Giới hạn dãy số (Bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông)

Chia sẻ: Võ Quang Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

771
lượt xem 83
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giúp các em trung học phổ thông hiểu thêm về giới hạn dãy số và nâng cao kiến thức dãy số, mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu "Giới hạn dãy số". Hy vọng nội dung tài liệu là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giới hạn dãy số (Bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông)

Lời giới thiệu Tài liệu này được viết nhằm hai mục đích. Thứ nhất là nhắc lại các kiến thức về giới hạn dãy số để người đọc ham khảo khi cần thiết. Thứ hai là một vài bài tập nhằm phục vụ cho mục đích nâng cao và ôn thi HSG cấp Tỉnh. Các bài tập mẫu dưới dạng ví dụ được giải chi tiết và có những ghi chú thêm khi cần thiết. Để rèn luyện kỹ năng giả toán các em học sinh nên có gắng tự giải, khi thật cần hãy tham khảo phần hướng dẫn để kiểm tra. Các bạn nên chú ý đến phần lập luận đi đến lời giải. Xin được trận trọng cảm ơn và mong bạn đọc gần xa góp ý bổ sung cho tài liệu được hoàn thiện. “Thay thái độ, đổi cuộc sống” TP. Huế, tháng 11 năm 2015 1
Mục lục Lời giới thiệu........................................................................................................................................... 1 DÃY SỐ .................................................................................................................................................. 3 A. Kiến thức bổ sung .......................................................................................................................... 3 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ..................................................................................................................... 5 B. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ............................................................................................................... 5 C. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA .............................................................................................................. 6 Loại 1: Sử dụng phương trình đặc trưng tìm dạng tổng quát của dãy số ........................................ 6 Loại 2 : Tìm giới hạn dãy số nhờ định nghĩa .................................................................................. 7 Loại 3: Sử dụng định lý 3 để tính giới hạn...................................................................................... 7 Loại 4: Sử dụng định lý kẹp để tính giới hạn ................................................................................ 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................................... 27 2
