Giáo trình Lý thuyết nhóm: Phần 2

Chia sẻ: Thangnam Thangnam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:105

Thêm vào BST

Báo xấu

167
lượt xem 51
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 giới thiệu tới người đọc các nội dung: Nhóm hữu hạn, định lý Slylow, chuỗi hợp thành - Nhóm giải được, nhóm tự do - Phân tích thành phần tổng trực tiếp, nhóm Abel. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Lý thuyết nhóm: Phần 2

C h ư ơ n g 4 N h ó m h ữ u h ạ n , Đ ị n h l ý S y l o w 4.1 p—nhóm 4.1.1. Định nghĩa. Cho p là số nguyên tố. Một nhóm G cấp rỉ được gọi là một p-nlióm n ế u n là m ộ t lũy thừa của p. M ộ t n h ó m con / / của một n h ó m G được g ọ i là p-nlìóm con nếu là p - n h ó m . M ộ t p - n h ó m con cùa một n h ó m G được g ọ i là p—nhóm con Sylow nêu cấp của H là lũy thừa cao nhất của p chia hết cấp của G. 4.1.2. Ví d ụ . N ế u p là số n g u y ê n t ố thì n h ó m cộng Z k là m ộ t p p—nhóm với m ọ i k e N . Trong m ộ t n h ó m cấp 100, các n h ó m con cấp 5 và cấp 25 là các 5 - n h ó m con, trong đ ó các n h ó m con cấp 25 là c á c 5 - n h ó m con Sylow. 4.1.3. Ví d ụ . Trong n h ó m đ ố i xứng 5,3, các 2 - n h ó m con là { ( 1 ) , ( 1 2 ) } , { ( 1 ) , ( 2 3 ) } , { ( 1 ) , ( 1 3 ) } và c h ú n g cũng là các 2 - n h ó m con Sylow. C ó duy nhất m ộ t 3 - n h ó m con là { ( 1 ) , (123), (132)} và n h ó m con n à y là 3 - n h ó m con Sylow. T i ế p theo, c h ú n g ta chứng minh sự tồn tại cùa c á c p - n h ó m con 73
Sylovv. Trước hết, chúng ta cần kết quả sau đây. 4.1.4. B ổ đ ề . Cho G lù nhóm giao hoán cấp n. Gọi k là bội chung nhỏ nhất của các cấp của các phần từ của G. Khi dó Tì là ước của mội lũy thừa nào dó của k. Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Trường hợp n = Ì là hiến nhiên. Cho n > ì. K h i đ ó t ồ n t ạ i a e G, a Ỷ - e Kí hiệu H là n h ó m con xyclic sinh bởi a. Vì G giao h o á n nên / / chuẩn tắc. Do đ ó ta có n h ó m thương G/H. Vì cấp của / / là c á p c ù a (ì n ê n n ó lớn hơn Ì và là ước của Ả\ Suy ra cấp của G/H n h ỏ hơn rì. G ọ i li Ì là cấp của G/H, m là cấp của H và b ộ i chung nhỏ nhất của c á c cấp của các phần tử của G/H là ki. Theo g i ả thiết quy nạp, t ồ n t ạ i số tự n h i ê n t sao cho Ui là ước c ù a kị. Cho Hx € G/H. Vì cấp của X trong n h ó m G là ước của k nên (H,r) k — Hx k — He. Do đ ó cấp của Hi trong n h ó m G/H là ước của k. Suy ra ki là ước của k. Vì m là ước của k và Tì = n\Tn nên n là ước của k t + ì . • 4.1.5. B ổ đ ề . Cho G là nhóm giao hoán có cấp Tỉ và p là ước nguyên tô của TI. Khi đó G chứa ít nhất một nhóm con cấp p. Chứng minh. G ọ i k là b ộ i chung nhỏ nhất của c á c cấp của c á c phần tử của G. Theo Bổ đề 4.1.4, tồn t ạ i t sao cho Tỉ là ước của kK Vì p là ước của n nên p là ước của k . l Do Ị) n g u y ê n t ố n ê n p là ước của k. Theo định nghĩa của k, tồn tại phần tử a G G sao cho cấp của a là b ộ i của p. G ọ i cấp của a là r, với r = ps. Đ ặ t b = a . s K h i đ ó 6 c ó cấp p. Thật vậy, ta có ìf = a ps = e. N ế u b = e thì a l ls = e, do đ ó is là b ộ i của p.s, suy ra ỉ là b ộ i của p. Vì t h ế (ò) là n h ó m con cấp p của G. • Đ ị n h lý sau đây chỉ ra sự tồn t ạ i của n h ó m con Sylow. 74
