cơ sở của F. Đối với cơ sở này, ta có v V w 2 - 1 = (- t i ) i + roUo trong đó 0 < ro < t i , nên từ sự lựa chọn của số nguyên ti ta suy ra rằng ro = 0. Do đó t chia hết cho ti. Chứng minh bổ đề Ì được kết thúc. • 2 Bổ đề 2. Mọi nhóm Aben với n phàn tử sinh đêu đẳng cấu với một tổng trực tiếp của n nhóm xyclic cấp U,J.2, —r-tn với ỉ
Một nhóm Aben X gọi là không phân tích được nếu và chỉ nếu nó không thể phân tích thành tổng trực tiếp của hai nhóm con không tầm thường. Bổ đề 3. Nhóm cộng z tất cả các số nguyên là không phân tích được. Chứng minh. Để chứng minh bổ đề bằng phản chứng, ta hãy giả sử rằng z phân tích được thành tổng trực tiếp của hai nhóm con không tầm thường A và B của z. Vì A và B là không tầm thường, nên có những số nguyên khác không ae A và b€ B. Vì A và B là những nhóm con cùa z nên ta suy ra ngay rằng ab thuộc cả A lởn B. Do đó ab e A n B Vì a và b là những số nguyên khác không nên ta có ab * 0. Điề u này mâu thuởn với điều kiên A n B = 0. m Bổ đề 4. Giả sử n = p , trong đố p là sổ nguyên tố và m là số nguyên dương. Khi đố nhóm cộng z n là không phân tích được. Chứng minh. Để chứng minh bổ đề bằng phản chứng, ta hãy giả thiết rằniĩ ^ -ihân •• được thành tổng trực tiếp của hai nhóm con không tầm thường A và tì cua Zn, thế thì có hai số nguyên a và p, cả hai đề u nhỏ hơn m sao cho A và B là những nhóm con xyclic của Zn sinh ra bởi các phần a tử p và theo thứ tự. Ta suy ra rằng một trong hai nhóm con A và B đó chứa nhóm con kia. Vì A và B là không tầm thường nên điề u này mâu thuởn với điều kiện A n B = 0. Q Bổ đề 5. Giả sử n - pq, trong đố p và q là hai sổ nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Khi đó Chứng minh. Số nguyên q trong nhóm Zn các số nguyên mod n sinh ra nhóm con xyclic A = {0,q,2q, (p-l)q) cấp p. Tương tự, số nguyên p trong Zn sinh ra nhóm con xyclic B = {0, p, 2p, (q-l)p} cấpq. Vì p và q là hai số nguyên tố cùng nhau nên có những số nguyên a và (3 sao cho á p + Ị3q = Ì. Điều này kéo theo phần tử sinh Ì của Zn nằm trong nhóm con A + B và dođóZn = A+B. 35
Dĩ nhiên ta có A n B = 0 nên theo định nghĩa ta suy ra rằng Zn = A ©B Từ A = Zp và B = z q , ta suy ra bổ đề 5 được chứng minh. • Bổ đề ổ. Giả sử số tự nhiên n được phân tích thành tích các lũy thừa m của các số nguyên tố dưới dạng tiêu chuẩn ri = p"r ...p '. Khi đó z„=z, e z, z, trong đó k, = , (ì = ỉ,2, r). Chứng minh. Định lý là tầm thường khi r = 1. Để chứng minh bổ đề 6 bằng qui nạp, giả sử r > Ì và ta thừa nhận rằng kết luận của bổ đề đúng đến r - 1. Đặt p = P T P ? - P ^ T 1 1 r và q = p f , khi đó p và q nguyên tố cùng nhau, nên theo bổ đề 5, ta có z = Zp © Zq. Theo giả thiết qui nap, ta có Zp = Z k QZ k (B....0z và zq = z , ũènZ n = Zk Q2k &....QZ. , trong đó kị = , ( i = 1 , 2 , r ) . Bổ đề 6 Ì 2 Kỵ được chứng minh. • Ta lưu ý rằng, mỉt nhóm xyclic hữu hạn được gọi là nhóm xvclic nguyên sơ, nếu và chỉ nếu cấp của nó là mỉt lũy thừa p m của mỉt số nguyên tố p nào đó. Từ các bổ đề trên, ta suy ra: ri,. Ì 1. (í) Một nhóm xyclic không tàm thường là không phân tích được khi và chỉ khi nó là vô hạn hoặc nguyên sơ. (li) Mọi nhóm xyclic hầu hạn không tằm thường đều phân tích được thành tổng trực tiếp của nhầng nhóm xyclic nguyên sơ. Từ hệ quả Ì và bổ đề 2 suy ra: Định lý 5. (Định lý vê sự phân tích). Mọi nhóm Aben hầu hạn sinh đầu phân tích được thành một tổng trực tiếp của một số hầu hạn nhóm xyclic không phân tích được. Bây giờ ta hãy xét mỉt sự phân tích tùy ý cho trước X = Xi e x e... e 2 Xn của mỉt nhóm Aben thành tổng trực tiếp của n nhóm con xyclic không phân tích được X i , Xì,Xn của X. Theo hệ quả Ì, mỉt số trong các nhóm xyclic đó là hữu hạn và nguyên sơ, còn các cái khác là vô hạn. Dễ dàng thử nghiệm rằng tổng của các hạng tử hữu hạn của sự phân tích đó là nhóm con xoắn T(X) của X và số các hạng tử vô hạn của sự phân tích đó 36
bằng hạng của nhóm Aben tự do X / T ( X ) . Hơn nữa, tổng các hạng tử hữu hạn mà cấp là những lũy thừa của một số nguyên tố p chính là thành phần p- nguyên sơ Cp(X) của X Theo định nghĩa, tổng trực tiếp X i ® x 2 © ... © Xn không phụ thuộc 1 vào sự sắp xếp của hạng tử X i , X2, Xn. Do đó bao giờ cũng có thể sắp xếp các hạng tử theo thứ tự sau: Ta xuất phát từ nhóm xyclic nguyên sơ, mà cấp là lũy thừa cao nhất của số nguyên tố nhỏ nhất p, rồi tiếp theo là nhóm con xyclic nguyên sơ mà cấp là lũy thừa cao nhất còn l ạ i của p, và cứ như thế cho tới khi thành phần p- nguyên sơ Cp(X) của X bị vét cạn. Rồi ta liệt kê các thành phần nguyên sơ cho số nguyên tố nhỏ nhất còn lại như đã làm với p. Ta tiếp tục theo cách ấy cho tới khi ta đã liệt kê tất cả các hạng tử cấp hữu hạn. Cuối cùng ta viết các hạng tử vô hạn. Trong trường hợp các hạng tử Xi,x ,..., 2 Xn đã được sắp xếp theo cách ấy, sự phân tích X = Xi © Xọ © ... © Xn gọi là sự phân tích rị'"-' •''•'ẩn của X. Địaiỉ iy o. >ýịắiắ» íý về tính duy nhất). x Giả sử XvàY là hai nhóm Aben hữu hạn sinh đẳng cấu với nhau và có sự phân tích tiêu chuẩn X = X i @Xĩ @Xn Y = Yị 0 Y2 ®... 0 Yq Thế thì n = q và Xi = Yị với ì - ỉ, 2 , n . Chứng minh. Giả sử h : X - » Y là đẳng cấu. Vì ảnh h(x)e Y của một phần tử xe X cấp hữu hạn cũng có cấp hữu hạn, nên suy ra rằng h chuyển nhóm con xoắn T(X) của X một cách đẳng cấu lên nhóm con xoắn T(Y) của Y. Do đó h cảm ứng ra một đẳng cấu: KY) Điều này kéo theo số hạng tử xyclic vô hạn trong sự phân tích tiêu chuẩn là bằng nhau. Vì h chuyển T(X) một cách đẳng cấu lên T(Y), nên bây giờ ta có thể giả thiết rằng Xvà Ylà những nhóm xoắn, tức là x= T(X) và Y = T(Y). Như vậy, tất cả các hạng tử Xị và Yj đều là những nhóm xyclic nguyên sơ. 37
Vì ảnh h(x)e Yphải có cùng cấp như phần tử xe X, nên ta suy ra rằng với mỗi số nguyên tố p, h chuyển thành phần p- nguyên sơ Cp(X) cùa X một cách đẳng cấu lên thành phần p- nguyên sơ CpOO của Y. Nhờ đó, ta có thể giả thiết rằng X và Ylà những nhóm p- nguyên sơ, tức là x= Cp(X), Y = Cp(Y). Thế thì cấp của các nhóm con xyclic Xi và Yj là những lũy thừa ót' B 1 J của p, p và p theo thứ tở chẳng hạn. Hơn nữa, ta có d i > (X2 > ... > On > Ì 0! > p2 > ... > Pq > Ì Còn phải chứng minh n = q và (Xi = Pi, Vi = 1 , 2 , n . Muốn vậy, trước