Hướng dẫn giải toán trên máy tính với maple: Phần 2

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

124
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung của phần 1 Tài liệu Giải toán trên máy tính với maple, phần 2 giới thiệu tới người học các kiến thức: Vẽ đồ thị trong Maple, lập trình cơ bản với Maple, các thành phần đồ họa và Maple. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn giải toán trên máy tính với maple: Phần 2

51 Giải toán trên máy tính với Maple Chương 3 VẼ ĐỒ THỊ TRÊN MAPLE Maple cung cấp cho ta nhiều cách để biểu diễn dữ liệu cũng như các biểu thức toán học, một trong số đó là sử dụng đồ thị. Với đồ thị, ta có thể hình dung bài toán và các khái niệm một cách rõ ràng hơn.  Maple có thể vẽ các loại đồ thị của hầu hết các hàm cơ bản cũng như các hàm ẩn, hàm có tham số. Những đồ thị này có thể hiển thị theo dạng 2-D, 3-D và có thể chuyển động.  Maple chấp nhận nhiều loại hệ trục tọa độ khi vẽ đồ thị.  Các vùng hiển thị đồ thị trong Maple rất sống động, vì vậy, ta có thể làm nhiều thao tác trên đó.  Ngoài ra, Maple cung cấp nhiều tùy chọn trên đồ thị như: tùy chọn các loại trục tọa độ, tiêu đề, màu sắc, hình dáng... Ðiều này giúp ta hoàn toàn chủ động khi làm việc với các đồ thị. Thông tin về các loại đồ thị có sẵn trong Maple được trình bày trong mục Plotting Guide của phần trợ giúp Help. 3.1. Các cách vẽ đồ thị Maple cung cấp nhiều phương pháp khác nhau giúp ta dễ dạng tạo ra các đồ thị như:  Dùng giao diện vẽ đồ thị tương tác (Interactive Plot Builder).  Dùng menu ngữ cảnh (Context Menu)  Kéo đồ thị từ vùng này đến một vùng đồ thị khác (dragging)  Dùng lệnh Mỗi phương pháp có một thuận lợi riêng và còn phụ thuộc vào loại đồ thị ta muốn vẽ cũng như các thiết lập riêng cho mỗi đồ thị. 3.1.1. Giao diện vẽ đồ thị tương tác Đây là một chương trình được tạo dựng sẵn trong thư viện của Maple giúp ta vẽ được nhiều loại đồ thị như: các đồ thị thông thường, đồ thị tương tác (hay đồ thị theo tham số), vận động của đồ thị và vận động của đồ thị tương tác. Với mỗi loại đồ thị ta có thể tạo ra:  Đồ thị trong không gian 2 chiều (2-D), 3 chiều (3-D);  Đồ thị 2-D trong tọa độ cực;
Chương 3. Vẽ đồ thị trên Maple 52  Đồ thị phức 2-D, 3-D;  Đồ thị mật độ 2-D;  Đồ thị các trường vectơ gradient 2-D;  Đồ thị hàm ẩn 2-D. Để mở giao diện vẽ đồ thị, từ menu Tools ta chọn Assistants rồi chọn Plot Builder. Cửa sổ "Specify Expressions" Cửa sổ "Select Plot Type"  Nhập biểu thức cần vẽ đồ thị và chọn biến để vẽ tại cửa sổ Specify Expressions. Nhấn OK để sang cửa sổ Select Plot Type.  Cửa sổ Select Plot Type: chọn kiểu đồ thị và các dạng tương ứng của đồ thị, nhập vào các miền trên hệ trục tọa độ mà đồ thị hiển thị. Nhấn Plot để hiển thị đồ thị hoặc chọn Options để thiết lập các tùy chọn. a. Vẽ đồ thị hàm một biến ( ) Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số trên khoảng ( )  Mở giao diện vẽ đồ thị: Tools → Assistants → Plot Builder. Lưu ý rằng khi Plot Builder mở ra thì Maple cũng chèn vào trong giao diện chính lệnh plots[interactive](); tại vị trí con trỏ.  Trong cửa sổ Specify Expressions: nhấn Add để nhập biểu thức sin(x)/x rồi nhấn OK để mở cửa sổ Select Plot Type.  Vẽ đồ thị: chọn loại đồ thị 2-D plot và miền vẽ đồ thị theo biến x, miền vẽ đồ thị là khoảng ( ) rồi nhấn Plot để vẽ. , -()
