Giáo trình Lý thuyết nhóm: Phần 1

Chia sẻ: Thangnam Thangnam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:78

Thêm vào BST

Báo xấu

400
lượt xem 62
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của giáo trình Lý thuyết nhóm do Lê Thị Thanh Nhàn chủ biên là cung cấp những kiến thức cơ bản nhất về nhóm để phục vụ công tác giảng dạy môn "Lý thuyết nhóm ở bậc đại học". Phần 1 cuốn giáo trình trình bày các nội dung: Nhóm và nhóm con, lớp phép, đồng cấu nhóm, tác động của nhóm lên tập hợp. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Lý thuyết nhóm: Phần 1

B ộ G I Á O DỤC VÀ Đ À O TẠO Đ Ạ I H Ọ C THÁI N G U Y Ê N L Ê T H Ị T H A N H N H À N (chủ biên) VŨ M Ạ N H XUÂN G I A O T R I N H LÝ THUYẾT NHÓM (DÙNG CHO SINH VIÊN N G À N H T O Á N HỌC) NHÀ XUẤT B Ả N ĐẠI HỌC Q u ố c GIA HÀ N Ộ I
SÁCH ĐƯỢC XUẤT BẢN BỞI s ự TÀI TRỢ CỦA D ự ÁN GIÁO DỤC ĐẠI HỌC 2
MỤC LỤC Trang L ờ i nói đ ầ u V Chương ì: N h ó m v à n h ó m con L I Định nghĩa nhóm và ví dụ Ì 1.2 Một số tính chất 8 1.3 Nhóm con 15 1.4 Nhóm con của một nhóm xyclic 19 Chương 2: L ớ p g h é p , đ ồ n g c â u n h ó m 2.1 Lớp ghép, Định lý Lagrange 25 2.2 Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương 30 2.3 Đồng cấu nhóm 34 2.4 Các định lý đồng cấu nhóm 39 Chương 3: T á c đ ộ n g của n h ó m lên t ậ p hợp 3.1 Nhóm đối xứng 45 3.2 G tập 53 3.3 Công thức các lớp 56 3.4 Một ứng dụng vào tổ hợp 62 Chương 4: N h ó m h ữ u h ạ n , Đ ị n h lý Sylow 4.1 p - nhóm 73 iii
4.2 Định lý Sylovv 80 4.3 Một số ứng dụng cùa Định lý Sylow 83 Chương 5: C h u ỗ i hợp t h à n h , n h ó m giúi được 5.1 Chuỗi hơp thành 87 5.2 Nhóm giải được 94 Chương 6: N h ó m t ự do, p h â n tích t h à n h t ổ n g t r ự c t i ế p 6.1 Nhóm tự do loi 6.2 Biểu diễn nhóm bàng hệ sinh và các quan hệ 105 6.3 Phân tích nhóm thành tổng trực tiếp 113 Chương 7: N h ó m A b e l 7.1 Nhóm Abel tự do 121 7.2 Nhóm Abel hữu hạn - Định lý cơ sở 130 7.3 Nhóm Abel hữu hạn sinh 133 Tài liệu tham k h á o 143 iv
L Ờ I N Ó I Đ Â U M ụ c đích của g i á o trình là cung cấp những k i ế n thức cơ bản nhất về n h ó m để phục vụ c ô n g tác giảng dạy và học tập m ô n " L ý thuyết n h ó m " ớ bậc đ ạ i học. G i á o trình g ồ m 7 c h ư ơ n g . Chương Ì và C h ư ơ n g 2 trình bày k i ế n thức cơ sờ về n h ó m , n h ó m con, lớp g h é p và đổng cáu n h ó m . C h ư ơ n g 3 quan tâm đ ế n một số kết quả mang tính kĩ thuật về n h ó m như tác động của n h ó m lên tập hợp và một ứng dụng trong bài toán tổ hợp. C h ư ơ n g 4 trình bày về n h ó m hữu han. Định lý Sylo\v và ứng dụng trong bài toán p h â n loại n h ó m . Chương 5 viết về chuỗi hợp thành và n h ó m g i ả i được, m ộ t l o ạ i n h ó m liên quan chặt chẽ với tính giải được bằng căn thức của các đa thức. Chương 6 quan tâm đ ế n n h ó m tự do, một ứng dụng của n h ó m tự do trong bài toán biểu d i ễ n n h ó m b à n g hệ sinh và các quan hệ và bài toán p h â n tích n h ó m thành tổng trực tiếp. Chương c u ố i trình bày c