Hướng dẫn giải bài 25,26,27,28,29,30 trang 67 SGK Hình học 7 tập 2

Biết rằng: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh bằng một nửa cạnh huyền. hãy giải bài toán sau:
Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải bài 25 trang 67 SGK Hình học 7 tập 2:
∆ABC vuông tại A => BC2 = AB2 + AC2
BC2 = 32 + 42
BC2 = 25
BC = 5

Gọi M là trung điểm của BC => AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên AM = 1/2 BC
Vì G là trọng tâm của ∆ ABC nên:

Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.
Hướng dẫn giải bài 26 trang 67 SGK Hình học 7 tập 2:
Giả sử ∆ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta chứng minh BM = CN

Ta có AN = NB = AB/2 (Tính chất đường trung tuyến)
AM = MC = AC/2 (Tính chất đường trung tuyến)
Vì ∆ ABC cân tại A=> AB = AC nên AM = AN
Xét ∆BAM ;∆CAN có:
AM = AN (cm trên)
Góc A chung
AB = AC (∆ABC cân)
Nên suy ra ∆BAM = ∆CAN (c-g-c)
=> BM = CN ( 2 cạnh tương ứng)

Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên : Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Hướng dẫn giải bài 27 trang 67 SGK Hình học 7 tập 2:

Giả sử ∆ABC có hai đường trung tuyến BE và CF gặp nhau ở G
=> G là trọng tâm của tam giác
=> GB = 2/3 BE; GC = 2/3 CF
mà BE = CF (giả thiết) nên GB = GC
=> ∆GBC cân tại G => ∠GCB = ∠GBC
Xét ∆BGF và ∆CGE có:
GB = GC ( cmt)
góc BGF = góc CGE (2 góc đối đỉnh)
GE = GF
⇒ ∆BGF = ∆CGE (c-g-c)
⇒ BF = CE ( 2 cạnh tương ứng)
Xét ΔFBC và ΔECB có
BF = CE (CMT)
Cạnh BC chung
BE = CF (GT)
⇒ ΔFBC = ΔECB (c-c-c)
⇒ góc B = góc C
Xét ΔABC có góc B = góc C
⇒ ΔABC là tam giác cân tại A. ( 2 góc đáy bằng nhau)

Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI
a) Chứng minh ∆DEI = ∆DFI
b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì?
c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.
Hướng dẫn giải bài 28 trang 67 SGK Hình học 7 tập 2:
a) ∆DEI = ∆DFI có:
DI là cạnh chung
DE = DF ( ∆DEF cân)
IE = IF (DI là trung tuyến)
=> ∆DEI = ∆DFI (c.c.c)

b) Vì ∆DEI = ∆DFI => ∠DIE = ∠DIF
mà ∠DIE + ∠DIF= 1800 ( kề bù)
nên ∠DIE = ∠DIF = 900
c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm
∆DEI vuông tại I => DI2 = DE2 – EI2 (định lí pytago)
=> DI2 = 132 – 52 = 144
=> DI = 12

Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng:
GA =GB = GC
Hướng dẫn giải bài 29 trang 67 SGK Hình học 7 tập 2:

Gọi M, N, E là giao điểm của AG, BG, CG với BC, CA, AB.
Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên

Vì ∆ABC đều nên ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau
=> AM = BN = CE (2)
Từ (1), (2) => GA = GB = GC

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’
a) So sánh các cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC
b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải bài 30 trang 67 SGK Hình học 7 tập 2:

a) So sánh các cạnh của ∆BGG’ với các đường trung tuyến của ∆ABC BG cắt AC tại N
CG cắt AB tại E
G là trọng tâm của ∆ABC
=> GA = 2/3 AM
Mà GA = GG’ ( G là trung điểm của AG ‘)
GG’ = 2/3 AM
Vì G là trọng tâm của ∆ABC => GB = 2/3 BN
Mặt khác : GM = 1/2 AG ( G là trọng tâm )
AG = GG’ (gt)
GM = 1/2 GG’
M là trung điểm GG’
Do đó ∆GMC = ∆G’MB vì :
GM = MG’
MB = MC
∠GMC = ∠G’MB
=> BG’ = CG
mà CG = 2/3 CE (G là trọng tâm ∆ABC)
=> BG’ = 2/3 CE
Vậy mỗi cạnh của ∆BGG’ bằng 2/3 đường trung tuyến của ∆ABC
b) So sánh các đường trung tuyến của ∆BGG’ với cạnh ∆ABC
ta có: BM là đường trung tuyến ∆BGG’
mà M là trung điểm của BC nên BM = 1/2 BC
Vì IG = 1/2 BG (I là trung điểm BG)
GN = 1/2 BG ( G là trọng tâm)
=> IG = GN
Do đó ∆IGG’ = ∆NGA (cgc) => IG’ = AN => IG’ = AC/2
– Gọi K là trung điểm BG => GK là trung tuyến ∆BGG’
Vì GE = 1/2 GC (G là trọng tâm ∆ABC)
=> GE = 1/2 BG
mà K là trung điểm BG’ => KG’ = EG
Vì ∆GMC = ∆G’BM (chứng minh trên)
=> ∠GCM = ∠G’BM (lại góc sole trong)
=> CE // BG’ => ∠AGE = ∠AG’B (đồng vị)
Do đó ∆AGE = ∆GG’K (cgc) => AE = GK
mà AE = 1/2 AB nên GK = 1/2 AB
Vậy mỗi đường trung tuyến ∆BGG’ bằng một nửa cạnh của tam giác ABC song song với nó

Để xem nội dung chi tiết của tài liệu các em vui lòng đăng nhập website tailieu.vn và download về máy để tham khảo dễ dàng  hơn. Bên cạnh đó, các em có thể xem cách giải bài tập của bài trước và bài tiếp theo:

>> Bài trước: Hướng dẫn giải bài 23,24 trang 66 SGK Hình học 7 tập 2 

 >> Bài tiếp theo: Hướng dẫn giải bài 31,32,33 trang 70 SGK Hình học 7 tập 2