4.1.6. Đ ị n h lý. Cho G là nhóm có cấp n và p là ước nguyên tố của Tì. Khi đó G chứa ít nhất một p-nhóm con Sylow. Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo n. Vì p là ước của n nên n > p. K h i Tì = p thì G chính là p - n h ó m con Sylow của G. Cho n > p, n là b ộ i của p, và giả sử định lý đã đ ú n g cho các n h ó m có cấp là b ộ i của p và nhỏ hơn Tì. Xét trường hợp G chứa một n h ó m con H ^ G sao cho chỉ số của H n g u y ê n t ố với p. K h i đ ó cấp của H nhỏ hơn n và là b ộ i của p. Theo giả thiết quy nạp, H chứa một p - n h ó m con Sylow và n ó cũng là p - n h ó m con Sylow của G. G i ả sử tất cả n h ó m con thực sự của G đ ề u có chỉ số là b ộ i của p. Xét tác động của G lên G bằng p h é p liên hợp. K í hiệu c là tâm của G. Cho a G c. K h i đ ó Ga = G, trong đó Ga là n h ó m con đẳng hướng của a, do đó Ga c ó chỉ số 1. V I thế, áp dụng công thức các lớp ta có n = (C:e)+ J2 (G : Ga), QGL\C trong đó ( C : e) là cấp của c và L là tập con của G sao cho {Ga)a£L là họ các quỹ đạo đôi một rời nhau. Cho a e L \ c. Vì a ị c nên tồn tại X e G sao cho xa Ỷ ax, tức là xax~ l Ỷ a- Do đ ó X ị Ga, tức là (G : Ga) > ì. Theo g i ả thiết, (G : Ga) là bội của p. T ừ đẳng thức trên ta suy ra cấp của c là b ộ i của p. Do c là n h ó m giao hoán nên theo Bổ đề 4. Ì .5, c chứa một n h ó m con H cấp p. Suy ra H là n h ó m con chuẩn tắc của G và n h ó m thương G / / / có cấp n / p . Vì ri > p nên H là n h ó m con thực sự của G. Do đ ó , theo giả thiết, chỉ số của H là b ộ i của p, tức là TiỊ p chia hết cho p. Vì thế, áp dụng g i ả thiết quy nạp đ ố i v ớ i n h ó m G/H có cấp là b ộ i của p, tồn tại p - n h ó m con Sylow K của G/H. Giả 75
sử n/p = ým, trong đ ó m k h ô n g là b ộ i của p. K h i đ ó cấp của K là p'. Chú ý rằng n = p m. t+i Do đ ó nếu G c ó n h ó m con cấp p t+l thì n h ó m con đ ó là p - n h ó m con Sylow của G. Đ ặ t K' = f~ ự G/H là toàn cấu c h í n h tắc. K h i đ ó K' là n h ó m con của G chứa H. Vì / là toàn cấu n ê n K'/H = f(K') = f(f~ (K)) = l K, trong đ ó K'/H = {Hx I X G K'}. Do đ ó ( À 7 : e) = (A" : e ) ( i / : e). Vì t h ế cấp của là p í + 1 . Suy ra /C' là p - n h ó m con Sylow của G. • 4.1.7. Chú ý. Wielandt đã dùng tính chất sau đây của lý thuyết số để chứng m i n h sự t ồ n t ạ i của c á c p - n h ó m con Sylow: Nếu p là số nguyên tố không là ước của va và k là một số tự nhiên thì p không là ước của y r ì ' t r o n ễ đ ó /p m\ (p m)\ k k V p k ) (p )\(p m k k — p )\ k Chứng m i n h của ô n g n h ư sau: G i ả sử G là n h ó m cấp p m, k trong đó p k h ô n g là ước của ra. G ọ i X là tập c á c tập con của G g ồ m đúng k ] . Theo tính chất trên, p k h ô n g là ước của CsLĩả(X). C h ú ý rằng, v ớ i m ỗ i X € G và m ỗ i s = { a i , . . . , a k} p e X , tập xS = {xài, • • • , Xdpk} c ũ n g g ồ m đ ú n g p k phần tử, và vì t h ế x 5 G X . Vì t h ế G tác đ ộ n g lên X bằng p h é p chuyển dịch: nếu X € G và 5 G X thì X • 5 = x S . N ế u tất cả c á c q u ỹ đ ạ o của tác động này đ ề u c ó số phần tử là b ộ i của p thì Caiả(X) là b ộ i của p, vô lí. Vì t h ế t ổ n t ạ i s G X sao cho quỹ đ ạ o G • s = { x 5 I X e G \ của 5 trong X c ó số phần tử k h ô n g là b ộ i của p. D o đ ó chỉ số củia 1 n h ó m con đẳng hướng Gs = {x 6 G I xS — S} k h ô n g là b ộ i củ;a p. Vì t h ế cấp của Gs là p m ' , trong đ ó ra' là ước của m . M ặ t khác: fc 76
