Hướng dẫn học - nghiên cứu môn Đại số sơ cấp (Phần 1)

Chia sẻ: đinh Công Chánh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

75
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Hướng dẫn học - nghiên cứu môn Đại số sơ cấp sau đây trình bày một số nội dung cơ bản của môn học nhằm giúp sinh viên nắm được những nội dung chủ yếu, cũng như cách học và phương pháp nghiên cứu của môn học này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn học - nghiên cứu môn Đại số sơ cấp (Phần 1)

HƯỚNG DẪN HỌC – NGHIÊN CỨU MÔN ĐẠI SỐ SƠ CẤP Môn Đại số Sơ cấp Nghiên cứu dựa trên Tài liệu chính là: THỰC HÀNH GIẢI TOÁN SƠ CẤP Tập I – Sách Đại học Sư phạm của các tác giả E.E.Veresova – N.S.Denisova – T.N.Poliakova (tài liệu dịch từ nguyên bản tiếng Nga). Ngoài tài liệu chính nêu trên sinh viên (SV) cần tham khảo thêm các tài liệu khác liên quan đến các chủ đề kiến thức sau: Biến đổi đồng nhất các biểu thức trên một tập. Phương trình và hệ phương trình (Đại số và Siêu việt) Bất đẳng thức và bất phương trình. Các yêu cầu cụ thể đối với từng chủ đề kiến thức 1. Biến đổi đồng nhất các biểu thức trên một tập Phép biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỷ nguyên, hữu tỷ phân. Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức vô tỉ Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức mũ và lôgarit Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức lượng giác. 2. Phương trình và hệ phương trình Phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn trên C. Các dạng phương trình thường gặp trên R: Phương trình chứa dấu giá trị tuyết đối – Phương trình chứa căn thức – Phương trình mũ và lôgarit – Phương trình lượng giác. Hệ phương trình trên R và trên C. 3. Bất đẳng thức và bất phương trình Chứng minh bất đẳng thức Côsi – Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi. Ứng dụng Bất đẳng thức Côsi để tìm GTLN – GTNN của một biểu thức. Các bất phương trình thường gặp. Chú ý rằng Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai không có trong chương trình phổ thông hiện nay. Ngoài bài tập trong Tài liệu chính SV phải Sưu tầm và giải các bài toán liên quan đến từng chủ đề kiến thức. Chẳng hạn với nội dung: Phương trình lượng giác SV cần 1
Sưu tầm và giải tất cả các phương trình lượng giác trong các đề thi Đại học từ năm 2002 đến 2011. Mỗi năm có ba đề (Khối A – B – D). Như vậy SV cần quan sát kỹ 30 Phương trình lượng giác. Từ đó nhìn ra được những yêu cầu về kỹ năng và kiến thức cho chủ đề này. Đối với các chủ đề kiến thức khác SV tìm hiểu một cách tương tự. Tài liệu chính đã được chuyển thành file Word nhưng còn nhiều lỗi chính tả. SV sử dụng file này để chỉnh sữa thành tài liệu học tập cho riêng mình. Mỗi nội dung trong từng chủ đề kiến thức là một Đề tài Tiểu luận Tốt nghiệp 2
