zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Hệ phương trình vi phân

Chia sẻ: Nguyen Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Báo xấu

365
lượt xem 55
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo bài thuyết trình 'hệ phương trình vi phân', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hệ phương trình vi phân

Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng Ngày 8 tháng 3 năm 2011 Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Định nghĩa Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp 1 là hệ có dạng:  d y1 = f1 (x, y1 , ..., yn )   dx   ................................ (1)  d yn = fn (x, y1 , ..., yn )    dx trong đó x là biến số độc lập, y1 , y2 , ..., yn là các hàm số phải tìm. Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Cho hệ phương trình vi phân (1). Giả sử các hàm số fi (x, y1 , ..., yn ) cùng với các đạo hàm riêng ∂fi (x, y1 , ..., yn ) , i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n, liên tục trong một miền D ∂yj trong R n+1 . Giả sử x0 , y10 , y20 , ..., yn0 là một điểm thuộc D. Khi đó trong một lân cận nào đó của điểm x = x0 có một nghiệm duy nhất của hệ (1) thỏa mãn các điều kiện y1
x=x0 = y10 , y2
x=x0 = y20 , ..., yn
x=x0 = yn0
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Các loại nghiệm của hệ chuẩn tắc Nghiệm tổng quát của hệ (1) là bộ n hàm số yi = ϕi (x, C1 , C2 , ..., Cn ) , i = 1, 2, ..., n trong đó C1 , C2 , ..., Cn là các hằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện sau: 1, Nó thỏa mãn hệ (1) với mọi giá trị của C1 , C2 , ..., Cn ; 2, Với mọi điểm x0 , y10 , y20 , ..., yn0 ở đó các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được một bộ giá trị C1 = C10 , C2 = C20 , ..., Cn = Cn0 sao cho các hàm số yi = ϕi (x, C1 , C2 , ..., Cn ) thỏa mãn các điều kiện ban đầu yi |x=x0 = yi0 , i = 1, 2, ..., n Nghiệm riêng của hệ (1) là nghiệm có được bằng cách cho C1 , C2 , ..., Cn trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định C1 = C10 ; C2 = C20 ; ..., Cn = Cn0 Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp khử Một hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một có thể đưa được về một phương trình vi phân cấp cao đối với một hàm số chưa biết bằng cách khử những hàm số chưa biết còn lại từ những phương trình của hệ. Giải phương trình vi phân cấp cao đó, rồi tìm những hàm số chưa biết còn lại. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 0 y = 5y + 4z z 0 = 4y + 5z Lấy đạo hàm hai vế phương trình đầu ta được:y 00 = 5y 0 + 4z 0 Thay z 0 bởi vế phải của phương trình sau, ta được y 00 = 5y 0 + 16y + 20z 1 Từ phương trình đầu suy ra z = (y 0 − 5y ). Thế vào phương trình trên 4 ta được y 00 − 10y 0 + 9y = 0 Nghiệm tổng quát của phương trình này là: y = C1 e x + C2 e 9x . Tính y 0 rồi thế vào phương trình đầu ta được z = −C1 e x + C2 e 9x Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp khử   dx = y  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình dt  dy = x   dt  dx = 3x − 2y  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình dt  dy = 2x − y  dt y0 = y + z Ví dụ 4: Giải hệ phương trình 0  z =y+ 2 z +x  y0 =  y Ví dụ 5: Giải hệ phương trình z  z0 = 1 y  2 Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp lập tổ hợp giải tích Trong một số trường hợp, có thể tổ hợp các phương trình của hệ lại để được một phương trình vi phân dễ giải. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 0 y =z z0 = y Cộng hai vế phương trình: y 0 + z 0 = y + z ⇒ y + z = C1 e x Trừ hai vế phương trình: y 0 − z 0 = −(y − z) ⇒ y − z = C2 e −x Từ đó suy ra y = 12 (C1 e x + C2 e −x ) ; z = 12 (C1 e x − C2 e −x ) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 0 y = y 2 + yz z 0 = z 2 + yz Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Định nghĩa Hệ tuyến tính thuần nhất hệ số hằng là hệ có dạng:  d y1  dx = a11 y1 + a12 y2 + ... + a1n yn    ........................................... (2)   d yn   = an1 y1 + an2 y2 + ... + ann yn dx Nếu y1 , y2 , ..., yn là nghiệm của hệ (2), dùng ký hiệu vecto Y~ có các thành phần y1 , y2 , ..., yn để chỉ nghiệm ấy. Nếu Y~ 1, Y ~ 2 , ..., Y ~ m là những nghiệm của hệ (2) thì mọi tổ hợp của chúng dạng ~ 1 + C2 Y C1 Y ~ 2 + ... + Cm Y ~m cũng là nghiệm của hệ ấy. Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp giải Tìm nghiệm của hệ dưới dạng y1 = p1 e λx , y2 = p2 e λx , ..., yn = pn e λx (3) trong đó p1 , p2 , ..., pn , λ là những số phải xác định. Sau khi thế (3) vào (2), ta được hệ phương trình sau đối với p1 , p2 , ..., pn :    (a11 − λ) p1 + a12 p2 + ... + a1n pn = 0 a21 p1 + (a22 − λ) p2 + ... + a2n pn = 0  (4)   ............ an1 p1 + an2‘ p2 + ... + (ann − λ) pn = 0  Đó là hệ thuần nhất phải có nghiệm khác không, do đó định thức của ma trận các hệ số phải bằng không. Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng Bài tập Phương pháp giải
a11 − λ a12 ... a1n

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.