Giáo trình Toán học (Nghề: Cơ khí - Trung cấp) - Trường Trung cấp nghề Kon Tum

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:84

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán học (Nghề: Cơ khí - Trung cấp) cung cấp cho người học những kiến thức như Phương trình và hệ phương trình; đạo hàm; đường thẳng và mặt phẳng trong không gian; vectơ trong không gian – quan hệ vuông góc trong không gian. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán học (Nghề: Cơ khí - Trung cấp) - Trường Trung cấp nghề Kon Tum

UBND TỈNH KON TUM TRƯỜNG TRUNG CẤP NGHỀ KON TUM ----  ---- GIÁO TRÌNH MÔN HỌC: TOÁN HỌC NGHỀ: CƠ KHÍ TRÌNH ĐỘ: TRUNG CẤP NGHỀ Ban hành kèm theo quyết định số:…………/QĐ…………………. Ngày ….. tháng năm …… của ………………. Kon tum, năm 2017 Lời giới thiệu
Lời nói đầu Toán học là một môn khoa học nghiên cứu về lượng, hình dạng không gian, cấu trúc, sự thay đổi. Môn học giúp chúng ta nhìn nhận thế giới một cách có cấu trúc, có quy luật chứ không phải là sự hỗn độn, sự ngẫu nhiên. Việc học toán giúp cung cấp những công cụ hữu ích cho việc học các môn học khác vì nó là môn học về sự định lượng, định dạng và nhìn ra cấu trúc và sự vận hành của những đối tượng cụ thể. Việc học toán sẽ trang bị cho học sinh cách tư duy, rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, sự cần cù chịu khó trong mọi vấn đề…Nói tóm lại việc học toán là cần thiết đối với sự phát triển tư duy và thái độ của học sinh, cũng như trang bị những kiến thức công cụ cần thiết để nắm bắt các môn khoa học khác và vận dụng trong các bài toán của thực tiễn. Chương trình học của môn toán đối với hệ Trung cấp Nghề trước đây là 360 tiết với nội dung là chương trình sách Toán 10, 11, 12. Áp dụng theo luật giáo dục nghề nghiệp hiện hành và theo yêu cầu của Nhà trường chương trình môn Toán của hệ Trung cấp Nghề đối với nhóm nghề Cơ khí rút gọn xuống còn 75 tiết nhằm giúp cho học sinh những kiến thức cần thiết nhất để các em nắm bắt các môn học chuyên nghành. Kiến thức nằm rải rác ở cả sách 10, 11, 12 do đó để thuận tiện cho học sinh có tài liệu học tập, tôi biên soạn giáo trình này. Giáo trình này kiến thức và bài tập phần nhiều là dựa trên sách giáo khoa 10, 11, 12 tuy nhiên sự trình bày có thể theo hình thức và ngôn ngữ của tác giả. Qua đây xin cảm ơn các đồng nghiệp đã đọc và cho những ý kiến đóng góp để giúp tôi hoàn thiện dần giáo trình. Đây là lần đầu tôi tham gia soạn giáo trình chắc chắn sẽ có nhiều sai sót, rất mong được sự góp ý của quý thầy cô cũng như các bạn học sinh để tác giả hoàn thiện hơn giáo trình này. Xin chân thành cảm ơn! 2
MỤC LỤC Lời giới thiệu ..................................................................................................... 02 PHẦN I – ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai ........................................ 07 Bài 2: Hệ phương trình ...................................................................................... 11 CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm ....................................................... 14 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm .............................................................................. 