với m ỗ i bo 6 5, nếu x,y 6 G s v ớ i X Ỷ y thì X&O.Ĩ/&0 G x 5 = 5 và ^ 0 7^ ỉ/ồo- Vì t h ế c ó đ ơ n á n h V? : G s — > s cho bởi
l ũ y thừa của p. N ế u G k h ô n g là p - n h ó m thì t ổ n t ạ i m ộ t số n g u y ê n t ố (Ị / p sao cho q là ước của n. Theo H ệ quả 4.1.9, G chứa m ộ t phần tử cấp q. • 4.1.11. Hệ quả. Mọi nhóm cấp 6 hoặc đẳng cấu với nhóm z hoặc 6 đẳng cấu với nhóm đối xứng s . 3 Clubig minh. Cho G là n h ó m cấp 6. Theo H ệ q u ả 4.1.9, G c ó một phần tử a cấp 3 và một phần tử ỉ) cấp 2. N ế u ab = ba thì ab c ó cấp G và vì t h ế G = z . 6 G i ả sử ab ^ ba. Ta chứng m i n h G = s . Trước hết ta thấy G = 3 {e,a,a ,b,ab,a b}. 2 2 Thật vậy, vì a c ó cấp 3 n ê n e , a , a 2 là 3 phần tử p h â n biệt. Vì b c ó cấp 2 n ê n b Ỷ e và b í a. Ta c ó b / a 2 (vì nếu ngược l ạ i thì e = ò = a 2 4 = a là vỏ lí). Vì t h ế e, a, a , b là 4 phần tử 2 p h â n biệt. Ta c ó ab Ỷ c (vì nếu ngược l ạ i thì ã = (ab)b = eb = b, vô lí); ab í a (vì b Ỷ e); a ò / a 2 (vì 6 ^ à); ab ỹé b (vì a 7^ e). D o đ ó e, a, a , 6 , ab là 5 phần tử p h â n biệt. T ư ơ n g tự, ta c ó t h ể k i ể m 2 tra được a b 2 ị {e,a,a ,b ab}. 2 : D o đ ó e,a,a ,b,ab,a b 2 2 là 6 phần tử p h â n biệt. V ậ y G = {c,a,a ,b,ab,a b}. 2 2 T ừ đ ó , ta c ó t h ể k i ể m tra được á n h xạ / : G — > s 3 xác định bởi f ( a ) = (123); / ( 6 ) = (12); He) = e; f ( a ) = ( 1 2 3 ) 2 2 = (132); f(ab) = (123)(12) = (13); f(a b) 2 = (132)(12) = (23) là một đẳng cấu n h ó m . • 4.1.12. Mệnh đề. Cho G lù nhóm và H là nhóm con của G sao cho chỉ số của H là ước nguyên tố bé nhất p cửa n. Khi đó H chuẩn tắc. Chứng minh. K í h i ệ u L là tập c á c lớp g h é p trái của H. X é t tác đ ộ n g của G lên L bằng p h é p n h â n : X • yH = xyH v ớ i m ọ i X 6 G yH £ L K í h i ệ u S(L) là n h ó m đ ố i xứng của tập L. T á c đ ộ n g trên c ả m sinh 78
đồng cấu n h ó m ọ : G — > S(L) xác định bời tp(x) = g, x trong đ ó 9x • L — ị L là song ánh cho bởi g (yH) x = xyH. Ta có Ken/? là n h ó m con chuẩn tắc cùa G và Kerự = {.r € G I = = {x e G I
là n h ó m đ ố i xứng của p và xét đ ổ n g cấu ự> : Q — > S(P) xác định bởi tác đ ộ n g này. V ớ i m ỗ i X e Q, k í h i ệ u f x là tự đ ẳ n g cấu trong của p ứng v ớ i X. K h i đ ó
của A. Khi đó HA là nhóm con của G chứa A và nhận A làm nhóm con chuẩn tắc. Chứng minh. R õ ràng Ả = eA c HA. Cho ha e HA v ớ i h 6 H và a € A Vì /í e 7V. nên /la e /ii4 = Ah c . 4 / / . Vì t h ế # 4 t c Ẩi/. Tương tự A i / c / / Ẩ , và vì t h ế /7/1 = .47/. Suy ra Z / 4 là n h ó m con của G chứa i4. Cho a e Ả và /lò e / / / Ì với h e H , b e A . Vì /ỉ e ^ nên / l Ẩ = Ah. Do đ ó hibab' ) 1 = ch với c € Á. Suy ra (hb)a(hb)- = h{bab- )h~ = chh~ =ceA. 1 l l l Vậy Ả chuẩn tắc trong TÍA • 4.2.2. Định lý. (Sylow, 1872;. Cho G là nhóm hữu hạn cấp n và p là ước nguyên tố của n. Các phát biểu sau là đúng (ì) Mỗi p-nhóm con của G được chứa trong một p-nhóm con Sylow. (ii) Các p-nhóm con Sylow liên hợp với