Hướng dẫn giải bài tập sức bền vật liệu: Phần 2

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:225

Thêm vào BST

Báo xấu

268
lượt xem 76
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Bài tập Sức bền vật liệu gồm 3 phần: Phần A - Tóm tắt lý thuyết, Phần B - Hướng dẫn giải và bài tập chọn lọc, Phần C - Đề thi Olympic toàn quốc và đáp án (từ 1989 đến 2005). Với phần 1 Tài liệu tìm hiểu toàn bộ phần lý thuyết và một số bài tập chọn lọc. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung Tài liệu để lấy thêm thông tin chi tiết phục vụ cho nghiên cứu và học tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn giải bài tập sức bền vật liệu: Phần 2

C hương 9 DẨM TRÊN NỂN ĐÀN H ổ i 9.1. Cho một dầm có chiểu dài 16m đặt trên nền đàn hồi, chịu 4 lực tập trung Pị, P2, P3 và P4 mỗi lực có trị số bằng 200kN như trên hình 9.1. Hãy tính độ võng và mômen uốn tại mật cắt B của dầm, biết dầm có mặt cắt hình chữ nhật với kích thước b = 60cm, h = 20cm, môđun đàn hồi E = 2.107 kN/m2. Nền có hệ số k0 = 80 M N /m \ Giải: * Phân tích các số liệu về dầm: - Mômen quán tính của mặt cắt: &> 11 ÍX U 3 1 lm lm 1lm b=6m 1 1 J = j g l = 6 .10- Ọ . 10- Y ^ 4 12 12 Hình 9.1 - Hằng số k: k = k0.b = 8.104. 6.10' 1= 4,8.104 (kN/m2) - Tính hệ số m: m =: ỉlJ X = 4 4' 8-1Q4 = 1, l(m ) V 4EJ V 4.2.10 .4.10 rr _ 2 n _ 2.3,14 _ c Tính chu kỳ T : T = — = , ’ = 5,7(m) m 1,1 So sánh và thấy a > T và b > T, nên dầm đã cho thuộc loại dài vô hạn. * Tính các giá trị đề bài yêu cầu: Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính độ võng và mômen uốn tại mật cắt B như sau: - Độ võng tại B: Yb(Pi ’ f*2> P4) = yB^P]) + y B(p2) + + Yb ^ ) - Mômen uốn tại B: M b(P„P2,P3,P4) = M b(P ,)+ M b(P2) + M b(P3) + M b(P4) (b) Tính độ võng và mômen uốn tại mật cắt B do 4 lực Pj, P2, P3 và P4 lần lượt đật tại 4 điểm A, B, c, D gày ra. Trong tính toán cần chú ý đến toạ độ của B đối với các gốc toạ 262
độ lần lượt là A, B, c , D cúa 4 bài toán riêng biệt. Các trị số z B,m zB,r|, T|J lần lượt đối với 4 lực P|, P2, P3 và P4được cho trong bảng dưới đây: Tên các lực tập trung Pi p2 p3 p4 Toạ độ điểm B (zB) + 1,0 (m) 0,0 (m) - 1,0 (m) -2,0 (m) mz 1,1 0,0 -1,1 -2,2 n 0,4476 1.0 0,4476 0,0244 ni -0,1457 1,0 -0,1457 -0,1548 V ậy: y = — y r| = (2.0,4476 +1,0 + 0,0244) = 0,007 l(m) = 7,1 (mm) B 2k 