Thực hành GIẢI TOÁN SƠ CẤP Tập I (Đại số và Lượng giác) MỞ ĐẦU I. HÀM TRÊN MỘT TẬP BIỂU THỨC VỚI CÁC BIẾN TRÊN MỘT TẬP Giả sử f là một quan hệ hai ngôi được xác định trên các tập A, B, nghĩa là f A B. Quan hệ hai ngôi f được gọi là một hàm ( là một ánh xạ từ tập A vào tập B), nếu trong f không có những cặp các phần tử thứ nhất giống nhau và phần tử thứ hai khác nhau và được kí hiệu là f:A B. Tập A được gọi là tập nguồn, tập B được gọi là tập đích của hàm f. Tập {a A|( b B), (a,b) f} được gọi là miền xác định của hàm f và kí hiệu là D( f ). Ta có D(f)={a A|( b B), (a,b) f} Tập {b B|( a A), (a,b) f} được gọi là miền giá trị của hàm f và kí hiệu là E( f ). Ta có: E(f)= {b B|( a A), (a,b) f} Nếu (a,b) f, thì b được gọi là ảnh của phần tử a ( giá trị của hàm f tại điểm a ) và kí hiệu f(a); a được gọi là tạo ảnh của phần tử b. a  b (a,b) f. 3
Nếu (a’,b’) f A B thì ta nói rằng f không xác định tại điểm a’ (f không có nghĩa tại a’) Quan hệ hai ngôi f A B gọi là ánh xạ từ tập A vào tập B, nếu mỗi phần tử của A chỉ có một ảnh trong B, kí hiệu f:A B. Giả sử A là một tập. Ánh xạ f từ An vào A ( f: An A ) được gọi là hàm trên tập A với n biến hay gọi tắt là hàm trên A. 1 Ví dụ. f: R2 R, x, y  x y f là hàm trên R với hai biến ( hàm 2 biến trên R), D(f)={(x,y)) R2|x y} , E(f)=R\{0} Giả sử trên A cho các hàm n biến : f1, f2, …, fs và g là một hàm s biến. Hàm n biến h trên A được gọi là hàm hợp trên A của f1, f2, …, fs và g, nếu h(x1,x2,…,xn)=g(f1(x1,x2, …,xn),…,fs(x1,x2,…,xn)). Ta có: D(h)={(x1,x2,…,xn) | f1(x1,x2,…,xn) ,…,fs(x1,x2,…,xn) D(g) } Giả sử A là một tập số, x 1, x2 , … , xn là các biến số, f là một hàm trên A có miền xác định D(f) và miền giá trị E(f). f: An A (x1, x2 , … , xn)  f((x1, x2 , … , xn) Khi đó kí hiệu f(x1, x2 , … , xn) được gọi là biểu thức với các biến x1, x2 , … , xn của hàm f. Có thể có nhiều biểu thức khác nhau của cùng một hàm trên A. Chẳng hạn: 1) f: R R và g: R R x  lgx2 , x  2lg|x| 2) f: R R và g: R R x  cos2x , x  1sin2x Ngươc lại, cùng một biểu thức với các biến có thể xác định nhiều hàm khác nhau trên A. Chẳng hạn: π π f: R R và g : , 2 2 4
x  sinx , x  sinx Hàm n biến trên A được xác định nếu được chỉ ra: 1) Miền xác định của nó An 2) Biểu thức của nó với các biến. Vì những mối quan hệ trên đôi khi người ta đồng nhẩt hàm trên A và biểu thức với các biến, khi đã chỉ ra các miền xác định của hàm ấy. Bởi vậy, đôi khị miền xác định và miền giá trị của một hàm trên A cũng gọi là miền xác định và miền giá trị của biểu thức với các biến số của nó. Giả sử A là tập số, f1 , f2 , … , fs là những hàm trên A với n biến, g là hàm trên A với s biến . Giả sử f1(x1,x2,…,xn), …, fs(x1,x2,…,xn) , g(y1,y2,…,ys) (1) tương ứng là biểu thức với các biến của các hàm f1 , f2 , … , fs g. Khi đó kí hiệu g(f1(x1,x2,…,xn), …, fs(x1,x2, …,xn)) được gọi là hợp thành của các biểu thức với các biến (1). Lớp