á c vấn đề về n h ó m A b e l . Bạn đọc c ó t h ể tự học m ô n " L ý thuyết n h ó m " với cuốn giáo trình này, nêu đã được trang bị một số k i ế n thức sơ lược về tập hợp, quan hệ, ánh xạ, số phức và k h ô n g gian véc tơ. N ế u ai đã học " Đ ạ i số đ ạ i c ư ơ n g " ở c h ư ơ n g trình đ ạ i học thì có thê bỏ qua các c h ư ơ n g Ì và 2 để tiếp cận thẳng c á c c h ư ơ n g sau. Đ ể n g ư ờ i đọc dễ theo d õ i , trong suốt giáo trình, c á c k h á i n i ệ m và kết quả đ ề u được d i ễ n g i ả i chi tiết, có ví dụ m i n h hoa; c ụ m từ " h i ể n nhiên ta c ó " tránh được d ù n g trong các chứng m i n h ; phần bài tập được thiết k ế ngay sau một vài mục nhỏ của c h ư ơ n g . Trong toàn bộ cuốn g i á o trình, c á c n h ó m được kí hiệu bởi G, H, Kị V
các đồng cấu n h ó m thường được kí h i ệ u bởi f , g , h, k...; lác đ ộ n g của một phần tử X của n h ó m G lên phần tử s của tập hợp s t h ư ờ n g được kí h i ệ u là xs hay X • s; tập c á c số tự n h i ê n , tập c á c số n g u y ê n , tập c á c số hữu tỷ, tập các số thực và tập c á c số phức l ầ n lượt được k í h i ệ u b ở i N , z , Q, R và c . Tài l i ệ u tham khảo c h í n h sử dụng trong g i á o trình n à y là các cuốn sách " G i ớ i thiệu về lý thuyết n h ó m " c ù a Joseph J. Rotman [7] và " Đ ạ i số h i ệ n đ ạ i " của N g u y ễ n T ự C ư ờ n g [ 1 ] . Ngoài ra, giáo trình n à y được viết trên cơ sở tham k h ả o m ộ t số c u ố n s á c h v ề Đ ạ i số của Bùi H u y H i ề n - Phan D o ã n T h o ạ i [ 2 ] , N g u y ễ n H ữ u V i ệ t H ư n g [3], M . Aschbacher [ 5 ] , s. Lang [ 6 ] , N g ô T h ú c L a n h [ 4 ] . Trong rất n h i ề u k i ế n thức về lý thuyết n h ó m , đ ể c h ọ n những n ộ i dung cần thiết v i ế t trong k h u ô n k h ổ m ộ t g i á o trình n h ỏ p h ù hợp v ớ i chương trình đ à o tạo bậc đ ạ i học là rất k h ó k h ă n . C á c t á c g i ả mong muốn nhận được những nhận xét, g ó p ý của c á c đ ổ n g n g h i ệ p , c á c sinh viên và đọc g i ả đ ể cuốn s á c h được h o à n t h i ệ n h ơ n . Các tác g i ả x i n c h â n t h à n h c ả m ơn Ban Đ à o tạo Đ ạ i học Thái N g u y ê n và D ự á n T R I G Đ ạ i học T h á i N g u y ê n thuộc D ự á n G i á o dục Đ ạ i học 2 đã h ỗ trợ về k i n h p h í cũng n h ư c á c t h ủ tục thuận l ợ i đ ể cuốn giáo trình được xuất bản. Các tác giả vi
C h ư ơ n g Ì N h ó m v à n h ó m c o n 1.1 Định nghĩa n h ó m v à ví d ụ Để tiện theo dõi, trước khi định nghĩa nhóm, chúng ta nhắc lại một số khái n i ệ m liên quan đ ế n p h é p toán trên m ộ t tập hợp. 1.1.1. Định nghĩa. Cho X là tập hợp. Một phép toán (hai ngôi) trên X là m ộ t á n h x ạ từ X X X đ ế n X. Nếu T là một phép toán trên X thìảnh của phần tử (o, b) € X X X qua T được k í h i ệ u là aTb. Ta k í h i ệ u ảnh của (a, b) là ab n ế u p h é p toán được k í h i ệ u theo l ố i n h â n và là ã + b n ế u p h é p toán được k í h i ệ u theo l ố i cộng. R õ r à n g p h é p cộng t h ô n g thường là p h é p toán trên N và cũng là p h é p toán trên z . P h é p trừ t h ô n g thường là p h é p t o á n trên z n h ư n g k h ô n g là p h é p t o á n trên N . 1.1.2. Định nghĩa. Cho X là tập hợp có trang bị một phép toán T. Tập con Ả của X được g ọ i là ổn định ( v ớ i p h é p toán trên X ) n ế u Ì