DÃY SỐ A. Kiến thức bổ sung Cách tìm công thức công thức tổng quát bằng phương trình đặc trưng Bài 1 Cho a, b, p,q thỏa mản điều kiện p 2  4q  0 Dãy số un  được xác định như sau : u1  a; u2  b  un  2  pun 1  qun , n  1, 2,... Tìm un Bài giải: Xét phương trình đặc trưng : x2  px  q  0 (1) Ta có   p2  4q  0 ( theo giả thiết ) . Vậy (1) có hai nghiệm x1 , x2 Lúc đó : un   x1n   x2n , n  1, 2,... với  ,  là hai nghiệm của hệ phương trình :  x2  ax2  b    u1  a  x1   x2  a  p  x1  x2     2   u2  b  x1   x2  b    x1  ax1  b  2  p  x1  x2   Vậy số hạng tổng quát của un là : x2  ax2  b  n x1  ax1  b  n un  x1  x2 , n  1, 2,... p  x1  x2  p  x1  x2  Chú ý : Người ta gọi phương trình x2  px  q  0 là phương trình đặc trưng của của dãy un  nói trên Bài 2 Dãy un  xác đinh như sau : u1  u2  1  un  2  un 1  un , n  1, 2,... Hãy xác định un Bài giải 3
1 5 1 5 Phương trình đặc trưng của dãy có dạng : x 2  x  1  0  x1  ; x2  2 2 n n  1 5   1 5  Suy ra : un         . Trong đó  ,  xác định như sau  2   2   1 5 1 5  1   1    2 2 5  2 2     1  5     1  5   1   1    2     2         5 n n 1  1  5  1 1 5   un       5 2  5  2  n n 1  1  5  1 1 5  Vậy un       , n  1, 2,... 5 2  5  2  Bài tập tự giải:  Cho dãy un  xác định như sau: u1  2, u2  5  Tìm un un  2  5un 1  6un , n  1, 2,...  Cho dãy số un  xác định nhứ sau: u0  2   un 1  3un  8un  1 , n  1, 2,... 2  Tìm công thức tổng quát của số hạng un  Cho dãy số un  xác định nhứ sau:  3 u0   3  u 2 3 un 1  n , n  0,1,...    1  3  2 un Tìm u2015 4
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ B. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa : Dãy số un  gọi là có giới hạn bằng a , và kí hiệu lim un  a , nếu như   0 , tồn tại n  số n0 sao cho n  n0 , thì un  a   2. Các phép tính về giới hạn : Giả sử lim un  a ; lim vn  b thì : n  n  a) lim n   un  vn   lim n un  lim vn  a  b n b) lim n   un .vn   lim n  un .lim vn  a.b n  lim un un a c) nếu b  0 , thì lim n  v  n  n lim vn b n  3. Các định lý cơ bản : Định lý 1: Nếu un  vn n , và tồn tại lim un  a ; lim vn  b thì a  b n  n  Định lý 2 : Dãy un  được gọi là bị chặn nếu M  0, un  M n Định lý 3:  Nếu un  là dãy đơn điệu tăng, và bị chặn trên thì tồn tại giới hạn lim un n   Nếu un  là dãy đơn điệu giảm, và bị chặn dưới thì tồn tại giới hạn lim un n  Định lý 4 : Nguyên lý kẹp Nếu w n  un  vn n , và tồn tại lim vn , lim wn sao cho lim vn  lim w n  a ;thì cũng tồn n  n  n  n  tại giới hạn lim un và ta có lim un  a n  n  5
C. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Loại 1: Sử dụng phương trình đặc trưng tìm dạng tổng quát của dãy số Bài 3 u1  1, u2  2 Cho dãy un  xác đinh bởi:  un  2  2un 1  un n 1 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số un  un 1 b) Tính lim n  un Bài giải:  x1  1  2 a) Xét phương trình đặc trưng x 2  2 x  1  0    x2  1  2 suy ra un   1  2    1  2  n n      1  1  2   1  2  1  u  1   2 2 ta có:  1   u2  2     2 2  1  2   1  2  2    1    2 2 1 1  2  1 1  2  n n suy ra un   ; n 1 2 2 2 2 1  2  1  2  1 n 1 1 n 1 1  2   1  2  n 1 n 1  un 1 2 2 2 2 b) Ta có :   1  2  1  2  1  2   1  2  n n un 1 n 1 n  2 2 2 2   1 2  n 1 n 1    1 2 n 1 1 2 1        1 2  1    1   n   1 2   2 2  n  1 2 n  1  1  2 1     1    2  1   1  2   n 1  1 2 1    1 Suy ra lim un 1  lim 1  2  1  2 n  1 2 2 n  un n  1    1 2 6