các hàm xét trên A. ứng với các biểu thức với các biến được giới hạn bởi những qui ước sau: Dưới đây: A là C, R, hoặc Q trong (0) – (7); A=R trong (8) – (21). Những biểu thức sau đây gọi là những biểu thức sơ cấp trên A. 1 (0) Hằng số (a,b,c,…,3, ,… A) 2 (1) Biến (x,y,x1,x2, …) (1) (D(1) = A) (2) x+y (D(2)=A2); (3) xy (D(3)= A2) (4) xy (D(4)=A2) (5) xm ở đây m N (D(5)=A) x (6) ( D(6) = { ( x, y ) | x �� A, y A \ { 0} } ); y (7) x m ở đây m Σ Z , m 0 D(7) = A \ { 0} ) x hoặc x m ở đây m �N , m > 1, (D(8)= [ 0, ); 1 (8) m (9) x D (9) = R, E (9) = [ 0, )) , 5
(10) xα ở đây α �R \ Q(d (10) = [ 0, �) (11) aα ở đây a>0,a 1(D(11)=R); (12) log a x ở đây a>0,a 1( D(12) = [ 0, ) (13) x y ( D(13) = { ( x, y ) | x, y �R, x > 0} ); (14) sinx (D(14)=R); (15) cosx (D(15)=R); �π � (16) tgx (D(16)= R \ � + kπ \ k Z� ); �2 (17) ctgx (D(17)= R \ { kπ \ k Z } ); �π π � (18) arcsinx (D(18)= [ −1,1] , E (18) = � − , ); �2 2�� (19) arccosx (D(19)= [ −1,1] , E (19) = [ 0, π ] ); �π π � (20) arctgx (D(20)= , E (20) = � − , ); �2 2�� (21) arcctgx (D(21) =R,E(21)= [ 0, π ] ); Giả sử M là tập hợp những biểu thức sơ cấp nào đó trên A, M 1 = M và giả sử với mỗi số tự nhiên n>1, M n là kí hiệu của tập hợp tất cả các hợp thành của những biểu thức tuỳ ý với các biến trong hợp M 1 �M 2 �.... �M n −1 của các tập M 1 , M 2 ...M n −1. Chúng ta nói rằng biểu thức với các biến Ω được biểu thị dưới dạng hữu hạn những biểu thức sơ cấp của M nếu Ω M n với số tự nhiên n nào đó. Đặc biệt, nếu M là tập hợp tất cả các biểu thức trên A, thì một biểu thức bất kì với các biến biểu thị dưới dạng hữu hạn các biểu thức sơ cấp của M, chúng ta sẽ gọi là biểu thức các biến trên A hoặc gọi tắt là biểu thức trên A. Nói cách khác, một biểu thức với các biến trên A hoặc là biến sơ cấp trên A hoặc là một biểu thức thu được nhờ phép hợp thành một số hữu hạn biểu thức sơ cấp trên A. Sự phân lớp các biểu thức với các biến trên một tập 6
Biểu thức với các biến trên R(C,Q), được gọi là biểu thức hữu tỉ nguyên (đa thức) trên R( C,Q), nếu nó được biểu thị dưới dạng hữu hạn các biểu thức sơ cấp từ ( 0) đến (5) trên R (C,Q). Biểu thức với các biến trên R(C,Q), được gọi là biểu thức hữu tỉ phân trên R( C,Q), nếu nó được lập nên bởi một số hữu hạn các biểu thức sơ cấp từ ( 0) đến (7) trên R (C,Q), hơn nữa trong chúng có ít nhất một trong (6), (7). Biểu thức hữu tỉ nguyên và hữu tỉ phân trên R(C,Q) được gọi là biểu thức hữu tỉ trên R(C,Q). Biểu thức với các biến trên R được gọi là vô tỉ ( trên R) nếu nó được lập nên bởi một số hữu hạn từ ( 0) đến (9) trên R (C,Q), hơn nữa trong chúng có ít nhất một trong (8), (9). Biểu thức hữu tỉ trên R ( C,Q) và biểu thức vô tỉ trên R được gọi là biểu thức đại số. Biểu thức với các biến trên R không là đại số được gọi là biểu thức siêu việt ( trên R), nghĩa là biểu thức với các biến trên