53 Giải toán trên máy tính với Maple b. Vẽ nhiều đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ Maple có thể vẽ đồ thị của nhiều biểu thức trên cùng một hệ trục giúp cho việc so sánh và đối chiếu các đồ thị dễ dàng hơn. Giao diện vẽ đồ thị có thể làm được điều này. Ví dụ 2: Vẽ đồ thị các hàm số ( ) ( ) ( ) và ∫ ( ) trên cùng một hệ trục tọa độ.  Mở giao diện vẽ đồ thị Plot Builder. Giao diện này chấp nhận việc nhập biểu thức vào dưới dạng 1-D Math và có thể thực hiện một số phép tính cơ bản. Chẳng hạn, nếu nhập vào ( ( ) ) thì trong cửa sổ Expression sẽ hiển thị biểu thức ( ) .  Trong cửa sổ Specify Expressions: thực hiện lần lượt việc nhập các biểu thức ( ) ( ( ) ) và ( ( ) ).  Trong cửa sổ Select Plot Type:  thay đổi miền vẽ đồ thị ở x Axis là khoảng  nhấn Options để mở cửa sổ Plot Options nếu muốn thêm một số tùy chọn.  Nhấn Command để trả về cú pháp lệnh vẽ các đồ thị trên.  Để hiển thị đồ thị ta kích chuột phải vào lệnh mới tạo ra ở giao diện chính rồi chọn Evaluate.
Chương 3. Vẽ đồ thị trên Maple 54 Theo mặc định, Maple hiển thị mỗi đồ thị một màu khác nhau. Ta cũng có thể chọn các dạng đường khi hiển thị đồ thị như: solid, dashed, hay dotted. Tham khảo trong plot/options ở trang trợ giúp help để tìm hiểu thêm về các tùy chọn. c. Vẽ đồ thị hàm nhiều biến Maple có thể vẽ các đồ thị trong không gian 3 chiều và cho ta một số tùy chọn khi vẽ như: các kiểu ánh sáng, kiểu bề mặt của đồ thị, hoặc bóng của đồ thị... Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số ( ) ( ) trên miền , - , -.  Mở giao diện vẽ đồ thị Plot Builder.  Nhấn Add và nhập biểu thức ( ) rồi nhấn OK.  Trong cửa sổ Select Plot Type:  Thay đổi miền vẽ đồ thị: x Axis: -3…3, y Axis: -3…3.  Nhấn Options.  Trong cửa sổ Plot Options:  Ở cột Variables, thay đổi trong ô Range from: 0 … 0.5.  Ở cột Label, nhập z.  Ở ô Style, chọn surface.  Trong ô Miscellaneous, phần Grid Size, chọn 40, 40.  Có thể nhấn Preveiw để xem trước hình ảnh đồ thị và chỉnh sửa các tùy chọn hoặc nhấn Plot để thực hiện vẽ đồ thị.
55 Giải toán trên máy tính với Maple d. Vẽ đồ thị hàm biến phức Maple có thể vẽ đồ thị bảo giác (conformal plot) của hàm số phức trong không gian 2 chiều hoặc trên mặt cầu Riemann 3 chiều. Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số phức trên khoảng ( )  Mở giao diện vẽ đồ thị, nhấn Add nhập vào biểu thức z^3  Trong cửa sổ Select Plot Type:  Chọn 2-D conformal plot of a complex-valued function.  Thay đổi miền xác định của biến z: 0 … 2+2*I.  Nhấn Plots Options.  Trong cửa sổ Plot Options:  Trong phần Axes chọn normal.  Trong phần Miscellaneous, ở ô Grid Size nhập 30, 30.  Nhấn Plot để vẽ đồ thị.