nhau. (Ui) Số các p-nhóm con Sylow đồng dư với Ì theo môđun p. Chiêng minh. Theo Định lý 4.1.6, tồn tại p-nhóm con Sylow p của G. G ọ i s là tập các n h ó m con liên hợp với p. Xét tác động từ G lên s bằng p h é p liên hợp: X • Q = xQx~ l với m ọ i X e G, Q 6 s. T á c động này chỉ có một quỹ đạo. G ọ i Gp = {x e G ị xPx' 1 = P} là n h ó m con đẳng hướng của p. Chú ý rằng Gp D p. Vì p là p - n h ó m con Sylow của G nên (G : P) k h ô n g là b ộ i của p. Vì t h ế (G : Gp) không là b ộ i của p. Vì tác đ ộ n g trên chỉ có một quỹ đạo nên theo công thức các lớp, C a r d ^ ) c h í n h là chỉ số của n h ó m đẳng hướng Gp do đ ó C a r d í S ' ) k h ô n g là b ộ i của p. Bây g i ờ ta chứng minh định lý. 81
(i) Cho H là p - n h ó m con của G. X é t tác đ ộ n g của H lên s bằng p h é p liên hợp. Theo c ô n g thức các lớp, C a r d ( S ) = Ỵ^{H : Họ), trong QeS' đó S' c s là h ọ c á c đ ạ i d i ệ n của c á c q u ỹ đ ạ o r ờ i nhau. V ớ i môi Q e S', do H là p - n h ó m n ê n nếu Họ Ỷ H thì (H : Họ) Va b ộ i của p. Vì Card(5") n g u y ê n t ố v ớ i p n ê n theo c ô n g thức c á c lớp, t ồ n tại Q € 5" sao cho # Q = i / . K í h i ệ u N(Q) là n h ó m con c h u ẩ n hoa của Q trong G. Do Họ = H nên / / c AT(Q). Theo B ổ đ ề 4 . 2 . 1 , / / ọ là n h ó m con của G nhận ọ làm n h ó m con chuẩn tắc. V ì t h ế ta c ó n h ó m thương HQ/Q. C h ú ý rằng # Ọ / Q = H/(H n Ọ ) v à H là p - n h ó m . Do đ ó HQ/Q là p - n h ó m . Do ọ là p - n h ó m n ê n HỌ là p - n h ó m chứa Q. Vì Ọ liên hợp v ớ i p n ê n ọ là p - n h ó m con Sylow của G. Suy ra / / Ọ = Q. Vì t h ế / / C Ọ . (li) Giả sử H là p-nhóm con Sylow của G. Theo chứng minh (i), tồn tại Q e s sao cho H c ọ . D o cấp của và ọ bằng nhau n ê n H = Q. Do đ ó H liên hợp v ớ i p. (úi) Xét tác động của p lên 5 bằng phép liên hợp. Quỹ đạo của p là {xPx~ l I X e p} = {P}, n ó g ồ m đ ú n g Ì phần tử. Cho Q € s . N ế u quỹ đạo của Q g ồ m đ ú n g Ì phần tử thì (P : PQ) = Ì (trong đ ó P ọ là n h ó m con đẳng hướng) và do đ ó Pọ — p. Trong trường hợp này, theo chứng m i n h (i) ta c ó p c ọ , và do p, Q cổ c ù n g cấp n ê n Q = p. Vì thế, nếu Q ^ p thì quỹ đạo của ọ g ồ m n h i ề u h ơ n Ì phần tử và do đ ó (P : PQ) là b ộ i của p (do p là p - n h ó m ) . Theo (ri), số c á c p - n h ó m con Sylovv là C a r d ( S ) , vì t h ế k ế t quả được suy ra ngay từ c ô n g thức c á c lớp. • 82
4.3 M ộ t sô ứng d ụ n g của Định lý Sylovv 4.3.1. B ổ đ ề . Cho G là nhóm cấp TI. Giả sử p là một ước nguyên tố của TI và p là một p-nhóm con Sylow của G. Khi dó (í) Số các p-nhóm con SyIow của G là một ước của Ti và nguyên tô cùng nhau với p. (li) p là p-nhóm con Syìow duy nhất của G nếu và chỉ nếu p là chuẩn tắc. Chứng minh. (i) G ọ i Sp là số c á c p - n h ó m con Sylow. Kí hiệu s = {xPx~ l ị X e G} là tập c á c n h ó m con liên hợp v ớ i p. Theo Đ ị n h lý Sylovv, s c ó Sp phần tử. X é t tác đ ộ n g của G lên s bằng p h é p liên hợp. T á c đ ộ n g n à y chỉ c ó Ì quỹ đạo. Theo c ô n g thức c á c lớp, C a r d ( 5 ) = Sp = (G ì Gp), trong đ ó Gp = {x € G I xPx~ l = p} là n h ó m con đẳng hướng ứng v ớ i p. Do đ ó Sp là ước của ri. Vì Sp = l ( m o d p ) n ê n Sp n g u y ê n t ố