Hướng dẫn luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học (Tập 1): Phần 2

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

157
lượt xem 54
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 Tài liệu gồm nội dung chương 3 đến chương 6. Chương ba nói về nội dung và hình thức. Chương bốn giành cho cặp phạm trù bản chất và hiện tượng cùng với các cặp phạm trù có liên quan là vận động và đứng im, ngẫu nhiên và tất nhiên. Chương năm nói về cặp phạm trù chủ quan và khách quan. Chương sáu đề cập đến suy diễn và quy nạp, phân tích và tổng hợp, cụ thể và trừu tượng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học (Tập 1): Phần 2

CHUÔNG BA NỘI DUNG VÀ HÌNH THỨC 3.1. Cùng một nội dung có thể chứa trong nhiều hình thức khác nhau: Trong, toán học hiện đ ạ i , phương p h á p tiên đề đ ã trờ thành một vãn phong để trình bày các lí thuyết toán học. M ỗ i hệ tiên đ ế có nhiều m ô hình. M ỗ i mô hình là một hình thức chứa đựng n ộ i dung hàm ẩn trong hệ tiên đề. Gần gũi nhất đ ố i v ớ i m ọ i n g ư ờ i là hai m ô hình của hình học ơ c l i t rất phổ biến trong các nhà trường: hình học tổng hảp với các hình và những suy diễn trên các hình đ ó đ ể tìm ra các tính chất của chúng; hình học g i ả i tích với các toa đ ộ , các phương trình, các bất phương trình, các đẳng thức và bất đẳng thức nhờ đ ó m à ta đi sâu vào các tính chất của k h ô n g gian ơ c l i t . R õ ràng đ ó là hai hình Ì hức khác nhau cùng chứa đựng một n ộ i dung là hình học ơ c l i t . Hình học Lôbasepki cũng có nhiều m ô hình k h á c nhau trong đ ó hai m ô hình quen thuộc nhất là m ô hình Poăngcarê và m ô hình Kêli-Clanh. M ô hình thứ nhất do nhà toán học Pháp Poăngcarê (Henri - Poincaré 1854 - 1912) đổ xướng; trong m ô hình này, n g ư ờ i ta chọn trong không gian ơclit một mặt phảng hoặc một mặt cầu s và phần không gian ở một phía của mật phảng (hay ở trong mặt cầu) S; m ỗ i điểm ơclit ở phần không gian ơ c l i t đó, là một đ i ể m Lôbasepki; m ỗ i chỏm cầu (hay nửa mặt p h ă n g ) ơ c l i t trong phần không gian đ ó , có biên nằm trên s và trực giao với s là một "mặt phảng" Lôbasepki; m ỗ i cung tròn (hay nửa đường thẳng) ơ c l i t trong phần không gian đó có các đầu mút trên s và trực giao với s là một "đường thẳng" Lôbasepki (h. 23). Các tương quan liên thuộc và thứ tự Lôbasepki đưảc hiểu đúng như c á c tương quan đ ó trong không cian ơ c l i t . Đ ộ lớn của góc cũng vậy; nên m ổ hình này là m ô hình bảo uiác. Còn khoảng cách Lôbascpki giữa hai điểm A , B đưảc tính như sau: qua A và B, dựng cung tròn (hay nửa đường thẳng) trực giao với s (tức là đường thẳng Lôbasepki A B ) . Curm tròn này cắt s ở hai điểm u, V (một trong hai đ i ể m này ở xa vô lận (rong trường hảp đường thẳng Lôbasepki đưảc biểu diễn bởi một nửa đường thẳng ơclit). 79
Xét mãi phảng U V A B như một mặt phảng phức với các số phức l i . V , a, b theo thứ tự ứng với bốn điếm u, V, A , B thì khoảng cách Lôbasepki d( A B ) giữa hai điểm A, B là: ũ - li b- li d(AB) = n\\n(LỈVAB)\ = R n :- , a-v b- V trong đ ó R là một hệ số tỉ lô thực, dương. Tuy a, b, li, V là những số phức nhưng vì A , R, u, V đồng viên ( c ù n g nằm Irên m ộ i đường tròn hay một đường lhẳnp) nén - — b ~ " là môi số thưc. Nếu ABUV là mót đường thảng ơclit a — V b - V xo
thì điểu này là hiển nhiên. Sau đây sẽ xét trường hợp A , B, u, V cùng nằm trên một vòng tròn (h. 24). Trong mật phảng phức ta có: ia a - u = ƯA e ip a - V = VA e iy V(v) b - u = UB c b - V = VB e iS Hình 24 (X, p, ý, ô là agumen của các số phức ở các v ế trái. Vậy: a-u h-u ÙA VB a-v'b-v VA UB Nhưng A , B, u, V đồng viên nên (ƯA, ƯB) = ( V A , V B ) + kít • hay (ÙA, Ox) + ( Ox, UB) = ( VA, Ox) + (Ox, VB) + JC7U hay - a + Y = "P + 5 + k 7 ĩ hay - k 7 T = a - P " Y + ô a- li b - li. „ Agumen của là một bội của 71 nên số đó là thực. a - V b-v Tại sao mô hình Poăngcarê l ạ i n h ư vậy? Có thể trả lòi: V ì C(cí A(a) (b> U(u) V(v) Hình 25 Hình 26 81
nó chứa nội dune là hình học Lôbascpki (nội dune quyết định hình thức). R õ ràne cổ t h ế thì tiên đề Lôbasopki mới thoa mãn: qua điểm A ử ngoài một đườriíĩ thẳnc, a có vô số đường thane không cắt a trong đ ó có hai đường giới hạn là b, b' mà người ta gọi là hai đường song sonti với a xuất phát từ A (các đường khác không cái a gọi là siêu sonc sonu với a) ch. 25). Những tiên đè khác rõ ràng cũng đưực thoa mãn. Ta chú ý rằng nếu có ba điểm A , B, c thẳng hàng (tức là cùng nằm trẽn một cung tròn có hai đầu mút u, V trên s và trực giao với S) và nếu c ở khoảng giữa A , B và ứng với số phức c thì (h 26): (uvab) = (uvac)(uvcb) ln(uvab) = ln(uvac) + In(uvcb); và nếu xét cả dấu, cũng sẽ thấy: |ln(wvaồ)| = |ln(MVữc)| + |ln(«vcố)| C á c phép dời hình loại Ì (bảo toàn cả hướng) và loại 2 ( đ ổ i hướng) ở đây là các phép biến đ ổ i phân tuyến phức, z'= ——— cz +d a'z+b (loại ì ) và z'= — : (loại 2) với a, b, c, d thực và ad - be * 0. cz+d Chúng đ ề u bảo toàn góc (hảo giác) và bảo toàn khoảng cách (vì chúng bảo toàn tỉ số kép hoặc biến đ ổ i tỉ số kép thành số phức liên hựp; nhưng trong vấn đ ể khoảng cách, các tỉ số kép đ ề u thực nên trong cả hai trường hựp, tỉ số kép đêu đưực bảo toàn). M ô hình thứ hai do nhà toán học Anh Kêli (Cayley Arthur 1821 - 1895) và n h à toán học Đức d a n h (Felix Klein 1849 - 1925) đề xuất: Trong khổng íiian ơclit, cho một mặt bậc hai s không suy biến và có điểm thực (để cho tiện có thể chọn s là một mạt cầu). M ọ i điểm ơ c l i l nằm trong s là mội điểm Lôbasepki. M ọ i dây cune ơclit của s là một dường thẳna Lỏba^epki. Nếu một mặt phảng ơclit cái s thì phần mạt phẳnc đỏ, nằm none s là một mại phảng Lổbascpki. Khoáng cách d(AB) chìa hai điểm Lồhasepki A,B là: d(AB) = R\\nựJỈ'AB)\, u, V là hai giao đ i ế m của s với đườnu thẳne A B . Còn nóc của hai đường thẳnu a, b thì hằn
ln(uvab) Ironu đó 2i u, V là hai tiếp tuyến ảo liên hựị) của s, xuất phát từ đỉnh g ó c và nằm trong mặt phẳne (li, v) (h. 27). Các phép dời hình ở đáy là các phép cộng tuyến hiến s thành chính nó. s g ọ i là cái Hình 27 tuyệt đ ổ i c ủ a khổng EÙan s Lôbasepki. R | l n ( ơ í v í / Í ) | chứng tỏ rằng tất cả các đ i ể m trên và chỉ các điểm đ ó thôi là ở xa vô tỚn. Vì vỚy, cái tuyệt đ ố i chính là thế giới xa vô tỚn của không gian Lôbascpki. N ó là bỚc hai, khác với thế O.ÌỚÌ xa vô tỚn c ủ a không gian ơ c l i t là bỚc nhất (mặt phảng xa vò l ậ n ) vì trên mỗi (lường thẳng a của khổng gian ơ c l i t chỉ có một diêm xa vô tỚn, nơi í i i a o nhau của tất cả các đường thảng song son ti với a. Bây g i ờ xin đe cỚp đến những sự việc gần Ị>ũi hơn: số tự nhiên là một khái niệm trừu tượng được trừu xuất từ việc tìm ra một cách Ì huân tiện d ế so sánh các tập hợp m à k h ô n g cần trực tiếp thiết lỚp mội liên hệ I - Ì giữa các phần tử của các tỚp hợp đ ó . N ộ i dune của chúng chính là lực