Hàm tử địa phương hóa

Chia sẻ: Le Nhut Truong | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

58
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, S ⊆ R. Khi đó S được.gọi là tập nhân đóng của vành R nếu 1 ∈ S và ∀a,b ∈ S thì ab ∈ S..Ví dụ. a) Cho R là một miền nguyên, R* = R \ {0} thì R* là một tập nhân đóng của.vành R..b) Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R, đặt S = R \ P thì S là tập nhân đóng.của vành R..1.1.2 Xây dựng môđun các thương. Cho M là R-môđun, S là một tập nhân đóng.của vành R.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hàm tử địa phương hóa

HÀM TỬ ĐỊA PHƯƠNG HÓA 1.1 Môđun các thương 1.1.1 Tập nhân đóng. Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, S ⊆ R. Khi đó S được gọi là tập nhân đóng của vành R nếu 1 ∈ S và ∀a,b ∈ S thì ab ∈ S. Ví dụ. a) Cho R là một miền nguyên, R* = R \ {0} thì R* là một tập nhân đóng của vành R. b) Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R, đặt S = R \ P thì S là tập nhân đóng của vành R. 1.1.2 Xây dựng môđun các thương. Cho M là R-môđun, S là một tập nhân đóng của vành R. Trên tích đềcác M � = { (m, s) m �M, s � } , xét quan hệ hai ngôi ∼ : S S (m,s) ∼ (m’,s’) ⇔ ∃ t ∈ S: t(s’m – sm’) = 0 khi đó quan hệ ∼ là quan hệ tương đương trên M× S. Thật vậy, với mọi (m,s) ∈ M× S có sm = sm hay sm – sm = 0, lúc đó có t ∈ S để t(sm – sm ) = 0 hay (m,s) ∼ (m,s) . Giả sử (m,s) ∼ (m’,s’) ⇔ ∃ t ∈ S: t(s’m – sm’) = 0 hay ∃ t ∈ S: t(sm’ - s’m) = 0 hay (m’,s’) ∼ (m,s) ∀ (m,s) ,(m’,s’) ∈ M× S. Bây giờ ta giả sử (m,s) ∼ (m’,s’) và (m’,s’) ∼ (m’’,s’’), khi đó ∃ t ∈ S: t(s’m – sm’) = 0 và t(s’’m’ – s’m’’) = 0 hay ts’m = tsm’ và ts”m’ = ts’m” hay ts’mm” = tsm’m” và ts”m’m = ts’m”m hay tsm’m” = ts”m’m giản ước đẳng thức này cho m’ ta được tsm” = ts”m hay tsm” – ts”m = 0 hay t(sm” – s”m) = 0 hay (m,s) ∼ (m’’,s’’) . Suy ra M× S được chia thành các lớp tương đương, kí hiệu (m, s) là lớp tương đương chứa (m,s), tức là (m, s) = { (m ', s ') δ M S (m ', s ') : (m, s)} m Để thuận tiện ta kí hiệu thay cho (m, s) , kí hiệu S-1M là tập thương của s � m � M× S theo quan hệ tương đương ∼ , tức S M = � m �M,s �S� Khi M = R, ta có −1 � s . �r � tập hợp M −1R = � s �R,s � � S . �s r r' Trên S-1R ta trang bị hai phép toán là phép cộng và phép nhân với , S−1R : s s' r r ' r.r ' r r ' s ' r + sr ' . = và + = s s ' s.s ' s s' ss ' (Hai phép toán trên không phụ thuộc vào việc chọn đại diện) -1-