aTb e Ả với m ọ i a, b e Á. K h i đ ó ta cũng nói p h é p toán trên X cảm sinh p h é p toán trên Á. Dễ thây tập s = {1,-1} là bộ phậnỔn định của z với phép nhân thông thường, tập N là bộ phận ổ n định của z với p h é p c ộ n g , n h ư n g k h ô n g ổ n định với p h é p trừ. 1.1.3. Định nghĩa. Cho X là tập hợp và T là phép toán trên X. Ta nói rằng T có tính chất kết hợp nếu aT(bTc) = (aTb)Tc với m ọ i a,h,c£ X. P h é p toán T là £/ứo /íoớ/í nếu aTỎ = ÒTa với m ọ i ab e X. Phép toán Tphân phối với p h é p toán * trên X nếu a r ( ò * c ) = {aTb)*(aTc) và (ỏ * c ) 7 a = (6Ta) * ( c T a ) v ớ i m ọ i a,6,c e X. Trên các tập số z,ọ, R, phép cộng và phép nhân thông thường có tính chất kết hợp, giao h o á n , p h é p n h â n p h â n p h ố i v ớ i p h é p c ộ n g . Tuy nhiên p h é p trừ và p h é p chia k h ô n g c ó tính chất giao h o á n , c ũ n g k h ô n g có tính chất kết hợp. 1.1.4. Định nghĩa. Cho X là tập hợp với một phép toán T. Phần tử e € X được g ọ i là trung hoa trái nếu cTa = a với m ọ i ũ e X . Tương tự ta c ó khái n i ệ m trung hoa phải. N ế u e là trung hoa cả hai p h í a thì e được g ọ i là phần tử trung hoa. G i ả sử X c ó phần tử trung hoa e. V ớ i a, 6 € X , ta nói rằng ò là p/ỉâV? rô ngược trái của a n ế u bTa = e T ư ơ n g tự ta c ó khái n i ệ m phấn tử ngược phải. N ế u b là p h ầ n tử n g ư ợ c cả hai phía thì ta nói b lã phần tử ngược của a. Phần tử a G X được g ọ i là chính quy phải nếu x T a = y T a k é o theo X = y v ớ i m ọ i X y e X T ư ơ n g tự ta c ó khái n i ệ m phần tử chính quy trái. N ế u a c h í n h quy hai phía thì ta nói a là chính quy. K h i ã là c h í n h quy thì ta c ũ n g n ó i luật giản ước thực hiện được đối với a. Ta g ọ i phần tử trung hoa là phần
tử đơn vị nếu p h é p toán kí h i ệ u theo l ố i nhân, và g ọ i là phần tử không nếu p h é p toán kí hiệu theo l ố i cộng. N ế u p h é p toán k í hiệu theo l ố i nhân, phần tử ngược của a được g ọ i là nghịch đảo của a, và được kí hiệu là a~ . l K h i a c ó nghịch đảo, ta nói a là khư nghịch. Nếu phép toán kí h i ệ u theo l ố i cộng, phần tử ngược của a được g ọ i là đối xitng của a, và được kí h i ệ u là —a. Dễ thấy rằng phần tử trung hoa của À' đối với phép toán T (nếu có) là duy nhất, bởi vì n ế u e, é là hai phần từ trung hoa thì e = cTe' = é. Chú ý rằng nếu T c ó tính chất kết hợp thì phần tử ngược của a (nếu có) là duy nhất, b ở i vì n ế u b, V là hai phần tử ngược của a thì b = bTe = bT(aTƯ) = (bTa)TƯ = eTƯ = tí. 1.1.5. Định nghĩa. Phỏng nhóm là một tập hợp trên đó có trang bị một p h é p toán. Nửa nhóm là m ộ t phỏng n h ó m sao cho p h é p toán c ó tính chất kết hợp. Vị nhóm là m ộ t nửa n h ó m c ó phần tử trung hoa. Cho X ^ 0 là tập hợp. K í hiệu r là tập c á c á n h xạ từ X đ ế n X. V ớ i p h é p hợp t h à n h c á c á n h xạ, á n h xạ đồng nhất Ì X đ ó n g vai trò là phần tử đ e n vị của r , và phần tử / G r là k h ả nghịch k h i và chỉ k h i / là song á n h . Vì p h é p hợp thành c á c á n h x ạ c ó tính chất k ế t hợp n ê n r là m ộ t vị n h ó m . T ừ nay v ề sau, n ế u k h ô n g nói rõ t h ê m , ta quy ước p h é p toán được kí hiệu theo l ố i n h â n . 