Chương 3. Vẽ đồ thị trên Maple 56 e. Vẽ đồ thị trong tọa độ cực Theo mặc định, việc vẽ đồ thị trong Maple luôn thực hiện trên tọa độ Cartesian. Tuy nhiên, nó cũng có các tùy chọn cho phép vẽ đồ thị trong các hệ tọa độ khác như: hyperbolic, parabolic, hệ tọa độ cực (polar),…trong không gian 2 chiều, hoặc bipolar cylindrical, bispherical, cylindrical,… trong không gian 3 chiều. Để biết thêm thông tin về các hệ tọa độ, tham khảo phần coords trong trang trợ giúp Help. Ví dụ 5: Vẽ đồ thị ( ) ( )  Mở Plot Builder, nhấn Add nhập biểu thức: 1+4*cos(4*theta) rồi nhấn OK.  Trong cửa sổ Select Plot Type:  Chọn kiểu đồ thị 2-D polar plot.  Thay đổi khoảng trong Angle là 0 .. 8*Pi.  Nhấn Options.  Trong cửa sổ Plot Options:  Ở phần Color chọn Magenta.  Nhấn Plot để vẽ đồ thị f. Vẽ đồ thị tương tác Với giao diện vẽ đồ thị Plot Builder, ta có thể vẽ các đồ thị tương tác, đó là các đồ thị mà người dùng có thể điều chỉnh được giá trị biến và làm thay đổi hình dạng đồ thị một cách trực tiếp. Để làm được điều này ta phải nhập một biểu thức theo 2 hoặc nhiều biến và chọn Interactive Plot with 1 parameter từ danh sách Select Plot Type and Functions. Ví dụ 6: Vẽ đồ thị hàm số ( ) , - , -  Mở giao diện vẽ đồ thị Plot Builder, nhấn Add và nhập biểu thức x+3*sin(x*t).  Trong cửa sổ Select Plot Type:  Ở phần Select Plot and Functions, chọn Interactive Plot with 1 parameter.
57 Giải toán trên máy tính với Maple  Thay đổi miền của biến x-Axis là 0 .. 2*Pi.  Thay đổi khoảng giá trị của t là 0 .. 10.  Nhấn Plot để vẽ đồ thị vào giao diện đang làm việc. Chú ý rằng ta có thể thiết lập một số tùy chọn cho đồ thị bằng cách nhấn Options trước khi nhấn Plot để vẽ đồ thị.  Sử dụng thanh trượt để điều chỉnh giá trị tham số t và xem sự thay đổi của đồ thị khi tham số thay đổi. t: 5.000 3.1.2. Menu ngữ cảnh (Context menu) Menu ngữ cảnh của Maple chứa một danh sách các lệnh để thao tác, hiển thị hoặc tính toán các biểu thức. Tùy thuộc vào từng loại biểu thức mà menu ngữ cảnh hiển thị các lệnh tương ứng. Để vẽ đồ thị, ta kích chuột phải vào biểu thức và chọn một trong các lệnh:  2-D or 3-D plot  2-D or 3-D implicit plot  Plot Builder Ví dụ: vẽ đồ thị hàm số  Ở giao diện chính, nhập vào biểu thức: .  Kích chuột phải vào biểu thức trên để mở menu ngữ cảnh  Chọn Plots→ 3-D Plot → x,y.
Chương 3. Vẽ đồ thị trên Maple 58 3.1.3. Kéo đồ thị đến vùng đồ thị khác Bằng cách kéo và thả (drag-and-drop) ta có thể chèn một đồ thị vào vùng đồ thị đã có hoặc chèn một vùng đồ thị trống vào văn bản. Các vùng đồ thị trống có thể là 2 hoặc 3 chiều. Phương pháp này giúp ta dễ dàng thêm vào hoặc gỡ bỏ các đồ thị ra khỏi vùng đồ thị và nó độc lập với cú pháp lệnh vẽ đồ thị. Ví dụ: Vẽ đồ thị các hàm ( ) ( ) và ( ) trên cùng một hệ trục tọa độ.  Từ menu Insert, chọn Plot → 2-D để chèn một vùng đồ thị trống vào văn bản.  Nhập vào biểu thức ( )  Chọn toàn bộ biểu thức ( ) rồi dùng chuột kéo vào vùng đồ thị trống trên, nếu muốn chỉ sao chép biểu thức thì ta nhấn thêm nút Ctrl khi kéo.  Lặp lại các bước 2 và 3 đối với các biểu thức: ( ) và ( ).  Để gỡ bỏ một đồ thị ta kéo đồ thị đó ra khỏi vùng đồ thị.