16 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác............................................................. 19 Bài 4: Vi phân .................................................................................................... 21 Bài 5. Đạo hàm cấp hai ..................................................................................... 22 CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài 1: Nguyên hàm ............................................................................................ 24 Bài 2: Tích phân ................................................................................................ 26 Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học ................................................. 30 PHẦN II. HÌNH HỌC CHƯƠNG 1. VECTƠ Bài 1: Các định nghĩa ........................................................................................ 34 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ ..................................................................... 35 Bài 3: Tích vectơ với một số ............................................................................. 39 Bài 4: Hệ trục tọa độ.......................................................................................... 40 CHƯƠNG 2. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Bài 1 : Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng .............................................. 43 Bài 2 : Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song .................. 48 Bài 3 : Đường thẳng song song mặt phẳng ....................................................... 51 Bài 4 : Hai mặt phẳng song song....................................................................... 53 Bài 5 : Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian .......... 57 3
CHƯƠNG 3. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 1 : Vectơ trong không gian ......................................................................... 60 Bài 2 : Hai đường thẳng vuông góc................................................................... 62 Bài 3 : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ................................................ 64 Bài 4 : Hai mặt phẳng vuông góc ...................................................................... 68 Bài 5 : Khoảng cách .......................................................................................... 72 CHƯƠNG 4. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU Bài 1 : Khái niệm về mặt tròn xoay .................................................................. 76 Bài 2 : Mặt cầu .................................................................................................. 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 84 4
GIÁO TRÌNH MÔN HỌC Tên môn học: TOÁN HỌC Mã môn học: Vị trí, tính chất, ý nghĩa và vai trò của môn học - Vị trí: Là môn học thuộc nhóm môn học đại cương trong chương trình đào tạo trình độ Trung cấp với đối tượng tuyển sinh là học sinh tốt nghiệp THCS. Được bố trí vào đầu học kỳ đầu tiên của khóa học. - Tính chất: Môn học nhằm trang bị cho học sinh kiến thức cần thiết để vận dụng kiến thức Toán học vào học tập các môn học chuyên ngành, vào trong nghề nghiệp và sản xuất. Mục tiêu của môn học - Về kiến thức: + Trình bày được phương pháp giải phương trình bậc nhất, bậc hai, hệ phương trình hai ẩn, ba ẩn; + Nêu những bài toán cơ học, vật lí,… dẫn đến sự xuất hiện khái niệm đạo hàm; + Đưa ra định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm và trên một khoảng, ý nghĩa hình học, cơ học, vật lí của đạo hàm; chứng minh các quy tắc tính đạo hàm + Trình bày được định nghĩa đạo hàm cấp hai, ý nghĩa cơ học của nó và khái niệm vi phân cùng với ứng dụng trong tính gần đúng; + Đưa vào khái niệm nguyên hàm nhằm giải bài toán ngược của phép tính đạo hàm hay phép tính vi phân. Trên cơ sở đó hình thành tích phân không xác định; + Trình bày được định nghĩa tích phân nhờ khái niệm nguyên hàm. Phát biểu và chứng minh các tính chất và cách tính tích phân + Trình bày những ứng dụng tích phân trong hình học. Hoàn chỉnh các công thức tính diện tích, thể tích của những hình trong chương trình toán; + Trình bày được kiến thức về vectơ và tọa độ. Làm quen với một mô hình cụ thể của không gian vectơ, một cấu trúc đại số quan trọng được dùng nhiều trong ngành toán học; 5
+ Làm quen với các đối tượng cơ bản mới của hình học không gian như điểm, đường thẳng, mặt phẳng; + Trình bày được khái niệm hai đường thẳng song song với nhau và hai đường thẳng chéo nhau trong không gian; + Trình bày được các định nghĩa và các dấu hiệu để nhận biết vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng; định nghĩa hai mặt phẳng song song; + Trình bày được định nghĩa phép chiếu song song và các tính chất của phép chiếu song song; + Trình bày được định nghĩa vuông góc của đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng, mặt phẳng với mặt phẳng và sử dụng điều kiện vuông góc của đưởng thẳng và mặt phẳng vào việc giải toán; - Về kỹ năng: + Giải thành thạo phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn; + Tính được đạo hàm bằng định nghĩa, bằng quy tắc, đạo hàm của các hàm số lượng giác; đạo hàm cấp hai của các hàm số; + Tính được vi phân của hàm số; + Vận dụng định nghĩa và các tính chất để tìm nguyên hàm, tích phân của hàm số; + Tính được diện tích, thể tích của các vật thể tròn xoay; + Chứng minh được hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song; + Chứng minh được hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc; + Tính được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng; - Về năng lực tự chủ và trách nhiệm: + Có khả năng tự học tập, rèn luyện + Vận dụng được những kiến thức toán đã học vào trong học tập các môn chuyên ngành và hướng dẫn những người khác cùng thực hiện 6
Nội dung của môn học PHẦN ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH Chương I: PHƯƠNG TRÌNH. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MỤC TIÊU - Trình bày được phương pháp giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn; - Giải thành thạo phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn. NỘI DUNG CHÍNH Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI I. Phương trình bậc nhất 1. Tìm một số mà hai lần số đó rồi thêm 5 bằng 21. 1. Định nghĩa Phương trình dạng ax + b = 0, với a, b là hai số đã cho a ≠ 0, được gọi phương trình bậc nhất một ẩn. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0 (a ≠ 0)  ax = -b [quy tắc chuyển vế]  x = -b/a [Quy tắc nhân] Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a) 4x – 20 = 0; b)2x + x + 12 = 0; c) x – 5 = 3 – x; d) 7 – 3x = 9 – x Giải a) 4x – 20 = 0 b)2x + x + 12 = 0  4x = 20  3x = – 12  x = 20 : 4 = 5  x =-12 : 3 = -4 Vậy tập nghiệm của phương trình S = Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-4} {5} c) x – 5 = 3 – x d) 7 – 3x = 9 – x x + x = 3 + 5  – 3x + x = 9 – 7  2x = 8  -2x = 2  x=8:2=4  x = 2 : (-2) = -1 Vậy tập nghiệm của phương trình S = Vậy tập nghiệm của phương trình S = {- {4} 14} 2. Giải các phương trình sau 7
1. x + 2 = 7 – x 2. 3(2x + 1) = 5 3. 4[3 – (x + 2)2 – x] = 4x -1 Chú ý: Ngoài sử dụng ẩn là chữ x ta cũng có thể sử dung các chữ cái khác, chẳng hạn chữ t, m, u,… 3. Giải các phương trình sau a) 2t + 1 = 3t – 2 (Phương trình với biến số là t) b) 3 – 2m = 1 + 5(3m – 7) (Phương trình với biến số là m) 2. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất Ví dụ 3. Giải các phương trình sau 2 x  1 5x  2 a.   1 ; b. 3  5x  2 x  7 3 4 Giải 2 x  1 5x  2 8 x  4 15 x  6 12 2 a.  1     8 x  4  15 x  6  12  7 x  2  x   3 4 12 12 12 7 b. 3  5x  2 x  7 3 Trường hợp 1 : 3  5 x  0  x  . Khi đó phương trình trở thành 5 4 3  5x  2 x  7  x   (thỏa mãn) 7 3 Trường hợp 2: 3  5 x  0  x  . Khi đó phương trình trở thành 5 10 3  5 x  2 x  7  x  ( không thỏa mãn) 3 4 Vậy phương trình có nghiệm: x   . 7 4. Giải các phương trình sau 4x  5 x  2 a.   7, b. 2 x  1  6  3 x 2 5 Ví dụ 4. Cho phương trình : (m – 1)x + 2m + 5 = 0 (*) a) Giải phương trình khi m = 3. b) Xác định m để phương trình có nghiệm là -3. c) Xác định m để phương trình vô nghiệm. Giải a) Khi m = 3 : (*) trở thành : (3 – 1)x + 2.3 + 5 = 0  2x + 11 = 0  2x = – 11 8
11 x =  2 Vậy tập nghiệm của phương trình là S =   . 11    2 b) Để phương trình có nghiệm là -3 thì : (m – 1)(-3) + 2m + 5 = 0  -3m + 3 + 2m + 5 = 0  -m = -8  m=8 Vậy với m = 8 thì phương trình có nghiệm là -3. c) (m – 1)x + 2m + 5 = 0 (*)  (m – 1)x = – 2m – 5 (*) Nếu (m – 1) = 0  m = 1thì phương trình : 0.x = -5 (vô lí) => phương trình vô nghiệm 2m  5 Nếu (m – 1) ≠ 0  m ≠ 1thì phương trình có nghiệm x = . m 1 Vậy phương trình vô nghiệm khi m = 1. 5. Cho phương trình : (2m + 3)x – 5 + 4m = 0 a) Giải phương trình khi m = -1 . b) Xác định m để phương trình có nghiệm là 2. c) Xác định m để phương trình vô nghiệm. II. Phương trình bậc hai 6. Giải các phương trình a.( x  3) 2  4 b.x 2  6 x  5  0 c.x 2  4 x  21  0 1. Định nghĩa Phương trình có dạng ax  bx  c  0 , trong đó a, b, c là các hệ số cho trước 2 a0 . Cách giải   b 2  4ac b   b     0 : x1  , x2  2a 2a b   0 : x1  x2  2a   0 : phương trình vô nghiệm Ví dụ 5. Giải các phương trình sau a) 2x2 – 7x + 3 = 0; b) 6x2 + x + 5 = 0; e) y2 – 8y +16 = 0 Giải 9