un 1 Vậy lim 1 2 n  un Loại 2 : Tìm giới hạn dãy số nhờ định nghĩa Bài 4 n lim 1 1/ Chứng minh rằng n  n  1 2n 2  2n 2/ chứng minh rằng lim 2 n  n 2  4 Bài giải n 1 1 1/ Lấy   0 bất kỳ. Ta có : 1       n  1 n 1 n 1  Chọn n0    1  1 ( ở đây  a  là phần nguyên của số a ). 1   Khi đó ,   0 , chọn n0    1  1 , n  n0 , thì 1   n 1 1 1 1      ( đpcm ) n 1 n 1  1  1 1  1    1  1  1  n Vậy n n  1  1 lim 2/ Chứng minh tương tự Bài tập tự giải: Chứng minh rằng:  lim n   n 1  n   0 2n sin n  lim 0 n  n3  1 1  lim  0 n  n Loại 3: Sử dụng định lý 3 để tính giới hạn Đối với loại toán này ta thực hiện các bước như sau: 7
TH1. Nếu tìm ra được công thức tổng quát bằng phương pháp phương trình đặc trưng hoặc bằng các phương pháp biến đổi thì tìm giới hạn trở nên đơn giản TH2: Nếu không tìm ra công thức tổng quat của dãy số ta thực hiện các bước như sau: B1: Chứng minh dãy số đơn điệu ( tăng hoặc giảm ) B2: Nếu dãy tăng thì bị chặn trên, dãy giảm thì bị chặn dưới B3. Lấy giới hạn hai vế cách xác định dãy ta suy ra giới hạn cần tìm Bài 5 Cho dãy số an  thỏa mản an  an1  an21 , n  * . Tính lim an n  0  an21  an 1  an  an 1  an   Từ an  an1  a , n   , suy ra  2 n 1 * 1   1 an  an 1  an 1  an 1 1  an 1   an  2    4 4 Suy ra an  là dãy tăng và bị chặn trên. Do đó an  có giới hạn hữu hạn và lim an  a . n  Lấy giới hạn hai vế bất đẳng thức đề bài cho, ta được : a  a  a2   a2  0  a2  0  a  0 Vậy lim an  0 n  Bài 6 u1  1 Cho dãy số un  xác đinh như sau:  un1  u  1  un , n  1, 2,... 2015  n  u 2015 u 2015 u 2015  Tính lim  1  2  ...  n  n   u2 u3 un 1  Bài giải Từ công thức xác định dãy, ta có : 8
1 1 un2015 un2015 1 1      , n   un un 1 un 1 un 1 un un 1 u12015 u22015 u 2015 n 1 1  1 1 Do đó   ...  n       u2 u3 un1 k 1  uk uk 1  u1 un1 Dễ thấy un  0, n   và un1  un  un2016  un , n   . Suy ra un  là dãy số dương và tăng. Nếu dãy số bị chặn trên thì un  tồn tai giới hạn hữu hạn và lim un  a  a  1 n  un 1 a Lấy giới hạn hai vế của  1  un2015 , ta được  1  a 2015  a  0 ( mâu thuẩn với un a a  1 ). Suy ra un  không bị chặn trên nên lim un   n   u 2015 u 2015 u 2015  1 1  Vậy lim  1  2  ...  n   lim    1 n  un1  n  u1 un1   2 u u3 Bài 7 u1  3 Cho dãy số un  xác đinh như sau :  un 1   un2  un  4  , n  1, 2,... 1   5 a) Chứng minh un  là dãy tăng nhưng không bị chặn n 1 b) Đặt vn   , n   . Tính lim vn k 1 uk  3 n  Bài giải: a) Dễ thấy các số hạng của dãy số đều dương Mặt khác : un1  un  5  1 2 un  4un  4    un  2   0 , n   . Vì u1  3  2  un  2 1 5 2 . Suy ra un1  un , n   . Vậy un  là dãy số tăng. (1) Nếu un  là dãy số bị chặn thì tồn tại giới hạn hữu hạn của un  và lim n  un  a  a  3 Lấy giới hạn hai vế của dãy un  ta được a   a  a  4  a  2 ( mâu thuẩn với 1 2 5 a  3 ). Suy ra un  là dãy số không bị chặn. (2) Từ (1) và (2) suy ra un  là dãy số tăng nhưng không bị chặn 9