R được gọi là siêu việt, nếu nó được lập nên bởi một số hữu hạn các biểu thức sơ cấp từ (0) đến (21), hơn nữa trong chúng có ít nhẩt một trong (10) –(21). Từ định nghĩa nêu ra ở trên ta suy ra rằng sự phân lớp các biểu thức trên A dựa vào dạng bên ngoài của biểu thức với các biến, (điều này trong thực tế rất tiện lợi, bởi vì nó khộng đòi hỏi một sự nghiên cứu bổ sung nào khác). II. MỆNH ĐỀ VỚI CÁC BIẾN TRÊN MỘT TẬP Giả sử A1 , A2 ,..., An là các tập đã cho, x1 , x2 ,..., xn là các biến. Chúng ta hiểu một mệnh đề với các biến x1 , x2 ,..., xn trên tập A1 XA2 X ... XAn là một biểu thức (một dãy những dấu và những kí hiệu) có tính chất: nếu cho các biến x1 , x2 ,..., xn những giá trị tương ứng ( x1 �A1 , x2 �A2 ,...xn �An ) thì ta được một mệnh đề . Tập hợp gồm và chỉ gồm các phần tử (điểm) ( a1 , a2 ,..., an ) của A1 XA2 X ... XAn mà đối với chúng, mệnh đề V( a1 , a2 ,..., an ) là đúng, được gọi là miền đúng của mệnh đề V( x1 , x2 ,..., xn ) với các biến x1 , x2 ,..., xn trên tập A1 XA2 X ... XAn và được kí hiệu là MĐv. 7
Giả sử V và W là hai mệnh đề với các biến x1 ,x 2 ,....,x n trên A1 A2 ... An . Khi đó theo định nghĩa ta có: 1). V là phủ định của V, tức là một mệnh đề với các biến sao cho: MĐ V = ( A1 A2 ... An ) \MĐV . 2) V W là hội của V và V, nghĩa là với một mệnh đề với các biến, sao cho: MĐ V W= MĐV MĐw . 3) 2) V W là tuyển của V và V, nghĩa là với một mệnh đề với các biến, sao cho: MĐ V W= MĐV MĐw 4) V W (W là hệ quả của V) khi đó MĐV MĐw 5) V W ( V ~ W) ( V tương đương với W) khi đó MĐV=MĐw Nếu f ( x1 , x2 ,..., xn ) và g ( x1 , x2 ,..., xn ) là hai biểu thức với các biến x1 , x2 ,..., xn trên A thì: a) f ( x1 , x2 ,..., xn ) = g ( x1 , x2 ,..., xn ) trên An. b) f ( x1 , x2 ,..., xn ) < g ( x1 , x2 ,..., xn ) trên An. c) f ( x1 , x2 ,..., xn ) > g ( x1 , x2 ,..., xn ) trên An. được gọi là những mệnh đề cơ bản (MĐCB) với các biến x1 , x2 ,..., xn trên A. Biểu thức f ( x1 , x2 ,..., xn ) và g ( x1 , x2 ,..., xn ) theo thứ tự là vế trái và vế phải của MĐCB trên A. Trong các MĐCB trên A thì a) được gọi là đẳng thức, còn b), c) là các bất đẳng thức với các biến x1 , x2 ,..., xn trên A. Giả sử f ( x1 , x2 ,..., xn ) và g ( x1 , x2 ,..., xn ) là hai biểu thức với các biến trên A. khi đó theo định nghĩa: 8
f �g ~ f < g �f = g , f �g ~ f > g �f = g , �( f < g ) ~ f �g , �( f > g ) ~ f �g , ( f‫أأأأأأأأأأأأأأأ‬ g ) ~ f ‫سأ‬ g, �( f = g ) ~ f < g �f > g Một mệnh đề với các biến trên A(*) được xác định bởi: 1. mỗi mệnh đề cơ bản với các biến x1, x2,…..xn trên A là một mệnh đề với biến x1, x2,…..xn trên A. 2. Nếu V(x1, x2,…..xn) và W(x1, x2,…..xn) là hai mệnh đề với các biến trên A thì V(x1, x2,…..xn)^W(x1, x2,…..xn); V(x1, x2,…..xn)vW(x1, x2,…..xn) cũng là những mệnh đề với biến x1, x2,…..xn trên A. Bởi vậy, mỗi mệnh đề với biến thu được nhờ phép