lượnu các tỚp họp hữu hạn. N ộ i dung đ ó xuất hiện dưới rất nhiều hình thức, m à hình thức văn minh nhất là các sô. Nhưng chính các số cũng có nhiều hình thức biểu hiện, chảng hạn như các số La Mã và các số Ả RỚp. Các số Ả RỚp là phổ biến nhái. Chiírm l ạ i cú thể xuất hiện trone những hộ đ ế m ca số khác nhau, trong đ ổ phổ biến nhất là hệ thỚp phan rồi đến hệ nhị phân. Các số cụ thổ như Ì, 2, 3, 4, ... đ ã là những hình thức chứa đựnc nội dung là lực lượnu các tỚp hợp. Đến lượt các chữ a, b, c, ... X, y, ... v.v ... lại là nhữni: hình (hức đ bi u diễn một cái gì đ ó khổng còn ứng với lực lượm', nhữne tỚp hợp cụ thể nữa. Chẳng hạn, 83
2 trong phương trình ax + bx + c = 0 thì a, b, c, có thể là bất cứ số thực nào còn X lại chỉ là một số chưa biết, còn phải tìm. Trong hình học, các hình như đường thẳng, tam giác, vòng tròn là những hình thức l ộ ra bên ngoài, của những quan hệ bên trong (nội dung), ví dụ như hình vẽ vòng tròn chứa đựng n ộ i dung "sự cách đều một điểm cố đặnh". Khi đã có các hình cụ thổ r ỗ i thì việc đặt tên cho các hình: điểm A, điểm B , đ ư ờ n g thẳng a, đường thảng b, vòng tròn c, vòng tròn c v.v... l ạ i càng đi vào cụ thể nữa. 3.2. Nội dung quyết định hình thức và hình thức tác động trở lại nội dung: Tuy một nội dung có thể diễn tả bởi nhiều hình thức phong phú nhưng như vậy không có nghĩa là có thể tuỳ tiện khi suy nghĩ để tìm ra những hình thức khác nhau cùa cùng một nội dung, mà khi đi tìm hình thức diễn tả nội dung, tư duy con người vẫn luôn luôn bặ nội dung chi phối, coi nội dung là k i m chỉ nam chc^việc tìm tòi. Qua hai m ô hình của hình học Lôbasepki ờ trên thì rõ; chẳng hạn điêu có vẻ độc đoán nhất là trong việc tìm cách biểu diễn đ ộ dài đoạn thẳng trong hai m ô hình đó; hoàn toàn không phải ngẫu hứng mà độ dài lại được biểu diễn bằng lôgarit của một tỉ số kép m à vì chỉ có cách dó thì đặnh nghĩa vé đ ộ dài đoạn thẳng mới được thoa mãn: đ ộ dài của các đoạn thẳng là một hàm p của các đoạn thẳng thoa mãn các tính chất sau đây: 1. p là một số thực không âm, chỉ triệt tiêu khi và chỉ k h i hai đầu mút của một đoạn thẳng trùng nhau: p(AB) = 0 A 3 B 2. p(AB) < p(AC) + p(CB) (bất đẳng thức tam giác). Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi c là một điểm của đoạn thẳng A B . 3. Tồn tại một đoạn uv để p(UV) = 1; uv gọi là đoạn thẳng đơn vặ. Nhưng hình thức ảnh hưởng trở lại nội dung. M ỏ i hình thức mang đến cho việc nghiên cứu nội dung những khó khăn và thuận lợi riêng. Ví dụ, để nghiên cứu hình học ơclit có thể dùng phương pháp tổng hợp hoác phương pháp giải tích. Phương pháp tổng hợp có cái hay là huy động được nhiều trí tưởng tượng không gian và chính cái trí tưởng tượng đó nhiều khi giúp ta tìm được các mắt xích 84
lotiic n ố i e i á thiết vổ\ kết l u â n , đ ư a đ ế n những l ờ i giai hay, g ọ n , đ ẹ p . N h ư n e p h ư ơ n g p h á p l ổ n g hợp c ũ n g c ó c á i d ở là m ỗ i bài t o á n hình học l ạ i đ ò i h ỏ i một sự s á n g tạo ra p h ư ơ n g p h á p Giải r i ê n g n h ờ v à o trực d á c m à t ì m ra hoặc qua v i ệ c phễn t í c h cả già t h i ế t v à k ế t luận đ ế t ì m c á c h x â y dựnu c á i cễu logic n ố i hai b ê n l ạ i . P h ư ơ n g p h á p t ổ n g hợp l ạ i ít k h ả n ă n u đi v à o cái v ô c ù n g b é và c á i v ô c ù n g lớn nên d ễ bị trực e i á c đ á n h lừa, d o đ ó d ỗ mắc sai l ễ m , dỗ b ỏ sót c á c n g h i ệ m . C h ẳ n g hạn