1.1.6. Đ ị n h nghĩa. Nhóm là m ộ t vị n h ó m m à m ọ i phần tử đ ề u k h ả nghịch. N h ư vậy, m ộ t tập G c ù n g v ớ i m ộ t p h é p toán l à m t h à n h n h ó m nếu n ó thoa m ã n c á c đ i ề u k i ệ n 3
(i) P h é p toán c ó tính kết hợp: a(bc) = (ab)c, Va, 6, c € G. (li) G c ó đơn vị: Be e G sao cho ex = xe = X, Vx e G. ( i i i ) M ọ i phần tử của G đ ề u k h ả nghịch: Với mỗi X e G, tồn tại x~l £ G sao cho xx~ l = X~ X 1 — e. Một nhóm G được gọi là nhổm ụao hoán (hay nhóm Abel) nếu p h é p toán là giao h o á n . N ế u G c ó hữu hạn phần tử thì số p h ầ n tử của G được g ọ i là cấp của G. N ế u G c ó vô hạn phần tử thì ta nói G có cấp vô hạn. Trong phần c ò n l ạ i của mục này, c h ú n g ta đ ư a ra m ộ t số ví d ụ về nhóm. 1.1.7. Ví dụ. Các tập hợp Z,Q, E,c với phép cộng thông thường là các n h ó m giao h o á n cấp v ô hạn. T ậ p hợp Q* c á c số hữu tỷ k h á c 0 (tập R* các số thực k h á c 0, tập c* c á c số phức k h á c 0) v ớ i p h é p n h â n thông thường là n h ó m giao h o á n cấp v ô hạn. 1.1.8. Ví dụ. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một phép í hể của X hay một ììoán vị của tập X là m ộ t song á n h từ X đến X . Kí hiệu S ( X ) là tập c á c p h é p t h ế của X. K h i đ ó S ( X ) c ù n g v ớ i p h é p hợp t h à n h các á n h xạ là m ộ t n h ó m v ớ i đ ơ n vị là á n h xạ đ ổ n g nhất l ỵ và nghịch đảo của phần tử / € S ( X ) là á n h xạ ngược / _ 1 của / . N h ó m S ( X ) được g ọ i là nhóm đối xíùĩg của X hay nhóm các phép thế của X. Khi X c ó n phần tử thì S ( X ) được kí h i ệ u là S . C á c p h ầ n tử n của s„ c ó thể đồng nhất v ớ i c á c song á n h từ tập { 1 , 2 , . . . , n} đến c h í n h n ó . C h ú ý rằng S n c ó cấp là nì và là n h ó m k h ô n g giao h o á n k h i n > 3. N ế u ri k h ô n g lớn, n g ư ờ i ta thường v i ế t m ỗ i phần tử s e Sn bằng c á c h liệt kê c á c phần tử X E { 1 , 2 , . . . , n } và c á c giá trị t ư ơ n g 4
ứng s(x). Chảng hạn, nếu n = 5 thì / 1 2 3 4 5\ 5 " \3 5 2 Ì ị ) là hoán vị của tập { Ì , 2 , 3 , 4 , 5 } xác định bời ,s(l) = 3,s(2) = 5, s(3) = 2, s(4) = Ì, s(5) = 4. M ộ t chu trình hay .vír/ỉ ( f l i f i • • • ã*) là một p h é p 2 t h ế s e s„, trong đ ó O i , . . . ,ajfc là các phần tử của tập { 1 , 2 , . . . , n } sao cho s ( f l i ) = a , s(a ) 2 2 = 0 , . . . , s ( a _ i ) = Ofc, s(a ) = Oi và 3 fc fc s(a) = ũ với m ọ i a Ì là một số tự nhiên. V ớ i m ỗ i ạ e li, kí hiệu ã = {b e z I a = 6 ( m o d m ) } là lớp tương đương của a theo quan hệ đồng dư theo m ô đ u n m , và Z m = { ã I a G Z } là tập các