hội và phép tuyển những mệnh đề với các biến x1, x2,…..xn trên A lại là một mệnh đề với các biến x1, x2,…..xn trên A. Người ta gọi phép hội những mệnh đề với các biến trên A là một hệ các mệnh đề với các biến trên A. �V V ��V � Người ta còn viết phép hội (hệ) V^W theo cách khác: � ; ��; �, và W W �� W V V �� V� phép tuyển VvW còn được viết như sau: � ; �� ; W W �� W� � 1. Giả sử là một trong các ký hiệu =,. Ta gọi là miền xác định của các mệnh đề với các biến x1, x2,…..xn (*) f(x1, x2,…..xn) ∆ g(x1, x2,…..xn) trên 9
A giao của các miền xác định của các biểu thức f(x1, x2,…..xn) và g(x1, x2,…..xn) trên A và ký hiệu là D(*) : D(*) = D( f ) D( g ) df 2. Giả sử (1) và (2) là 2 mẹnh đề với các biến x1, x2,…..xn trên A. Ta gọi là miền xác định của hội các mệnh đề với biến (1) và (2) giao của các miền xác định của chúng. (*) Từ “với biến x1, x2,…..xn” sẽ được bỏ đi nếu đã rõ rang là mệnh đề với những biến nào đó, từ “trên A” cũng thỉnh thoảng bỏ đi nếu biết trước tập hớp A đã đượ chỉ rõ. D((1) (2)) = D(1) D(2) df Ta gọi là miến xác định của tuyển các mệnh đề với biến (1) và (2) hợp của các miền xác định của chúng. D((1) (2)) = D(1) D(2) df Giả sử (1) là mệnh đề với các biến x1, x2,…..xn trên tập A. Đối với mệnh đề với biến (1) có thể thiết lập hai bài toán cơ bản sau: I. Chứng minh rằng, tập T đã cho là tập con của miền đúng của mệnh đề (1) trên A, nghĩa là chứng minh rằng T MĐ(1) . nói cách khác là chứng minh rằng mệnh đề với biến (1) trên A là hằng đúng trên tập T. II. Tìm miền đúng của mệnh đề với biến đã cho (1) trên A, nghĩa là tìm MĐ(1). Thông thường ta biểu thị và viết điều đó là: hãy giải mệnh đề với biến (1) trên A. 10
Thay cho “giải đẳng thức” người ta nói “giải phương trình”. Mỗi phần tử (mỗi điểm) của miền đúng được gọi là lời giải của mệnh đề với miền (1). Nếu n=1, thì lời giải cảu phương trình cũng gọi là nghiệm của phương rrình Đôi khi ta còn có bài toán: Tìm giao của miền đúng của mệnh đề với biến (1) trên A với tập Bn An đã cho. Điều đó được diễn tả bởi: Giải mệnh đề với biến (1) với điều kiện x1, x2,…..xn B. Trong trường hợp khi mà B là N, (Z, Q, R, C) thì ta nói tìm những số tự nhiên, (nguyên, hữu tỉ, thực, phức) là nghiệm của mệnh đề với biến (1). Phân loại các mệnh đề với các biến trên một tập. Giả sử (1) là mệnh đề với các biến x1, x2,…..xn trên tập A. Mệnh đề với biến (1) trên A được gọi là hữu tỉ nguyên nếu cả hai vế trái và phải đều là những biểu thưc hữu tỉ nguyên trên A. Mệnh đề với biến (1) trên A gọi là hữu tỉ phân nếu cả hai vế đều là những biểu thức hữu tỉ và có ít nhất một trong hai vế là hữu tỉ phân. Các mệnh đề với biến hữu tỉ nguyên và phân gọi chung là mệnh đề hữu tỉ. Mệnh đề với biến (1) trên A=R được gọi là vô tỉ, nếu cả hai vế phải và trái đều là những biểu thức đại số trên R và có ít nhất một trong hai vế là biểu thức vô tỉ. Mệnh đề với biến (1) trên A=R được gọi là siêu việt nếu ít nhất một trong hai vế là biểu thưc siêu việt. III. ĐÒNG NHẤT THỨC TRÊN MỘT TẬP, PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC VỚI CÁC BIẾN TRÊN MỘT TẬP. 11
