Hàm bậc 3 và bậc 4, cách giải

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

260
lượt xem 37
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu hàm bậc 3 và bậc 4, cách giải học tập và luyện thi, nhằm giúp các bạn có cách nhìn toàn diện về kiến thức và kĩ năng cần nắm vững trước khi kỳ thi sắp tơi với tâm thế vững vàng nhất. Tác giả hi vọng tài liệu này sẽ là tài liệu bổ ích cho các em, tài liệu mang tính chất tham khảo

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hàm bậc 3 và bậc 4, cách giải

Gi¶i bµi kú tr−íc. Bµi 1.Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  x 2 + xy − y 2 = 5 a)  y  x 5 2  x − 2 y = − 2 − xy  3x 2 − 8xy + 4 y 2 = 0 b)   5 x − 7 xy − 6 y = 0 2 2  Gi¶i  x + xy − y = 5 2 2 a)  y  x 5 2  x − 2 y = − 2 − xy  §iÒu kiÖn: x π 0; y π 0. ViÕt l¹i hÖ ®· cho d−íi d¹ng:  x 2 + xy − y 2 = 5   5  −2 x + 2 xy + y = −2 2 2  §©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai, gi¶i theo mét trong hai c¸ch ë d¹ng 4.  x = 2  §¸p sè:   y = 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)   x = −2    y = −1  3x 2 − 8xy + 4 y 2 = 0 b)  2  5 x − 7 xy − 6 y = 0 2  §©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai. +) NÕu x=0 th× hÖ cã d¹ng: 4 y 2 = 0   ⇔ y=0  −6 y = 0 2  VËy (0,0) lµ mét nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh. +) NÕu x π 0. §Æt y=kx, thay vµo hÖ ta cã:  x 2 (3 − 8k + 4k 2 ) = 0   2  x (5 − 7k − 6k ) = 0 2  3 − 8k + 4k 2 = 0  1 ⇔ ⇔k = 5 − 7 k − 6k = 0  2 2 1 1 víi k = suy ra y = x , thay vµo hÖ ban ®Çu ta thÊy hÖ lu«n ®óng 2 2 1 VËy nghiÖm cña hÖ lµ (t , t ) ∀t ∈ R 2 Bµi 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh
x3 = 2x + y a)   y = 2y + x 3   x 2 − 2y2 = 2x + y b)  2   y − 2x = 2y + x 2   3 3 x + 4x = y + 2 c)    y3 + 4 y = x + 3   2 C¸c hÖ trªn lµ hÖ ®èi xøng lo¹i II.  x 3 = 2 x + y (1) a)  3   y = 2 y + x (2)  Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau ta ®−îc: x3 -y3=2(x-y)+(y-x)=x-y ¤ (x-y)(x2+y2+xy-1)=0 x = 0  +) x=y thay vµo (1) ta cã: x3=2x+x=3x ¤  x = 3 x = − 3  +) x2+y2+xy-1=0, kÕt hîp víi ph−¬ng tr×nh (1)ta ®−îc:  x 2 + y 2 + xy − 1 = 0   3 x = 2x + y   y = x3 − 2 x  ⇔ 2  x + ( x − 2 x ) + x.( x − 2 x ) − 1 = 0 3 2 3   y = x3 − 2 x  ⇔ 6  x − 3x + 3x − 1 = 0 4 2   y = x3 − 2 x  ⇔ 2 ( x − 1) = 0 3   y = x3 − 2 x   x = ±1 ⇔ 2 ⇔ x = 1   y = ∓1 VËy nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ : (0,0);(1, −1);( −1,1),( 3, 3);( − 3 − 3)  x 2 − 2y2 = 2x + y b)  2   y − 2x = 2y + x 2  §¸p sè: (0,0); (-3,-3)  3 3 x + 4x = y + 2 c)    y3 + 4 y = x + 3   2 ¸p dông c¸ch gi¶i nh− trªn, trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau ta ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng
 3 3 y = x x + 4x = y +   2 ⇔ 3 3 (1) ( x − y )( x 2 + y 2 + xy + 5) = 0   x + 3x = 2  Gi¶i ph−¬ng tr×nh (1): §Æt x= 2t th× (1) cã d¹ng: 3 4t 3 + 3t = 4 1 1 ⇔ 4t 3 + 3t = (2 − ) 2 2 1 1 ⇔ t = (3 2 − 3 ) 2 2 VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:  1 x = 2 − 3 2 3   y = 3 2 − 1   3 2 Chó ý: NÕu ph−¬ng tr×nh bËc ba cã d¹ng: 1 3 1 4 x 3 + 3x = (a − 3 ) 2 a 1 1 th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ x = (a − ) 2 a Bµi 3. a) X¸c ®Þnh a ®Ó c¸c ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung x 3 + a( x + 2)2 + x 2 = 0 vµ x3 + 4 x 2 + (3 − a) x − 2 a = 0 b)X¸c ®Þnh m ®Ó hai ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung: x2+mx+1=0 vµ x2+x+m=0 c) Chøng minh r»ng nÕu hai ph−¬ng tr×nh x2+ax+b=0 vµ x2+cx+d=0 cã nghiÖm chung th×: (b-d)2+(a-c)(ad-bc)=0 d)X¸c ®Þnh m ®Ó hai ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung x(x-1)=m+1 vµ x4+(x+1)2=m2 Gi¶i x + a( x + 2) + x = 0 (1) 3 2 2 a) vµ x3 + 4 x 2 + (3 − a) x − 2a = 0 (2) NÕu a=0 th× c¸c ph−¬ng tr×nh 91) vµ (2) cã nghiÖm chung lµ x=0. VËy a=0 lµ mét gi¸ trÞ cÇn t×m. XÐt a π 0. V× x=-2 kh«ng lµ nghiÖm cña (1) vµ (2) nªn x3 + x2 x (3 x + 4) (1) ⇔ a = − ⇔a= −x ( x + 2) 2 ( x + 2)2 x 3 + 4 x 2 + 3x x (2) ⇔ ⇔ a = x ( x + 2) − x+2 x+2
x §Æt = y (3) x+2 khi ®ã (2) cã d¹ng x(x+2)=y+a (1) cã d¹ng y(y+2)=x+a VËy ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung lµ hÖ:  x ( x + 2) = y + a  (4)  y( y + 2) = x + a ph¶i cã nghiÖm x 2 + 2x = y + a  (4) ⇔  2 y + 2y = x + a  ®©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau ta ®−îc hÖ t−¬ng ®−¬ng: y = x  2 x2 + 2 = y + a x + x − a = 0  ⇔   y = −3 − x ( x − y )( x + y + +3) = 0    x 2 + 3x + 3 − a = 0  KÕt hîp víi (3) ta ®−îc c¸c ph−¬ng tr×nh (1) vµ (2) cã nghiÖm chung khi vµ chØ khi mét trong hai hÖ sau ph¶i cã nghiÖm:  y = x  2  x = 0; a = 0 lo¹i x + x − a = 0 ⇔   x  x=-1;a=0 lo¹i  =y  x + 2    y = −3 − x  2  x1,2 = −3 ∓ 3    x + 3x + 3 − a = 0 ⇔   x a = 6 ∓ 3 3   =y   x + 2 kÕt luËn: víi a = 0; a = 6 ∓ 3 3 th× c¸c ph−¬ng tr×nh (1) vµ (2) cã nghiÖm chung. b)X¸c ®Þnh m ®Ó hai ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung: x2+mx+1=0 vµ x2+x+m=0 Xem c¸ch gi¶i ë vÝ dô 1, d¹ng 1. §¸p sè: m=-2. c) Chøng minh r»ng nÕu hai ph−¬ng tr×nh x2+ax+b=0 vµ x2+cx+d=0 cã nghiÖm chung th×: (b-d)2+(a-c)(ad-bc)=0 ®Æt x2=y, y ≥ 0, khi ®ã ta cÇn hÖ sau cã nghiÖm ( víi y ≥ 0)  y + ax + b = 0   y + cx + d = 0 D= c−a Dy = ad − bc Dx = b − d +)NÕu D=0 ¤ a=c, khi ®ã hÖ muèn cã nghiÖm th× b=d,do ®ã ®¼ng thøc cÇn chøng minh lµ hiÓn nhiªn.