với p h ư ơ n g p h á p t ổ n g hợp thì chỉ n g h i ê n cứu đ ư ợ c sự t i ế p x ú c b ì n h t h ư ờ n tì, k h ó m à n g h i ê n cứu đ ư ợ c sự mật t i ế p , sự thái t i ế p giữa c á c đ ư ờ n g , c á c mặt vì đ ố i v ớ i trực g i á c thì t i ế p x ú c b ì n h thườn*; hay mật t i ế p c ũ n g n h ư nhau. P h ư ơ n g p h á p t ổ n g hợp c ò n c â y k h ó k h ă n ở c h ỗ phải p h â n biệt n h i ê u I r ư ờ n s hợp h ì n h vẽ k h á c nhau, chẳng hạn đ ố i v ớ i c á c đ ư ờ n g bậc hai k h ô n g suy b i ế n p h ả i chia ra ba t r ư ờ n g hợp ( c l i p , h y p e b o l , parabol). P h ư ơ n g p h á p tone hợp cĩine k h ô n g cho p h é p đ ư a đ ư ơ c c á c phễn l ử ảo v à o n ê n c ũ n g p h á i p h á n biệt ra những t r ư ờ n g f í ợ p n h ư c ó cắt nhau hay k h ô n g cắt nhau, hoặc chỉ tiếp x ú c v ớ i nhau ( n h ư tronc v ấ n đổ trục đ ẳ n g p h ư ơ n g của hai v ò n g t r ò n ) . P h ư ơ n g p h á p g i ả i tích cho ta cách g i ả i tổng quát cho nhiều trường hợp; cổ rmười nói: khi dìine, p h ư ơ n g p h á p g i ả i tích m à đ ã đi đ ế n được p h ư ơ n g trình hay bất p h ư ơ n g trình r ồ i thì giống n h ư n e ư ờ i đi đ ư ờ n c lên được loa tàu hoa r ồ i . L ẽ n được đ ó r ồ i cổ thể ngủ m à vẫn đi tới đích n h ờ c ó các đườne ray. V ớ i phươnti p h á p g i ả i lích, ta cổ thế g ó i nhiêu trườrm hợp k h á c nhau vào chunii một p h ư ơ n g trình, đ ư a c á c phễn tử ả o v à o . V í d ụ p h ư ơ n g l à n h ax + 2bxy + cy + 2dx + 2cy + = 0 gói được tất cà c á c đường cone bậc hai suy biến và không, suy b i ế n , c ó d i ê m thực hay k h ô n g c ó đ i ể m (hực. P h ư ơ n g p h á p giải lích cho p h é p sử d ụ n g p h é p lính vi phán và tích phán đố n g h i ê n cứu sáu v à o cái v ô c ù n g bố v à cái vô c ù n g lớn n h ư sự mạt tiếp, sự thái tiếp, những hiện tượng xẩy ra ở xa vô tận. P h ư ơ n g p h á p giải tích còn cho p h é p chuyển số chiều k h ô n g ỉũan từ bé lên lòm một c á c h tươnu d ố i dỗ d à n e . V í d ụ từ hình học phảng lên hình học k h ô n g gian chỉ cễn t h ê m một toa d ọ thứ ba là cao đ ộ (bên cạnh h o à n h đ ộ và lung d ỏ ) ; n ó còn m ở đườne cho khái n i ệ m k h ô n g gian nhiều chiều, thậm c h í vô s ô chiều, Ironíi lúc m à v ớ i p h ư ơ n g p h á p tổng hợp, chỉ chuyển l ừ hình học phảng lên hình học k h ô n g gian đ ã Ì h á y rất k h ổ . 85
Hoặc nếu tà trở lại hai mổ hình của hình học Lỏbasepki thì cũng sẽ thấy rất rõ hình thức ảnh hưởng trớ lại nội dung như thế nào? M ô hình Poăngcarê có thuận lợi là nó bảo giác nôn khi sử dụng nó, hờ đụng đến các góc thì không cần phân biệt góc đó là ơclit hay Lôbasepki. Tất nhiên, thuận lợi khách quan này phải do chủ quan con người nhận thức và tận dụng. Chẳng hạn, để xây dựng lượng giác Lôbasepki bằng m ô hình Poăngcarê thì nên bắt đầu từ đâu? Nếu ta bắt đầu từ việc cho ba cạnh của một tam giác r ồ i tính các góc thì rất dở vì biểu thức của ba cạnh đã cho sẽ được diờn tả bằng ba lôgarit của ba tỉ số kép. Tốt hơn hết là nên bắt đầu bằng việc cho trước ba góc của một tam giác r ồ i tính một cạnh, sau đó hoán vị vòng quanh để có hai cạnh kia; đ ố i với cạnh phải tính, ta luôn luôn có thể dùng một phép dời hình Lôbasepki (ví dụ một phép nghịch đảo ơ c l i t ) để nó được biểu diờn bởi một đoạn thẳng vuông góc với s (nên chọn s là đường thẳng). Cụ thể như sau (h. 28) Đ ể cho gọn sau đây sẽ viết tắt Lôbasepki là L và ơclit là £. Cho một tam L giác L ABC trong đó Ị cạnh BC được biểu diờn bởi một đoạn thẳng Ị, vuông góc với s (h. 28): Ta sẽ gọi a, b, c theo thứ tự là độ dài L của ba cạnh BC, CA, A B . Ta có: Hìuh 28 a = R\ìn(BCHL\, L ở xa vô tận trên BC ~. HC LC Rin VI ——- = Ì do L xa v ô tân hay a HB LB R hay e = , do đó HB 86