Từ “với các biến” (để ngắn gọn) ta bỏ đi. Biểu thức f(x1, x2,…..xn) và g(x1, x2,…..xn) trên A được gọi là đồng nhất bằng nhau trên tập T, nếu tại mỗi điểm của tập T giá trị của chúng bằng nhau. Nếu các biểu thức f(x1, x2,…..xn) và g(x1, x2,…..xn) đồng nhất bằng nhau trên tập T thì ta viết: f(x1, x2,…..xn) g(x1, x2,…..xn) trên T. Đẳng thức (1) f(x1, x2,…..xn)=g(x1, x2,…..xn) trên A được gọi là một đồng nhất thức trên T nếu biểu thức f(x1, x2,…..xn) và g(x1, x2,…..xn) là đồng nhất bằng nhau trên T. Phép thay thế biểu thức f(x1, x2,…..xn) trên A bởi biểu thức khác đồng nhất với nó trên T được gọi là phép biến đổi đồng nhất biểu thức f(x1, x2,…..xn) trên T. Từ “trên tập A” sẽ được bỏ đi và không cần chỉ dẫn trong trường hợpT=A, nghĩa là: 1. Các biểu thức f(x1, x2,…..xn) và g(x1, x2,…..xn) trên A được gọi là đồng nhất bằng nhau, nếu tại mỗi điềm của A giá trị các biểu thức này bằng nhau. 2. Đẳng thức (1) f(x1, x2,…..xn)=g(x1, x2,…..xn) trên A được gọi là đồng nhất thức nếu các biểu thức f(x1, x2,…..xn) và g(x1, x2,…..xn) là dồng nhất bằng nhau. 3. Phép thế biểu thức f(x1, x2,…..xn) trên A bởi một biểu thức đồng nhất với nó được gọi là phép biến đổi đồng nhất biểu thức f(x1, x2,…..xn). Nếu biểu thức f(x1, x2,…..xn) đồng nhất bằng g(x1, x2,…..xn) trên tập T1 và biểu thức g(x1, x2,…..xn) đồng nhất bằng h(x1, x2,…..xn) trên tập T2, thì biểu thức f(x1, x2,…..xn) đồng nhất với h(x1, x2,…..xn) trên tập T=T1 T2, nghĩa là: nếu f(x1, x2, 12
…..xn) g(x1, x2,…..xn) trên T1 và g(x1, x2,…..xn) h(x1, x2,…..xn) trên T2 thì f(x1, x2, …..xn) h(x1, x2,…..xn) trên T=T1 T2. Đặt biệt khi T=T1=T2 ta có: nếu f(x1, x2,…..xn) g(x1, x2,…..xn) trên T và g(x1, x2,…..xn) h(x1, x2,…..xn) trên T thì f(x1, x2,…..xn) h(x1, x2,…..xn) trên T. Các ví dụ về đồng nhất thức trên một tập hợp 1. x2 1= x + 1 trên C là đồng nhất thức trên tập {1;2} 2. (x + y)3 = x3 + y3 +3xy(x + y) trên C là đồng nhất thức ( x − 1)3 3. = ( x − 1) 2 trên Q là đồng nhất thức trên Q\{1}. x −1 4. x 2 = x trên R là đồng nhất thức trên tập [0, ] 5. x 2 = x trên R là đồng nhất thức 6. lgx2=2lgx trên R là đồng nhất thức trên [0,∞ ] 7. lgx2=2lg|x| trên R là đồng nhất thức trên R\{0} 8. tgx.ctgx trên R là đồng nhất thức trên tập Π {x ι�Ζ R\x k ,k } 2 IV. MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI CÁC BIẾN TRÊN MỘT TẬP Giả sử (1) và (2 là các mệnh đề tương đương với các biến x1, x2,…..xn trên tập A. Giả sử D(1) là miền xác định, MĐ(1) là miền đúng của mệnh đề với biến (1). Giả sử D(2) là miền xác định, MĐ(2) là miền đúng của mệnh đề với biến (2). Mệnh đề (2) được gọi là hệ quả của mệnh đề (1) nếu MĐ(1) MĐ(2) và được ký hiệu là (1) |=(2). (1) |=(2) df MĐ(1) MĐ(2) 13