a) 2x2 – 7x + 3 = 0 Ta có : a = 2 ;b = -7; c = 3 Δ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.2.3 = 25 > 0 =>   5 Phương trình có hai nghiệm : b   7  5 x1   3 2a 2.2 b   7  5 1 x1    2a 2.2 2 b) 6x2 + x + 5 = 0 Ta có : a = 6 ; b = 1; c=5 Δ = b – 4ac = (1) – 4.6.5 = -119 < 0 2 2 Phương trình vô nghiệm. e)y2 – 8y +16 = 0 Ta có : a = 1 ;b = -8; c = 16 Δ = (-8)2 – 4.1.16 = 0 b 8 Phương trình có nghiệm kép : y1  y2   4. 2a 2 7. Giải các phương trình sau a. x  5x  6  0; 2 b.  x 2  10 x  25  0; c. y 2  3 y  8  0 Chú ý. Nếu phương trình bậc hai có a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là 1 và c c , nếu a – b + c = 0 phương trình có nghiệm là -1 và  . a a Ví dụ 6. Phương trình 2 x  3 x  5  0 có hệ số a + b + c = 0 nên phương trình có 2 5 nghiệm là 1 và . 2 2. Hệ thức viet Định lí. Phương trình bậc hai ax  bx  c  0 có 2 nghiệm, khi đó 2 b c x1  x2  , x1.x2  . a a Ví dụ 7. Phương trình 3 x  x  5  0 có   61  0 , nên phương trình có hai 2 1 5 nghiệm phân biệt và tổng hai nghiệm là  , tích hai nghiệm là  . 3 3 Nhận xét. Hai số có tổng là S, có tích là P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x  Sx  P  0 . 2 Ví dụ 8. Tìm hai số biết tổng của chúng bẳng -8 và tích của chúng 15. Giải Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x  8 x  15  0 . Do đó hai số đó là -3 và 2 -5. 8. Tìm hai số biết tổng của chúng bẳng 6 và tích của chúng -36. 10
Bài tập Bài 1. Giải các phương trình a) 2x +1 = 2(x – 1) + 5 b) 5(x – 2) + 6 = 7x – 2(x + 2) a) |3x – 2| = 2x + 3 b) |2x -1| = |-5x – 2| Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m a) m(x - 2) = 3x + 1; b) m2x + 6 = 4x + 3m; c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2. Bài 3. Giải các phương trình bậc hai sau x2 - 12x + 27 = 0 2x2 + 3x + 1 = 0 x2 - 4x + 4 = 0 x2 + x + 1 = 0 Bài 4. Cho phương trình : mx2  6  m 1 x  9  m  3  0 Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  x1.x2 . Bài 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn Hỏi có bao nhiêu con gà? Bao nhiêu con chó? Định nghĩa a1 x  b1 y  c1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là  a2 x  b2 y  c2 Trong đó x, y là ẩn số, chữ còn lại là hệ số. Nếu cặp số  x0 ; y0  là nghiệm của cả hai phương trình thì được gọi là một nghiệm của hệ. Giải hệ phương trình là đi tìm tập nghiệm của nó. Cách giải - Phương pháp thế: là rút một ẩn từ phương trình này thế vào phương trình kia. - Phương pháp cộng: nhân hai vế của phương trình với cùng một số sao cho khi cộng hai phương trình (cộng theo vế) thì thu được phương trình mới chỉ có một ẩn. 11
2 x  3 y  600 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  .  x  2 y  350 Cách 1. Phương pháp thế 2 x  3 y  600 2 x  3 y  600 2(350  2 y)  3 y  600  y  100      x  2 y  350  x  350  2 y  x  350  2 y  x  150 Cách 2. Phương pháp cộng 2 x  3 y  600 2 x  3 y  600 2 x  3 y  600  y  100   2      x  2 y  350  x  2 y  350 2 x  4 y  700  x  150 2. Giải các hệ phương trình sau 3x  y  1 3x  4 y  11 a.  b.  x  2 y  5 4 x  3 y  10 Ý nghĩa hình học 2 x  y  4(1) 3. Cho hệ phương trình  . Từ phương trình (1), (2) hãy biểu diễn y  x  y  1(2) theo x và vẽ đồ thị hai hàm số trên một mặt phẳng tọa độ. Rút ra vị trí tương đối của hai đường thẳng đó. Nhận xét Mỗi phương trình của hệ cho ta một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ. Số nghiệm của hệ phụ thuộc vào vị trí tương đối của hai đường thẳng đó. Hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau tương ứng khi chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm. 4. Không giải, hãy nhận xét số nghiệm của hệ phương trình sau 2 x  y  5 x  y  2 3x  9 y  5 a.  ; b.  ; c.  . x  2 y  3 2 x  4 y  3  x  3 y  15 2. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Định nghĩa Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là a1 x  b1 y  c1 z  d1  a2 x  b2 y  c2 z  d 2 a x  b y  c z  d  3 3 3 3 Trong đó x, y, z là các ẩn; các chữ còn lại là hệ số. Mỗi bộ ba ( x0 ; y0 ; z0 ) nghiệm đúng cả ba phương trình được gọi là một nghiệm của hệ phương trình. 5. Tìm nghiệm của các hệ phương trình sau 12