lớp tương đương. Chú ý rằng hai lớp 0,6 € Tru là bằng nhau nếu và chỉ nếu a-b chia hết cho m. M ỗ i phần tử của Z m được gọi là một lớp thặng dư theo môđun m hay một số nguyên moduìo va. (i) Trên Z m ta định nghĩa quy tắc cộng như sau: với m ọ i ã, 6 6 z m > ã + b = a + b. Quy tắc cộng như trên k h ô n g phụ thuộc vào việc chọn đ ạ i d i ệ n của các lớp tương đ ư ơ n g , tức là nếu ã = ã' và ĩ = b' thì ~ã+~b = a' + 6'. Vì t h ế n ó xác định một p h é p toán trên Z , g ọ i là p/íếp cộng c á c lớp m thặng dư hay p/ié/? cộng các số nguyên modulo ra. Hơn nữa, tập Z m cùng với p h é p cộng là một n h ó m giao hoán cấp m với phần tử k h ô n g 5
là 0 và phần tử đ ố i xứng của ã là -ã. N h ó m Z „ được g ọ i là r nhóm cộng các lớp thặng dư theo môđun ra hay nhóm cộng các số nguyên moduỉo ra. (ii) Trên Z m ta định nghĩa quy tắc n h â n n h ư sau: v ớ i m ọ i ã , ĩ) € z , m ã . b = ab. Quy tắc nhân như trên không phụ thuộc vào việc chọn đại diện của các lớp tương đương, và vì t h ế nó xác định một p h é p t o á n trên z , g ọ i m là phép nhân các ỉ('rp thặng dư hay phép nhân các số nguyên modulo m. Tập z „ , c ù n g với p h é p n h â n là vị n h ó m giao h o á n , n h ư n g k h ô n g là n h ó m . Chú ý rằng nếu ã = ỏ € z , „ thì g c d ( a , m ) = g c d ( f e , m ) , trong đ ó gcả(a,m) là ước chung lớn nhất của a và ra. V ì t h ế a và ni n g u y ê n tô c ù n g nhau nếu và chỉ nếu b và ni n g u y ê n tỏ c ù n g nhau. Do đ ó ta c ó thể đật z; = {ãez |gcd(a,m) = l}. m Tập z* là bộ phận ổn định của Z với phép nhân và cùng với phép m m toán này z* n là một n h ó m giao h o á n c ó cấp ip(m), trong đ ó íp là h à m Euler được định nghĩa như sau: (1) = 1; nếu ra > ĩ thì í f ( m ) là số c á c số n g u y ê n dương nhỏ hơn va và n g u y ê n t ố c ù n g nhau v ớ i ra. N h ó m z* n được g ọ i là nhóm nhân các lớp thặng dư theo môđun m nguyên tố với m. 1.1.10. Ví d ụ . Cho H là tập c á c đ i ể m của một h ì n h n à o đ ó . M ộ t p h é p t h ế s của H được g ọ i là một phép đẳng cự nếu v ớ i m ọ i M, N G H, khoảng c á c h giữa hai đ i ể m M,N bằng khoảng c á c h giữa hai đ i ể m s(M) s(N). T ậ p hợp c á c p h é p đ ẳ n g cự của h ì n h H l à m t h à n h m ộ t 6
n h ó m v ớ i p h é p hợp t h à n h c á c ánh xạ, và ta g ọ i n ó là nhóm các phép đẳng cự của H. G i ả sử H là tập các đ i ể m nằm trên chu vi một tam giác đ ề u v ớ i c á c đinh là Ì, 2,3. K h i đ ó đ ộ dài của m ỗ i cạnh là lớn nhất trong c á c đ ộ dài của các đoạn thảng nôi hai đ i ế m tuy ý trên H. Vì t h ế m ỗ i p h é p đảng cự của hình H đ ề u biến các đình thành các đính. Theo tiêu c h u á n này, ta có thể k i ế m tra được c ó đ ú n g 0 p h é p đảng cự cùa hình H, đ ó là 3 p h é p quay 120°, 2 4 0 ° , 3G0° với t â m quay là trọng t â m của tam giác đ ề u và chiều quay ngược k i m đồng h ồ ; và 3 p h é p đ ố i xứng qua 3 đường cao. N ế u ta đồng nhất các p h é p quay 120°, 2 4 0 ° , 360° ờ trẽn lần lượt với 3 p h é p t h ế (123), (132), (1); và đồng nhất 3 phép đ ỏ i xứng qua 3 đường cao đi qua các đỉnh 1,2,3 lần lượt với các p h é p thè (23). (13), (12) thì bảng toán n h â n của n h ó m các p h é p đấng cự của / / trùng v ớ i bảng toán n h â n cùa n h ó m các p h é p t h ế s . 