R R ,a e +e lfHC HB^ HB+HC" ch — R = 2 - — = -2 V—— HB + •HU 2HB.HC HB~ + HC~ = ( / • - / / / ) + ự - KH ), r và s là bán kính còn I , K là tâm hai nửa vòng tròn biểu diễn hai đường thẳng L AC và AB. Hay: HB + HC ' = r + s - (KB + HI) + 2KH.HI 2 r-+s +KỈ +2KB.HỈ = 2rs cos KAĨ+ 2KB. HỊ_ , a r s ,^ ÍCH ĩ ĩ ĩ T T Vậy: c h f - = — - 7 . — — COSKAI+—^r.-rr R HB HC HC HB x = ^ . — + ctg CKH. ctg BIH sinBIH sinCKH Trong mọi trường hợp, ba góc A,B,C, của tam giác L ABC theo thứ tự có độ lớn bằng độ lớn các góc ị KAỈ ,BĨH, CKH. Vậy ta có công thức: a cosA + cosBcosC ch = — = — • • — (1) R sinBsinC Hoán vị vòng quanh a, b, c và A, B, c ta được b cosB + cosCcosA ch = — = . — (2) R si nC sin A c cosC + cosAcosB ch = — = ———- (3) R sinAsinB Như vậy, trong hình học L khi biết ba góc A, B, c ta tính được ba cạnh a, b, c; do đó hai tam giác có ba góc bằng nhau t ng đôi một thì bằng nhau, nghĩa là không có hai tam giác đồng dạng kích thước khác nhau. , a ., c o s A + c o s B cosC . , Vì ch —-)1 nên suy ra — :)1 R sinBsinC 87
Vì sin B sin c > 0, nõn ta có : cosA + cosB cosC > sinBsinC hay cosBcosC - sinBsinC > -cosA hay cos(B + C) > cos(Tt - A ) hay B + c < 7 1-A hay A + B + C
hoán vị vòng quanh A, B, c thì ta sẽ c ó (4): mẫu số ở vế đó rõ ràng là như vậy; chỉ c ò n cẩn XÓI hiếu thức dưới căn c ủ a lử số; trong biểu thức này có số hạng 2cosAcosBcosC không phải xét nữa. Vây chỉ 2 2 còn phải xét cos A + eos B cos C - sin B sin c 2 = c o s A + c o s B COS c - ( I - COS B)( Ì - COS C) 2 = cos A + c o s B + COS c - Ì Vậy (4) đã được chứng minh. Trong hình học ị, ta đã có côrm thức: 2 2 2 a = b + c - 2bccosA (6) Nếu chú ý rằng: , _ a _- lia ch = f - = Ì + —hr- R 2! VR shi-=i- ỊÍ*V .... + + R R 3\\RJ thì ta ngờ rằng (6) có thể là giăi hạn của Ì a Ì b . c , b , c ch — = c h — - c h — sh r — s h -— COS A (7) R R R R R b c Vói dư đoán đó, ta tính c h — c h — theo (2) và (3): R R , b , c (cosB + cosCcosA)(cosC + cosAcosB) ch — ch— = ;—— R R sin AsinBsinC rồi căn cứ vào (5) thì: sh -^-sh -^-cosA = R R : 2 : _ (cos A + cos B + cos C - 1) + 2cosAcosBcosC : sin AsinBsinC Vậy ch ^-. ch 3 - sh 1 . sh ^-. cosA = R R R R : : (Ì - cos A)cosBcosC + (Ì - cos A)cosA : (Ì - cos A)sinBsinC 89
cosA + cosBcosC a = — — ~ Ch — sinBsinC R Vậy (7) là đúne.. Hoán vị vòng quanh, ta sẽ có hai công thức tương tự. Nếu tam giác ABC vuông góc ở A thì chỉ việc cho cosA = 0, sin A = Ì ở tất cả các công thức trên, ta sẽ có các công thức lượnu giác L trong tam giác vuông: , a _ , b cosB , c cosC ch — = cteBctữC, ch — = , ch — = — R R sine R sinB sh— = sh —sinB,sh— = sh —sinC R R R R Rồi từ đó, suy ra: , a , b , c , b , c ^ , c . b _ ch— = ch — ch — ,th— = sh —teB,th— = sh — teC R R R R R R R b à C à th-r- = t h f ^ c o s C ; t h ^ = thf-cosB R R R R Nếu A là góc vuông và c ra vô tận (h. 29), tức BC và AC song song với nhau, tức c = 0, ta có: , AB cosO , r , , , . c cosC , s ch—— = (áp dung công thức ch — = ———) hay R sinB R sin 5 siưB = nõ AB ch R cho phép ta tính góc B (gọi là góc song song ứng với khoảng cách L AB) khi biết khoảng cách L AB. Hình 29 90