2.4,8.10 M b = — Y r i, = ^ - [ 2 . ( - 0 , 1457) + 1,0 + (-0,1548)] = 25,6 (kNm) 4m 4.1,1 9.2. Cho một dầm dài 12m, đặt trên nền đàn hồi có hệ số nền k0 = 60 M N/m\ Biết dầm mặt cắt hình chữ nhật có b = 1,0 m và h = 0,8 m, dầm chịu các tải trọng q = 20kN/m; p = 300kN; M = 90kNm. Môđun đàn hổi cùa dầm E = 1.107 kN/m2 (hình 9.2). Yêu cầu: Vẽ biểu đồ mômen uốn M và biểu đồ lực cắt Q cho dầm cho trên hình 9.2. M (!) u--- 4m 4m ị 4m - .-■-.H------ bì © (kN) c) ® (kNm) 263
Giải: • Xác định các đặc trưng của dầm và nền: - Mỏmen quán tính: J = —2_ = 0,04266 (m4) = 4266000 (cm4) 12 12 - Tính hệ số k: k = kQ.b = 6.104 X1,0 = 6 .104 (kN/m2). - Tính hệ số m: m=ỉ J ------7— ------- = 0,4332 (m _l) V 4EJ ]j 4.10 .0,04266 suy ra: m2 = 0,1877; m3 = 0,0813; m4 = 0,0352. • Viết phương trình mômen uốn và lực cắt cho dầm: - Lập bảng thông số ban đầu cho các đoạn của dầm: Bảng thông sô' ban đầu Đoạn AB (zA = 0) Đoạn BC (zB = 4m) Đoạn CD (zc = 8m) 0 0 < < II II y0 * ° u 05 0 0 < 0o * 0 A0C = 0 II % 0 < Mo = 0 AM b = -M II u nQ Aq’B = 0 n~ II q'o = 0 0 - Viết phương trình mômen uốn và lực cắt cho các đoạn dầm Đoạn AB: M,(z) = - - A „ Cm + Ị ^ D m m m m Q l(z) = PAra2 + ^ B m2 + Ị ^ C mỉ (0 < z < 4 ) m m Đoạn BC: M2(z) = M ,(z )- M Am(z^ - - ^ - C m(z.4) m Q2( z ) - Q ,(z) + 4mM D m(z.4)- - ^ B m(z_4) (4 < z < 8) m ĐoạnCD: M3(z) = M2( z ) - — Bm(z.g) m Q ,(z) = Q2( z ) - P A m(z.8) (8 < z < 12) 264
- Tính các hệ số phụ: 1 =- ^ = I3.9.10J P =^ L = 693,0 m 0,4332 m 0,4332 = = 32,0.104 j- = 20— = 46,2 m 0,4332 m 0,4332 J L = 6' 10^ = , . m 0,4332 73 8 104 Ạ m = n ! ĩ ?; =107’ ° 0,4332 4mM = 4x 0,4332 X90 = ỉ 59,0 - Tìm các thông số yQvà 0Otừ điều kiện mômen uốn và lực cắt tại cuối dầm: Q .U = o M3| z=,-=-M = -9 0 (a) Khai triển (a) ta được hộ 2 phương trình sau chứa các thõng số y0 và 0o: 300Am, 4- 13,9.104yoBm/ + 32,0. Ì O X C ^ 159,0Dm(f.4) + 46.2 Bm(,.4)- 300 Amơ.8)= 0 (b) - 693Bm, + 32,0.104yo Cm, + 73.8. 1ơ s0„ Dm, - 90Am(,.4) - 107,0 c míí.4)- 693,0 Bm(f.g) = - 90 Tính trực tiếp hoặc tra bảng các hàm Krưlốp với trị số các đối số là: mí = 0,4432.12 = 5.2 m(í-4) = 0.4432.(12- 4) = 3,47 m (f-8) = 0,4432.(12 - 8)= 1,73 Ta được giá trị hàm Krưlốp, thay vào (b), kết quả giải ra được: y0 = 4,32. 10’' (m); 0O= - 17,18.104 (rad) (c) Với các giá trị y0và 0Ovừa tìm được ta viết được phương trình cuối cùng của mômen uốn và lực cắt trong các đoạn dầm như sau: + Đoạn AB: (0 < z < 4) M,(z) = 693Bmz + 1352Cmz- 1312 Dmz Q,(z) = -300Amz + 587,3B - 569Cmz (d) 265