2 x  y  z  3 3x  y  z  0  x  y  z  4    a.  2y  z  7 b.  2 y  3z  5 c. 2 x  y  3z  6  2z  6  y  2 z  1  3x  2 y  z  5    Từ đó rút ra cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. x  3 y  2z  8 Ví dụ 2. Giải phương trình sau 2 x  2 y  z  6 .  3x  y  z  6  Giải x  3 y  2z  8 x  3 y  2z  8 x  3 y  2z  8 x  1     2 x  2 y  z  6    4 y  3z  10    4 y  3z  10   y  1 3x  y  z  6   8 y  5 z  18  z2 z2     6. Giải các hệ phương trình sau Bài tập Bài 1. Giải các hệ phương trình 4 x  2 y  3 2 x  3 y  5 3x  4 y  2  0 2 x  5 y  3 1)  2)  3)  4)  6 x  3 y  5 4 x  6 y  10 5 x  2 y  14 3x  2 y  14  x 5  (1  3 ) y  1 x 2 0,2 x  0,1y  0,3  5)   6)  7)  y 3  (1  3 ) x  y 5  1  3x  y  5  x  y  10  0  mx  y  2m(1) Bài 2. Giải và biện luận hệ phương trình:  4 x  my  m  6(2) mx  4 y  9 Bài 3. Cho hệ phương trình:   x  my  8 a) Giải hệ phương trình khi m = 1 b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm Bài 4. Giải các hệ phương trình  x  y  z  11  x  2 y  z  1   a. 2 x  y  z  5 b. 2 x  y  z  3 3x  2 y  z  24  x  3 y  2 z  4   Chương II: ĐẠO HÀM MỤC TIÊU - Nêu những bài toán cơ học, vật lí,… dẫn đến sự xuất hiện khái niệm đạo hàm; 13
- Đưa ra định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm và trên một khoảng, ý nghĩa hình học, cơ học, vật lí của đạo hàm; chứng minh được các quy tắc tính đạo hàm - Trình bày được định nghĩa đạo hàm cấp hai, ý nghĩa cơ học của nó và khái niệm vi phân cùng với ứng dụng trong tính gần đúng. - Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm giải được các bài toán cơ bản. NỘI DUNG CHÍNH Bài 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 1. Đạo hàm tại một điểm 1. Một xe lửa chuyển đổng theo công thức s  t với quãng đường s tính bằng 2 đơn vị mét và thời gian t tính bằng đơn vị giây. a. Tính vận tốc trung bình của xe lửa trong các khoảng thời gian sau. Từ 1 giây đến 3 giây; Từ 2 giây đến 3 giây; Từ 2,99 giây đến 3 giây b. Trong các khoảng thời gian ở câu a khoảng thời gian nào sẽ phản ánh gần đúng vận tốc tại thời điểm 3 giây? c. Biểu diễn công thức vận tốc trung bình trong khoảng thời gian t;3 . d. Tính giới hạn của biểu thức ở câu c khi t  3 . Nêu ý nghĩa của con số đó. Định nghĩa 1. Một vật chuyển động với công thức s  f (t ) với f (t ) là một hàm theo f  t   f  t0  thời gian t. Khi đó giới hạn t t lim nếu tồn tại hữu hạn được gọi là vận tốc 0 t  t0 tức thời của vật tại thời điểm t0 . Kí hiệu v t0  f  t   f  t0  v  t0   lim t t0 t  t0 Định nghĩa 2. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng  a; b  , x0   a; b  . Nếu tồn tại f  x   f  x0  giới hạn( hữu hạn) xlim thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số x 0 x  x0 y  f ( x) tại x0 , kí hiệu f ' ( x0 ) (hoặc y '( x0 ) ) f ( x)  f ( x0 ) f ' ( x0 )  lim x x 0 x  x0 Ví dụ 1. Cho hàm số y  x , tính y '(1), y '(2) . 3 Giải 14