59 Giải toán trên máy tính với Maple 3.1.4. Các lệnh vẽ đồ thị Ngoài các phương pháp nêu trên ta có thể dùng lệnh để vẽ đồ thị. Có 2 lệnh cơ bản là plot dùng vẽ các đồ thị hàm một biến và plot3d để vẽ các đồ thị trong không gian 3 chiều. Cú pháp lệnh cụ thể như sau: ( ( ) ) ( ( ) ) trong đó: f(x), f(x,y) là các hàm (biểu thức) để vẽ đồ thị, opts là các tùy chọn của lệnh. Tập hợp các lệnh vẽ đồ thị được Maple xây dựng trong gói lệnh plots. Để có thể so sánh được ưu nhược điểm trong các cách vẽ đồ thị ta sẽ dùng lệnh vẽ lại các đồ thị ở các ví dụ trước. ( ) Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số trên khoảng ( ) ( ( ) ) Ví dụ 2: Vẽ đồ thị các hàm số ( ) ( ) ( ) và ∫ ( ) trên cùng một hệ trục tọa độ. (, ( ) ( ( ) ) ( ( ) )- )
Chương 3. Vẽ đồ thị trên Maple 60 Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số ( ) ( ) trên miền , - , -. ( ( ) , -) Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số phức trên khoảng ( ) , -( , -) Ví dụ 5: Vẽ đồ thị ( ) ( ) , -( ( ) )
61 Giải toán trên máy tính với Maple Ví dụ 6: Vẽ đồ thị hàm số ( ) , - , - , -( , ( ) - ) Kích chuột vào đồ thị ta sẽ thấy trên giao diện chính hiện ra thanh công cụ Animation, kéo thanh trượt hoặc nhấn để thấy được sự thay đổi của đồ thị khi t biến thiên. Ví dụ 7: Vẽ elip được cho dưới dạng phương trình tham số: ( ) { , - ( ) (, ( ) ( ) - )
Chương 3. Vẽ đồ thị trên Maple 62 Khi dùng lệnh để vẽ đồ thị thì việc sử dụng các tùy chọn sẽ linh hoạt hơn so với các phương pháp trước. Để tìm hiểu thêm về các tùy chọn của lệnh vẽ đồ thị tham khảo mục plot/options và plot3d/options trong phần trợ giúp Help. Bảng sau giới thiệu sơ lượt một số tùy chọn: Tùy chọn Mô tả axes định nghĩa các loại hệ trục như: boxed, frame, none, hoặc normal caption đặt chú giải cho đồ thị color xác định màu cho các đường đồ thị font xác định font chữ cho các văn bản hiển thị cùng đồ thị glossiness (3-D) điều chỉnh vùng sáng phản chiếu từ các mặt gridlines (2-D) thiết lập lưới ô cho đồ thị lightmodel (3-D) điều chỉnh kiểu ánh sáng chiếu vào đồ thị như: none, light1, light2, light3, hoặc light4 linestyle thiết lập loại đường để vẽ đồ thị như: dot, dash, dashdot, longdash, solid, spacedash, và spacedot legend (2-D) thiết lập ghi chú cho đồ thị numpoints điều chỉnh toàn bộ số điểm sinh ra khi vẽ đồ thị scaling điều chỉnh tỉ lệ các trục: constrained hoặc unconstrained shading (3-D) thiết lập kiểu tô màu cho các mặt như: theo trục xyz, xy, z, zgrayscale, zhue, hoặc none style thiết lập kiểu vẽ như: line, point, polygon, hoặc polygonoutline cho đồ thị 2-D; contour, point, surface, surfacecontour, surfacewireframe, wireframe, hoặc wireframeopaque cho đồ thị 3-D. symbol thiết lập ký hiệu của các điểm trên đồ thị như: asterisk, box, circle, cross, diagonalcross, diamond, point, solidbox, solidcircle, hoặc soliddiamond cho đồ thị 2-D; asterisk, box, circle, cross, diagonalcross, diamond, point, solidsphere cho đồ thị 3-D.