+ Đoạn BC: (4 < z < 8) M2(z) = M,(z) - 90Am(z.4)- 107Cm(z.4) Q 2( z ) = Q |(z) +159 Dm(z.4)- 46,2Bm(z.4) (e) + Đoạn CD: (8 < z < 12) M 3( z ) = M 2( z ) - 693Bm(z.8) Q 3( z ) = Q 2( z ) - 300Am(z.g) (f) • Vẽ biểu đồ mômen uốn và [ực cắt. Chia dầm bằng 13 mặt cắt cách đều nhau lm . Tính giá trị các hàm Krưlốp ứng với các giá trị của đối số mz. m(7 4), m(z-8) và tính đươc giá trị của mômen uốn và lực cắt trên 13 mặt cắt tương ứng với các giá trị z = 0, 1, 2...... 12. Vẽ biểu đổ lực cắt và mômen uốn với các giá trị đã tính được như trên hình 9.2b, c. 9.3. Một thanh gỗ có mặt cắt hình chữ nhật chịu một lực p được thả nổi không ngập trên mặt nước. Tính ứng suất và độ võng tại mạt cắt đặt lực p, biết: p = 500N, / = 10 m, b = 20cm, h = lOcm. Gỗ có môđun đàn hồi E = 1.10* N/cm2. Giải: Do tính đối xứng nén có thể xéi mội nửa dầm nhu hình 9.3, các thông số ban đầu là: F a) 2 z C/2 b tn Hình 9.3 v0 = v,max ; 0Q - 0 ’ Mo - Mmax’ Qo - -P/2; Biểu thức mômen uốn và iưc cắt: p kv M = M0A mz- - ^ B mz+^ C , mz m p kv Q = - 7 A mz+^ B mz-4 rn M 0Dmz 2 m 266
Điều kiện đế xác định v0 và M0. Khi z = - , Q = 0, M = 0. 2 Thay vào hai biểu thức trên, rút ra. 2B +- A , mP m~ m' v 0 = v max (a) k 4C . L’ +- B Ị A ( m“ m- m- m— mpB Ị - 2 k v ,,c , M„ = Mmax=- (b) 2m 2A Phán lực của nước: p = kv = bvy trong đó: k = by và m V4FJ V-4F:j Thay bằng số: m __ = 2,34.1 o-3 1 /cm "1, 4.1 ÌO6.-2'0' 10' 12 k = 20.10 2 = 0 ,:ĩ H/cn-i2. c Khi z = —= 500 cm; 2 A ' =0,670; B ( = ỉ,0 9 7 ; m- c f =0,670; D c = 0,265 . m- m- 2 Thay các giá trị này vào (a) và (b), tính được: vmax = 3,2.5c-m:. M!max = 54200Ncm. ứng suất pháp lớn nhất: M. bh2 b 6.54200 ———— = 163 N/cm 2CS.10 267
9.4. Thành lập biểu thức của lực cắt, mômen uốn, góc quay và độ võng của dầm đặt trên nền đàn hồi cho trên hình 9.4. Vẽ biểu đồ của các đại lượng đó. Cho hệ số dầm nền m = 0,002 lcm '1. Hình 9.4 Giải: Dấm gồm ba đoạn: Báng thông số ban đầu: Đoạn 1 Đoạn 2 Đoạn 3 1 ỉ o o Av03 = 0 < >o >o II II c> oOG 0o = O A0O2 = 0 II o -I M„ = ? a m 02 =0 AMqiị = 3kNm ỉ đ AQ02 = -lO kN AQ03 = 0 II o q0 = -lO kN/m Aq02 = 0 Aq