1  1 1  b) Giả sử ta có công thức  a   un  3  un  b un 1  b    3a  b  un1   a  1 un1un  aun2   3a  b  un  b2 Để tương ứng với công thức của dãy un  ta chọn a  1, b  2  1 1  n 1 1 1 u 1 Như thế, ta có    , n   . Suy ra   un  3  un  2 un 1  2  k 1 k 3 u1  3 un 1  3 Theo câu a) suy ra lim un   n  1 Vậy lim vn  n  4 Chú ý: đối với bài toán này ta đã sử dụng hệ số bất định để tìm ra mối liên hệ của các hệ số của dãy Bài 8 Cho dãy số un  xác đinh như sau: u1  2  3    2    un 1  3  2 un  2 6  5 un  3 3  3 2 n   n 1 Đặt vn   n   . Tính lim vn k 1 uk  2 n  Bài giải: 1  1 1  Từ công thức xác định dãy ta suy ra:  a   uk  2  uk  b uk 1  b  Quy đồng và đồng nhất với công thức của dãy un  ta tìm được a  1, b   3 1 1 1 Lúc đó   uk  2 uk  3 uk 1  3 n 1 1 1 Suy ra u k 1    2 u1  3 un 1  3 k Bằng quy nạp chứng minh un  3 n  và dãy un  là dãy số tăng Từ đó suy ra lim n  un   10
1 1 Vậy lim vn   n  u1  3 2 Bài 9 0  u n  1 Cho dãy số un  xác đinh như sau:  1 un 1 1  un   n    4 Tính lim un n  Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Coossi cho hai số dương un 1 và 1  un 1 Ta có un1  1  un  2 un1 1  un   2  1  un1  un n   . Suy ra un  là dãy số 4 tăng và bị chặn trên bởi 1 ( theo giả thiết ). Suy ra tồn tại giới hạn dãy un  và đặt lim un  a n  2 Vì un1 1  un   1 n    lim un1 1  un   1  a 1  a   1   a  1   0  a  1 4 n  4 4   2 2 1 Vậy lim un  n  2 Bài 10 u0  u1  1 Cho dãy un  xác định như sau:  un 1  un  un 1  n   Tính lim un n  Bài giải Dễ thấy un  0 n   Bằng quy nạp chứng minh un  là dãy số tăng, tức là un1  un n   Thật vậy: n  1; u2  u1  u0  2  u1 (đúng) Giả sử n  k là đúng, tức là uk 1  uk  uk 1 11
Khi n  k  1 ; ta có uk 2  uk 1  uk  uk  uk 1  uk 1 Suy ra un  là dãy số tăng (1) Mặt khác n  3 ta có : un1  un  un1  2 un1  un21  4un1  un1  4 (2) Từ (1) và (2) suy ra un  là dãy số tăng và bị chặn trên. Suy ra tồn tại giới han hữu hạn và đặt lim un  a n  Từ công thức un1  un  un1 , lấy giới hạn hai vế ta được a  2 a  a  4 Vậy lim un  4 n  Bài 11 u0  0 Cho dãy số un  được xác đinh như sau :  un  4 un 1  u  6 n    n a) Chứng minh dãy số un  có giới hạn n 1 b) Đặt Tn   Tn . Tính lim k 1 uk  4 n2 n  Bài giải: un  4 un  6  10 10 a) Ta có : un1    1  un  6 un  6 un  6  Bằng quy nạp, chứng minh un  là dãy tăng. Thật vậy, 10 2 Với n=1 : u1  1    u0 ( đúng ) 06 3 Giả sử n=k đúng, tức là uk 1  uk Ta chứng minh n=k+1 đúng: 10 10 10 10 uk 1  uk   uk 1   uk    1  1  uk 1  6 uk  6 uk 1  6 uk  6  uk 2  uk 1 Vậy un  là dãy số tăng (1)  Ta chứng minh un  bị chặn trên bởi 1 Thật vậy : u0  0  1 ( đúng ) 12
Giả sử n=k đúng, tức là uk  1 10 10 Với n=k+1, uk 1  1   1  1 un  6 1  6 Vậy un  là dãy số bị chặn trên bởi 1 (2) Từ (1); (2) suy ra un  là dãy có giới hạn hữu hạn b) Ta có un  4 5  un  4  1 un  6 2 1 un 1  4  4     un  6 un  6 un 1  4 5  un  4  5  un  4  5 n 1 2 n 1 n     k 1 uk  4 5 k 1 uk 1  4 5 1 n 1 1 2 n 1 n 1 2 1  n  Tn           Tn   u0  4 k 1 uk  4 4 5 k 1 uk 1  4 5 4 5 un  4  5 2 1 2 n 5 2 n  Tn  Tn      Tn     5 4 5  un  4  5 12 3  un  4  3 Tn 5 2 n     n2 12  n  2  3  un  4  n  2  3  n  2  Tn 1  lim  n  n2 3 Tn 1 Vậy lim  n  n2 3 Bài 12 u1  1 Cho dãy un  xác định như sau :  un 1  1  u1u2 ...un n 1 n 1 Đặt Sn   . Tìm lim Sn n  k 1 uk Bài giải: Từ un1  1  u1u2 ...un n  ta suy ra un1 1  u1u2 ...un  un u1u2 ...un1  1  1  un un  1 Hay un1  1  un  un  1 n  1 Theo cách xác định dãy ta suy ra un  1 n  1 Từ cách lập luận trên suy ra : 13