+)NÕu D π 0, ta cã  ad − bc y =  c−a  x = b−d   c−a ad − bc b−d 2 Tõ ®iÒu kiÖn y=x2 ta cã: =( ) ⇔ (b − d )2 + ( a − c)( ad − bc) = 0 c−a c−a d)X¸c ®Þnh m ®Ó hai ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung x(x-1)=m+1 (1)vµ x4+(x+1)2=m2 (2) §Æt x2=u, x+1=v ﬁ u=(v-1)2 (3) Khi ®ã Tõ (1) vµ (2) cã: u-v=m; u2+v2=m2 XÐt hÖ ®èi xøng lo¹i 1 u − v = m u − v = m  2 ⇔ u + v = m (u + v ) + (u − v ) = 2 m 2 2 2 2 2 u − v = m u − v = m ⇔ 2 ⇔  m + (u + v ) = 2 m u + v = ± m 2 2 u + v = m u = m 1)  ⇔ u − v = m v = 0 ThÕ vµo (3) ta ®−îc m=(0-1)2=1 Víi m=1 th× hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung lµ x=-1. u + v = − m 2)  t−¬ng tù ta ®−îc m=-1 u − v = m Víi m=-1 ta ®−îc x=0 lµ nghiÖm chung cña (1) vµ (2). KÕt luËn: Hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung khi vµ chØ khi m=±1 Bµi 4. Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh x + y + z = 1 a)   2 x + 2 y − 2 xy + z = 1 2  x + y + xy = a 2 + 2 a b)  4 4  (víi a ≥ 0)  x + y = 2a 4  x + y + z = a  c)  x 2 + y 2 + z 2 = a 2  x 3 + y 3 + z 3 = a3  x + y + z = 1 a)   2 x + 2 y − 2 xy + z = 1 2 Coi z nh− tham sè, ta ®−îc hÖ ®èi xøng lo¹i I ®èi víi x vµ y x + y = 1 − z x + y = 1 − z  2 ⇔   1− z  1 − z2 1 − 2z + z2  x + y − xy =  xy = 1 − z − =  2  2 2 §iÒu kiÖn ®Ó cã nghiÖm x,y lµ
1 − 2z + z2 (1 − z )2 − 4 ≥0 2 ⇔ −(1 − z)2 ≥ 0 ⇔ z = 1 VËy nÕu z π 1 th× hÖ v« nghiÖm Víi z=1 thay vµo hÖ ta cã x=y=0 VËy hÖ chØ cã nghiÖm x=0, y=0,z=1. b)  x + y + xy = a 2 + 2 a   4 (víi a ≥ 0)  x + y = 2a 4 4  NhËn xÐt : NÕu x, y lµ nghiÖm cña hÖ th× x4 +y4 ≥ 2x2y2 hay 2a4 ≥ 2x2y2 ﬁ xy £ a2 Do (x+y)2 £ 2(x2+y2) nªn (x+y)4 £ [2(x2+y2)]2 £ 4.2(x4+y4)=16a4  x + y ≤ 2a Khi ®ã ta cã:   xy ≤ a 2 VËy khi a ≥ 0 th× x+y+xy £ a2+2a, kÕt hîp víi ph−¬ng tr×nh ®Çu tiªn cña hÖ ta ®−îc hÖ cã nghiÖm duy nhÊt x=y=a x + y + z = a  c)  x 2 + y 2 + z 2 = a 2  x 3 + y 3 + z 3 = a3  §Æt xy+yz+zx=b xyz=c x 2 + y 2 + z 2 = a 2 − 2b ⇒ b = 0 Ta cã ®¼ng thøc x 3 + y 3 + z 3 = a( a 2 − 3b) + 3c ⇒ c = 0 Do ®ã x + y + z = a  (1) ⇔  xy + yz + zx = 0  xyz = 0  tõ ®ã hÖ cã c¸c nghiÖm lµ (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a). Bµi 6 Ph−¬ng tr×nh bËc ba vµ Ph−¬ng tr×nh bËc bèn I. Ph−¬ng tr×nh bËc ba Trong phÇn nµy sÏ nªu ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc ba tæng qu¸t. ax3 +bx2+cx+d=0 (1) D¹ng1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi biÕt mét nghiÖm x=x0. Theo gi¶ thiÕt x=x0 lµ mét nghiÖm nªn ax03+bx02+cx0+d=0 (1) ¤ ax3+bx2+cx+d= ax03+bx02+cx0+d ¤ a(x3-x03)+b(x2-x02)+c(x-x0)=0 ¤ (x-x0)[ax2+(ax0+b)x+ax02+bx0+c]=0 1)NÕu D =(ax0+b)2-4a(ax02+bx0+c)
