Hướng dẫn giải toán cao cấp A3

Chia sẻ: Nguyễn Văn Quân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

2.007
lượt xem 391
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'hướng dẫn giải toán cao cấp a3', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn giải toán cao cấp A3

HƯ NG D N GI I ð KI M TRA GI A KỲ MÔN: TOÁN CAO C P A 3 (ðHTC) Th i gian: 30 phút (Các ñ khác gi i tương t ) Câu 1. Cho hàm s f (x, y) = y 2e x − x 2 + xy + 1 , k t qu vi phân c p m t df (0, −1) là: A. – 2dy; B. 2dx + 2dy; C. 6dx + 4dy; D. 2dx – 4dy. f x = y e − 2x + y f x/ (0; −1) = 0 / 2x   ⇒ / ⇒ A. HD.  / f y = 2ye + x f y (0; −1) = −2 x   Câu 2. Cho hàm s z = x 3 − x 2 y + y 2 , k t qu vi phân c p hai d2z(1,–1) là: A. 12dx2 – 8dxdy + 2dy2; B. –12dx2 + 8dxdy + 2dy2; 2 2 D. –8dx2 + 4dxdy + 2dy2. C. 8dx – 4dxdy + 2dy ; z //2 = 6x − 2y z //2 (1; −1) = 8 x x z x = 3x − 2xy  // / 2   // ⇒ z xy = −2x ⇒ z xy (1; −1) = −2 ⇒ C. HD.  / z y = − x 2 + 2y   //  //   z y2 = 2 z y2 (1; −1) = 2   Câu 3. Tìm c c tr c a hàm s z = x3 + 2y3 – 3x2 – 3x – 10y. Kh ng ñ nh nào sau ñây là ñúng ? A. z có 4 ñi m d ng; B. z có 3 ñi m d ng; C. z có 2 ñi m d ng; D. z có 1 ñi m d ng. z x = 3x − 6x − 3 = 0 / 2  ⇒ A. HD.  / z y = 6y − 10 = 0 2  Câu 4. Tìm c c tr c a hàm s f (x, y) = x 3 − 3y 2 − 6y − 3 v i ñi u ki n x – y = 1. Kh ng ñ nh nào sau ñây là ñúng ? B. f(x,y) ñ t c c ñ i t i ñi m M(0;–1); A. f(x,y) ñ t c c ñ i t i ñi m M(2; 1); C. f(x,y) ñ t c c ti u t i ñi m M(0;–1); D. f(x,y) không có c c tr . HD. x − y = 1 ⇒ y = x − 1 ⇒ f = x − 3x ⇒ f = 3x − 6x = 0 ⇔ x = 0, x = 2 . 3 2 / 2 L p b ng bi n thiên, ta th y f ñ t c c ñ i t i x = 0. Suy ra M(0;–1). ðáp án B. ∫∫ f(x, y)dxdy , trong ñó D là mi n gi Câu 5. Xác ñ nh c n c a tích phân I = i h n b i các ñư ng D y = −x và y = x ta có k t qu là: 2 −x 2 0 0 x ∫ dx ∫ ∫ dx ∫ A. I = B. I = f(x, y)dy ; f(x, y)dy ; −1 −1 −x 2 x −x 2 1 x 1 ∫ dx ∫ ∫ dx ∫ C. I = D. I = f(x, y)dy ; f(x, y)dy . −x 2 0 0 x
HD. V mi n D (xem hình), ta có: D = {−1 ≤ x ≤ 0, x ≤ y ≤ − x 2 } ⇒ A. ∫∫ (x2 + y2 )dxdy , trong ñó D là mi n gi Câu 6. ð i bi n trong t a ñ c c c a tích phân I = ih nb i D các ñư ng x 2 + (y − 2)2 = 4 và x 2 + (y − 1)2 = 1 ta có k t qu là: π π 4 cos ϕ 2 ∫ dϕ ∫ r2dr ; ∫ dϕ ∫ B. I = A. I = 3 r dr ; 2 cos ϕ 0 1 0 π 2 sin ϕ π 4 sin ϕ ∫ dϕ ∫ ∫ dϕ ∫ C. I = D. I = 3 r3dr . r dr ; sin ϕ 2 sin ϕ 0 0 HD.  x = r cos ϕ ⇒ J = r, x 2 + y 2 = r 2 . ðt  y = r sin ϕ  r1 = 2sin ϕ Th x, y vào phương trình hai ñư ng tròn:  .  