M , = M, - — B , 2 ' m ,,l(/ ?l Q2 - Q . - P A m(, , ) - Đoạn 3: (5m < z < 7m) M EJ v , = E J v 2 - f i - C , 5). m M EiG, = EJ62 “ _ B ( 5 1 , m ■' ' 1 M, = M2 + MAm(z_s), Q ^= Q ĩ - 4mMDm(,-
M, = -2 2 6 ,8Cmz - 1546AIĨU + 329,2B Đoạn 2: (2m < z < 5m) EJv2 = EJv, - 3239Dm(z_2). EJ92 = EJ0, - 6 8 0 ,3Cm(z_2), M ỉ = M I -143,8B mU_2). Q2 = Qi ~ 30Am(z_2). - Đoạn 3: (5m < z < 7m) EJv^ = EJv 2 + 6 8 ,0 2 C mU_S). EJ0, = E J0 2 +14,29BmU_5), M-, - M2 + 3Am(z_5), Q t - Q 2 2,52D m(z_5). © Q Dựa vào bảng giá trị các hàm Krưlôp, ta (kN) Hình 9.4 tính và vẽ được biểu đồ như trên hình 9.4. 9.5. Viết biếu thức độ võng và mômen uốn ớ điểm c giữa của một dầm có gối cứng ớ hai đầu như trên hình 9.5, đặt trên nền đàn hồi và chịu tải trọng phân bố đều. ĐS: í m£Ì ( mf' 2ch cos Ị l 2 ) { 2 , yc = M c h (m í) + cos(m í) í ( mC) Hình 9.5 sh — sin --- l 2 , ^2 s Mc = q 9.6. Hai dầm thép chữ I số 30 đặt trên nền đất chặt có hệ số nền k0 = 100MN/cm2 chịu tác dụng của xe ô tỏ tiêu chuẩn H30, trọng lượng các trục xe ghi trên hình 9.6. Tính độ võng và mómen uốn của dầm ớ các mặt cắt tại điếm A. B và c . Coi như dầm dài vô hạn. 270
™ , XT 120 kN 120 kN Pi5 kN 85 kN 87 kN 87 kN 90 kN 60 kN ị ị ị ị 1_________6m_______ I l,6m -JbỊ*. i, 146 cm,1, 143 cm,| , 143 cm-Ị l46cm^| Hình 9.6 Hình 9.7 ĐS: V A= 0,096 cm; v 3 = 0,285 cm; v c = 0,287 Ctrl M a = 11 kNm; Mb = 18,3 kNm; Mc = 18,3 kNm 9.7. Một dầm dài vô hạn đật trên nên đàn hối chịu [ực như hình 9.7 Tính ứng suất pháp lớn nhất tại mặt cắt A. Cho biết hệ sô' m = — cm "1, mômen uốn của mặt cắt ngang của dầm W x = 180 cm \ ĐS: a n 2,92 kN/cm p, = SOkN P2 = 90kN q = 2000 kN/m 9.8. Một dầm dài vô hạn đặt trên nén đàn ị hồi chịu lực như hình 9.8. Tính ứng suấl pháp lớn nhất tại mặt cắt A. L 2 m . im 5m Cho biết: m = l/20cm '\ Wx = 200cm\ I Hình 9.8 Đ S : c mu, - 2,31 kN /ũìĩ 9.9. Viết các thông sô ban đau của các (lầm đặt trèn nền đàn hồi cho trên hình 9.9. Viết các điều kiện biên đế xác định các thông S..Ổ ban đầu chưa biết. q = ^ kN/m ■Ị 7— I---- bì 4m -I p = 2 Cj = 3 M = 5 c) 'ỉ ề Á h ủ Â ầ I 3m ; 4m Hì nh 9.9 271
Đ S: a) b) Đoạnl Đoạn 2 Đoạn 3 Đoan 1 Đoạn 2 v„ = "> < o o o Av„j = n ỉ\ > v„ = 9 II II II r-Ị 3 1 CD ủ0o2 = 0 o o ỉ [> s Ổ o < o AQI12 = - p II Qo = 9 o II II Q 1 £>> -Ó 1 q„ = 0 Aq(lj = 0 Aq(), = -q Aq(n = q II c) d) Đoạnl Đoạn 2 Đoạnl Đoạn 2 o o Av02 = 0 < v„ = ? > II II 0„ = ? II ' II > II o o \p M„ = ? a m „2 = 0 II AM,n = 0 o II II > AQ(I2 = o o Q„ = ? Q p q(l = 0 < q„ = 0 cr âq 2 = -q II rN Với z = 7m, M-, = -M , v7 = 0 VỚI z = 4m, M2 = 0 z = 7m, Q2 = 0, M2 = 0. 272