Hai mệnh đề (1) và (2) trên A được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một miền đúng, nghĩa là MĐ(1) =MĐ(2) và ký hiệu (1) : (2). (1) : (2) df MĐ(1) =MĐ(2) Hai mệnh đề (1) và (2) được gọi là tương đương trên tập L nếu L IMĐ(1)=L I MĐ(2)và ký hiệu (1) : (2) . L Quan hệ tương đương có những tính chất sau: 1). Phản xạ: (1) : (1) 2). Đối xứng: (1) : (2) thì (2) : (1) 3). Bắt cầu: Nếu (1) : (2) và (2) : (3) thì (1) : (3) Ví dụ 1: (1) x – 1 = 0 trên R; (2) (x – 1)2 = 0 trên R; (1) : (2) vì MĐ(1) =MĐ(2)={1} Ví dụ 2: (1) x2 + 1=0 trên R; (2) 3x 2 = 3x trên R; (1) : (2) vì MĐ(1) =MĐ(2)= φ Ví dụ 3: (1) x = 2 trên R; (2) x2 = 4 trên R; (1) |= (2) vì MĐ(1) = {2} {2,2}= MĐ(2) x − y =1 2x = 3 Ví dụ 4: (1) trên C; (2) trên C; (1) : (2) vì MĐ(1) =MĐ(2)= x+ y = 2 2y =1 � � �3 1 � �, � � � �2 2 � � V. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG 14
Ta nhớ rằng A ký hiệu cho C, R hoặc Q. Giả sử (1) f(x1, x2,…..xn)=g(x1, x2,…..xn) trên A là phương trình với miền xác định D(1) và miền đúng (tập nghiệm) MĐ(1); Giả sử (2) f2(x1, x2,…..xn)=g2(x1, x2,…..xn) trên A là phương trình với miền xác định D(2) và miền đúng MĐ(2). Giả sử ψ (x1, x2,…..xn) là biểu thức trên A với miền xác định D(ψ ) Chú ý: Để cho ngắn gọn từ đây về sau ta không viết các biến x1, x2,…..xn Định lí 1: Phương trình (1) f=g và (2) f2=g2, ở đây f f2 trên D(f) I D(f2), g g2 trên D(g) I D(g2) là phương trình tương đương khi và chỉ khi: 1) Nếu a D(1)\D(2) thì a MĐ(1). 2) Nếu b D(2)\D(1) thì b MĐ(2). Hệ quả 11: Nếu D(1) =D(2) thì các phương trinh (1) và (2) tương đương. Hệ quả 21: Nếu D(2) D(2) thì MĐ(1)=MĐ(2) MĐ’, ở đây MĐ’={a | a D(1)\D(2), a MĐ(1)}. Hệ quả 31: Nếu D(1) D(2) thì MĐ(1)=MĐ(2)\MĐ”, ở đây MĐ”= { b | b D(2)\D(1), b MĐ(2) } Định lý 2:Nếu D(ψ ) D(1) thì phương trình (1) f=g và (3) f +ψ =g +ψ là tương đương. Nếu D(ψ ) D (1) thì f = g : f + ψ = g +ψ Hệ quả 12: Nếu trong phương trình ta chuyển một hạng tử từ vế này sang vế khác với dấu ngược lại thì được một phương trình mới tương đương phương trình đã cho. Hệ quả 22: Phương trinh (1) f = g tương đương với f – g = 0. 15
Định lí 3: Nếu và với mọi , thì phương trình (1) f = g và f. = g. là tương đương. Nếu D(ψ ) D(1) và ψ 0 trên D(1) thì f = g : f .ψ = g .ψ Hệ quả 13: Nhân cả hai vế phương trình với số α (α thuộc A) khác không thì được phương trình mới tương đương phương trình đã cho. f f =0 Định lí 4: = 0 ( A) : (A) (*) g g 0 Định lí 5: f = g ( R ) : f 2 k +1 = g 2 k +1 ( R), k �Ν f .g > 0 Định lí 6: f = g ( R) : ( R ), k �Ν f 2k = g 2k g 0 Định lí 7: 2 k f = g ( R ) : ( R ), k �Ν f = g 2k Định lí 8: a f = a g ( R ) : f = g ( R ), a > 0, a 1 �f > 0 g >0 Định lí 9: log a f = log a g ( R ) : � ( R) : � ( R), a > 0, a 1 f =g f =g Định lí 10: f = g ( R ) |= sinf=sin g (R) Định lí 11: f=g(R) |= cosf=cosg(R) 16