c ù n g nhau v ớ i p. (ri) Theo chứng m i n h ( i ) , p là p - n h ó m con Sylow duy nhất n ế u và chỉ nếu (G : Gp) — ì, tức là xP = Px v ớ i m ọ i X e G. V ậ y p là p - n h ó m con Sylovv duy nhất của G n ế u và chỉ nếu p là chuẩn tắc. • 4.3.2. Định nghĩa. Một nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu G Ỷ {c} và G chỉ c ó hai n h ó m con chuẩn tắc là G và { e } . Như một áp dụng, chúng ta nhận lại được kết quả như trong Hệ quả 4.1.13 về c á c n h ó m cấp pq vói p, q là các số n g u y ê n t ố p h â n biệt. 4.3.3. Mệnh đề. Cho G là nhóm cấp pq, trong đó p < q là các số nguyên tố. Khi đó (i) G CÓ q-nhóm con Syỉow chuẩn tắc, vì thế G không là nhóm đơn. 83
(ii) Nếu q ỹẾ l ( m o d p ) thì G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc. Trong trường hợp này, G là nhóm xycìic. Chímg minh. (i) G ọ i sq là số c á c ợ - n h ó m con Sylow của G. Theo Bổ đ ề 4.3.1, s q là ước của pq, và theo Định lý Sylow s q = l ( m o d ợ ) . Vì t h ế Sq = Ì hoặc Sq = p. Do p < q n ê n p ^ l ( m o d g ) . D o đ ó s q = ì. Theo Bổ đ ề 4.3.1, c ó m ộ t g - n h ó m con Sylow chuẩn tắc Q của G. (li) Vì q ^ l ( m o d p ) n ê n tương tự n h ư chứng m i n h ( i ) , G c ó duy nhất m ộ t p - n h ó m con Sylow p và n h ó m con n à y là chuẩn tắc. Vì p, Q là c á c n h ó m con chuẩn tắc n ê n PQ là n h ó m con của G. X é t á n h xạ / : p X Q —y PQ cho bởi f ( x , y) = xy, v ớ i m ọ i (x, y) G p X Q. Vì p cấp p và Q cấp q n ê n p n ọ = { e } . Do p , ọ là c h u ẩ n tắc n ê n {xy)(yx)- 1 = {xyx~ )y- l 1 = x(yx~ y- ) l 1 G p n Q = {e}, vì t h ế x y = y x v ớ i m ọ i X e p,y e Q. Suy ra / là đ ồ n g cấu. R õ ràng / là toàn cấu. Vì p n ọ = {e} n ê n / là đ ơ n cấu. V ậ y / là đ ẳ n g cấu. Do p X Q là n h ó m xyclic cấp pq n ê n PQ là xyclic cấp pq. Vì thế PQ = G là n h ó m xyclic. • Ta xét một trường hợp phức tạp h ơ n , ở đ ó cấp của n h ó m là p q. 2 C á c lập luận trong chứng m i n h kết quả n à y là rất thú vị. 4.3.4. M ệ n h đ ề . Cho G là nhóm cấp p q, 2 trong đó p, q là các số nguyên tố phân biệt. Khi đó G không là nhóm đơn, và ít nhất một trong hai trường hợp sau xảy ra (i) G CÓ p-nhóm con Sylow chuẩn tắc. (ii) G có q-nhóm con Sỵỉow chuẩn tắc. Chíữig minh. G ọ i Sp, s q l ầ n lượt là số c á c p - n h ó m con Sylow và số c á c ợ - n h ó m con Sylow. G i ả sử cả (i) và ( l i ) đ ề u sai. K h i đ ó Sp > Ì 84
à s q > 1. Theo B ổ đ ề 4.3.1, Sg là ước của p q 2 và sq nguyên tố cùng [hau v ớ i ợ. V ì t h ế s q —p2 hoặc sq = p. Ta xét hai trường hợp. Trường hợp s q = p. 2 C h ú ý rằng nếu Q là ợ - n h ó m con Sylow thì ? c ó cấp q và do đ ó X c ó cấp q v ớ i m ọ i e / ì e ọ . Vì t h ế , m ỗ i ' - n h ó m con Sylow chứa đ ú n g ợ - Ì phần tử cấp q. G i ả sử Qi,Q 2 là Lai ợ - n h ó m con Sylow. N ế u Ọ i n ọ 2 / { e } thì ( x ) = Qị = Q 2 với noi e ^ ì G Ọ i n ọ - Vì t h ế hai ợ - n h ó m con Sylovv tuy ý hoặc là 2 )ằng nhau, hoặc c ó giao là n h ó m con t ầ m thường. Do đ ó số phần tử :ó cấp q của G là s (q q — 1). G ọ i L là tập các phần tử của G k h ô n g :ó cấp q. Ta c ó C a r d ( L ) = p q - n (q 2 q - 1) = p ợ - p ( g - 1) = p . 2 2 2 3iả sử p là m ộ t p - n h ó m con Syloxv. K h i đ ó cấp của p là và vì t h ế ất cả p 2 phần tử của p đ ề u k h ô n g c ó cấp q. Suy ra p = L. Do đ ó G :hỉ có duy nhất m ộ t p - n h ó m con Sylow, tức là Sp = Ì , v ô lí. Trường hợp Sạ = p. Theo Đ ị n h lý Sylow, Sq = l(mod q. Theo B ổ đ ề 4.3.1, Sp là ước của p