3.3. Hình thức có thê che lấp nội dung; khi đó có mâu thuần giữa hình thức và nội dung: mâu thuẫn này kích thích việc nghiên cứu để làm rõ sự thòng nhất. Ở ị ỉ. 4 ta đã thấy máu thuẫn giữa nội dunu và hình thức của đường trung bình và đưừnti trune tuyến và điều đó đã kích thích ta nghiên cứu về các đường trung bình của một lư giác và những rmhiên cứu này đ ã làm rõ sự thống nhất. M ộ t hàm số F(x) sẽ coi là nguyên hàm của một hàm số f(x) nếu nó có đạo hàm bằníi f(x); có thể biểu diễn hình học F(x) dưụi dạnc diện tích s * giụi hạn bởi đường cong y = f ( x ) , trục Ox, một đường thẳng vuông góc vụi trục Ox tại một điểm cố định có hoành đ ộ bằng a, và một đường thẳrm khác cũng vuông góc vụi trục Ox nhưng tại một điểm có hoành độ biến thiên x: F(x) = S*. V ụ i hàm m f(x) = x thì F(x) =+ c (C = hằng số bất kì). Nhưng giữa m +1 nội dung này của F(x) và hình thức biểu diễn nó bằng diện tích m X * ' s * cáp mâu thuẫn tronc trường hóp m = - 1 . Khi đó m + Ì trở nên vô nghĩa nhưng s . vẫn xác định. Mâu thuẫn này kích thích ta nghiên cứu kĩ hơn s để từ đó lẩn m ò ra F(x) trong trường hợp này: ta hãy Ihử v x sosánh s ,' và s K h. 30). Ta chia các đoạn LI, X] và [k, k x ] , m ỗ i đoạn ra n phần bằng nhau rồi (rên m ỗ i phân đoạn, dựng > X nên mội hình chữ nhật có đỉnh ở phía trôn, ben phái, thuộc 91
d ư o r i g cong y = — . N ế u la đ á n h số các hình chữ nhạt n à y trên m ỏ i X đ o ạ n , từ trái sane phải banc c á c số Ì, 2,..., n ( h . 30) thì ta t h ấ y r à n c hai h ì n h chữ nhật mang c ù n g số c ó d i ệ n lích bằng nhau. D o d ó t ổ n c d i ê n tích c á c h ì n h chữ nhật xây đ ự n g Iron đ o ạ n [ Ì , x i b ằ n g t ổ n g d i ệ n tích c á c h ì n h chữ nhật xây dựng trên đ o ạ n | k , k x ] . C h o n lớn nôn v ô c ù n g , ta thấy: S* = SỊ*. N ế u k í hiệu iS) A là S(x) thì h á m số S(x) n à y c ó lính chất sau đ â y : S(kx) = S(k) + S(x) tv VI v °1 = - S" °1 1 4- V ' 4' V ^ °Ẩ kỉ s k v V ậ y , h à m S(x) c ó tính c h á i : giá trị của h à m ộrmvới tích kx b ằ n g tổng c á c giá trị của n ó ộrm vói k và ộne v ớ i X. M à h à m l o g ( x ) cũng c ó tính chất đ ỏ v ớ i bất cộ c ơ số M n à o . Đ i ề u n à y M h ư ớ n g c h ú n g ta lìm n g u y ê n h à m của d ư ớ i dạnc l o a ( x ) . Ta thử M X t í n h đ ạ o h à m của l o c ( x ) k h i X = x . D ạ o h à m đ ó bằnu: M 0 x„ + D x lo" 'ogM^u + Dx)-log M x lim lim D x -->() Dx Dx i m l o , l . = ' Dx V ậ y c ó t h ể kết l u ậ n : N ế u + - CÓ m ộ t g i ớ i h ạ n c V không phụ thuộc X(, k h i Ax — > 0 t h ì los: x là m ộ t c nguyên ham , ĩ cua —. X 92
Ta dừne ở đây vì độc giả đã có kiến thức về lôgarit l ự nhiên và vì như vậy đủ để thấy khi có mâu thuẫn giữa nội dung và hình thức thì có vấn đề để nghiên cứu. 3.4. Việc sáng tác bài tập về toán cho học sinh: Học sinh học toán xong r ồ i làm các bài tập. Vậy các bài tập đó ở đâu mà ra? A i là người đầu tiên nghĩ ra các bài tập đó? Nghĩ như t h ế nào? Ngay nhiều giáo viên cũng chớ biết sưu tầm các bài tập trong các sách giáo khoa khác nhau, chưa biết cách sáng tác ra các đề bài tập. Một trong những cách đó là tìm những hình thức khác nhau để diễn tả cùng, một nội dung r ồ i lấy một hình thức nào đó phù hợp với trình độ học sinh và yôu cầu họ chứng minh tính đúng đắn của nó. Ví dụ, từ một nội dung: 2 cos x < Ì ( V x ) thì có ngay bất đảne, thức Côsi (Cauchy) 2 : 2 2 2 (í/,ố, +a b 2 2 + ứự> ) < (