Các định lí 1, 2, 3 và những hhệ quả của chúng được ứng dụng để giải các phương trinh khác nhau. Định lí 4 để giải phương trình hữu tỉ phân, định lí 5, 6 và 7 để giải phương trình vô tỉ, đình lí 8 và 9 để giải phương trình mũ và logarit. Định lí 10 và 11 để giải các phương trình có chứa biểu thức lượng giác ngược. VI. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG Giả sử (1) f(x1, x2,…..xn)
� g 2k f 0 Định lí 81: Nếu a> 1 thì a f < a g : f < g Định lí 82:Nếu 0 0 Định lí 91: Nếu a> 1 thì log a f < log a g : f 0 Định lí 92: Nếu 0
f1 ( x1 , x 2 ,..x n )=g1 ( x1 , x 2 ,..x n ) f 2 ( x1 , x 2 ,..x n )=g 2 ( x1 , x 2 ,..x n ) trên A ............................................... f n ( x1 , x 2 ,..x n )=g n ( x1 , x 2 ,..x n ) Tương đương với hệ phương trình: x1 = ϕ ( x1 , x 2 ,..x n ) f1 ( ϕ (x 2 ,..x n ), x 2 ,..x n )=g1 ( ϕ (x 2 ,..x n ), x 2 ,..x n ) trên A ..................................................................... f k ( ϕ (x 2 ,..x n ), x 2 ,..x n )=g k ( ϕ (x 2 ,..x n ), x 2 ,..x n ) Định lí 2: (Phương pháp cộng) Nế h là biểu thức với các biến x1, x2,…..xn trên A với miền xác đinh D(h) và D(h) D(1) thì hệ phương trình với các biến x1, x2,…..xn f1 = g1 f = g2 (1) 2 trên A ........... fk = gk Tương đương với hệ: f1 + hf 2 = g1 + hg 2 f2 = g2 trên A ........... fk = gk VIII. MỆNH ĐỀ VỚI CÁC BIẾN VÀ THAM SỐ 19
Giả sử V ( x1 , x2 ,..., xn , a1 , a2 ,..., ak ) trên A là một mệnh đề với các biến x1, x2, …, xn và các tham số a1, a2, …, ak (a1, a2, …, ak xem như dã biết) Với những cách chọn các giá trị thích hợp các giá trị a1 ,..., ak của các tham số a1, a2, …, an, V(x1, …, xn; a1, …, ak) trở thành mệnh đề. V (x1,…, xn; a1 ,..., ak ) với các biến số trên A không chứa tham số. Mệnh đề nhận được có một miền đúng xác định hoàn toàn nào đó (tập nghiệm) Giải mệnh đề với các tham số và tham số có nghĩa là với mỗi giá trị đã chọn của các tham số xác định miền đúng (tập nghiệm) của mệnh đề thu được với các biến (không có tham số). Hai mệnh đề với các biền x1, ….,xn, và các tham số a1, a2,…, ak được gọi là tương ứng nếu: 1) Đối với cả hai mệnh đề, tập hợp các cách chọn thích hợp các giá trị của các tham số là như nhau. 2) Với mỗi cách chọn thích hợp các giá trị của tham số, mệnh đề thu được với các biến x1, x2, …, xn (không có tham số) là tương đương, nghĩa là có cùng một miền đúng (tập nghiệm). CHƯƠNG I. PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT TRÊN MỘT TẬP, PHÉP CHỨNG MINH CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN MỘT TẬP. Bài 1: PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT BIỂU THỨC HỮU TỈ NGUYÊN, HŨU TỈ PHÂN TRÊN MỘT TẬP. Nếu không có chú giải ta sẽ coi biểu thức hũu tỉ được xét trên tập C các số phức. Ta nhắc lại một vài định lý và định nghĩa. 20