3 1.1.11. Ví d ụ . Cho K là một trường. K í hiệu GL(n, K) là tập c á c ma trận v u ô n g cấp n khả nghịch với phần từ trong K. K h i đ ó GL(n, K) là một n h ó m v ớ i p h é p n h â n các ma trận. G i ả sử V là một khống gian véc tơ n chiều trên K. K í h i ệ u GL(V) là tập các tự đ á n g cấu t u y ế n tính của V. K h i đ ó GL(V) làm thành một n h ó m với p h é p hợp t h à n h các á n h xạ. N h ó m GL(V) được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát trên V. Chọn một c ơ sở s của V. K h i đ ó m ỗ i / E GL(V) xác định m ộ t ma trận A / ( / ) của / ứng với cơ sở s. Chú ý rằng A / ( / ) là ma trận v u ô n g cấp TI. V i / là đảng cấu nên A / ( / ) là ma trận khả nghịch. V ớ i f , g e GL(V), c h ú n g ta c ó thể k i ể m tra được ma trận hí {gỉ) của á n h xạ tích gỉ c h í n h là tích của ma trận M(g) của g và ma trận M { f ) của / . Vì t h ế ta c ó thể đ ồ n g nhất n h ó m tuyến tính tổng q u á t GL(V) với n h ó m n h â n c á c ma trận khả nghịch GL(n, Kị, 7
1.1.12. Ví d ụ . Cho {Gi} ia là m ộ t họ nhóm. Kí hiệu ĩl i = {(xỏiei ị Xi e Gi, VzG/}. G Với (Xi) (y ) e ỴịG định nghĩa (*,)
Clúmg minh. (i) Đ ã được chỉ ra trong mục 1.1. (li) Cho a,x,y e G. G i ả sử ax = ày. K h i đ ó a~ ax l = a~ ay. l Suy ra ex = ey hay X = y. Tương tự, nếu xa - ya thì X = y với m ọ i x, y e G. V ậ y a là chính quy. (iii) R õ ràng X = a~ b l là nghiệm của phương trình ax = b. Nếu c € G cũng là nghiệm của phương trình này thì ác = b, suy ra a ( a c ) = a ò , do đ ó c = a~ b. _ 1 _ 1 ỉ Tương tự, phương trình ya — b có nghiệm duv nhất. (iv) Vì éc = e nên ũ là nghịch đảo cùa e. Vì a~ (i l = e = sét - 1 nên a là nghịch đảo của („)¥ với m ọ i phép t h ế ự) của tập { 1 , 2 , . . . , n} và m ọ i a i , . . . ,a n e G. 9
(iii) a an m = a n + m và ( a ) n m = a n m v ớ i m ọ i a e G v à m ọ i n, m £ z . 1.2.4. C h ú ý. Trong trường hợp p h é p toán của n h ó m G được k í h i ệ u theo l ố i cộng, v ớ i m ỗ i số n g u y ê n Ti và m ỗ i phần t ử ã e G, ta định nghĩa bội Ti của mội phần tử a, k í h i ệ u là na, n h ư sau: Oa = 0. N ế u n > 0, đ ặ t na = ù + a + . . . + a (trong tổng c ó Tỉ hạng tử à). K h i n < 0, đặt na = (—ã) + (-à) + . . . + (—à) (trong tổng c ó -TI hạng tử —à). K h i đ ó v ớ i m ọ i a G G và m ọ i n , m e z ta c ó (na) + (ma) = (ri + m)a và n(ma) = (nm)a. Tiếp theo, chúng ta đưa ra một số điều kiện tương đương với định nghĩa n h ó m . 1.2.5. Đ ị n h lý. Cho G là một nửa nhóm khác rỗng. Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (i) G là một nhóm. (lì) Với mọi a, b G G, các phương trình ax = b và ya = b có nghiệm. (Hi) G có đơn vị trái, và íùig với dơn vị trái này mọi phần tử của G đều có nghịch đảo trái. Chíữig minh. (i)=>(ii) đ ã chứng m i n h trong B ổ đ ể 1.2.1(iii). ( i i ) = K i i i ) . D o G Ỷ 0 n ê n t ồ n t ạ i a e G. Theo g i ả thiết, p h ư ơ n g trình ax = a có n g h i ệ m trong G. G ọ i e G G là n g h i ệ m của p h ư ơ n g trình này. Cho b e G. G ọ i c là n g h i ệ m của p h ư ơ n g trình ax = b. K h i đ ó ế = ác. V ì t h ế eb = e(ac) — (ea)c = ác — b. D o đ ó e là đ ơ n vị trái của G. V ớ i m ỗ i a e G, n g h i ệ m của p h ư ơ n g trình ya = e là nghịch đ ả o trái của a. 10
(iii)=Ki). Cho a € G. G ọ i a' là nghịch đ ả o trái của a và g ọ i a" là nghịch đ ả o trái của a'. K h i đ ó aa' = e{aa!) = {a"á)(aa') = a"{áa)á = a"ea' = a"a' = e. Vì thê a' là nghịch đảo phải của ã. Ta lại có oe = a(áa) = (aá)a = ca = a với mọi a e G. Vì thế e là đơn vị phải của G. • Phần c u ố i của mục n à y d à n h đ ể trình b à y v ề n h ó m xyclic, m ộ t l o ạ i n h ó m c ó cấu trúc đ ẹ p nhất. 1.2.6. Đ ị n h nghĩa. C ho G là m ộ t n h ó m . G được g ọ i là nhóm xyclic nếu t ồ n t ạ i a e G sao cho m ỗ i phần từ của G đ ề u là m ộ t l ũ y thừa của a. Trong trường hợp n à y a được g ọ i là m ộ t phần tử sinh của G và ta viết G -< a > hay G = (à). N h ư vậy, G là n h ó m xyclic sinh bởi a n ế u G = {a n ị n e z}. 1.2.7. C h ú ý. G i ả sử p h é p toán của n h ó m G được k í h i ệ u theo l ố i cộng. K h i đ ó G là n h ó m xyclic nếu t ồ n t ạ i phần tử a G G sao cho m ỗ i phần tử của G đ ề u là b ộ i của a. N h ư vậy, G là n h ó m xyclic sinh bởi ã n ế u 6' = { n a I n G Z } . 1.2.8. V í d ụ . ( i ) N h ó m z c á c số n g u y ê n v ớ i p h é p cộng t h ô n g thường là n h ó m xyclic sinh b ở i Ì hoặc - 1 . N h ó m cộng Z m c á c lớp thặng d ư theo m ỏ đ u n Ui v ớ i p h é p cộng c á c lớp thặng d ư là n h ó m xyclic sinh bởi ĩ . (li) N h ó m Q v ớ i p h é p cộng t h ô n g thường k h ô n g là n h ó m x y c l i c . Thật vậy, g i ả sử Q là n h ó m xyclic sinh b ở i a/b v ớ i a, b e z , b Ỷ 0- K h i đ ó li
ũ Ỷ 0. Hem nữa a/2b phải là b ộ i của a/b, tức là t ồ n t ạ i TI £ z sao , a na c ^ = — . Suy ra Ì = 2 n . Đ i ề u n à y là v ô lí. h 0 1.2.9. B ổ đ ể . Giả sứ G =< a > lủ nhóm xyctỉc. Các phái biểu sau là đúng. (i) Nếu a n Ỷ " a 1 vài mọi TI / m thì G có cấp vô hạn. (lì) Nếu tổn tại n Ỷ m sao cho a ìl —a m thì G có cấp hữu hạn. Trong trường hợp này, tồn tại những số nguyên dương r sao cho a — e, và r cấp của G là số nguyên dương r nhỏ nhất sao cho a = e. r Chiêng minh. ( i ) Vì a n JẺ a™ v ớ i m ọ i ra 7^ m, ra, TI G z n ê n á n h x ạ / : z — > G cho bởi Ị {rì) = á" là song á n h . V ì t h ế G c ó c ấ p v ô h ạ n . (li) Vì TI Ỷ m nên n - m 7^ 0. D o a" = a m nên a ~ n m = e — a" ~ . l n Trong hai số n — m và m — ri ắt phải c ó m ộ t số n g u y ê n d ư ơ n g . D o đ ó , t ồ n t ạ i những số n g u y ê n d ư ơ n g r sao cho a r — e. G ọ i r là s ố n g u y ê n dương bé nhất c ó tính chất a = e. Ta thấy rằng c á c phần t ử r e,a, a , . . . , a2 r _ 1 là đôi m ộ t k h á c nhau. Thật v ậ y , n ế u a l — a với J 0 ^ i ^ j < r thì a J _ i = e và 0 ^ j - z < r, do đ ó theo c á c h c h ọ n của r ta c ó i = j. Bây g i ờ ta chứng minh G = {e,a,a ,. 2 . . ,a ~ }. r 1 Rõ ràng G D { e , a, a , . . . , a ~ }. 2 r 1 Cho b e G. K h i đ ó b = a k với k £ z. V i ế t k = rq + s trong đ ó ợ, s € z và 0 ^ s ^ r - 1. Ta c ó 6=a =a fc r là nhỏm xyclic v à 71 > 0 là một số nguyên. Các phát biểu sau là tương đương 12