y ( x)  y (1) x3  13 ( x  1)( x 2  x  12 ) Ta có lim  lim  lim  3 . Do đó y '(1)  3 . x 1 x 1 x 1 x  1 x 1 x 1 y ( x)  y (2) x3  (2)3 ( x  2)  x 2  2 x  (2) 2     12 .Do đó y '( 2)  12 . lim  lim  lim x 2 x2 x 2 x2 x 2 x2 2. Cho hàm số y  2 x 2 , tính y '(1), y '(3) . Quy tắc tính đạo hàm Bước 1. Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x0 ,tính ∆y = f(x0+∆x)- f(x0); Bước 2. Lập tỉ số ; Bước 3. Tính . Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y   x2  2 x tại x0  2 . Giải Giả sử x là số gia của đối số tại x0  2 . Ta có y    2  x   2(2  x)  (22  2.2)  2x   x   x(2  x) 2 2 y  2  x x y lim  lim (2  x)  2 x 0 x x 0 Vậy y '(2)  2 . 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm chỉ ra a. y  x 2  1, x0  1 b. y  3 x  5, x0  4 1 c. y  , x0  2 x Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại x0 . Khi đó tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f ( x) tại điểm M ( x0 ; f ( x0 )) có phương trình là y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) . Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y  f ( x)  x3  3x  2 tại điểm M (1; 0) . Giải Ta có f '(1)  0 . Dễ thấy điểm M thuộc đồ thị hàm số y  f ( x) . Do đó ta có phương trình tiếp tuyến của đường cong cần tìm là y  0  f '(1)( x  1)  y  0 . 15
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y  f ( x)  x3  3x  2 tại điểm M (0; 2) . 2. Đạo hàm trên một khoảng 5. Tính đạo hàm của hàm số y  x tại điểm x0 bất kỳ. Có nhận xét gì về đạo 2 hàm của hàm số đó? Định nghĩa. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm với mọi x0  (a; b) . Khi đó hàm y  f ( x) gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) . Ví dụ. Hàm số y  x có đạo hàm trên và ( x 2 ) '  2 x . 2 Bài tập Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra a. y  3 x  2, x 0  3 b. y  x 2  x, x0  1 c. y  x 3  1, x0  2 Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y  f ( x)  x 2  3x  2 tại điểm M (0; 2) .  x 2 , x  0 Bài 3. Hàm số y = f(x) =  không có đạo hàm tại điểm x = 0. x , x  0 Bài 2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp 1. Tính đạo hàm của hàm số y  x2 , y  x3 tại điểm x0 bất kỳ. Từ đó dự đoán đạo hàm của hàm số y  xn (n  , n  1) . Định lí 1. Hàm số y  xn (n  , n  1) có đạo hàm với mọi x  và  x   n.x n ' n 1 Nhận xét. Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: c '  0 . Đạo hàm của hàm số y  x bằng 1: x '  1 . 2. Tính đạo hàm của hàm số y  x tại điểm x0 dương tùy ý.  x   21x . ' Định lí 2. Hàm số y  x có đạo hàm với mọi x dương và 2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương 16
Định lí 3. Cho u  u ( x), v  v( x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có u  v   u '  v' '  uv   u 'v  uv ' '  u  u v  uv ' ' '    ,v  0 v v2 Lưu ý  u1  u2  ...  un   u1'  u2  ...  un . ' ' ' Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau a. y  x 4  x  5 b. y  6 x 5 3x  2 c. y  3  4x Giải a. y '  ( x  x  5) '  ( x ) ' x ' 5 '  4 x 3  1 4 4 b. y '  (6 x 5 ) '  6 ' x 5  6( x 5 ) '  6.5 x 4  30 x 4  3 x  2  (3 x  2) '(3  4 x)  (3 x  2).(3  4 x) ' ' 17 c. y '       3  4x  (3  4 x) (3  4 x) 2 2 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau a. y  x 6  x  1 b. y  3x 7 x4 c. y  2  7x Hệ quả  ku   ku ' ' ' 1 1    2 v v 3. Đạo hàm của hàm hợp Ví dụ 2. Hàm số y  ( x 2  2)4 là hợp của hàm số y  u và hàm số u  x  2 . 4 2 Ta thấy ở ví dụ trên hàm y là một hàm của biến u còn u lại là một hàm của biến x. Việc tính đạo hàm của hàm y theo biến u và tính đạo hàm của hàm u theo biến x là dễ dàng thực hiện. Vậy đạo hàm của y theo biến x có liên hệ gì với hai đạo hàm đó? Định lí 4. Nếu hàm u  g ( x) có đạo hàm tại x là u x' , hàm y  f (u ) có đạo hàm tại u là yu thì hàm hợp y  f ( g ( x)) có đạo hàm tại x là y x  yu .u x ' ' ' ' 17