63 Giải toán trên máy tính với Maple title đặt tiêu đề cho đồ thị thickness thiết lập độ dày của các đường trong đồ thị transparency (3-D) thiết lập độ trong suốt của các mặt view thiết lập giá trị lớn nhất và bé nhất của các trục tọa độ khi hiển thị đồ thị ( ) Ví dụ 8: Vẽ đồ thị hàm số , - với các tùy chọn tạo tiêu đề cho đồ thị, đổi kiểu vẽ đồ thị (style), thay đổi màu đồ thị. ( ( ) ( ) , - ) Ví dụ 9: Vẽ đồ thị hàm số , - , - với các tùy chọn: numpoints, lightmodel, shading, orientation và style. Việc thiết lập số lượng điểm vẽ numpoints càng cao sẽ làm cho đồ thị trơn hơn và chính xác hơn. ( ( ) , - )
Chương 3. Vẽ đồ thị trên Maple 64 Ví dụ 10: Vẽ các đồ thị ( ) ( ) , - và ghi chú thích cho đồ thị. (, ( ) ( )- , - , - , -) 3.1.5. Một số dạng đồ thị đặc biệt Gói lệnh plots chứa nhiều lệnh vẽ đồ thị đặc biệt như: animate, contourplot, densityplot, fieldplot, odeplot, matrixplot, spacecurve, textplot, tubeplot... Dưới đây ta xét một số dạng đồ thị thường gặp. a. Đồ thị điểm Để vẽ đồ thị biểu diễn các điểm hoặc các dữ liệu số ta sử dụng lệnh pointplot. Lưu ý rằng các điểm phải được sắp xếp theo một danh sách có dạng [, -, - , -] Theo mặc định, Maple không nối các điểm, để vẽ đường nối các điểm ta sử dụng thêm tùy chọn ‘style = line’. (,, - , -, -, -, -, -, - , -- ) b. Các đồ thị mức Với một số dạng đồ thị khó thì đường mức hoặc mặt mức là một trong những phương tiện hữu hiệu giúp ta biết thêm nhiều tính chất của hàm số. Để vẽ các đồ thị mức ta sử dụng lệnh contourplot hoặc contourplot3d.
65 Giải toán trên máy tính với Maple ( ) c. Đồ thị hàm ẩn Maple có thể vẽ được đồ thị các hàm ẩn bằng các lệnh implicitplot và implicitplot3d. ( ) ( ) (,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - , - )
Chương 3. Vẽ đồ thị trên Maple 66 d. Miền giao nhau của các bất phương trình Muốn vẽ miền chấp nhận được của một hệ bất phương trình ta sử dụng lệnh inequal. (* + ( ) ( )) e. Vẽ đa giác Cho L là một danh sách các điểm. Khi đó, lệnh polygonplot(L) sẽ tạo ra một đa giác mà các đỉnh là các điểm trong L. [, -, -[ ]] ( ) [ ([ ( ) ( )] )] ( ( ) )
67 Giải toán trên máy tính với Maple 3.1.6. Vẽ nhiều đồ thị trên cùng một vùng đồ thị Như đã trình bày ở các ví dụ trước, để vẽ nhiều đồ thị trên cùng một vùng đồ thị ta đặt các biểu thức cần vẽ đồ thị vào trong một danh sách trong lệnh plot hoặc plot3d. (, ( ) - ) Ngoài ra, Maple còn cung cấp cho ta một lệnh khá hữu hiệu là display khi muốn hiển thị nhiều đồ thị, hình ảnh trên cùng một vùng đồ thị. ( ) ( ) (,, -, -, ( )- , -- ) , - ( (, -, - ) ) ( ( ( , -( ) ) ) ) (, ( ) ( ) - , -) (* + )
Chương 3. Vẽ đồ thị trên Maple 68 3.2. Sự vận động của đồ thị Một trong những đặc tính nổi bật của Maple là ta có thể tạo ra các hình ảnh chuyển động của đồ thị. Tương tự như kỹ thuật làm phim hoạt hình, Maple tạo ra sự chuyển động này bằng cách ghép nối dãy các hình ảnh liên tiếp nhau. Muốn một đồ thị vận động được ta phải nhập biểu thức cần vẽ theo nhiều biến và cho một biến làm tham số, hình ảnh đồ thị sẽ thay đổi tùy thuộc vào giá trị tham số này. Có hai cách cơ bản để tạo một hình ảnh động cho đồ thị là dùng giao diện vẽ đồ thị tương tác (Interactive Plot Builder) hoặc dùng lệnh. 3.2.1. Sử dụng giao diện vẽ đồ thị tương tác √ Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số ( ) và tạo sự vận động của đồ thị khi tham số i thay đổi.  