Với hai phép toán trên, S-1R trở thành một vành gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng S. r r' r r ' s '.r + r '.s r '.s + r.s ' r '.s r.s ' r ' r Thật vậy, (i) ∀ , S−1R ta có + = = = + = + , vậy s s' s s' s.s ' s '.s s '.s s '.s s ' s phép cộng có tính chất giao hoán. r r ' r '' � r ' � r '' r � '.r + r '.s � r '' s s '' ( r.s ' + r '.s ) + r '' s.s ' (ii) ∀ , , S−1R ta có � + � + = � � + = = s s ' s '' � s s ' � s '' � s.s ' � s '' s '.s.s '' s '' r.s '+ ( s '' r '.s + r '' s.s ' ) s '' r.s ' � '' r '.s r '' s.s ' � r � ' s ''+ r '' s ' � r � ' r '' � s r r = +� + � +� = � +� + � = , s '.s.s '' s '.s.s '' � '.s.s '' s '.s.s '' � s � s ' s '' � s � ' s '' � s s vậy phép cộng có tính chất kết hợp. 0 0 r 0.s + r.1 0 + r r r 0 r (iii) Phần tử 0 làvì + = = = , tương tự ta củng có + = . 1 1 s 1.s s s s 1 s r r' r r ' r.r ' r '.r r ' r (iv) ∀ , S−1R ta có . = = = . , vậy phép nhân có tính chất giao s s' s s ' s.s ' s '.s s ' s hoán. r r ' r '' � r ' �r '' �.r ' �r '' r.r '.r '' r ( r '.r '') r � ' r '' � r r r (v) ∀ , , S−1R ta có � . � = � � = . . = = . � . � vậy phép , s s ' s '' � s ' �s '' �.s ' �s '' s.s '.s '' s( s '.s '') s � ' s '' � s s s nhân có tính chất kết hợp. r r ' r '' r r ' r '' � r � ' s '' + r '' s ' � r (r ' s '' + r '' s ') r rr ' s '' + rr '' s ' (vi) ∀ , , S−1R ta có .� +� �= .� �= = = s s ' s '' s �s ' s '' � s � s ' s '' � s.s ' s '' s.s ' s '' rr ' s '' rr '' s ' rr ' rr '' r r ' r r '' + = + = . + . vậy phép nhân phân phối đối với phép s.s ' s '' s.s ' s '' ss ' ss '' s s ' s s '' , cộng. 1 1 r 1.r r (vii) Phần tử đơn vị là vì . = = 1 1 s 1.s s Trên S-1M trang bị phép cộng và phép nhân với vô hướng, với mọi m m' r m m' s 'm + m 's r m rm , � −1M, � −1R : S S + = và . = . s s' t s s' ss ' t s ts (Hai phép toán trên không phụ thuộc vào việc chọn đại diện) Lúc đó S-1M cùng với hai phép toán trên trở thành một S -1M – môđun gọi là môđun các thương của M theo tập nhân đóng S. Thật vậy, theo chứng minh trên S-1M là một vành giao hoán có đơn vị, nên nó là một nhóm Abel cộng, bây giờ ta chỉ cần chứng minh S -1M có tính chất kết hợp đối với phép nhân với vô hướng và phép nhân phân ph ối đối với phép c ộng , có phần tử đơn vị r m m' S−1 (i) ∀ ��R, , S−1M ta có: r � . m ' � � m �= r � ' � rmm ' m (rm ') m � ' � m � m ' � mm � � = = rm = .� � .� . � = r t s s' t �s s ' � t �ss ' � tss ' s (ts ') s �ts ' � s � s ' � t ⇒ phép nhân có tính chất kết hợp. r r' m m � r ' � m � '+ r ' t � m(rt '+ r ' t ) mrt '+ mr ' t mrt ' r rt S−1 (ii) ∀ , ��R, S−1M ta có: � + � � = �= = = t t' s s � t ' � s � tt ' � t s (tt ') stt ' stt ' mr ' t mr mr ' m r m r ' + = + = . + . stt ' st st ' s t s t' � m ' � � '+ m ' s � (ms '+ m ' s )r ms ' r + m ' sr ms ' r m ' sr mr m ' r m r m ' r m r ms r � + � =� �= = = + = + = . + . �s s ' � � ss ' � t t (ss ')t ss ' t ss ' t ss ' t st s 't s t s' t -2-