113. Chứng tỏ rằng m ọ i n h ó m cấp 15,33,65 và 77 là x y c l i c . 114. Chứng minh rằng m ọ i n h ó m cấp pq (trong đ ó p < q là c á c số n g u y ê n tố) hoặc là n h ó m xyclic, hoặc là n h ó m k h ô n g giao h o á n . Nếu trường hợp thứ hai xảy ra thì q - Ì chia hết cho p. 115. Chứng m i n h rằng m ọ i p - n h ó m G ^ { e } đ ề u c ó t â m k h ô n g tầm thường. 116. Cho p là số n g u y ê n t ố và G là n h ó m cấp p . 2 K í h i ệ u C{G) là t à m của G. Chứng m i n h rằng G/C{G) là n h ó m x y c l i c . T ừ đ ó suy ra rằng m ọ i n h ó m cấp p 2 đ ề u giao h o á n . 117. Cho p là m ộ t số n g u y ê n t ố . Chứng m i n h rằng m ọ i n h ó m cấp p 2 hoặc đẳng cấu v ớ i Zp2 hoặc đ ẳ n g cấu v ớ i Zp X Tép. T ừ đ ó suy ra rằng m ọ i n h ó m cấp 4 hoặc đẳng cấu v ớ i n h ó m z 4 hoặc đ ẳ n g cấu v ớ i n h ó m z 2 X z . 2 118. Cho G là n h ó m cấp pqr, trong đ ó p, q, r là c á c số n g u y ê n t ố phân biệt. Chứng m i n h rằng pqr > Ì + s (p p — 1) + s (qq - 1) + s (r r — 1), trong đ ó Sp, s q và sr lần lượt là số p—nhóm con Sylovv, số ợ—nhóm con Sylow và số r — n h ó m con Sylow. 119. Cho G là n h ó m cấp pqr, trong đ ó r < q < Ị) là c á c số n g u y ê n t ố p h â n biệt. V ớ i kí h i ệ u Sp, Sq, S n h ư trong Bài tập 118, chứng minh T rằng nếu G là n h ó m đơn thì Sp = qr, Sg > p và s r > q. 120. Cho G là n h ó m cấp pqr, trong đ ó r < q < p là c á c số n g u y ê n t ố p h â n biệt. Sử dụng c á c Bài tập 118, 119 đ ể chỉ ra rằng G k h ô n g là nhóm đơn. 86
C h ư ơ n g 5 • 9 • C h u ỗ i h ợ p t h à n h , n h ó m g i a i đ ư ơ c 5.1 Chuỗi hợp thành 5.1.1. Định nghĩa. Cho G là một nhóm. Một dãy { e } = Go c G i c . . . c Gr = G các nhóm con của G được gọi là một xích độ dài r nếu Gi là nhóm con chuẩn tắc của Gi+1 v ớ i m ọ i ĩ = Ì , . • , r - 1. Hai x í c h { e } = Go c Gi c . . . c G r = G {e} = G ; C G ; C . . . C G; = G. được gọi là tương đương nếu r = s và tồn tại một hoán vị Tí của tập { Ì , . . . , r } sao cho G i + i/ơ, = với mọi í = Ì , . . . , r - 1 . 5 Ì 2 Đ ị n h n g h ĩ a . C ho G là m ộ t n h ó m . N h ó m con chuẩn tắc H của G được g ọ i là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G nếu G / i / là n h ó m đ ơ n (tức là H Ỷ G v à n ê u K l à n h ó m c o n c h u ^ n c ủ a G s a 0 c h o 87
H c K c G* thì K = H hoặc K = G). M ộ t xích { e } = Go c G i c . . . c Gr = G được g ọ i là một c/ỉí/ô/ /ỉỡp Í/ỈỜAỈ/Ỉ của G nếu G i là n h ó m con chuẩn tắc t ố i đ ạ i của G 1 l+ v ớ i m ọ i ỉ = Ì , . . . , r — 1. Trong mục này, c h ú n g ta sẽ chứng m i n h Đ ị n h lý Jordan-Holder phát biểu rằng nếu n h ó m G c ó m ộ t c h u ỗ i hợp t h à n h thì hai c h u ỗ i hợp thành tuy ý của G là tương đ ư ơ n g , tức là c h ú n g c ó chung đ ộ dài và sau một p h é p h o á n vị các chỉ số, c á c n h ó m t h ư ơ n g t ư ơ n g ứng là đẳng cấu với nhau. Trước hết, c h ú n g ta cần c á c bổ đ ể sau đây. 5.1.3. B ổ đ ề . Cho G là nhóm. Giả sử H D K là các nhóm con của G. Các phát biểu sau là đúng. (í) Nếu K là chuẩn tắc trong H và Ị : G — > ơ là đổng cấu nhóm thì f ( K ) là chuẩn tắc trong f { H ) . (li) Nếu K là chuẩn tắc trong H thì NK là nhóm con chuẩn tắc của nhóm NH với mọi nhóm con chuẩn tắc N của G. ctúùĩg minh. (i) Vì K là n h ó m con của H n ê n f ( K ) là n h ó m con của f ( H ) . Cho a € f ( K ) và b e f ( H ) . K h i đ ó a = f ( x ) , b = f ( y ) với X