1 1 1 1 1 1 1       n  1 un1  1 un  un  1 un  1 un un un  1 un 1  1 n 1 1 n  1 1  1 1 1 Suy ra :  k 1 uk         u1 k 2  un  1 un 1  1  u1 u2  1 un 1  1 (1) 1 Do u1  1; u2  1  u1  2 nên từ (1) suy ra Sn  2  (2) un 1  1 1 Từ (2) suy ra lim Sn  2  lim (3) n  n  un 1  1 Vì un  1 n  1 nên suy ra un1  1  u1u2 ...un  1  u1 n  1 Do đó un1  1  u1u2 ...un  u1  u1  1n1  2n1 n  1 nên suy ra lim n   un1  1   1 Từ đó suy ra lim Sn  2  lim 2 n  n  un 1  1 Bài tập tương tự: Bài 13 Cho dãy số un  xác định như sau : u1  1   un 1  un  un  1 un  2  un  3  1 ; n  1, 2,3...  n 1 Đặt vn   . Tính lim vn k 1 uk  2 n  Bài giải : Ta có : un 1  un  un  1 un  2  un  3  1  u 2 n  3un  un2  3un  2   1 (1) u  3un   2  u  3un   1  u  3un  1 2 2  2 n 2 n 2 n Để ý cách xác định dãy ta suy ra un  0 với mọi n, từ (1) suy ra un1  un2  3un  1 Hay un1  1  un2  3un  2   un  1 un  2  1 1 1 1 Do đó :    un1  1  un  1 un  2  un  1 un  2 14
1 1 1    n  1 un  2 un  1 un 1  1 n 1 n  1 1  1 1 1 1 Do đó : vn          (2) k 1 uk  2 k 1  un  1 un1  1  u1  1 un1  1 2 un1  1 Bằng quy nạp ta chứng minh được un1  un2  3un  1  3un  32 un1  ...  3n u1 Từ đó suy ra : lim n   un1  1   1 Kết hợp với (2) suy ra : lim vn  n  2 Bài 14 Cho dãy số un  xác đinh như sau : u0  1   1 un  3  u n  1, 2,3,...  n 1 Chứng minh rằng un  có giới hạn hữu hạn và tính lim un n  Bài giải: 1 u 2  3un  1 Ta có un  un 1  un   n (1) 3  un 3  un 3  5 Bây giờ ta chứng minh : un  với mọi n=0,1,2,… (2) 2 Chứng minh bằng quy nạp: 1 - Với n=0 thì u0  1 , với n=1 thì u1  . Dễ thấy (2) đúng khi n=0 và n=1 4 3  5 - Giả sử n=k đúng, tức là uk  2 3  5 3  5 Khi đó ta có : 3  uk  3   2 2  1  2  2 3 5   3  5  3  uk 3 5 4 2 15
Vậy (2) cũng đúng với n=k+1. Theo nguyên lý quy nạp suy ra (2) đúng với mọi n. 3  5 Vì un  với mọi n nên 3  uk  0 với mọi n. 2 3  5 Do un  nên theo định lý tam thức bậc hai thì un2  3un  1  0 với mọi n. 2 Vậy từ (1) suy ra un  un1 với mọi n. Vậy un  dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 3  5 . 2  3  5  Suy ra tồn tại giới hạn của un  khi n   , đặt lim un  a  a   n  2   1 Lấy giới hạn hai vế của un  ta suy ra : 3  un 1  3  5  a 1 2 a  a 2  3a  1  0   3 a  3  5 a  l   2 3  5 Vậy lim un  n  2 Bài 15 Xét các dãy số sau với số hạng tổng quát như sau : 1 1 1 a) un  1    ...   2 n , n   2 3 n 1 1 1 1 b) un     ...  , n   1! 2! 3! n! c) un  1   1 1  1 1   ... 1   , n    1!  2!   n !  Chứng minh các dãy số trên đều có giới hạn lim un n  Bài giải : 1. Ta có  1 1 1 1   1 1 1  un 1  un  1    ...    2 n  1   1    ...  2 n  2 3 n n 1   2 3 n  16
 1 n 1  2 n 1  2 n  1 n 1 2  n 1  n   1 n 1  2 n 1  n n 1  n  2 n 1 n  n 1   0 n 1  n 1  n  n 1  n 1  n   un  un1 n  . Vậy un  là dãy số giảm. 1 1 Dễ thấy : k  1  k   (1) k 1  k 2 k Trong (1) lâng lượt thay k=1,2,3,… ta được : 1  1  2 2 2 1   1   2 32 2  2 ...   1  n  2 n 1  2 n  Cộng từng vế ta được : 1 1 1 1   ...   2 n 1  2 1 2 3 n 1 1 1  1   ...   2 n  2 n 1  2  2 n 2 3 n 2  un   2  2 n  0,1, 2... n 1  n  un  2 n  0,1, 2... Như vậy un  là dãy số bị chặn dưới. Theo nguyên lý giới hạn, suy ra un  là dãy số có giới hạn hữu hạn. 2. Rõ ràng un1  un , vậy un  là dãy đơn điệu tăng. Ta chứng minh un  2 với mọi n=1,2,… (2) Thật vậy : 1 - Với n=1 thì u1  1 , với n=2 thì u2  1  . Dễ thấy (2) đúng với n=0,1. 2 - Chú ý : 17