hết ta hãy xét các nhóm con-Ac; X và B c Y sinh bởi phần tử cấp p. Thế thì A có cấp p và B có cấp p . Vì đẳng cấu h rõ ràng a p n q chuyển A lên B, nên suy ra p = p và do đó n = q. Để chứng minh ai = Ị3ị với mọi i = 1 , 2 , n bằng phản chứng, ta hãy giả sử rằng, với một số nguyên k nào đó với Ì < k < n, ta có (Xk * Pk, trong lúc đó a i = pi với mọi i < k. Không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng cik < pk- Xét Tin} l à các phần tử sinh của YỊ, Y 2 , Y N . Vì a -ik = Pk-I^(3k>a k k-ỉ a y ta suy ra rằng nhóm c có cấp là Ỵ = Yịp"' * à ráóm D có cấp 1=1 p a k a là ô > f \ p ' ~ = yp^- " > y . /=1 Mặt khác, đẳng cấu h rõ ràng chuyển c lên D. Do đó Y = 5. Mâu thuẫn này hoàn thành phép chứng minh định lý 6. • Nói riêng ra, nếu ta lấy X = Y thì ta có hộ quả. H ể quả 2. Mọi nhóm Aben hữu hạn sinh đều có một sự phân tích chủ yếu duv nhất. 38
Số các hạng tử xyclic vô hạn ttong sự phân tích tiêu chuẩn của một nhóm Aben hữu hạn sinh X được. gọi là hạng của X và được kí hiệu là r(X). Cấp của các hạng tử nguyên sơ trong sự phân tích tiêu chuẩn của X được gọi là các bất biến nguyên sơ của X Chúng lập thành một hệ đày đủ những bất biến của X; tức là, nếu hai nhóm Aben hữu hạn sinh có cùng hạng và cùng những bất biến nguyên sơ thì đẳng cấu. Bài tập 1. Chứng minh rằng mọi ánh xạ f : s - » T đều mỉ rộng ra thành một đồng cấu duy nhất F(f) : F(S) - * F(T) của các nhóm Aben tự do F(S) và F(T) sinh bỉi các tập hợp s và T. Hơn nữa, các khẳng định sau là đúng: ì) F(f.g) = F(f).F(g). ii) F(f) là toàn cấu khi và chỉ khi f là toàn ánh. iii) F(f) là đơn cấu khi và chỉ khi f là đơn ánh. 2. Chứng minh rằng mọi nhóm con A của nhóm Aben tự do G là nhóm Áben tự do và r(A) < r(G). 3. Chưng minh rằng, với một họ tùy ý cho trước 3 = {Xụ I ụeM } những nhóm Aben tự do, tổng trực tiếp là một nhóm Aben tự do với «»=IU, XV) . 4. Chứng minh rằng một nhóm con A của một nhóm Aben X là một hạng tử trực tiếp của X nếu nhóm thương X/A là tự do. 5. Giả sử A là nhóm con của nhóm Aben hữu hạn sinh X. Chứng minh r(X/A) = r(X) - r(A). 6. Chứng minh rằng tổng trực tiếp của các nhóm Aben chia được là chia được và mọi nhóm thương của nhóm Aben chia được là chia được. *** 39
§3. NHÓM LŨY LINH Có hai lớp nhóm có nhiều tính chất gần với lớp nhóm Aben, đó là lớp nhóm lũy linh và lớp nhóm chia được. Ta sẽ lần lượt nghiên cứu các lớp nhóm này. 1. Định nghĩa. Giả sử G là một nhóm. Dãy chuẩn tắc Ì = Go c; Gi c; ... Q. Gs = G (1) được gọi là dâv tâm, nếu các thương của nó thỏa mãn điều kiện Gi + 1 / Gi c C(G / G i ) , với mọi i (2) hay tương đương: [Gi +1, Gi] c Gi với mọi ì (3) Nhóm có dãy tâm được gọi là nhóm lũy linh, và độ dài nhỏ nhất của các dãy tâm được gọi là bậc lũy linh của nó. Từ định nghĩa suy ra rậng các nhóm lũy linh bao gồm lớp nhóm nậm giữa lớp nhóm Aben và lớp nhóm giải được (xem §4), thêm nữa nhóm Aben là nhóm lũy linh với bậc lũy linh bậng 1. Giả sử G là một nhóm tùy ý. Chúng ta có thể xây dựng trong G dãy tâm. o công thức (2) hoặc theo cổng thức (3). Cụ thể là, nếu đặt £ G = Ì, ạ 0 i + ỉ G A i G = C(G ^G), í = 0, Ì, 2, ... YoG = G,Y J+l = [YjG, G ] , j = 1,2,... Các nhóm con ịịG được gọi là các nhóm con siêu tâm của G, còn các nhóm con ỴịG được gọi là các nhóm con trung tâm của G. Rõ ràng rậng nếu có nhóm con siêu tâm nào trùng với G, hoặc nhóm con siêu tâm nào trùng với Ì, thì G là nhóm lũy linh. Ngược lại, giả sử G là nhóm lũy linh và (1) là dãy tâm tùy ý của G. Đặt Zi = Tj = YjG. Thế thì Ì = Z 0 cv Z[ Q.... l = G c>G c;...c>G . c 0 1 s 1 < > G = G s (4) ... Q . r 2 c* Ti = G cũng cần nhấn mạnh rậng: trong nhóm lũy linh dãy siêu tâm và dãy tâm ngắt đoạn, thêm vào đó độ dài của chúng bậng bậc lũy linh của nhóm. Các dãy trong sơ đồ (4) được gọi là dãy tâm trên và dãy tâm dưới. Nhớ rậng, dãy tâm trên và dãy tâm dưới có cùng độ dài, nhưng chúng {chông 40
nhất thiết trùng nhau. Từ nhận xét trên suy ra rằng: nhóm G là nhóm lũy linh bậc < s khi và chỉ khi Ys G = 1. Bởi vậy, lớp X-s+i) - [Xi, x +i] s - 1. Nói riêng, Ol đóng kín đối với phép lấy nhóm con, ảnh đồng cấu v à s tích đề các. 2. Tính chất tổng quát. Bổ đề 7. Giả sửG là nhóm lũy linh cấp s >2. Nhóm con tùy ý của nó, được sình bởi hoán tậpyà một phần tử, cố bậc lũy lình . Bởi vì [G,GJ Q f e - i G ) n H = ịs.ỵH nên nhóm H / S s - i H là xyclic. Vì nhóm thương theo tâm không thể là nhóm xyclic khác đơn vị, nên £ .iH = H, từ đó ta có điêu phải chứng minh. s • Bo s. Giả sử A, B, c là các nhóm con, H là nhóm con chuẩn tấc của Lĩ. ^eu nai trong ba hoán tập [A, B, C], [B, c, A], [C, A, BỊ nằm trong H, thì hoán tập còn lại cũng nằm trong H. Nếu A, B, c là các nhóm con chuẩn t c của G. thì [AB.C] = [A;C].[B,C] Chứng minh. Bổ dề này suy ra từ các c^ng thức hoán tệ ở chương 1: 1 b 1 a [a.b]" = [b,a], [ab,c] = [a,c] [b,c], [a ,b] = [b,a] "' và đồng nhất thức Jacobiêng: 1 b 1 6 1 [a,b' ,c] .[b,c ,a] .[c,a ,br = 1 Định lý 7. Nhóm con bất kì của một nhóm lũy linh là á chuẩn. Chính xác, nếu G là nhóm lũy linh bậc s, thì đối với mọi nhóm con H của nó, dãy chuẩn hóa liên tiếp đạt đến G không quá s bước. Chứng minh. Chúng ta đưa vào các kí hiệu Zi = 4 A Ho = H, Hj +1 = No(Hj) Chì cần kiểm tra được Zi cv Hi- Đối với i = 0, điều đó là hiển nhiên. Bây giờ, ta chuyển từ i sang i 4-1. Bởi vì [G, Z i J Q. Zi c Hi i+ 41
nên H f - ' c^HiiHi.Zi+ii c>Hi Điều đó có nghĩa là Zj + 1 chuẩn hóa Hi, nên Zi +1 Q.Hi +1. Định lý 7 được chứng minh. • Định lý 8. Trong nhóm lũy linh, nhóm con chuẩn tắc không tăm thường có giao không tàm thường với tâm. Chứng minh. Qui nạp theo bậc lũy linh. Giả sử G là nhóm lũy linh, H A G, H * 1; Z i = Nếu H c; Zi thì điều khẳng định là tầm thường. Giả sử H không phải là ước chuẩn của Z[. Khi đó sử dụng giả thiết qui nạp đối với G/Z[, ta có giao UZị n Zọ chứa phần tử a Ể Z] . Vì a = hz , he H, Z€ Zi nên he'HnZ2,hỂZi. Giả sử phần tử g€ G thừa mãn điều kiện [h,g] * 1. Khi đó [h,g] 6 H n [Z ,G] Q H n Z i . Suy ra giao H n Z i không 2 tầm thường. Định lý 9. Giã sử G là nhóm lũy linh, A là nhóm con của G thỏa mãn điêu kiện: A[G, G] = G thì A-G. Nói riêng [G, G] a = A. Do đó H n z, +1 Q.A. Vì Zn = G nên H = A, và định lý 10 được chứng minh.u 42