⇒ Phép nhân phân phối đối với phép cộng. 1 1 m 1.m m m 1 m.1 m (iii) Phần tử đơn vị là vì . = = và . = = . 1 1 s 1.s s s 1 s.1 s r r' 1.1.3 Chú ý. (1) Trong vành S-1R thì = ⇔ ∃t �S, t ( s ' r − sr ') = 0 , phần tử không của s s' 0 0 −1 0 �� vành S-1R là = ∀s S . Do đó nếu 0 ∈ S thì S-1R là vành không ( tức là S R= � �), 1 s �1 r r 0 vì ∀ S−1R ta có = ( vì ∃0 �S, 0(1.r − s.0) = 0 . Do vậy trường hợp S chứa 0 ít có ý s s 1 nghĩa. m m' (2) Trong môđun S-1R thì = ⇔ ∃t �S, t ( s ' m − sm ') = 0 . s s' (3) Giả sử f : R R' là một đồng cấu vành và M là một R’- môđun. Khi đó M có cấu trúc tự nhiên là một R – môđun với phép nhân với vô hướng xác định bởi: r ∈ R, m ∈ M thì rm := f(r)m. f :R S−1R Mặt khác ta củng có đồng cấu tự nhiên r a r , do đó S-1M củng có cấu 1 trúc là một R – môđun với phép nhân với vô hướng xác định bởi: m m r m rm r �R, � −1M: r. = . = S s s 1 s s (4) Cho P là một idêan nguyên tố của vành R và S = R\P. Khi đó vành S -1R được kí hiệu là RP còn môđun S-1M được kí hiệu là MP, vậy ta có: �r � R P = � r , s �� P � R,s �s �m � M P = � m ��, s R\P � M �s 1.2 Hàm tử địa phương hóa Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị, S là một t ập nhân đóng c ủa vành R. Khi đó tương ứng S−1 : R − mod S−1R − mod và với mổi đồng cấu R– M a S−1M môđun S−1 f : S−1M S−1 N f: M → N ta có đồng cấu S-1R – môđun m a f (m) . s s m m' Thật vậy, Trước tiên ta cần chứng tỏ S-1f là một ánh xạ, nếu = trong S-1M thì s s' tồn tại t S sao cho t (ms '− m ' s) = 0 ta có 0 = f (t (ms '− m ' s)) = t (mf ( s ') − m ' f ( s)) tức là f (m) f (m ') = trong S-1N. s s' m m' Bây giờ ta kiểm tra S-1f là một đồng cấu S-1R – môđun , ∀ , S−1M ta có : s s' �m m' � −1 � ms ' + m ' s � f ( ms ' + m ' s ) f (ms ') + f (m ' s ) S−1 f � + �= S f� �= = �s s' � � ss ' � ss ' ss ' s ' f ( m) sf ( m ') f ( m) f (m ') m � � � '� m = + = + = S−1 f � � S−1 f � � + ss ' ss ' s s' �s � �s ' � -3-
� m'� m m � � � '� m � S−1 f � + � S−1 f � � S−1 f � � = + �s s' � s � � �'� s m m' ∀ , S−1M ta có : s s' � m'� m � ' � f (mm ') f ( m) f (m ') f (m) f (m ') − 1 � � − 1 � ' � mm m m S− 1 f � . � S − 1 f � � = = = = . =S f � � f � � .S �s s ' � �ss ' � ss ' ss ' s s' �s � �s ' � � m'� m m � � � '� m � S−1 f � . � S−1 f � � −1 f � �. = .S � s' � s s � � �'� s Khi đó dễ dàng kiểm tra được S−1 là một hàm tử hiệp biến từ phạm trù R – mod vào phạm trù S-1R – mod . Thật vậy, -4-