l Vì t h ế xax- N = bN v ớ i b e NK. Suy ra xax l b 1 e N c NK. Do 6 € 7VA' n ê n x a x " 1 € NK. V ậ y y v x chuẩn tắc trong NH. • 5.1.4. B ổ đ ề . Giả sử N QLvà PQQ là cúc nhóm con của G sao cho N chuẩn tắc trong L và p chuẩn tắc trong Q. Khi đó N(L n P) chuẩn tắc trong N(LnQ). Chímg minh. V ì p chuẩn tắc trong Q nên dễ thấy L n p chuẩn tắc trong L n Q. C h ú ý rằng N,LnP,LnQ đ ề u là n h ó m con của L. V ì t h ế á p dụng B ổ đ ề 5.1.3 ( l i ) cho n h ó m ì ta c ó kết q u ả . • 5.1.5. B ổ đ ề . Giả sử N c L và p c ọ là các nhâm con của G sao cho N chuẩn tắc trong L vù p chuẩn tắc trong Q. Khi đó N(L n P ) rí L n ọ = P(Q n N) n ọ n L. Chứng minh. Cho X = ác € JV(L n P ) n L n ọ , trong đ ó a € N, c e L n p. D o jV chuẩn tắc trong L n ê n X = ác = c{c' ac) l = ca' v ớ i à' G iV. V ì X É Q và c e p c ọ n ê n ó' = € Q. V ì t h ế tt'eỌn ÁT, và do đ ó X = ca' e P{Q n N). V ì X = ác, trong đ ó a e X c L và c G L , n ê n X G L . D o đ ó X G P ( Ọ n N) n ọ n L . Tương tự, nếu X £ P{Q n N) n ọ n L thì X € i V ( L n F ) n L n Q. • 5.1.6. Đ ị n h nghĩa. C ho {e} = Go c G i c ... c G r = G là m ộ t xích của n h ó m G. G i ả sử c ó m ộ t chỉ số ĩ và m ộ t n h ó m trung gian / / giữa G i và G i * Ì sao cho H chuẩn tắc trong Gi+1- K h i đ ó ta c ó xích {e} = 6*0 c ... c Gi c ff c c ... c G = G, r g ọ i là m ộ t sự lủm mịn của xích đ ã cho. N ế u H / G i và H Ỷ thì xích n à y được g ọ i là m ộ t làm mịn thực sự. 89
5.1.7. Đ ị n h lý. ( Đ ị n h lý l à m m ị n S c h r e i r e , Ì928). Cho hai xích của một nhóm G W = GoCG C...CG 1 n = G (1.1) {e} = H Q Q H 1 C , , . Q H k = G (1.2) Khi đó tồn tại các xích (2.1), (2.2) tương ứng làm mịn các xích ị LI) và ị 1.2) sao cho xích (2.1) tương đương với xích (2.2). Chứng minh. V ớ i i = 0, Ì , . . . , n và 3 = 0 Ì , . . . , k, ta đ ậ t t Gij = Gi(G i+l n Hj), và Hij = Hj(H j + 1 n Gi). V ớ i m ỗ i ĩ ta c ó m ộ t d ã y những n h ó m con của G 1 l+ chứa Gi Gi = G i f i c G u c ... c ơ i i f c = G i + 1 , V i = 0, Ì , . . . , n - Ì và v ớ i m ỗ i j ta c ó m ộ t d ã y những n h ó m con của H 1 j+ chứa Hj Hj = H J 0 c c ... c // 7 1 J = H J + U V j = 0, Ì , . . . , fe - 1. V ớ i m ỗ i ĩ, j , vì ơ i chuẩn tắc trong ơ ỉ + 1 và / f j chuẩn tắc trong nên theo B ổ đ ề 5.1.4, Gij là n h ó m con chuẩn tắc của G i J + 1 . Tương tự, Hij là n h ó m con chuẩn tắc của H i + l J v ớ i m ọ i í, j . D o đ ó ta có hai xích sau đ â y là tương ứng m ị n h ơ n xích (1.1) và (1.2) { e } = Go c Ơ0.1 c . . . c G ,k-1 0 c ƠI c G u c . . . c G k-1 h c ... c ơn-!,! c . . . c ứ _ i n ) f c _! c G n = G (2.1 {e} = i / C 0 ff 1)0 c ... c i/„_ l i 0 C i / , c c ... c H_ n 1A c ... c c ... c CH k = G (2.Ỉ V ớ i m ỗ i í, j , vì G i c G i j c Ơ i j + 1 n ê n ta c ó GijGi J+1 = G i / + 1 và GịjGị = Gi ý D o đ ó g ị j + Ị _ ỌỵGỵ+1 _ Gj G (G ú l l+l n _ G i t j (G i + 1 n ĩ j 90