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y  ( x 2  2)4 . Giải yu  4u 3 , u ' ux  2 x, x ' yx  yu .ux  4u 3 .2 x  8 x.( x 2  2)3 , x ' ' ' Vậy y '  8x.( x2  2)3 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau a. y  ( x 3  2)5 b. y  3 x 2  1 Bài tập Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau : 1/ y  x 6  x  3 1 2/ y  6 x5  2 x 2 x 3/ y  x 1 2 4/ y   2 x  3 3 5/ y  1  5 x 6/ y   x  2 x3  2 1 7/ y  1  5x 2 8/ y  2 x5   3 x 6 x 2 x3 4 x 2 9/ y     17 2 3 5 10/ y   x 2  1 5  3x 2  x2 1 11/ y  2x 3 12/ y   m  2  với m , n là các hằng số n    x  x3 13/ y  2 2 với a là hằng số a x 18
1 x 14/ y  1 x Bài 2. Cho hàm số y  x3  3x 2  2 . Tìm x để : a/ y  0 b/ y  3 Bài 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin x 1. Giới hạn của x sin x 1. Tính giá trị của hàm số y  tại x  0, 001; x  0, 0001. Dự đoán về giá trị của x hàm số khi x tiến dần về 0. sin x Định lí 1. lim x 0 1. x 2. Đạo hàm của hàm số y  sin x sin x  sin x0 2. Tính xlim x 0 x  x0 Định lí 2. Hàm số y  sin x có đạo hàm với mọi x thuộc R và  sin x   cos x ' Chú ý. Nếu y  sin u và u  u ( x) thì (sin u )'  u ' .cosu .  Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y  sin(3x  ). 5 Giải       ' '  Ta có y '   sin(3x  )   cos(3x  ). 3x    3cos(3x  ) .  5  5  5 5  3. Tính đạo hàm của hàm số y  sin( x 2  ) . 3 3. Đạo hàm của hàm số y  cosx 4. Nêu mối liên hệ giữa hai cung phụ nhau. Từ đó hãy tính đạo hàm của hàm số y  cos x . Định lí 3. Hàm số y  cos x có đạo hàm với mọi x thuộc R và  cos x    sin x ' Chú ý. Nếu y  cosu và u  u ( x) thì (cosu )'  u ' .sin u 19
 Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y  cos(2 x  ) . 4 Giải       ' '  Ta có y '   cos(2 x  )    sin(2 x  ). 2 x    2sin(2 x  )  4  4  4 4  5. Tính đạo hàm của hàm số y  cos 2 (5 x  ) . 4 4. Đạo hàm của hàm số y  tan x 6. Biểu thị công thức liên hệ của tan x theo sin x, cos x . Sau đó tính đạo hàm của hàm số y  tan x .  1 Định lí 4. Hàm số y  tan x có đạo hàm với mọi x  và  tan x   '  k , k  2 cos 2 x ' Chú ý. Nếu y  tan u và u  u ( x) thì (tan u)'  u 2 . cos u Ví dụ 4. Tính đạo hàm của hàm số y  tan( x3  2 x) . Giải 3x 2  2 Ta có y '   tan( x3  2 x)   ' 1 .( x 3  2 x)'  . cos 2 ( x3  2 x) cos 2 ( x3  2 x) 7. Tính đạo hàm của hàm số y  3sin x  2cos x  tan 2 x 5. Đạo hàm của hàm số y  cot x 8. Biểu thị mối liên hệ giữa cot x và tan x . Sau đó tính đạo hàm của hàm số y  cot x . 1 Định lí 5. Hàm số y  cot x có đạo hàm với x  k , k  và  cot x    ' sin 2 x u' Chú ý. Nếu y  cot u và u  u ( x ) thì (cot u )   2 ' sin u Ví dụ 4. Tính đạo hàm của hàm số y  cot( x  2 x 2 ) . 4 Giải 4 x3  4 x Ta có y '   cot( x  2 x )    2 2 ' 1 4 ( x  2 x )'  4 2 sin ( x 4  2 x 2 ) sin 2 ( x 4  2 x 2 ) 9. Tính đạo hàm của hàm số y  cot 4 ( x  5) . Bài tập 20