(ì) G có cấp Tỉ. (li) ri là số nguyên dương bé nhất sao cho a n = e. (Ui) an = e và nếu a k = e thì k là bội cùa TI với mọi k e z . BÀI TẬP 1. (a) Hãy cho ví dụ về một vị nhóm mà không là nhóm; cho ví dụ về một nửa n h ó m m à k h ô n g là vị n h ó m . (b) Cho G là m ộ t nửa n h ó m và a,b e G. Chứng minh rằng nếu ab = ba thì (ab) n = ab n n v ớ i m ọ i Tỉ. 2. Chứng m i n h c á c tập hợp sau với p h é p toán đã cho l à m t h à n h m ộ t nhóm. (a) T ậ p hợp TÚI, c á c số n g u y ê n là b ộ i của ra v ớ i p h é p cộng (ra là sô n g u v ê n cho trước). (b) T ậ p hợp c á c số thực d ư ơ n g với p h é p n h â n . (c) T ậ p hợp c á c số phức có m ô đ u n bằng Ì với p h é p n h â n . (d) T ậ p c á c c ă n phức bậc Tì của đơn vị với p h é p n h â n (0 / n E N ) . (e) T ậ p c á c số hữu tỷ c ó dạng 2", Tì e z , với p h é p n h â n . (g) T ậ p { 1 , - 1 } v ớ i p h é p n h â n . (h) T ậ p các số thực c ó dạng a + bự3, a, ò G z v ớ i p h é p cộng. (i) Tập {a + by/3 : a, b € Q, a 2 + b Ỷ 0 } với p h é p n h â n . 2 (k) T ậ p c á c số phức c ó dạng ã + bi, a,b
(b) Tập các ma trận cấp va X ri với c á c phần tử là c á c số thực c ù n g với p h é p cộng ma trận (0 / m , n 6 N). (c) Tập các ma trận thực v u ô n g k h ô n g suy b i ế n cấp n v ớ i p h é p n h â n ma trận ( O / n G N). (d) Tập các đa thức có hệ số thực v ớ i p h é p cộng c á c đ a thức. (e) Tập g ồ m đa thức 0 và c á c đa thức bậc k h ô n g q u á Ti v ớ i p h é p cộng đa thức ( n là số tự nhiên cho trước). 4. H ã y lập bảng toán cho một tập X đê được những n h ó m v ớ i (a) X gồm 2 phần tử. (b) X g ồ m 3 phần tử. 5. Chứng minh rằng tích trực tiếp Gi X Gi X . . . X G n là giao h o á n khi và chỉ khi các n h ó m Gi, G , • • • , G 2 n là giao h o á n . 6. Cho m > 0 là một số tự n h i ê n . Chứng m i n h rằng (a) Tập z* m c á c lớp thặng d ư n g u y ê n t ố v ớ i m là m ộ t n h ó m v ớ i p h é p nhân các lóp thặng dư. (b) Hai phần tử nghịch đảo của hai phần tử k h á c nhau trong z* m là khác nhau. 7. Cho p là một số n g u y ê n tố. Sử dụng kết quả trong Bài tập 6(b) đ ố i với n h ó m nhân z* để chứng m i n h c á c tính chất sau trong số học: . a Ì Ì Ì (a) N ế u p > 2 và 7 = 7 + ^ + . . . + — — v ớ i a, b e z , a/b là 0 1 2 p — Ì phân số t ố i giản thì p là ước của a. . . . a i ! Ì (b) N ế u p > 3 và - = p + — + . . . + _ v ớ i a, b € z , a/6 là p h â n số t ố i giản thì p là ước của a. í s a 1 1 1 (c) N ế u p > 2 và - = — + — + . . . + _ 3 v ớ i a, 6 € z , a/ò là p h â n số t ố i giản thì p là ước của a. 8. Sử dụng kết quả trong Bài tập 6(b) đ ể chứng m i n h Đ ị n h lý W i l s o n : 14