Vì t h ế , theo Đ ị n h lý đ ẳ n g cấu t h ứ hai ta c ó Gj,j+1 ^ Gj+\ n Hj+1 Gịj Gij n Gi+I n Hj 1 + với m ọ i i,j. T ư ơ n g tự, Hj+I,j ^ n Hj+1 Hij Hi,j n Gi+1 n với m ọ i Theo B ổ đ ề 5.1.5 ta c ó Gij n n = # i j n Gi+1 n Vi, j . Vi thế G i J + l /Gij = H i + h j / H i j v ớ i m ọ i í, j . Đ á n h l ạ i chỉ số của xích (2.1) bằng c á c h ứng v ớ i ifc + j , và đ á n h l ạ i chỉ số của (2.2) bằng c á c h ứng v ớ i j n + ỉ. K h i đ ó cả hai xích (2.1) và (2.2) đ ề u có đ ộ dài nk. C h ọ n ự) : { 1 , 2 , . . . ,n/c} — > { 1 , 2 , . . . ,nk} cho b ở i ịpịik + j ) = jn + ỉ v ớ i 0 ^ ì ^ n - Ì v à 0 5$ j ^ k - 1. R õ ràng £ là song á n h , và từ đ ẳ n g c ấ u Gi j+i/G j ì i = H i + i t J / H i j ta c ó Gik+j+i/Gịk+j — H^ik+^+i/H ạk+j), Vi, j. {p Do đ ó (2.1) tương đ ư ơ n g v ớ i (2.2). • 5.1.8. Đ ị n h nghĩa. C ho # : { e } = Go 2 G i 2 . . . 2 G n = G là một xích của n h ó m G . V ớ i m ỗ i i = { Ì , . . . , n } , ta n ó i G i là r/ỉàrt/ỉ p/ỉáVỉ / ặ p /ạ/ nếu G = G ị - 1 " l Định lý sau đ â y là k ế t q u ả c h í n h của mục này. 5.1.9. Đ ị n h lý. ( Đ ị n h lý J o r d a n - H o l d e r ) . Nếu nhóm G có một chuỗi hợp thành thì mọi xích { e } = Go c G i c . . . c G n —G không có thành phần lặp lại đều có thể được làm mịn bởi một chuỗi hợp thành. Hơn nữa, hai chuỗi hợp thành tuy ý là tương đương với nhau. 91
Chíừĩg minh. G i ả sử R là xích { e } = Go D G i D . . . D Gn = G k h ô n g c ó thành phần lặp l ạ i . G ọ i s là m ộ t c h u ỗ i hợp t h à n h của G. Theo Định lý 5.1.7, c ó hai xích Rị và Si sao cho Rị l à m m ị n R, Si l à m m ị n s và Rị tương đ ư ơ n g v ớ i Si. B ỏ đi những t h à n h p h ầ n lặp l ạ i trong Rị và Si, ta được hai xích R 2 và s . 2 Rõ ràng R 2 làm mịn R và £2 l à m m ị n s. Chú ý rằng số t h à n h phần lặp l ạ i trong Ri và Si tương ứng là số n h ó m t h ư ơ n g t ầ m thường của Ri và Si. V ì Rị và Si là tương đ ư ơ n g n ê n số c á c t h à n h phần lặp l ạ i trong Rị v à Si là như nhau. Suy ra /?2 và s 2 là tương đ ư ơ n g . V ì s là c h u ỗ i hợp t h à n h nên s = S2. Do đ ó m ỗ i n h ó m t h ư ơ n g của i?2 đ ề u là n h ó m đem, tức là R 2 cũng là chuỗi hợp t h à n h . V ậ y R được l à m m ị n bởi c h u ỗ i hợp thành R. 2 N ế u R cũng là c h u ỗ i hợp t h à n h thì theo chứng m i n h trên R 2 = R và vì t h ế s và R là tương đ ư ơ n g . Vì t h ế hai c h u ỗ i hợp t h à n h tuy ý của G là tương đ ư ơ n g . • B À I T Ậ P 121. Chứng minh rằng nếu nhóm G có chuỗi hợp thành thì mọi nhóm con chuẩn tắc của G cũng c ó chuỗi hợp t h à n h . 122. Cho m ộ t ví d ụ về một n h ó m k h ô n g c ó c h u ỗ i hợp t h à n h . 123. Chứng m i n h rằng m ọ i n h ó m hữu hạn đ ề u c ó c h u ỗ i hợp t h à n h . 124. T i m c á c c h u ỗ i hợp t h à n h của n h ó m z 6 và n h ó m đ ố i x ứ n g 5 . 3 125. Chứng tỏ rằng s 3 và z 6 k h ô n g đẳng cấu v ớ i nhau, n h ư n g c ó m ộ t chuỗi hợp t h à n h của s 3 tương đ ư ơ n g v ớ i m ộ t c h u ỗ i hợp t h à n h của z . 6 126. Xét n h ó m đ ố i xứng S4. G ọ i A4 là n h ó m thay p h i ê n của 4 phần 92