Mở giao diện vẽ đồ thị: Tools/Asistant/Plot Buider, nhấn Add và nhập vào biểu thức: sin(i*sqrt(x^2+y^2)/10).  Trong cửa sổ Select Plot Type: o Chọn Animation trong danh sách Select Plot Type and Functions. o Thay đổi ở x Axis là khoảng -6 .. 6. o Thay đổi ở y Axis là khoảng -6 .. 6. o Thay đổi tham số Animation Parameter i chạy trong khoảng 1 .. 30. o Nhấn Options.  Trong cửa sổ Plot Options: o Chọn surface trong ô Style. o Trong ô Color, chọn red-turquoise ở mục Light Model. o Chọn z (grayscale) ở mục Shading. o Ở ô View, chọn Constrained Scaling. o Nhấn Plot để hiển thị đồ thị.  Nhấn nút Play trên thanh công cụ của Animation để xem đồ thị vận động.
69 Giải toán trên máy tính với Maple 3.2.2. Sử dụng lệnh animate Bằng cách sử dụng lệnh animate kết hợp với các lệnh vẽ đồ thị như: plot, plot3d, polarplot,… để tạo sự vận động của đồ thị 2 chiều hoặc 3 chiều. Cú pháp lệnh như sau: animate(plotcommand, plotarguments, t=a..b, ops) animate(plotcommand, plotarguments, t=L, ops) trong đó:  plotcommand: lệnh vẽ đồ thị 2-D hoặc 3-D.  plotarguments: các tham số của lệnh vẽ đồ thị  t=a..b: tham số chuyển động và khoảng giá trị của nó  t=L: tham số chuyển động trong một danh sách các hằng số thực hoặc phức  ops: các tùy chọn (nếu có). Ví dụ: tạo sự vận động cho đồ thị ở ví dụ trước bằng lệnh animate . , ( ) - /
Chương 3. Vẽ đồ thị trên Maple 70 Ngoài ra, ta có thể thiết lập thêm một số tùy chọn cho lệnh để có thể tạo sự chuyển động uyển chuyển hơn của đồ thị. Một trong những tùy chọn hay dùng là tăng số lượng ảnh (frames). Theo mặc định, chuyển động của đồ thị trong không gian 2 chiều gồm 16 ảnh và trong không gian 3 chiều là 8 ảnh. Thiết lập lại frame để tăng số lượng ảnh, tuy nhiên khi tăng số ảnh thì yêu cầu về bộ nhớ và thời gian tính toán cũng tăng. . ( ) / ( ) , -([, -] ) , -( , ( ) ( ( ) )- ) 3.2.3. Chuyển động của các vật thể Ta có thể sử dụng lệnh plot3d với tùy chọn viewpoint để tạo ra sự chuyển động của các vật thể trong không gian 3 chiều theo nhiều hướng khác nhau và ở các góc độ khác nhau tùy thuộc vào các tham số cũng như các loại hệ trục được thiết lập. Với lệnh này ta có thể tạo được các chuyển động như: bay qua, quay quanh, chuyển động sang bên, chuyển động hướng tới... trên các vật thể trong không gian 3 chiều. Hãy hình dung như đang điều khiển một camera, góc độ của máy quay thay đổi ta sẽ thấy hình ảnh của vật thể cũng thay đổi. Nói cách khác, chuyển động của vật thể do đường quay của máy quay thay đổi. Trong lệnh này, ta có thể thiết lập hướng của camera để xem các mặt khác nhau của vật thể, thiết lập các đường quay để camera có thể xuyên qua hoặc quay quanh vật thể và có thể xác định tọa độ để di chuyển camera đến các điểm xác định bên cạnh vật thể, tạo các khoảng quay để camera đến gần hoặc xa vật thể. Thông tin chi tiết có thể xem tại viewpoint của trang trợ giúp Help.