3!  2.3  2 2 4!  2.3.4  23 ... n !  2.3.4.....n  2n 1 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1  un     ...   0  1  2  ...  n  2  2 1  1   2 n    n  1! 2! 3! n! 2 2 2 2 1 1  2  2 Dãy un  đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 2. Suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn lim un n  3. Ta sử dụng bất đẳng thức becnuli: “ ar  ra  1” r, a là hai số hữu tỷ. Lúc đó ta có 1  r  ar với a>1. Rõ ràng : un1  un . Suy ra un  là dãy số đơn điệu tăng. Theo nhận xét trên ta có : 1 1 1  31! 1! 1 1 1  3 2! 2! ... 1 1 1  3 n! n!  1  1   1  1! 2! 3!... n! 2 1 1 1 1  un  1  1   ... 1    3  3 ( áp dụng câu 2)  1!  2!   n !  Vậy un  bị chặn trên bởi 9. Theo nguyên lý giới hạn suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn lim n  un . Bài 16 Giả sử a  b  0 . Lập hai dãy số sau đây u n  , vn  18
 u  a , v  b  1 1  u n  vn un 1  với n=1,2,…  2  2u n vn vn 1  u  v  n n Chứng minh rằng lim u n  lim vn  ab n  n  Bài giải: Từ cách xác định dãy ta suy ra với mọi n=1,2,… thì un1vn1  u n vn . Từ đó bằng quy nạp suy ra un1vn1  u n vn  ...  u1v1  ab với mọi n=1,2,…. (1) 2n1  a  ab  u n  u n vn Bây giờ ta chứng minh    (2) u n  u n vn  a  ab  Thật vậy: 211 u 1  u 1 v1a  ab  a  ab  - Với n=1,    . Suy ra (2) đúng khi n=1 u 1  u 1 v1 a  ab  a  ab  2n1  a  ab  u n  u n vn - Giả sử (2) đúng đến n, tức là    u n  u n vn  a  ab  - Xét với n+1. Theo cách xây dựng dãy và sử dụng (1) ta có : u n vn   2 u n 1  u n 1 vn 1  u n vn u n  vn  u n  vn  2  2    u n 1  u n 1 vn 1 u n vn  v   u  v  2  u n vn un  n  n n  2 2  u n  u n vn    a  ab   2 n1 2      u  u v    a  ab    n n n     2n  a  ab      a  ab  2n1 u n  u n vn  a  ab  Vậy    với mọi n=1,2,… u n  u n vn  a  ab  19
u 1 v1 2u v Vì a  b  0 , nên u1  v1  0 , suy ra u2   0, v2  1 1  0 . 2 u 1 v1 Bằng quy nạp suy ra un  0, vn  0 n   . u n vn 2u n vn  u n vn   4u n vn 2 Ta có un1  vn1    2 u n vn 2  u n vn   u v  2  n n 0 2  u n vn   un  vn n   (3) u n vn u n un Ta có un1    un n   . Suy ra u n  là dãy đơn điệu giảm. Măt khác 2 2 dãy này bị chặn dưới bởi 0, vì thế tồn tại giới hạn hữu hạn. Đặt lim u n  l1 n  Vì unvn  ab (theo 1) và u n  là dãy số đơn điệu giảm nên suy ra vn  là dãy đơn điệu tăng. Mặt khác vn2  unvn  ab  vn  ab n   . Suy ra vn  là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên, vì thế tồn tại giới hạn hữu hạn. Đặt lim vn  l2 . n  2n1 a  ab  a  ab  u n  u n vn Do  1 nên lim    0 . Từ (2) suy ra lim  0 . Theo (1) n  a  ab  a  ab   n  u n  u n vn u n  ab suy ra lim n  u n  ab n     0 , suy ra lim u n  ab  0 . Vậy lim u n  ab n  (4) u n vn ab  l2 Lấy giới hạn hai vế biểu thức un1  ta được: ab   l2  ab 2 2 Vậy lim vn  ab (5) n  Từ (5) và (4) suy ra lim u n  lim vn  ab (đpcm) n  n  20