C = a, =Vc^ * ^ Q thì ta có: 9 < (A + B + c )(— + -=:+„) A B c rồi tha hồ mà biến hoa bằne cách tưởne tươne ra đủ kiểu A, B, c. Ví dụ, nếu chọn A = a + 2bc, B = b~ + 2ca, c = c + 2ab và với điêu kiện a + b + c = Ì thì: A + B + c = ( a + b + c Ý = Ì và ta có bài toán: Chứng minh rằng nếu a + b + c = Ì và a, b , c > 0 thì: l i Ì 2 b + 2 c a + c + '2 a b- > 9 a + 2 b c + -T^ : 2 Nếu lấy (a + b + cỷ thì ta lại có bài toán: Chứng minh rằng nếu a + b + c = Ì vàa, b, c > 0 thì: Ì Ì — + — f- 1 a +.3bc(b + c) + 2abc b + 3ca(a + c) + 2abc c + 3ab(a + b) + 2abc Hoặc như, từ nội duns sin2x = 2sinxcosx, giáo viên có thổ biến đổi lận lượt như sau bằng cách mỗi lận nhân hai vế với 2 lận cosin của góc ở vế trái đổ vế đó có thể Ihav bằng sin của góc gấp đôi: 2sin2xcos2x = 4sinxcosxcos2x 2sin4xcos4x = 8sinxcosxcos2xcos4x zsinz xcos2 X= 2 sinxcosxcos2x ... cosz X hay: sin2"x = 2"sinxcosxcos2xcos4x ... cos2" 'x Từ đổ, thậy cổ thể ra bài lập: Giải phương trình: ì cosxcos2xcos4x ... cos2""'x 2" 94
Ở dâv 2" rất tiợi cám và học sinh nào c ó nhạy cảm, sẽ viết lại phương trình trên thành: (2cosx)(2cos2x)(2cos4x)... (2cos2"''x) =1 và sẽ biết nhân thêm sinx vào hai vê đổ có: sin2"x = sinx Tuy theo trình độ học sinh, giáo viên sẽ đ ể n tổng quát hay cho n một ciá trị n à o đó. Hoặc n h ư từ nội durm: tổng các góc của một tam giác Lôbasepki nhỏ hơn hai vuôrm, d á o viên cỏ thể ra bài tập sau: Cho ba vòng tròn có tâm thảng hàng cắt nhau đôi một, ố ba điểm A , B, c nằm cùng phía của đường n ố i tâm (và ba đ i ể m A', B', c đ ố i xứng với A , B, c qua đường n ố i tâm). Chứng minh rằng tổng c á c g ó c của tam giác cong ABC nhỏ hơn 180°. Hoặc c ó thể biến tướng đi một chút như sau: Cho ba vồng tròn oe, p, y có tâm a, b, c thảng h à n g , cắt nhau đôi một về một phía của đường thẳng abc t ạ i các đ i ể m : A = p o Y B = y n oe c = ocnp A A A Chứng minh rằng: bAc+ cBa+ aCb < 180 . Còn c ó thể, biến tướng bằng cách thay một vòng tròn bằng một đường thẳng vuông góc với đường nối lâm (coi như vòng tròn có tâm xa vô tân) đ ể giẫm bớt độ khó của bài toán. Hoặc n h ư từ nội dung: "trong một hình bình hành, giao điểm của hai đường chéo là trung điểm chung của c h ú n g " , bàng một phép chiếu xuyên tâm, giáo viên có thể ra bài tập sau: Chứng minh rằng trong một tứ giác, hai đường c h é o và đường thảng n ố i giao điểm hai cặp cạnh đ ố i diện (kéo dài nếu cần) là ba đường thẳng sao cho mỗi đường bị hai đường kia chia điều hoa. Hoác như từ nổi clurm: "tron*', môi vònu tròn, góc nôi tiếp chắn nửa vònu tròn bằng 90 ", đem diễn tả góc vuông dưới hình thức là góc cỏ hai cạnh chia điều hoa hai đườnu thẳng đẳng hướng, ta có thể ra bài toán sau đây: 95
Cho vòng tròn với hai tiếp luyến ờ hai điểm I , J cắt nhau ở 0 và một đường thẳng đi qua 0 cắt vòng tròn ở hai điểm A, B. Chứng minh rằng với bất cứ điểm M nào trên vòng tròn thì M A , M B cũng chia điều hoa M l , MJ Ch. 31). Nói rộng ra, thì đầu để các bài tập thường là sản phẩm phụ của các công trình nghiên cứu toán hữc: nhà toán hữc, qua lao động nghiên cứu của mình, được rất nhiều sản phẩm. Ông ta tỉa bớt những sản phẩm phụ, giữ lấy các sản phẩm chính, sắp x ếp l ạ i và trình bày thành một công trình khoa hữc, cồn các sản phẩm phụ cũng không phải là đồ bỏ đi, mà có thể sửa sang để trở thành những bài tập ra cho hữc sinh, sinh viên, trong đó có thể có những bài tập lớn có vóc dáng một đề tài nghiên cứu; nhiều khi sản phẩm của