Chương 10 THANH CONG PHANG 10.1. Vỗ biểu đồ nội lực cho thanh cong đặt trẽn 2 gối tựa A và B chịu lực tập trung p có phương thắng đứng như trên hình 10.la. Biết rằng trục cong là một nửa đường tròn bán kính R. Rsinq) S K /Qy K ỉjp / I/ b) Iỉình 10.1 Giải: Nhận xét: Do tính chất đối xứng của hệ nên phán lực tại gối VA = VB = P/2, biểu đồ lực dọc Nz và mổmcn uốn Mx sẽ đối xứna qua trục thắng đứng, còn biểu đồ lực cắt Qy sẽ phán đối xứng qua trục thảng đứng. Dùng mặt cắt hất kv m-n chia thanh cong làm 2 phần, giả sử xét cân bằng của phần bẽn phái (hình lO.lb) ta được: Iz = 0 N, T Vị,cos
p 7T Giải ra: N = ---c o s(p (0 < c p < --) (a) 2 2 Zy = 0 Qy + VBsincp = 0 Giải ra: Q y = - f s in c p (0 < c p < ^ ) (b) XM0 = 0
R =R ——= 10 —■—= 7,5 cm 2 2 R =R , + - = 10 + 1 = 12,5 cm 2 2 Tính bán kính cong r của thớ trung hoà: h 5 _ 5 r = — TT“ = — r v r = — — ~ 9 , 4 5 cm , R, , 12,5 0.5108 ln ln — - R, 7,5 - Tính mômen tĩnh: icrrr s x = y c .F = ( R 0 - r) . bh = ( 1 0 - 9 , 45).3.5 = 8,25« - Tính các toạ độ Ỵị và y2: Yị = Rị - r = 7,5 - 9,45 = -1,95 cm y-, = Ri - r = 12,5-9,45 = 3,05 cm 2) Tính ứng suất ơ max và ơ mm lheo công thức ( 11-6>) và (] 1-7): - Tại điếm biên xa tâm cong nhãt: _ M y2 2.1()~- 3,05.10~2 c n i c x „ T/„ 2 ơ m.,x = — ■—-— r . - — 59, 15 M N /m z sx R2 8,25.10 12,5.10 - Tại điểm biên gần tâm cong nhất: _M y, 2.1CT--1.95.10"2_ , 2 ơ min = — —— 7-. — —- V - = -63,03 M N /m s x R| 8,25.10'"67,5.10'2 Biếu đồ ứng suất pháp ơ z vẽ như trên hình ]0.2.b. 10.3. Hãy kiểm tra bền cho móc cẩu khi nâng vật nặng p =lOOkN (hình 10.3). Biết rằng mặt cắt ngang của móc cấu có dạng hình thang cân với b| = 8cm, b2 = 3 cm, h =12 cm và vật liệu làm móc cẩu có [ơ] = 160 MN/nr. Giải: 1)Bước 1: Xác định các sô liệu của mặt cát: Diện tích: b|+b, 8+3 2 F = - L- —- h = — . 12 = 66 cm 275
