GiáotrìnhVitíchphân2BộmônGiảitích(KhoaToán-Tinhọc,TrườngĐạihọcKhoahọcTựnhiênĐạihọcQuốcgiaThànhphốHồChíMinh)Bảnngày7tháng2năm2023
MụclụcGiớithiệu11Phéptínhviphâncủahàmnhiềubiến41.1KhônggianRn..............................41.1.1Vectơ,điểm,chiềudài,khoảngcách,tíchtrong........51.1.2HìnhhọctrongRn........................101.1.3TậpmởvàtậpđóngtrongRn..................161.2Hàmsốnhiềubiến............................191.2.1Giớihạncủahàmsố.......................211.2.2Hàmsốliêntục..........................221.3Đạohàmcủahàmsố...........................271.3.1Đạohàmriêng..........................271.3.2XấpxỉtuyếntínhvàMặtphẳngtiếpxúc...........281.3.3Đạohàmriêngcấpcao......................331.4Cáctínhchấtcủađạohàm.......................361.4.1Đạohàmcủahàmhợp......................361.4.2Đạohàmtheohướng.......................391.4.3Đạohàmcủahàmvectơ.....................421.4.4Đạohàmcủahàmẩn......................471.5Cựctrịcủahàmsốnhiềubiến......................551.5.1Cựctrịkhôngcóràngbuộc...................561.5.2Cựctrịcóràngbuộc.......................661.5.3Giátrịlớnnhấtvànhỏnhất..................702Tíchphâncủahàmnhiềubiến772.1Địnhnghĩavàtínhchấtcủatíchphânbội...............772.1.1Tíchphântrênhìnhhộp....................782.1.2Tíchphântrêntậptổngquát..................812.1.3Thểtích..............................822.1.4Tínhchấtcủatíchphân.....................852.2CôngthứcFubini.............................872.2.1CôngthứcFubinichomiềnphẳng...............91ii
MỤCLỤCiii2.2.2CôngthứcFubinichomiềnbachiều..............922.3Côngthứcđổibiến...........................1002.3.1Tọađộcực............................1032.3.2Tọađộcầu............................1052.3.3Giảithíchcôngthứcđổibiến..................1082.4Ứngdụngcủatíchphânbội.......................1142.4.1Giátrịtrungbình........................1142.4.2Tâmkhốilượng.........................1152.4.3Xácsuấtcủasựkiệnngẫunhiên................1163Giảitíchvectơ1223.1Tíchphânđường.............................1223.1.1Chiềudàicủađườngđi.....................1223.1.2Tíchphânđườngloạimột....................1243.1.3Tíchphânđườngloạihai....................1263.1.4Sựphụthuộcvàođườngđi...................1283.2CôngthứcNewton–LeibnizvàCôngthứcGreen............1343.2.1Trườngbảotoàn.........................1343.2.2CôngthứcGreen.........................1373.2.3Điềukiệnđểtrườngvectơphẳnglàbảotoàn.........1413.3Tíchphânmặt..............................1513.3.1Diệntíchmặt..........................1523.3.2Tíchphânmặtloạimột.....................1533.3.3Tíchphânmặtloạihai......................1533.3.4Địnhhướngmặtvàsựphụthuộcvàothamsốhóa......1553.4CôngthứcStokesvàCôngthứcGauss–Ostrogradsky.........1613.4.1CôngthứcStokes........................1613.4.2CôngthứcGauss–Ostrogradsky.................1674Phươngtrìnhviphân1774.1Phươngtrìnhviphânvàmôhìnhtoánhọc..............1774.1.1Môhìnhvớiphươngtrìnhviphâncấpmột..........1794.1.2Môhìnhvớiphươngtrìnhviphâncấphai...........1824.2Giảiphươngtrìnhviphâncấpmột...................1854.2.1Phươngtrìnhviphâncấpmộttáchbiến............1854.2.2Phươngtrìnhviphâncấpmộtđẳngcấp............1884.2.3Phươngtrìnhviphâncấpmộttuyếntính...........1914.3Giảiphươngtrìnhviphâncấphai...................2004.3.1Phươngtrìnhviphâncấphaituyếntínhthuầnnhấtvớihệsốhằng................................2004.3.2Phươngtrìnhcấphaituyếntínhkhôngthuầnnhấthệsốhằng204Tàiliệuthamkhảo211
ivMỤCLỤCChỉmục213
GiớithiệuĐâylàgiáotrìnhchocácmôntoánVitíchphân2chokhốiBvàC(cácngànhngoàitoán)doBộmônGiảitích(KhoaToán-Tinhọc,TrườngĐạihọcKhoahọcTựnhiên,ĐạihọcQuốcgiaThànhphốHồChíMinh)chủtrìbiênsoạn.•Thamgiabiênsoạn:LýKimHà,NguyễnVũHuy,BùiLêTrọngThanh,NguyễnThịThuVân,HuỳnhQuangVũ•Thamgiasửalỗi:LêVănChánh•ThamgiađánhmáyLaTeX:HồThịKimVân•Thamgiavẽhình:NguyễnHoàngHải•Biêntập:HuỳnhQuangVũ(từ9/2016–nay,liênhệ:hqvu@hcmus.edu.vn)TàiliệunàycótrêntrangwebcủaBộmônGiảitíchởđịachỉhttps://sites.google.com/view/math-hcmus-edu-vn-giaitichGiáotrìnhđangđượctiếptụcxâydựng.Ngườiđọcvuilònggởigópývềchongườibiêntậptheođịachỉtrên.ĐốitượngcủagiáotrìnhSinhviêncácngànhkhoahọcdữliệu,nhómngànhmáytínhvàcôngnghệthôngtin,điệntử-viễnthông,hảidương,khoahọcvậtliệu,vậtlý(môntoánB)vàđịachất,hóahọc,môitrường,sinhhọc,côngnghệsinhhọc,…(môntoánC).Sinhviênngànhtoáncũngcóthểdùnggiáotrìnhnàylàmtàiliệuthamkhảo.MụctiêucủagiáotrìnhGiáotrìnhnhằmdùnglàmtàiliệugiảngvàhọcphéptínhviphânvàphéptínhtíchphâncủahàmnhiềubiến,vớitrìnhđộtươngđồngvớimộtsốgiáotrìnhvitíchphânphổbiếnquốctếnhư[Ste16],sátvớichươngtrìnhđàotạohiệnhànhcủaTrườngĐạihọcKhoahọcTựnhiên-ĐạihọcQuốcgiaThànhphốHồChíMinh.Mụctiêuchínhgồm:trangbịhiểubiếtkhoahọcđạicương,rènluyệnkhảnăngtưduychính1