một công trình l ạ i là những vấn đề còn mở, chưa rõ cách giải quyết ra sao, kết quả sẽ như thế nào, thì đó là những đề tài luận án, luận vãn. Vì vậy, muốn trử thành một nhà giáo dạy toán g i ỏ i , dù là giáo viên phổ thông, thì một điều kiện cần là bản thân phải tham gia nghiên cứu khoa hữc; không những người nghiên cứu (trong con người giáo viên) có khả năng diễn tả một nội dung ra thành nhiều hình thức khác nhau, có những sản phẩm phụ trong các công trình nghiên cứu, mà còn có khả nâng đi sâu vào tư duy sáng tạo để hướn^, dẫn hữc trò biết "tư duy", lại cổ nhiêu phẩm chất để giáo dục hữc trò nâng cao sức sáng tạo, trong đó phẩm chất "có tư tưởng tiến cống" là một phẩm chất rất quan trững. "Tư tưởng tiến cổng" thúc đẩy người nghiên cứu (trong con người giáo viên) phát hiện vấn đề; việc giải quyết x ong vấn đề này lại làm nẩy sinh ra vấn để khác theo kiểu "phản line dây chuyền". Ví dụ, một người có tư tưởng liến công sau khi í>iải quyết x ong vấn đổ Ihốne nhái giữa "đổnạ quy" và 96
"không đồn*; quy" (§2. 5) thì không chịu dừng ở đó mà tự đạt ngay ra vấn đồ thống nhất uiữa "thẳng h à n g " và "không thẳng hàng" để tự mình giải quyết hoặc giao cho học sinh giải quyết, qua việc giao đề tài này mà giáo dục học sinh "tư tưởng tiến công trong khoa học". Ta hãy thắ dừng lại ở việc giải quyết Vấn đề mới nẩy sinh này. Sau khi đã dùng khái niệm "cắt nhau / S" để thống nhất '"đồng quy" và "không đồng quy", ta dễ d à n g bắt chước để xây dựng khái niệm sau đây: Đinh nghĩa: Ba điểm D, E, F theo thứ tự nằm ư ẽ n ba cạnh (hay cạnh kéo dài) BC, CA, AB của một tam giác ABC, sẽ gọi là "m / gãy k h ú c " nếu tỉ số diện tích đ ạ i số hai tam giác DEF và ABC bằng m. T h ế thì "thẳng h à n g " là "0 / gãy khúc". Đ ể hình dung rõ hơn, ta hãy tính m. Ở đây, diện tích cũng là diện tích đ ạ i số như đã nói ở | 2 . 5. Ta cũng sẽ kí hiệu các diện tích đ ạ i số của m ỗ i tam giác bằng ba chữ chỉ các đỉnh sắp thứ tự của n ó . Đ ể tính m, ta đưa ra bổ đề sau: Bổ đề (hệ thức Chasles đ ố i với diên tích). Nếu B, c, D là ba điểm thẳng hàng và A là một điểm nằm bên ngoài đường thẳng BCD thì ABC = A B D + ADC. Bổ đề là hiển nhiên theo quy ước vé diện tích đ ạ i số các tam giác. Ta chú ý rằng, ngoài chữ A đứng ở vị trí đầu, thứ tự ba chữ B, c, D giống như trong hệ thức Chasles đ ố i v ớ i đ ộ dài đ ạ i số BC=BD + DC. Á p dụng bổ đẻ này, bất luận vị trí A của D , E, F như thế nào trên ba đường Ihảng BC, CA, A B (h. 32) ta cũng có (chú ý rằng ta có thể hoán vị vòng quanh B D c ba đỉnh của tam giác và k h i có ba tam giác Hình 32 lạo nên bởi ba điểm 97
ihảna harm và một điểm thứ tu' khỏníi tháng hàn é với ba diêm t ấ n (hì ta sẽ cố đưa đỉnh này lên vị (rĩ dầu đổ áp dụtm bổ đổ): ABC = ABD + ADC (1) = DAB + DCA DAB = DAF + DFB (?) DC A = DCE + DEA (3) Nếu: p = A D n EF thì DAF = FDA = FDP + FPA (4) DE A = EAD = EAP + EPD (5) Vậy: ABC = (FDP + FPA) + DFB + DCE + (EAP + EPD) = DFB +EDC + (AFP +APE) + (DÉP + DPF) = DFB + EDC + AFE + DEF Nếu lấy diện tích lam giác ABC làm đơn vị diện lích thì ta có: m = DEF = Ì - FEA -DFB -EDC AF A E AF AE Ì Ì FEA = = = . - 1 AB AC A F + FB EA + EC J_ ' Ì - k; k. (l-k )(l-k ) : 3 Hoán vị vòng quanh (ABC), (DEF), (123), ta có: v DFB = — — , EDC ~ ~ (l-k )(l-k,) 3 (l-k,)(l-k,) k, k, k. vậy: ni = Ì + (l-k )(l-k ) : 3 (l-k.,)(l-k,) (l-k,)(l-k ) : Ì - k. k , k.. m = (l-k,)(l-k )(l-k,) : Vậy m = 0k,k k, =1 2 98