A-A 8cm 12cm Hình 10.3 Trọng tâm c (so với đáy b| của mặt cắt): _1. b, — - b ,Ị-. h. . _h 2 2 3 / 1 bị —b2 b2h + 2 12 12 3.12- - + 2 2 3 = 5,09 cm 3.12 + 2 1 •12 2 ' 2 Bán kính cong trục thanh: R0 = 8+yc = 8 + 5,09 = 13,09 cm Xác định bán kính cong của thớ trung hoà theo công thức trong bảng: _ ( b |+ b2)h2 (b]R9 - b 2Ri)ln — -(b | - b 2)h R, (8 + 3).12 -12,26 cm (8.20-3.8) l n ^ - ( 8 - 3 ) .1 2 Mômen tĩnh Sx của mặt cắt đối với trục trung hoà x: sx = yc.F = (Rị, - r)F = (13,09 - 12,26).66 = 54,8 cm3 Xác định toạ độ gần tâm cong nhất Y| và xa tâm cong nhất y2: Yị = R ị - r = 8 -1 2 ,2 6 = - 4 , 2 6 cm y2 = R 2 - r = 2 0 -1 2 ,2 6 = 7,74(cm ) 276
2) Bước 2: Kiếm tra bển cho móc cấu - Tính nội lực tại mặt cắt nguy hiếm nhất (mặt cắt A-A): N, =+P= lOOkN M x = —P.R(J - -100.13,09.10"2 = -13,09 (kNm) - Tính ứng suất pháp lớn nhất ơ m.ix và ơ rrjn: + Tại điếm biên gần tâm cong nhất: M x y, -13,09 —4,26.10““ 2x r _ i_ -Ị^ l .ZL = — i r — ------ 142,4 (M N /m )
a) c) ® (kN) dì 1,77 @ (kN ) Biểu thức nội lực ở các đoạn: -Đ oạn 1 (BD): (0 < (Pi | - BcosỌị, Qị = PcosỌị - Bsin(pj, M ị = PRsincpị - B R (l-cosỌ |). - Đoạn 2 (DC): (90° < (p2 < 135°) N2 = -Psincp2 - Psin ( cp2 -B c o s(p 2, V 2 í _\ Q 2 = p cos cp2 - B sin cp2 + p cos
- Đoạn 3 (AC) (0 < (p3 < 45°) N3 = VAcosọ3 - HAsin(p3 Q3 = -V Asin(p3 - HAcos: ~ 4 ,2 c m . 4 [a] V*M Chọn R = 5cm, tức lằ d = lOcm. d2 Khi đó: >',h = = 1 l,45cm . Ì2r(, —V4rổ _ íj2 ) a = r0 - rth = 12-11,45 = 0,55 cm. ứng suất lớn nhất trong thanh cong: _N _M_ 1 - 102 + 635 = 737 N / cm2 < [ơ] F + F.a r„ -R 10.6. Một thanh cong có mặt cắt ngang là hình vuông rỗng bị uốn thuần tuý. Bán kính cong của mép trong là 0,5h. So sánh giá trị ứng suất pháp cực đại và cực tiểu trên mặt cắt khi tính thanh cong này theo lý thuyết thanh cong và khi tính gần đúng theo lý thuyết thanh thẳng (xem hình 10.6 ). 279
G iả i: Xác định vị trí đường trung hoà: 0,6h2 r ih = 0,8 8 h . l,5h l,3h h.ln - - 0,6 h.ln 0,5h 0,7h ứng suất cực trị: M_ M f 0, 88h A mi n = 1- — = - 9 ,3 7 5 ^ - . Fa V r2 / 0 ,64 h 2 (l - 0 ,8 8 ) h V 0,5h h M_ M 0 , 88h = l _íãL = 5 39 — mi n Fa V ‘I / 0 ,6 4 h 2 (l - 0 ,8 8 ) h l,5h ’ h3 ' Tính theo lý thuyết thanh thẳng: 0.5h . M ơ m a x = ơ mi.n = w M ( l - 0 , 6 4) 9 ,3 7 5 -6 ,8 9 3 Sai số về ứng suất nén: 26,5% . 9,375 H ỉ n h 1 0 .6 6 ,8 9 3 -5 ,3 9 0 Sai số về ứng suất kéo: = 27,9% . 5,390 10.7. Vẽ biểu đồ nội lực cho các thanh cong trên hình 10.7. a) Hình 10.7 Đ S: Độc giả tự vẽ. 280
10.8. Vẽ biếu đồ nội lực của các thanh cong cho trên hình 10.8. ĐS: Cho trên hình vẽ q= 10 kN/in a) 20 20 b') ® qR © Ilình 10.8 281