r2 = 4sin ϕ V mi n D (xem hình), ta có: π   D = 0 ≤ ϕ ≤ , 2sinϕ ≤ r ≤ 4sin ϕ  ⇒ D.   2 ∫∫ f(x, y)dxdy Câu 7. ð i bi n t ng quát c a tích phân I = b ng cách ñ t u = x + y , v = x − y D trong ñó D là mi n gi i h n b i 1 ≤ x + y ≤ 2 và 0 ≤ x − y ≤ 3 ta có k t qu là: 2 3 2 3 u + v u − v  u + v u − v  1 1 f f A. I = − ∫ du ∫ B. I = ∫ du ∫  dv ;  dv ;   ; ; 2 2  2 2    21 21 0 0 2 3 2 3 u + v u − v  u + v u − v  dv ; f D. I = −2∫ du ∫ f  C. I = 2∫ du ∫  dv ;    ; ; 2   2 2   2 1 0 1 0 u+v  x= u = x + y  x/ x /v  1 1 ⇒ J = ; D uv = {1 ≤ u ≤ 2,0 ≤ v ≤ 3} ⇒ B. 2 ⇒J= u =− ⇒ HD.  v = x − y y = u − v / / 2 2 yu y v   2 Câu 8. Giá tr c a tích phân I = 4 ∫∫∫ xydxdydz , trong ñó mi n V = [0;1] × [0;2] × [1;2] , là: V A. I = 8 ; B. I = 6 ; C. I = 4 ; D. I = 2 ;
1  2  2  HD. I =  ∫ 2xdx   ∫ 2ydy   ∫ dz  ⇒ C. 0  0  1  ∫∫∫ cos Câu 9. Tích phân I = x 2 + y2 dxdydz , trong ñó V gi i h n b i z = 4 − x 2 − y 2 và z = 0 V có bi u di n sang t a ñ tr là: 2π 4 −r 2 2π 4 − r2 2 2 ∫ dϕ ∫ cos rdr ∫ ∫ dϕ ∫ r cos rdr ∫ A. I = B. I = dz ; dz ; 0 0 0 0 0 0 2π 2π 2 0 2 0 ∫ dϕ ∫ r cos rdr ∫ ∫ dϕ ∫ cos rdr ∫ C. I = D. I = dz ; dz . 4 − r2 4 −r 2 0 0 0 0 HD.  x = r cos ϕ 0 ≤ r ≤ 2  ð t  y = r sin ϕ ⇒ J = r, x 2 + y 2 = r 2 . Chi u V lên Oxy ta ñư c D : x 2 + y 2 ≤ 4 ⇒  . 0 ≤ ϕ ≤ 2 π z = z  Th x, y vào phương trình z = 4 − x 2 − y 2 ⇒ 0 ≤ z ≤ 4 − r2 ⇒ B . ∫∫∫ f(x, y, z)dxdydz , trong ñó V : x2 + y2 + z2 ≤ 2z có bi u di n sang Câu 10. Tích phân I = V t a ñ c u là: 2π π 2 cos θ ∫ dϕ ∫ sin θdθ ∫ A. I = r2 .f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)dr ; 0 0 0 2π π 2 sin θ ∫ dϕ ∫ sin θdθ ∫ B. I = r2 .f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)dr ; 0 0 0 π 2π 2 cos θ 2 ∫ dϕ ∫ sin θdθ ∫ C. I = r2 .f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)dr ; 0 0 0 π 2π 2 sin θ 2 ∫ dϕ ∫ sin θdθ ∫ D. I = r2 .f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)dr . 0 0 0 HD. Biên c a V là m t c u (S) : x2 + y 2 + z2 − 2z = 0 ⇒ (S) ti p xúc Oxy t i O.  x = r cos ϕ sin θ π  ð t  y = r sin ϕ sin θ ⇒ J = r 2 sin θ, 0 ≤ θ ≤ . 2 z = r cos θ  Th x, y, z vào phương trình (S): r = 2 cos θ ⇒ 0 ≤ r ≤ 2 cos θ . Chi u V lên Oxy, ta ñư c D : x 2 + y 2 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ ϕ ≤ 2 π ⇒ C. ----------H t----------