 x = x0   x = −( ax0 + b) ± ∆   2a *NhËn xÐt: 1)NÕu biÕt tr−íc x0 lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt lµ:  ax0 2 + ( ax0 + b) x0 + ax0 2 + bx0 + c ≠ 0   2  ∆ = ( ax0 + b) − 4a ( ax0 + bx0 + c ) > 0 2  2) NÕu x0 lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) th× cã thÓ ph©n tÝch ax3+bx2+cx+d=(x-x0).f(x) (2) Trong ®ã f(x) lµ mét tam thøc bËc hai 3) NÕu x1;x2;x3 lµ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) th× ta cã ph©n tÝch ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3), tõ ®ã ta cã c«ng thøc Viet cho ph−¬ng tr×nh bËc ba:  b  x1 + x2 + x3 = − a   c  x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 =  a  d  x1 x2 x3 = a  D¹ng 2.Ph−¬ng tr×nh håi quy bËc ba §ã lµ ph−¬ng tr×nh ax3+bx2+cx+d (3) víi ac3=bd3 (a ,d π 0) (4) Tõ (4) suy ra d 1) NÕu c=0 ﬁ b=0 , khi ®ã ph−¬ng tr×nh (3) trë thµnh ax3+d=0¤ x = 3 − a d c 2) NÕu c π 0ﬁ b π 0 vµ = ( )3 a b c §Æt = − x0 th× c=-bx0, d=-ax03 b Thay vµo ph−¬ng tr×nh (3) ta ®−îc ax3+bx2-bx0x-ax03=0 ¤ a(x3-x03)+bx(x-x0)=0 ¤ (x-x0)[ax2+(ax0+b)x+ax02]=0 c VËy x = x0 = lµ mét nghiÖm b NÕu D =(ax0+b)2-4a2x02 ≥ 0 th× ph−¬ng tr×nh cßn cã nghiÖm −( ax0 + b) ± ∆ x= 2a NhËn xÐt:NÕu ph−¬ng tr×nh bËc ba lµ håi quy th× nã lu«n cã mét nghiÖm lµ c x0 = b D¹ng 3. Ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 4 x 3 − 3x = m víi m ≤ 1
§Æt m= cosa =cos(a ±2p ) α α α Khi ®ã cos α = cos(3 ) = 4 cos3 − 3cos 3 3 3 Do ®ã ph−¬ng tr×nh cã ba nghiÖm lµ α α ± 2π x1 = cos ; x 2,3 = cos 3 3 D¹ng 4. Ph−¬ng tr×nh d¹ng 4 x 3 − 3x = m víi m > 1 Tr−íc hÕt dÔ thÊy r»ng ph−¬ng tr×nh 1 3 1 4 x 3 − 3x = (a + 3 )(*) ( a ≠ 0) 2 a 1 1 lu«n cã nghiÖm lµ x = (a + ) 2 a MÆt kh¸c ph−¬ng tr×nh 4 x − 3x = m víi m > 1 chØ cã mét nghiÖm duy nhÊt 3 ThË vËy, ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm trong [-1,1] v× nÕu tr¸i l¹i x=x0 Œ [-1,1] lµ nghiÖm th× ®Æt x= cos a . Khi ®ã 4 x 3 − 3x = cos3α ≤ 1 ≠ m (v× m > 1) Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x=x1 víi x1 > 1 Khi ®ã 4x13-3x1=m. VËy ta cã ph−¬ng tr×nh: 4x3-3x=4x13-3x1 ¤ 4(x3-x13)-3(x-x1)=0 ¤ (x-x1)[4x2+4x1x+4x12-3]=0 Cã D' =4x12-4(4x12-3)=12-12x12< 0 do x1 > 1 VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x=x1 ( chó ý r»ng mét ph−¬ng tr×nh bËc ba lu«n cã Ýt nhÊt mét nghiÖm. 1 1 §Æt m = (a3 + ) víi a3 = m ± m 2 − 1 2 a3 Khi ®ã theo (*) nghiÖm duy nhÊt x1 cña ph−¬ng tr×nh lµ: 1 1 1 x= (a + ) = ( 3 m + m 2 − 1 + 3 m − m 2 − 1 ) 2 a 2 D¹ng 5: Ph−¬ng tr×nh d¹ng: 4x3+3x=m NhËn xÐt r»ng nÕu x=x0 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt. ThËy vËy, xÐt x>x0, khi ®ã 4x3+3x>4x03+3x0=m nªn x kh«ng lµ nghiÖm T−¬ng tù víi x
1 1 1 x= (a − ) = ( 3 m + m 2 + 1 + 3 m − m 2 + 1 ) 2 a 2 D¹ng 6: D¹ng tæng qu¸t at3+bt2+ct+d=0 B»ng c¸ch chia c¶ hai vÕ cho a, ta cã thÓ coi a=1. ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng t3+at2+bt+c=0 a 1) §Æt t = y − , khi ®ã cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng: 3 a a a ( y − )3 + a( y − ) 2 + b ( y − ) + c = 0 3 3 3 ⇔ y − py = q 3 a2 2a3 ab trong ®ã p= − b; q = − + −c 3 27 3 NÕu p=0 th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt: x = 3 q p NÕu p>0.§Æt y = 2 x . 3 3 3q Khi ®ã ph−¬ng tr×nh sÏ cã d¹ng :4x3-3x=m víi m = ®ã lµ ph−¬ng tr×nh d¹ng 4. 2p p −p NÕu p
 x3 = 2 y − 2 a)    y = 2x − 2 3   x3 = 3 y − 3 b)  3   y = 3x − 3   x + y + z = 0  c)  xy + yz + zx = − 3   4  1  xyz = 8  Bµi 5. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh 1 a) 4x 3 -3x= 2 1 b) 4 x 3 + 3x = 4 c)x4=4x+1